天津市七校聯(lián)考2024屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

天津市七校聯(lián)考2024屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.要得到函數(shù)y=gcosx的圖象，只需將函數(shù)y=gsin（2x+。］的圖象上所有點(diǎn)的（）

1JT

A.橫坐標(biāo)縮短到原來的5（縱坐標(biāo)不變），再向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度

B.橫坐標(biāo)縮短到原來的5（縱坐標(biāo)不變），再向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度

C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度

O

D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移W個(gè)單位長(zhǎng)度

2,已知集合P={%|%—2<0},Q=卜|一〈。卜貝!）@P）。為（）

A.[0,2)B.(2,3]C.[2,3]D.(0,2]

3.定義在二上的函數(shù)二二二二滿足二二二一「，且二二二二+.為奇函數(shù)，則二一二二的圖象可能是（）

4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（）

俯視圖

A.2非B.4C.2D.272

5.音樂，是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì)，他

證明了所有的樂聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，它們是一些形如asin/zx的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是

基本音，其余的為泛音.由樂聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波.下

列函數(shù)中不能與函數(shù)y=0.06sinl80000f構(gòu)成樂音的是（）

A.y=0.02sin360000^B.y=0.03sin180000，C.y=0.02sin181800z

D.y=0.05sin540000r

22

6.設(shè)耳，工是雙曲線c：1-與=1（。＞04＞0）的左，右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)B作c的一條漸近線的垂

ab

線，垂足為P.若|P耳卜迷則C的離心率為（）

A.72B.6C,2D.3

7.在ABC中，AB=3,AC=2,N54C=60。，點(diǎn)。，E分別在線段AB,CD上，且應(yīng)＞=2A。，CE=2ED,

則BEAS=（）.

A.-3B.-6C.4D.9

（X2A

8.已知函數(shù)/'（x）=xx-ln—,關(guān)于x的方程/（x）=。存在四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

Va7

A.（0,1）U（1,e）B.I0,1l

9.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.z-i=2-iB.復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)是1-

C.|z|=5D.=-+

1+i22

10.己知四棱錐S-A3C￡＞中，四邊形ABC。為等腰梯形，AD//BC,NBA。=120°,A5A￡）是等邊三角形，且

SA=AB=26若點(diǎn)P在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P到平面ABC。的距離為d,若平面出⑦，

平面ABCD,則d的最大值為（）

A.J13+1B.\]13+2

C.V15+1D.V15+2

11.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為若%=2,％+%=5,則"=（）

A.10B.9C.8D.7

12.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（）

俯視圖

A.2枝史S,且26任5

B.2叵電S,且2艮S

C.272eS,且2&S

D.272eS,且2艮S

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸在直線y=2x上，過點(diǎn)尸作圓C：（x—4y+尸=8的一條切線，切點(diǎn)為T.若

PT=PO,則PC的長(zhǎng)是.

14.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足%+32+…+3"T&=〃，貝!JS&=

y<%

rri

15.若實(shí)數(shù)X。滿足約束條件％+y>4,設(shè)z=3%-2y的最大值與最小值分別為則一二,

c〃

x<3

16.根據(jù)如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為!，則輸入的x的值為.

2

Readx

Ifx<0Then

y-4—^-1

Else

J^-21

EndIf

Printy

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）隨著改革開放的不斷深入，祖國(guó)不斷富強(qiáng)，人民的生活水平逐步提高，為了進(jìn)一步改善民生，2019年1

月1日起我國(guó)實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策，其政策的主要內(nèi)容包括：（1）個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元；（2）每月應(yīng)納稅所得

額（含稅）=收入一個(gè)稅起征點(diǎn)-專項(xiàng)附加扣除；（3）專項(xiàng)附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費(fèi)用②子女教育費(fèi)用③繼續(xù)教育

費(fèi)用④大病醫(yī)療費(fèi)用……等.其中前兩項(xiàng)的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：①贍養(yǎng)老人費(fèi)用：每月扣除2000元②子女教育費(fèi)用：每個(gè)

子女每月扣除1000元.新個(gè)稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下：

級(jí)數(shù)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)

超過3000元超過12000元超過25000元

每月應(yīng)納稅所不超過3000

至12000元的至25000元的至35000元的

得額（含稅）元的部分

部分部分部分

稅率（%）3102025

（1）現(xiàn)有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要贍養(yǎng)老人，除此之外，無其它專項(xiàng)附加扣除.請(qǐng)問李某月應(yīng)繳

