河北省隆華存瑞中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

河北省隆華存瑞中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．同時拋擲兩個骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之和是的概率是（）A． B． C． D．2．在中，，，則的最小值是（）A．2 B．4 C． D．123．某廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的飲品?產(chǎn)量之比為2:3:4.為檢驗(yàn)該廠家產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個容量為72的樣本，則樣本中乙類型飲品的數(shù)量為A．16 B．24 C．32 D．484．已知向量，滿足，，且在方向上的投影是－1，則實(shí)數(shù)（）A．1 B．－1 C．2 D．－25．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為6，圓心角為的扇形，則圓錐的高為（）A． B． C． D．56．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，再接下來的三項(xiàng)是，依此類推，記此數(shù)列為，則()A．1 B．2 C．4 D．87．已知某區(qū)中小學(xué)學(xué)生人數(shù)如圖所示，為了解學(xué)生參加社會實(shí)踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法來進(jìn)行調(diào)查。若高中需抽取20名學(xué)生，則小學(xué)與初中共需抽取的人數(shù)為（）A．30 B．40 C．70 D．908．不等式的解集是()A． B． C． D．9．在中，，，則的外接圓半徑為（）A．1 B．2 C． D．10．素數(shù)指整數(shù)在一個大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如。在不超過15的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和小于18的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量、滿足：，，，則_________.12．若實(shí)數(shù)滿足，則取值范圍是____________。13．某產(chǎn)品分為優(yōu)質(zhì)品、合格品、次品三個等級，生產(chǎn)中出現(xiàn)合格品的概率為0.25，出現(xiàn)次品的概率為0.03，在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為__________．14．中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且，，則的值為__________．15．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是____.16．已知直線與軸、軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上移動，則面積的最大值和最小值之差為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．?dāng)?shù)列中，，（為常數(shù)，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求證：①；②；（3）比較++…+與的大小，并加以證明.18．如圖，在四邊形中，.（1）若為等邊三角形，且是的中點(diǎn)，求.（2）若，，求.19．已知圓C的圓心為(1，1)，直線與圓C相切.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過點(diǎn)(2，3)，且被圓C所截得的弦長為2，求直線的方程.20．如圖，為了測量河對岸、兩點(diǎn)的距離，觀察者找到一個點(diǎn)，從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)、；找到一個點(diǎn)，從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)、；找到一個點(diǎn)，從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)、．并測量得到以下數(shù)據(jù)，，，，，米，米．求、兩點(diǎn)的距離．21．已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*．（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）在（2）的條件下，記，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求整數(shù)m的最大值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由題意可知，基本事件總數(shù)為，然后列舉出事件“同時拋擲兩個骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】同時拋擲兩個骰子，共有個基本事件，事件“同時拋擲兩個骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是”所包含的基本事件有：、、、、，共個基本事件.因此，所求事件的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)，，得到，，平方計算得到最小值.【詳解】故答案為C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模，向量運(yùn)算，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力.3、B【解析】

根據(jù)分層抽樣各層在總體的比例與在樣本的比例相同求解.【詳解】因?yàn)榉謱映闃涌傮w和各層的抽樣比例相同，所以各層在總體的比例與在樣本的比例相同，所以樣本中乙類型飲品的數(shù)量為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，依據(jù)分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同.4、A【解析】

由投影的定義計算．【詳解】由題意，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義，掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵．5、C【解析】

利用扇形的弧長為底面圓的周長求出后可求高.【詳解】因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個半徑為6，圓心角為的扇形，所以圓錐的母線長為6，設(shè)其底面半徑為，則，所以，所以圓錐的高為，選C【點(diǎn)睛】圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，如果圓錐的母線長為，底面圓的半徑長為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為.6、C【解析】

將數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，根據(jù)，進(jìn)而得到數(shù)列的2017項(xiàng)為，數(shù)列的第2018項(xiàng)為，數(shù)列的第2019項(xiàng)為，即可求解.【詳解】將所給的數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，則數(shù)列的前n組共有項(xiàng)，又由，所以數(shù)列的前63組共有2016項(xiàng)，所以數(shù)列的2017項(xiàng)為，數(shù)列的第2018項(xiàng)為，數(shù)列的第2019項(xiàng)為，所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)所給數(shù)列合理分組，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.7、C【解析】

根據(jù)高中抽取的人數(shù)和高中總?cè)藬?shù)計算可得抽樣比；利用小學(xué)和初中總?cè)藬?shù)乘以抽樣比即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，抽樣比為：則小學(xué)和初中共抽?。喝吮绢}正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中樣本數(shù)量的求解，關(guān)鍵是能夠明確分層抽樣原則，準(zhǔn)確求解出抽樣比，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

