高中數(shù)學(xué)課時檢測45函數(shù)的實際應(yīng)用蘇教版必修第一冊

函數(shù)的實際應(yīng)用

［A級基礎(chǔ)鞏固］

1.隨著海拔高度的升高，大氣壓強(qiáng)下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量y(g/m3)

與大氣壓強(qiáng)x(kPa)成正比例函數(shù)關(guān)系.當(dāng)胃36kPa時，y=108g/m\則y與x的函數(shù)關(guān)

系式為()

A.y=3x(x20)B.y=3x

C.尸］x(x，O)D.尸!x

oo

解析：選A由題意設(shè)尸Ax(VO),將(36,108)代入解析式可得4=3,故尸3x,考

慮到含氧量不可能為負(fù)，可知x20.

2.據(jù)統(tǒng)計，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(只)與時間x(年)近似滿足關(guān)

系式：y=alog3(x+2),觀測發(fā)現(xiàn)2018年冬(作為第1年)有越冬白鶴3000只，估計到2024

年冬越冬白鶴有()

A.4000只B.5000只

C.6000只D.7000只

解析：選C當(dāng)x=l時，由3000=alog3(l+2)得a=3000,所以到2024年冬，即第

7年,y=3000Xlog3(7+2)=6000.故選3

3.有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：

t1.93.04.05.16.1

V1.54.07.512.018.0

現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是

()

1

A.v=21-2B.v=

C.r=logoffD.r=log3^

解析：選B實驗數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示：

v

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

123456

4個選項中的函數(shù)，只有B符合，故選B.

4.某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為y=

4%,lWx<10,x￡N*,

2x+10,10^X100,%GN*,其中x代表擬

1.5x,x2100,x￡N*,

錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù).若應(yīng)聘的面試人數(shù)為60,則該公司擬錄用的人數(shù)為（）

A.15B.40

C.25D.130

解析：選C令尸60,若4x=60,則x=15〉10,不合題意；若2x+10=60,則x=25,

滿足題意；若L5x=60,則x=40<100,不合題意.故擬錄用人數(shù)為25.

5.某小區(qū)物業(yè)管理中心制訂了一項節(jié)約用水措施，作出如下規(guī)定：如果某戶月用水量

不超過10立方米，按每立方米加元收費；月用水量超過10立方米，則超出部分按每立方米

2S元收費.已知某戶某月繳水費160元，則該戶這個月的實際用水量為（）

A.13立方米B.14立方米

C.18立方米D.26立方米

解析：選A由已知得，該戶每月繳費y元與實際用水量x立方米滿足的關(guān)系式為尸

mx,OWxWlO,

2mx~10//7,>￥>10.

由y=16加，得尤>10,所以2加汗-10勿=16%，

解得x=13.故選A.

6.某市的房價（均價）經(jīng)過6年時間從1200元Ai?增加到了4800元/作，則這6年間

平均每年的增長率是.

解析：設(shè)6年間平均年增長率為x,則有1200（1+4=4800,解得x=yj2-l.

答案：3/—1

7.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度vm/s和燃料的質(zhì)量"kg,火箭（除

燃料外）的質(zhì)量mkg的函數(shù)關(guān)系式是，=2000?當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的

倍時，火箭的最大速度可達(dá)12km/s.

解析：當(dāng)r=12000m/s時，2000Tn（l+*|=12000,所以ln（l+”|=6,所以旦=

I劃\mJm

e6-l.

答案：e6-l

8.某種細(xì)菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?倍，且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為y=e3其中A

為常數(shù)，t表示時間（單位：小時），y表示繁殖后細(xì)菌總個數(shù)，則左=,經(jīng)過5小時，

1個細(xì)菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)?

解析：由題意知，當(dāng)時，y=2,即2=e/“,

AA=21n2,.,.y=e2,ln2.

當(dāng)f=5時,y=e2x5xln2=210=l024.

即經(jīng)過5小時，1個細(xì)菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)?024.

答案：21n21024

9.受疫情的影響及互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷深化，網(wǎng)上購物已經(jīng)逐漸成為居民購物的新時尚，

為迎接2021年“慶元旦”網(wǎng)購狂歡節(jié)，某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行

促銷，經(jīng)調(diào)查測算，該促銷產(chǎn)品在“慶元旦”網(wǎng)購狂歡節(jié)的銷售量0（萬件）與促銷費用x（萬

4

元）滿足P=3~E（其中OWxWlO）,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本（10+20）萬元（不含促

銷費用），每一件產(chǎn)品的銷售價格定為（6+福元，假定廠家的生產(chǎn)能力能滿足市場的銷售需

求.

（1）將該產(chǎn)品的利潤y（萬元）表示為促銷費用x（萬元）的函數(shù)；

（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤.

解：⑴由題意得，y=\^+~^p—x—（10+2p）,

416

把夕=3——^代入得，y=22—T7—x（0^%^10）.

XI乙XI乙

⑵y=24—（^^+x+2）W24—義0+2）=16,

當(dāng)且僅當(dāng)r=x+2,即戶2時取等號,

所以促銷費用投入2萬元時，廠家的利潤最大，為16萬元.