納的個(gè)稅金額為多少？

（2）為研究月薪為20000元的群體的納稅情況，現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領(lǐng)的相關(guān)資料，通過整理資料可知，

有一個(gè)孩子的有400人，沒有孩子的有100人，有一個(gè)孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人，沒有孩子的人中有50人需

要贍養(yǎng)老人，并且他們均不符合其它專項(xiàng)附加扣除（受統(tǒng)計(jì)的500人中，任何兩人均不在一個(gè)家庭）.若他們的月收入

均為20000元，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)在新個(gè)稅政策下這類人群繳納個(gè)稅金額X的分布列與期望.

18.（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是夕cos2e-4sin6=0,直

7T

線4和直線4的極坐標(biāo)方程分別是夕=?（夕eR）和。=&+耳（peR）,其中（kez）.

（1）寫出曲線。的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線4和直線分別與曲線C交于除極點(diǎn)。的另外點(diǎn)A,B,求AQ鉆的面積最小值.

19.（12分）設(shè)數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和S“=-3］，又也｝單調(diào)遞增的等比數(shù)列，結(jié)24=512,q+4=a3+b3.

（1）求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

b2

（11）若。"=（々_2）'加_1）'求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和7“,并求證：J<7；,<1.

20.（12分）隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展，我國(guó)對(duì)于環(huán)境保護(hù)越來越重視，企業(yè)的環(huán)保意識(shí)也越來越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建

立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)

測(cè)系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有耳?有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則

立即同時(shí)啟動(dòng)另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè)，且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，也立

即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段（以1小時(shí)為計(jì)量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為p（0<p<1）,

且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.

（1）當(dāng)。=g時(shí)，求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；

（2）若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)（不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用），除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)

每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過預(yù)算（全年按9000小時(shí)計(jì)

算）？并說明理由.

21.（12分）某企業(yè)原有甲、乙兩條生產(chǎn)線，為了分析兩條生產(chǎn)線的效果，先從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取

了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.該項(xiàng)指標(biāo)值落在［20,40）內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.

乙生產(chǎn)線樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合計(jì)

頻數(shù)2184814162100

(1)根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，以從樣本中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的頻率近似代替從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)

的產(chǎn)品中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的概率，估計(jì)從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件恰有2件為合格品的概率；

(2)現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產(chǎn)線，根據(jù)上述圖表所提供的數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并

判斷是否有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)？若有90%把握，請(qǐng)從合格率的角度分析

保留哪條生產(chǎn)線較好？

甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

2n(ad-bc)2

PIT：K=--------------------------------------,n=a+b+c+a.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

j)0.1500.1000.0500.0250.0100.005

k°2.0722.7063.8415.0246.6357.879

22.(10分)如圖，三棱臺(tái)ABC—EFG的底面是正三角形，平面ABC，平面BCGb,CB=2GF,BF=CF.

(1)求證：AB±CG；

(2)若BC=CF,求直線AE與平面BEG所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.

【詳解】

位制小11.「萬、

為得到y(tǒng)--cosx=-sinlx+—I,

將y=；sin[2x+。j橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，

故可得y=；sin[x+m；

再將y=；sin[x+gj向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度，

■一rZH1■(乃乃)1.(")1

故可得y=]Sm%+§+%■=5Sinx+]=5Cosx.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

先求出P={x|xW2},Q={x|0<xW3},得到既P={x|x〉2},再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】

由題意，集合P={x|x—2<0},Q=卜|1<o},

所以尸={x|xW2},Q={x|0<xW3},則備尸={]|工〉2},

所以◎2)2={%|2<%<3}=(2,3].

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

3,D

【解析】

根據(jù)一一二二+一為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，排除二二計(jì)算二上＜?二排除二，得到答案.

【詳解】

二二二二+.；為奇函數(shù)，即二匚二一二+工，函數(shù)關(guān)于」中心對(duì)稱，排除二二.

二一：＜1-二,排除二.

故選：.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，確定函數(shù)關(guān)于：：中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.

4、D

【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計(jì)算各棱的長(zhǎng)度.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示：

由三視圖知：|"＞|=2，閩=囪,囪=2,

所以,q=\DC\=2,

所以慟=，囪2+財(cái)=2A/2,\SB\=M=2也,

所以該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為2叵

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

5、C

【解析】

由基本音的諧波的定義可得力=班("eN*),利用/=工=義可得用=eN*)，即可判斷選項(xiàng).

