高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點探究與題型突破第25講簡單的三角恒等變換(原卷版+解析)

第25講簡單的三角恒等變換考點1三角函數(shù)式的化簡[名師點睛]1．三角函數(shù)式的化簡要遵循“3看”原則2．三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時，一般需要升次．[典例](2023·湖南·臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則＝（

）A． B． C． D．5[舉一反三]1．(2023·江蘇·泰興市第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡可得（

）A． B．C． D．2．(2023·山東泰安·高三期末）已知，則的值為___________.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）化簡：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.（2）化簡：(0<α<π)＝________.4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：(0<θ<π)．5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：（1）（2）考點2三角函數(shù)式的求值[名師點睛]三角函數(shù)變換常用技巧(1)給角求值問題要充分觀察并利用所給角與特殊角的關(guān)系，給值求值要著眼于所求角與已知角的和、差或倍數(shù)關(guān)系，兩者的關(guān)鍵都在于“變角”．(2)給值求角問題的解題策略①求相關(guān)角的某一個三角函數(shù)值．②由求得的三角函數(shù)值求角，如果根據(jù)求得的函數(shù)值無法唯一確定角的大小，應(yīng)根據(jù)已知角的范圍和已知角的三角函數(shù)值把所求角的大小作相對精確的估計，以排除多余的解．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）___________.2．(2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．3．(2023·湖北襄陽·高三期末）已知，則（

）A． B． C． D．4．(2023·江蘇省江陰高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知且，則=（

）A． B．C． D．或[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡（

）A． B． C． D．22．(2023·廣東汕頭·二模）若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3．(2023·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知，則(

)A． B． C． D．4．(2023·福建·莆田二中高三開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．5．(2023·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知且，則（

）A． B． C． D．6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在有五個正方形拼接而成的圖形中，（

）A． B． C． D．7．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．8．（多選）(2023·河北張家口·高三期末）已知，，則（

）A． B． C． D．9．(2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡______．10．(2023·廣東佛山·二模）已知sin，則___________.11．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，則______．12．(2023·河北石家莊·一模）已知角，，則______.13．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知都是銳角，且.（1）求的值；（2）求的值.14．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知．（1）求的值；（2）若，且，求．考點3三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用[名師點睛]解決三角恒等變換與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟第一步：將f(x)化為asinx＋bcosx的形式；第二步：構(gòu)造f(x)＝eq\r(a2＋b2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))·sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))·cosx))；第三步：和角公式逆用，得f(x)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ為輔助角)；第四步：利用f(x)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)研究三角函數(shù)的性質(zhì)；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，分別是內(nèi)角，，所對的邊，若，那么一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC．(1)求A的大?。?2)若a＝，請在如下的三個條件：①sinB-sinC＝；②b＋2c＝3；③△ABC的面積為中選擇一個作為已知，求△ABC的周長．[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，若，則△ABC為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，下列四個命題中正確的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰直角三角形C．若，則是直角三角形D．若，則是等邊三角形第25講簡單的三角恒等變換考點1三角函數(shù)式的化簡[名師點睛]1．三角函數(shù)式的化簡要遵循“3看”原則2．三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時，一般需要升次．[典例](2023·湖南·臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則＝（

）A． B． C． D．5答案：A【解析】因為，又因為，所以，故選:A[舉一反三]1．(2023·江蘇·泰興市第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡可得（

）A． B．C． D．答案：D【解析】．故選：D2．(2023·山東泰安·高三期末）已知，則的值為___________.答案：【解析】=，故，故答案為：3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）化簡：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.（2）化簡：(0<α<π)＝________.答案：

sin(α＋γ).