分解因式，即可求得.【詳解】進(jìn)行分解因式可得：，故不等式解集為：故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解，屬基礎(chǔ)知識題.9、A【解析】

由同角三角函數(shù)關(guān)系式,先求得.再結(jié)合正弦定理即可求得的外接圓半徑.【詳解】中,由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得由正弦定理可得所以,即的外接圓半徑為1故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,正弦定理求三角形外接圓半徑,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

找出不超過15的素數(shù)，從其中任取2個共有多少種取法，找到取出的兩個和小于18的個數(shù)，根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】不超過15的素數(shù)為，共6個，任取2個分別為，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件，其中兩個和小于18的共有11個基本事件，根據(jù)古典概型概率公式知.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

將等式兩邊平方得出的值，再利用結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算律可得出結(jié)果.【詳解】，，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積來計算平面向量的模，在計算時，一般將平面向量的模平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律來進(jìn)行計算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.12、；【解析】

利用三角換元，設(shè)，；利用輔助角公式將化為，根據(jù)三角函數(shù)值域求得結(jié)果.【詳解】可設(shè)，，本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用三角換元法求解取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域的求解問題.13、0.72【解析】

根據(jù)對立事件的概率公式即可求解.【詳解】由題意，在該產(chǎn)品中任抽一件，“抽到優(yōu)質(zhì)品”與“抽到合格品或次品”是對立事件，所以在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查對立事件的概率公式，熟記對立事件的概念及概率計算公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.14、4【解析】

利用余弦定理變形可得，從而求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用的變形，屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是.【點(diǎn)睛】本題主要考查方差的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.16、15【解析】

解：設(shè)作出與已知直線平行且與圓相切的直線，

切點(diǎn)分別為，如圖所示

則動點(diǎn)C在圓上移動時，若C與點(diǎn)重合時，

△ABC面積達(dá)到最小值；而C與點(diǎn)重合時，△ABC面積達(dá)到最大值

∵直線3x＋4y?12＝0與x軸、y軸相交于A（4，0）、B（0，3）兩點(diǎn)

可得∴△ABC面積的最大值和最小值之差為

，

其中分別為點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離

∵是圓（x?5）2＋（y?6）2＝9的兩條平行切線與圓的切點(diǎn)

∴點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離之差等于圓的直徑，即

因此△ABC面積的最大值和最小值之差為

故答案為：15三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)①見證明；②見證明；(3)++…+，證明見解析【解析】

（1）將代入，結(jié)合可求出的值；（2）可知，，即可證明結(jié)論；（3）由題意可得，從而可得到，求和可得，然后作差，通過討論可比較二者大小.【詳解】（1）由題意：，.而，得，即，解得或，因?yàn)?，所以滿足題意.（2）因?yàn)?，所?則.，因?yàn)?，，所以，所?（3）由，可得，從而，所以.因?yàn)?，所以，所?，，，,當(dāng)n=1時，,故；當(dāng)n=2時，，；當(dāng)n≥3時，，則，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式和數(shù)列的求和，考查了不等式的證明，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計算能力，屬于難題.18、（1）（2）【解析】

（1）先由題意，結(jié)合平面向量基本定理，用表示出，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得出結(jié)果；（2）先由向量數(shù)量積的運(yùn)算，求出，再由，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）為等邊三角形，且，又是中點(diǎn)，又（2）由題意：，，，又【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，熟記平面向量基本定理，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）或．【解析】

（1）利用點(diǎn)到直線的距離可得：圓心到直線的距離．根據(jù)直線與圓相切，可得．即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程：，即：，可得圓心到直線的距離，又，可得：．即可得出直線的方程．②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，代入圓的方程可得：，解得可得弦長，即可驗(yàn)證是否滿足條件．【詳解】（1）圓心到直線的距離．直線與圓相切，．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程：，即：，，又，．解得：．直線的方程為：．②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，代入圓的方程可得：，解得，可得弦長，滿足條件．綜上所述的方程為：或．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式、分類討論方法，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．20、米【解析】

在中，求出，利用正弦定理求出，然后在中利用銳角三角函數(shù)定義求出，最后在中，利用余弦定理求出.【詳解】由題意可知，在中，，由正弦定理得，所以米，在中，米，在中，由余弦定理得，所以，米.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦、余弦定理解三角形應(yīng)用題，要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，并結(jié)合已知元素類型選擇正弦、余弦定理解三角形，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.21、(1)bn＝3n﹣2，n∈N*．(2)；(3)最大值為1．【解析】

（1）利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.（3）由（2）求得的表達(dá)式，記不等式左邊為，利用差比較法判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值，由此列不等式求得的取值范圍，進(jìn)而求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）