T2萬

【詳解】

由題，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波，

由/=▲=/,可知若工=%("eN*)Ji!皿^tyi=〃(y2("eN*),

T2"

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.

6、B

【解析】

j2f2j、

設(shè)過點(diǎn)月(c,0)作y=2x的垂線，其方程為y=—4(x—c),聯(lián)立方程，求得》=土，y=他,即P—,由

-abcc\cc)

|P^|=V6|OP|,列出相應(yīng)方程，求出離心率.

【詳解】

解：不妨設(shè)過點(diǎn)用(G。)作y的垂線，其方程為y=-￡(x-c),

b

y=~X27(2r\

,a山口aab口口aab

由<解得%=—,y=一，即P—,——，

a(、cc\cc

y=—^\x-c)

22

,I后|CD|由卜［七a2/(aY(a"0b

由埒=，6Q尸I，所以有「一+—+c=6=+「一，

c\c)\cc)

化簡(jiǎn)得3/=02,所以離心率e=￡=g.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、推理論證能力，屬于中檔題.

7、B

【解析】

根據(jù)題意，分析可得AD=1,由余弦定理求得。C的值，由

BE?A3=（3。+Z>E）?=8。?AB+=8。?A3可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，AB=3,BD=2AD,則">=1

在ADC中，又AC=2,44C=60。

則DC2=AD2+AC2-2AD-DCcosABAC=3

則。C=石

則CD1AB

則3543=（3。+。石）48=3。48+。石43=3。43=3*2*（\?180=-6

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡(jiǎn)單題目.

8、D

【解析】

22

Y1YXx,9

原問題轉(zhuǎn)化為------方一=1有四個(gè)不同的實(shí)根，換元處理令片~i=9對(duì)g（r）=Im—進(jìn)行零點(diǎn)

a7aa7a

個(gè)數(shù)討論.

【詳解】

由題意，a>2,令￡=-7=,

7a

%X1XX

貝!I/（X）=x—Zn——u------—Iri—=1

（aJay/ay/aa

記g(，)=1幾廣-

當(dāng)t<2時(shí)，g(r)=2ln(-r)-y[a(，-7)單調(diào)遞減，且g(-2)=2,

又g(2)=2,???只需g(r)=2在(2,+oo)上有兩個(gè)不等于2的不等根.

則勿產(chǎn)_后1_；］=0令7=微臂

記h(t)=—―-(，>2且#2),

則,⑺(2/nZ+2)(r2-l)-4r2to2(?+1)7+1"^

一(t2-I)2-(t2-l)2

t2-\,2〃產(chǎn)+1)—2”產(chǎn)-1)1

令(p(/)-Int，則9,(f)=—-------』----------------

?+1(r+1)2t「

/一1

■：(P(2)—2,',(p(/)=—..........Int在(2,2)大于2,在(2,+<?)上小于2.

r+1

：.h'（Z）在（2,2）上大于2,在（2,+oo）上小于2,

則/I⑺在（2,2）上單調(diào)遞增，在（2,+oo）上單調(diào)遞減.

,2tlnt..2lnt+2_<—

由hm———=hm-----------=1,可得JaVI，即ana<2.

實(shí)數(shù)”的取值范圍是(2,2).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.

9、D

【解析】

首先求得z=-1+2"然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軻復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確

選項(xiàng).

【詳解】

由題意知復(fù)數(shù)z=—1+23則z4=（-1+2），=-27，所以A選項(xiàng)不正確；復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)是—1—2"所以B

選項(xiàng)不正確；|Z|=J（-1）2+22=&，所以C選項(xiàng)不正確；三二士^二（-l+”i」+A,所以D選

項(xiàng)正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，共朝復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論

證能力，數(shù)形結(jié)合思想.

10、A

【解析】

根據(jù)平面平面ABC。，四邊形ABC。為等腰梯形，則球心在過8C的中點(diǎn)E的面的垂線上，又AS4D是等

邊三角形，所以球心也在過人&M)的外心F面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.