cosα.【解析】（1）sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).（2）原式＝＝＝.因為0<<π，所以0<，所以cos>0，所以原式＝cos.故答案為：sin(α＋γ)；cos4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：(0<θ<π)．【解】由θ(0,π)，得0<<，則cos>0．又，且(1＋sinθ＋cosθ)＝＝2cos＝－2coscosθ．∴原式＝．5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：（1）（2）【解】（1）；（2）原式考點2三角函數(shù)式的求值[名師點睛]三角函數(shù)變換常用技巧(1)給角求值問題要充分觀察并利用所給角與特殊角的關(guān)系，給值求值要著眼于所求角與已知角的和、差或倍數(shù)關(guān)系，兩者的關(guān)鍵都在于“變角”．(2)給值求角問題的解題策略①求相關(guān)角的某一個三角函數(shù)值．②由求得的三角函數(shù)值求角，如果根據(jù)求得的函數(shù)值無法唯一確定角的大小，應(yīng)根據(jù)已知角的范圍和已知角的三角函數(shù)值把所求角的大小作相對精確的估計，以排除多余的解．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）___________.答案：【解析】.故答案為：.2．(2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因為，所以，.故選：B.3．(2023·湖北襄陽·高三期末）已知，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】∵,∴.故選：B．4．(2023·江蘇省江陰高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知且，則=（

）A． B．C． D．或答案：C【解析】因，則，，因，，則，又，有，于是得，因此，，所以.故選：C[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡（

）A． B． C． D．2答案：B【解析】原式．故選：B．2．(2023·廣東汕頭·二模）若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由已知可得.故選：A.3．(2023·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知，則(

)A． B． C． D．答案：B【解析】，，∴．故選：B．4．(2023·福建·莆田二中高三開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解法1：由，得，兩邊平方，得，解得，解法2：由，得，即，解得.解法3：由，得，即，則，解得或，于是.解法4：.故選：C.5．(2023·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知且，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因且，可知為銳角，為鈍角，故，，，，，所以．故選：B6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在有五個正方形拼接而成的圖形中，（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：由圖可得，，，，因為，，所以．故選：．7．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】依題意，，，，，，代入，，化簡得，兩邊除以，，，解得或.故選：AC8．（多選）(2023·河北張家口·高三期末）已知，，則（

）A． B． C． D．答案：BD【解析】，故，所以或，故或.又，所以或，故選：BD.9．(2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡______．答案：【解析】．故答案為：．10．(2023·廣東佛山·二模）已知sin，則___________.答案：【解析】所以所以故答案為：11．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，則______．答案：【解析】由題知，則，即，即，即，則或，．因為，所以，所以，解得．故答案為：12．(2023·河北石家莊·一模）已知角，，則______.答案：【解析】，，，，，，，，則.故答案為：.13．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知都是銳角，且.（1）求的值；（2）求的值.【解】（1）由是銳角，且，則.所以，.（2）由則，故.14．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知．（1）求的值；（2）若，且，求．【解】（1），解得；（2）由兩角差的正切公式得.，因此，.考點3三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用[名師點睛]解決三角恒等變換與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟第一步：將f(x)化為asinx＋bcosx的形式；第二步：構(gòu)造f(x)＝eq\r(a2＋b2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))·sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))·cosx))；第三步：和角公式逆用，得f(x)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ為輔助角)；第四步：利用f(x)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)研究三角函數(shù)的性質(zhì)；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，分別是內(nèi)角，，所對的邊，若，那么一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形答案：B【解析】在中，，則，而，則有，即，因，即，因此，，即，所以是等腰三角形.故選：B2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC．(1)求A的大?。?2)若a＝，請在如下的三個條件：①sinB-sinC＝；②b＋2c＝3；③△ABC的面積為中選擇一個作為已知，求△ABC的周長．【解】(1)在中，∵∴，整理得，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，由題知，，∴tanA＝，∵A∈(0，π)，∴；(2)若選①，則由，解得而，解得bc＝1，∴∴△ABC的周長為若選②，，b2＋c2－2bc＝3，則，∴(7c－8)(c－)＝0，∴c＝或c＝．當c＝時，b＝，此時△ABC周長為＋＋＝，當c＝時，，此時△ABC周長為3；若選③，bcsin＝，解得bc＝3，b2＋c2－2bc＝3，解得(b＋c)2－3bc＝3，b＋c＝2，∴△ABC周長為3．[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，若，則△ABC為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形答案：D【解析】