高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第8節(jié)　直線與圓錐曲線中的定點與定值問題（講義）

第8節(jié)直線與圓錐曲線中的定點與定值問題定點問題[例1]若P,Q是雙曲線C:x2-y22=1上的兩點,M是C的右頂點,且直線MP與MQ的斜率之積為-解:由已知得M(1,0),設(shè)直線MP與MQ的斜率分別為k1,k2.①當(dāng)直線PQ垂直于x軸時,設(shè)P(t,h),因為P是雙曲線C上的點,所以h2=2t2-2,則k1k2=-?2(t-1)解得t=-2,即若存在定點,定點在直線x=-2上.②當(dāng)直線PQ不垂直于x軸時,設(shè)直線PQ的斜率為k,PQ的方程為y=kx+m,且P(x1,y1),Q(x2,y2),由y消去y,得(k2-2)x2+2kmx+m2+2=0.當(dāng)Δ=8x1+x2=-2kmk2-2,x則k1k2=y1y2(=k2(m2+2)k由x得x綜上,直線PQ恒過定點(-2,0).(1)參數(shù)法解決定點問題的思路:①引入動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量,即確定題目中的核心變量(此處設(shè)為k);②利用條件找到k與過定點的曲線F(x,y)=0之間的關(guān)系,得到關(guān)于k與x,y的等式,再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點.其理論依據(jù)是:直線方程的點斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0),則直線必過定點(x0,y0);直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+m,則直線必過定點(0,m).(2)特殊到一般法:根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān).[針對訓(xùn)練](2022·全國乙卷)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點,對稱軸為x軸、y軸,且過A(0,-2),B(32(1)求E的方程;(2)設(shè)過點P(1,-2)的直線交E于M,N兩點,過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,點H滿足MT→=TH(1)解:因為橢圓E的中心為坐標(biāo)原點,對稱軸為x軸,y軸,且過A(0,-2),所以可設(shè)橢圓E的方程為x2a2又橢圓E過B(32所以94a2+1所以E的方程為x23+(2)證明:當(dāng)直線MN的斜率不存在時,lMN:x=1,由x=1,x23+y2結(jié)合題意可知M(1,-223),N(1,所以過M且平行于x軸的直線的方程為y=-22易知點T的橫坐標(biāo)xT∈[0,32],直線AB的方程為y-(-2)=-1即y=23由y=-223所以T(3-6,-22因為MT→=TH→,所以H(5-26,-lHN:y-223=即y=2(當(dāng)直線MN的斜率存在時,如圖,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),lMN:y=kx+m(k+m=-2).由y得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,Δ>0,所以x1+x2=-6km3k2+4,x1過M且平行于x軸的直線的方程為y=y1,與直線AB的方程聯(lián)立,得y得xT=3(y1+2)因為MT→=TH→,所以H(3y1+6-x1,ylHN:y-y2=y1-y即y=y1-y23y1+6令x=0,得y=y2-(=-(=-(x因為y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=-12y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=8mx1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)=2kx1x2+m(x1+x2)=-24所以-(x1y2+x2y1)+3y1y2=24k3k2=-24-(x1+x2)+6+3(y1+y2)=6km3k2=12(所以y=-24所以直線HN過定點(0,-2).綜上,直線HN過定點(0,-2).定直線問題[例2]已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,左、右焦點分別為F1,F2(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若AM⊥x軸于點M,BN⊥x軸于點N,直線AN與BM交于點C.求證:點C在一條定直線上,并求此定直線.解:(1)由橢圓定義可知△ABF1的周長為4a=46,則a=6,因為離心率e=ca=6又因為b2=a2-c2=6-4=2,故橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+(2)依題意,設(shè)直線AB的方程為x=my+2(m≠0).聯(lián)立x=my+2,x26+y22設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=-4mm2+3,y1y因為AM⊥x軸,BN⊥x軸,所以M(x1,0),N(x2,0),所以直線AN:y=y1x1直線BM:y=y2x2聯(lián)立解得xC=x=(my1所以點C在定直線x=3上.定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產(chǎn)生的動點在定直線上的問題.這類問題的核心在于確定定點的軌跡,主要方法有:(1)設(shè)點法:設(shè)點的軌跡,通過已知點軌跡,消去參數(shù),從而得到軌跡方程;(2)待定系數(shù)法:設(shè)出含參數(shù)的直線方程,利用待定系數(shù)法求解出系數(shù);(3)驗證法:通過特殊點位置求出直線方程,對一般位置再進行驗證.[針對訓(xùn)練]已知拋物線C:x2=2py(p>0)與圓O:x2+y2=12相交于A,B兩點,且點A的橫坐標(biāo)為22.F是拋物線C的焦點,過焦點的直線l與拋物線C相交于不同的兩點M,N.(1)求拋物線C的方程.