【詳解】

依題意如圖所示：

取的中點(diǎn)E,則E是等腰梯形ABC。外接圓的圓心，

取斤是A5A。的外心，作平面A3CD,。/，平面

則。是四棱錐S-ABCD的外接球球心，且。尸=3,SF=2,

設(shè)四棱錐S-ABCD的外接球半徑為R,則R2=592+0尸2=]3,而。石=1,

所以23=氏+0E=屈+1，

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.

11、B

【解析】

根據(jù)題意外=q+2d=2,4+%=2q+3d=5,解得q=4,d=—i,得到答案.

【詳解】

%=%+2d—2,%+=2%+3d=5,解得q=4,(J——1,故S-6al+15d=9.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

12、D

【解析】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為2的正方體ABC。-中，四棱錐G-AB。。滿足條件，故$={2,20,2百},得到答

案.

【詳解】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-中，四棱錐G-ABCD滿足條件.

故AB=BC=CD=AD=CC[=2,BCX=DC}=272,相=2百.

故5={2,2形,2石},故20eS,2君CS.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、V13

【解析】

22

作出圖像，設(shè)點(diǎn)P(p,2p),根據(jù)已知可得pc?,PT^PC-TC,且PT=PO,可解出。，計(jì)算即得.

【詳解】

如圖，設(shè)P(p,2p),圓心坐標(biāo)為(4,0),可得P(72=(p—4j+4p2=5p2—8p+16,

PT?=尸。2一=5/—京+8,PO2^5p2,

PT=PO,.?.5p2—8p+8=5p2,解得p=l,.?.PC?=5/—8°+I6=13,

即PC的長(zhǎng)是而.

故答案為：V13

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及求平面兩點(diǎn)間的距離，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.

40

14、——

27

【解析】

對(duì)題目所給等式進(jìn)行賦值，由此求得乙的表達(dá)式，判斷出數(shù)列｛g｝是等比數(shù)列，由此求得S,的值.

【詳解】

解：ax+3?2++3"T〃〃=〃，可得〃=1時(shí)，q=l,

2時(shí)9。]+3a2+...+3"2=〃—1,又Q]+3%+.?.+3”'c1rl=〃，

兩式相減可得31a.=1,即4=（；］，上式對(duì)〃=1也成立，可得數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1，公比為g的等比數(shù)列，可

3

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查已知S“求乙,考查等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式，屬于中檔題.

7

15、-

2

【解析】

rij

畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線3x-2y=。到可行域邊界位置，由此求得最大值以及最小值，進(jìn)而求得一的比值.

n

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)直線z=3x-2y過點(diǎn)（3,1）時(shí)，z取得最大值7；過點(diǎn)（2,2）時(shí)，z取得最小值

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫

出可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過平移基準(zhǔn)直線到可行

域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.

16瓜

10>----

2

【解析】

Y―]X0

算法的功能是求丁=x的值，根據(jù)輸出y的值，分別求出當(dāng)為,o時(shí)和當(dāng)x>o時(shí)的x值即可得解.

2Xx〉0

【詳解】

x2-1x?0

解：由程序語句知：算法的功能是求、=、的值，

2Ax>0

當(dāng)。時(shí)，y=X2-1=^-,可得:x=_立,或包（舍去）;

222

當(dāng)%>0時(shí)，y=2x=^,可得：x=-l（舍去）.

綜上x的值為：—逅.

2

故答案為：-逅.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序語句，根據(jù)語句判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為2910元，（2）分布列詳見解析，期望為1150元

【解析】

（1）分段計(jì)算個(gè)人所得稅額；

（2）隨機(jī)變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可.

【詳解】

解：（1）李某月應(yīng)納稅所得額（含稅）為：29600-5000-1000-2000=21600元

不超過3000的部分稅額為3000x3%=90元

超過3000元至12000元的部分稅額為9000x10%=900元，

超過12000元至25000元的部分稅額為9600x20%=1920元

所以李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+1920=2910元，

（2）有一個(gè)孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000-1000-2000=12000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900=990元

有一個(gè)孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000-1000=14000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900+400=1390元；

沒有孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000-2000=13000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900+200=1190元；

沒有孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000=15000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900+600=1590元；

3

產(chǎn)(X=990)=不

p(x=1190)=5,

P(X=1390)=1,

P(X=1590)=—

10

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X990119013901590

3111

p

5io5io

3111

E(x)=990x-+1190x—+1390x-+1590x—=1150.