10.在數(shù)學(xué)探究活動中，某興趣小組合作制作一個工藝品，設(shè)計了如圖所示的一個窗戶，

其中矩形ABCD的三邊AB,BC,CD由長為8厘米的材料彎折而成，回邊的長為2t厘米

(0<K4)；曲線4勿是一段拋物線，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其解析式尸一5,記

窗戶的高(點〃到寬邊的距離)為F1).

(D求函數(shù)的解析式：

(2)要使得窗戶的高最小，加邊應(yīng)設(shè)計成多少厘米？

(3)要使得窗戶的高與回長的比值達(dá)到最小，火邊應(yīng)設(shè)計成多少厘米？

解：(1)將x=代入y=一得《3—yj

由4?+a+緇=8可知必=4一心所以4J,-y+r-4

e

所以/*(?=可-f+4,0<t<4.

\(3、2]3

⑵由⑴知￡(力=裝。一力|+彳,0<K4,

3(3、[3

所以t=-9即BC=3時，A^)min=7|^

所以要使得窗戶的高最小，回邊應(yīng)設(shè)計成3厘米.

/(f)t91

⑶設(shè)窗戶的高與園長的比值為g(Z),則g(。二—^:搟+彳一也

ztorz

由基本不等式得(+,一如21J^Z^一當(dāng)且僅當(dāng)(=彳，即E=24時，取等

所以當(dāng)t=2班時，即8c=4鋪時，g(2)Bin=g(2^)=^^一)

O4

所以要使得窗戶的高與8c的比值最小，比'邊應(yīng)設(shè)計成4m厘米.

[B級綜合運用]

11.衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為a,經(jīng)過t天

4

后體積，與天數(shù)t的關(guān)系式為：眸a?eT'.已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?a.若一個新丸

O

體積變?yōu)榘賏，則需經(jīng)過的天數(shù)為()

A.125B.100

C.75D.50

解析：選C由已知，得方=…-刃.『=(

設(shè)經(jīng)過笠天后,一個新丸體積變?yōu)閯t?「*"???]=(「),

乙/乙/乙/j

tl3

而=5'力產(chǎn)75.

12.某公園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池，計劃在噴水池的周邊靠近水面的位

置安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱在離池中心2m處達(dá)到最高，最高的高度為8m.另外還

要在噴水池的中心設(shè)計一個裝飾物，使各方向噴來的水柱在此處匯合，則這個裝飾物的高度

應(yīng)該為()

A.5mB.3.5m

C.5.5mD.7.5m

解析：選D根據(jù)題意易知，水柱上任意一個點距水池中心的水平距離為x,與此點的

高度y之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=a\(x+2)'+8(—lOWxWO)或尸色(x—2)'+8(0WxW10),

由x=-10,y=0,可得演=一3；由x=10,y=0,可得勿=—《，于是所求函數(shù)解析式是

OO

尸一J(X+2)2+8(-10WA<0)或y=-J(x-2)2+8(0WxW10).當(dāng)x=0時，尸7.5,二

OO

裝飾物的高度應(yīng)為7.5m.故選1).

13.某市居民生活用水收費標(biāo)準(zhǔn)如下：

用水量x/t每t收費標(biāo)準(zhǔn)/元

不超過2t部分m

超過2t不超過4t部分3

超過4t部分n

已知某用戶1月份用水量為8t,繳納的水費為33元；2月份用水量為6t,繳納的

水費為21元.設(shè)用戶每月繳納的水費為y元.

(1)若某用戶3月份用水量為3.5t,則該用戶需繳納的水費為元；

（2）若某用戶希望4月份繳納的水費不超過24元，則該用戶最多可以用水_t.

解析：（1）由題設(shè)可得

p=<2/〃+3（x—2）,

12加+6+刀（x—4）,x〉4.

當(dāng)x=8時，y=33；當(dāng)x=6時，y=21,

⑵〃+6+4〃=33,m=\.5

代入得解得

[2/?+6+2/7=21,〃=6.

所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為

[1.5x,0WxW2,

y=13x—3,2<x^4,

〔6L15,X>4.

當(dāng)x=3.5時，/=3X3.5-3=7.5.

故該用戶3月份需繳納的水費為7.5元.

（2）令6X-15W24,解得后6.5.

故該用戶最多可以用6.5t水.

答案：（1）7.5（2）6.5

14.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的

過程，二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤S（萬元）與銷售時間寅月）之間

的關(guān)系（即前力個月的利潤總和S與t之間的關(guān)系）.根據(jù)圖象提供的信息解答下列問題：

（1）由已知圖象上的三點坐標(biāo)，求累積利潤S（萬元）與時間￡（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求截止到第幾個月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元；

（3）求第八個月公司所獲得的利潤.

解：（1）設(shè)S與￡的函數(shù)關(guān)系式為5=2d+4+c（a#0）.

a+b+c=-1.5,

由題中函數(shù)圖象過點。(1,-1.5),C(2,-2),71(5,2.5),得(板+26+。=-2,解

、25a+56+c=2.5,

(a=0.5,

得｝=—2,

[c=Q,

，所求函數(shù)關(guān)系式為S=0.5/一2t(t20).

(2)把S=30代入，得30=0.5^-23解得心=10,友=一6(舍去)，

???截止到第十個月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元.

(3)第八個月公司所獲得的利潤為

0.5