(2)分別過點M,N作拋物線C的切線l1,l2,P(x0,y0)是l1,l2的交點,求證:點P在定直線上.(1)解:因為點A的橫坐標(biāo)為22,所以點A的坐標(biāo)為(22,2),代入x2=2py,解得p=2,所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)證明:由(1)得拋物線C:y=x24,則y′=設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),所以切線PM的方程為y-y1=x12(x-x即y=x12x-同理切線PN的方程為y=x22x-聯(lián)立y=x12x設(shè)直線MN的方程為y=kx+1,代入x2=4y,得x2-4kx-4=0,所以x1x2=-4,所以點P(x1即點P在定直線y=-1上,結(jié)論得證.定值問題[例3](2022·山東臨沂三模)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為(1)求C的方程;(2)若動直線l與雙曲線C恰有1個公共點,且與C的兩條漸近線分別交于點M,N.求證:點M與點N的橫坐標(biāo)之積為定值.(1)解:易知點A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),AF1→所以ca=32,所以雙曲線C的方程為x24-(2)證明:①當(dāng)直線l⊥x軸時,直線l的方程為x=±2,此時點M,N的橫坐標(biāo)之積為4;②當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,由題意可知直線l不與雙曲線C的漸近線平行或重合,即k≠±52設(shè)點M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立y消去y,得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0,則由Δ=64k2m2+4(5-4k2)(4m2+20)=0,可得4k2=m2+5,且m≠0.設(shè)點M,N分別為直線l與直線y=52y=-52x的交點,聯(lián)立可得x1=m52可得x2=-m5此時x1x2=m2k2-5綜上所述,點M與點N的橫坐標(biāo)之積為定值4.圓錐曲線中定值問題的兩種求解方法(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān).(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.[針對訓(xùn)練]已知點O為坐標(biāo)原點,過點C(4,0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點,且OA⊥OB.(1)求拋物線的方程;(2)動點M,N為拋物線在第一象限內(nèi)兩點,且直線MC與直線NC的傾斜角互補,求證:OM→·ON(1)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB:x=my+4.由x消去x,得y2-2mpy-8p=0,所以y1y2=-8p.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=(y1y2)解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.(2)證明:設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為N′,因為直線MC與直線NC的傾斜角互補,所以M,C,N′三點共線,設(shè)直線N′M:x=ty+4,M(x3,y3),N′(x4,y4),由x=ty+4所以y3y4=-16,則x3x4+y3y4=(y3y4)故OM⊥ON′,則OM→·ON→=x3x4+y3(-y4)=x3x4+y3y4-2y3y[例1](2021·新高考Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為x2a2+y2b(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點,直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明:M,N,F三點共線的充要條件是|MN|=3.(1)解:由題意,得橢圓的半焦距c=2,且e=ca=63,所以a=又b2=a2-c2=1,所以橢圓方程為x23+y(2)證明:由(1)得,曲線為x2+y2=1(x>0),當(dāng)直線MN的斜率不存在時,直線MN的方程為x=1,不合題意;當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),必要性:若M,N,F三點共線,可設(shè)直線MN:y=k(x-2),即kx-y-2k=0,由直線MN與曲線x2+y2=1(x>0)相切可得|2k|k可得4x2-62x+3=0,所以x1+x2=322,x1x2=所以|MN|=1+1·(x1+所以必要性成立;充分性:設(shè)直線MN:y=kx+b(kb<0),即kx-y+b=0,由直線MN與曲線x2+y2=1(x>0)相切可得|b|k2+1=1,所以b可得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0,所以x1+x2=-6kb1+3k2,x1x所以|MN|=1+k2=1+=1+k2·24k化簡得3(k2-1)2=0,所以k=±1,所以k=1,所以直線MN:y=x-2或y=-x+2,所以直線MN過點F(2,0),M,N,F三點共線,充分性成立.所以M,N,F三點共線的充要條件是|MN|=3.[例2](2022·湖南岳陽一模)已知雙曲線的對稱中心在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點,焦點在坐標(biāo)軸上,雙曲線的一條漸近線方程為y=3x,且雙曲線經(jīng)過點(4,6).過雙曲線上的一點P(在第一象限)作斜率不為±3的直線l,l與直線x=1交于點Q,且l與雙曲線有且只有一個交點.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)以PQ為直徑的圓是否經(jīng)過一個定點?若經(jīng)過定點,求出定點的坐標(biāo);若不經(jīng)過定點,請說明理由.