510510

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用與函數(shù)值計(jì)算，考查了隨機(jī)變量的概率分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

18、(1)/=4＞；(2)16.

【解析】

(1)將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程即可；

(2)利用極徑的幾何意義，聯(lián)立曲線C,直線腦直線4的極坐標(biāo)方程，得出利用三角形面積公式,

結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出AQ鉆的面積最小值.

【詳解】

(1)曲線C：/cos?，一4sin，=0,即夕2cos?6-4夕sin。=0

化為直角坐標(biāo)方程為：x2=4y；

夕cos~"4sin8=04sincr?...,4sina

e=a'即nn1l°川=㈤:

cos2a

4sin。+一

I2

同理|。例=|聞=4cosa

2

2f吟sina

cosa-\■一

I2J

4sina4cosa816

?VIOAIIOB>16

44cos2asin2asinacosa|sin2a\

jr

當(dāng)且僅當(dāng)sin2tz=1,即。=—(左ez)時(shí)取等號(hào)

4

即AOAB的面積最小值為16

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的應(yīng)用，屬于中檔題.

,!+1

19、(1)an=-6?+3,bn=2；(2)詳見解析.

【解析】

2

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，4=S]=—3,當(dāng)?!22時(shí)，cin=Sn—Snl——3n~—[—3(H—I)]=—6n+3,

當(dāng)〃=1時(shí)，也滿足卬=一6〃+3,?！?一6〃+3,?等比數(shù)列也｝，二貼3=42，

/.1)也2b3=%3=512n4=8,又二，％+白=%+4，

Q1

-3+—=-15+8<7=><7=2或[=——(舍去)，

42

?,也2%

，八占，.、丁牛2"i_2"11

(2)由(1)可得：g—(2"+i_2)(2向—1)—(2“_])(2向-1)—2“-2向―]，

,z11、/11、/I1、

123"K2-l22-122-123-12n-12n+1-1

=1-不，<1，顯然數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列,

2—1

22

:工肛=]，即

25

20、(1)—；(2)不會(huì)超過預(yù)算，理由見解析

32

【解析】

(1)求出某個(gè)時(shí)間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為

C；(g)2X1+C3(|)3=+C(g)3=1，某個(gè)時(shí)間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系

,1a1o9

統(tǒng)的概率為C(彳)3口-(彳)2]=S，可得某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；

(2)設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為X元，則X的可能取值為900,1500.求得P(X=1500)=C1pd-p)2,

P(X=900)=1-C；M1-P)2,求得其分布列和期望E(X)=900+1800.(1-p)2,對(duì)其求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性,

可得期望的最大值，從而得出結(jié)論.

【詳解】

(1)某個(gè)時(shí)間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為

某個(gè)時(shí)間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為

1191Q25

c^(-)3[i-(-)2]=《某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為一+一=一.

223223232

(2)設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為X元，則X的可能取值為900,1500.

P(X=1500)=C；p(l—pl,P(X=900)=1-Clp(l-pf

E(X)=900x[l-C3XI-PT]+1500xC'Xl-Pf=900+1800p(l-p￥

令g(。)=p(l-p)2,pe(0,1)，則g，(p)=(1—pY-2P(1—，)=(3p-1)

當(dāng)pe(0,g)時(shí)，g'(p)>0,g(功在(0,；)上單調(diào)遞增；

當(dāng)peg,1)時(shí)，g'(p)<0,g(p)在上(；,1)單調(diào)遞減，

??.g(p)的最大值為g(1)=M

,實(shí)施此方案，100+9000X(900+1800X—)xW4=1150(萬元)，

27

1150<1200,故不會(huì)超過預(yù)算.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率、期望，及運(yùn)用求導(dǎo)函數(shù)研究期望的最值，由根據(jù)期望值確定方案，此類題目解決

的關(guān)鍵在于將生活中的量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中和量，屬于中檔題.

21、(1)0.0081(2)見解析，保留乙生產(chǎn)線較好.

【解析】

⑴先求出任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率，“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好發(fā)生2次的概率用二項(xiàng)分布概率即可解決.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)算出K-的觀測(cè)值即可判斷.

【詳解】

(1)根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，樣本中任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率為：

0.032x5+0.080x5+0.032x5+0.036x5=0.9.

設(shè)，，從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件且為合格品，，為事件A,事件4發(fā)生的概率為“，則由樣本可估計(jì)夕=