解:(1)由題意,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為3x2-y2=λ,因為雙曲線經(jīng)過點(4,6),所以λ=3×42-62=12,所以雙曲線的方程為3x2-y2=12,標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-(2)直線的斜率顯然存在且不為0,設(shè)l的方程為y=kx+t(k≠±3),由y消去y,得(3-k2)x2-2ktx-(t2+12)=0,(*)因為k≠±3,且l與雙曲線有且只有一個交點,所以(*)方程有且只有一個實數(shù)解,所以Δ=0,即(-2kt)2+4(3-k2)(t2+12)=0,得4k2=t2+12,P的橫坐標(biāo)為kt3-kP的縱坐標(biāo)為k·(-4kt)+t=-即點P的坐標(biāo)為(-4kt,-直線l與直線x=1的交點Q的坐標(biāo)為(1,k+t),以PQ為直徑的圓的方程為(x+4kt)(x-1)+(y+整理可得t(x2-x+y2-12)+k(4x-4-12)+y(12-tk-t2)=0.當(dāng)x2-x+y2-12=0且4x-4-12=0,即x=4且y=0時,上述方程恒成立,所以以PQ為直徑的圓經(jīng)過一個定點(4,0).[選題明細(xì)表]知識點、方法題號定點、定直線問題1,2,6定值問題3,4,51.已知點M在拋物線C1:x2=12y的準(zhǔn)線l1上,動點A在C1上,C1在點A處的切線l2交y軸于點B,設(shè)MN→=MA→+解:拋物線x2=12y的準(zhǔn)線l1的方程為y=-3,依題意設(shè)M(m,-3).拋物線C1的方程可化為y=x212,所以y′=x6,設(shè)A(x1,y1),則以A為切點的切線l2所以切線l2的方程為y=16x1(x-x1)+y1令x=0,得y=-16x12+y1=-16×12y1+y1所以MA→=(x1-m,y1+3),MB→=(-m,-y所以MN→=MA→+MB→所以O(shè)N→=OM→+MN→設(shè)點N坐標(biāo)為(x,y),則y=3,所以點N在定直線y=3上.2.已知橢圓C:x2a2+y2b(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線y=kx+m交橢圓C于A,B兩點,且線段AB的中點M在直線x=1上,求證:線段AB的中垂線恒過定點.(1)解:由直線x=1被橢圓截得的弦長為3,得橢圓過點(1,32),即1a2由e=ca=1-b得a2=4b2,所以a2=4,b2=1,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y(2)證明:由x消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.由Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=-16m2+64k2+16>0,得m2<1+4k2.x1+x2=-8km設(shè)AB的中點M為(x0,y0),得x0=-4km1+4k所以y0=kx0+m=m1+4k2所以AB的中垂線方程為y+14k=-即y=-1k(x-3故AB的中垂線恒過點(343.已知橢圓C1:x2a2+y26=1(a>6),C1的左、右焦點F1,F2是雙曲線C2的左、右頂點,C1的離心率為63,C2的離心率為2,點E在C2上,過點E和F(1)求C1,C2的方程;(2)求證:直線EF1和EF2的斜率之積為定值;(3)求證:1|FG|(1)解:由題意知,橢圓C1的離心率63=a2-6a所以F1(-23,0),F2(23,0).因為橢圓C1的左、右焦點F1,F2是雙曲線C2的左、右頂點,所以設(shè)雙曲線C2:x212-由C2的離心率2=12+n22所以橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x218+y26=1,雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)證明:因為點E在C2上,所以設(shè)E(x0,y0),則y02=所以kEF1·k所以直線EF1和EF2的斜率之積為定值1.(3)證明:設(shè)直線EF1和EF2的斜率分別為k1,k2,則k1k2=1.設(shè)F(x1,y1),G(x2,y2),EF1:y=k1(x+23)與C1方程聯(lián)立,消去y,得(3k12+1)x2+123kx1+x2=-123k123k1則|FG|=(1+k1同理,|MN|=62(k22所以1|FG|+1|MN|=4.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F2,點F2到E的一條漸近線的距離為(1)求雙曲線E的方程;(2)若M(32解:(1)根據(jù)對稱性,不妨設(shè)F2(c,0)到直線bx+ay=0的距離為2,則bca2+b2令x=c,則c2a2-y2所以當(dāng)AB⊥x軸時,|AB|=2b2a=22故雙曲線E的方程為x22-(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).當(dāng)直線AB的斜率不為0時,設(shè)直線AB的方程為x=my+2,聯(lián)立得方程組x消去x,得(m2-1)y2+4my+2=0,由Δ=8(m則y1+y2=-4mm2-1,y1設(shè)N(1,t),因為B,M,N三點共線,所以t-12=y因為y1-t=y1+y22x2-3=所以kAN=y1當(dāng)直線AB的斜率為0時,A,B,M,N都在x軸上,則直線AN的斜率為定值0.綜上所述,直線AN的斜率為定值0.5.已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1,F1,F|PF1||PF2|=6.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點F2作直線l交雙曲線于A,B兩點,則在x軸上是否存在定點Q(m,0)使得QA→·QB解:(1)由題意可得e=ca可得c=2a,b2=c2-a2=3a2,所以b=3a,又因為PF1→·PF2所以PF1⊥PF2,由|PF1|-|PF2|=2a,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2,而|PF1|2+|PF2|2=4c2,所以4c2-12=4a2,可得b2=3,a2=1,所以雙曲線的