2022-2023學(xué)年人教版七年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)-平行線判定（壓軸）

7下期末復(fù)習(xí)專題

平行線判定與性質(zhì)(壓軸模型)

@專題練習(xí)

解答題(共25小題)

1.(2023春?倉山區(qū)校級期中)如圖，直線AC〃BD,連接AB,直線AC,BD及線段AB

把平面分成①，②，③，④四個部分，當(dāng)動點P落在某個部分時，連接PA,PB,構(gòu)成N

PAC,ZAPB,NPBD三個角.(規(guī)定：線上各點不屬于任何部分且點P,A,B三點不

共線)

(1)當(dāng)動點P落在第①部分時，求證：ZAPB=ZPAC+ZPBD；

(2)當(dāng)動點P落在第②部分時，直接用等式表示/PAC,ZAPB,NPBD之間的數(shù)量關(guān)

系；

(3)當(dāng)動點P落在第③部分時，用等式表示/PAC,ZAPB,/PBD之間的數(shù)量關(guān)系，

并寫出動點P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論，選擇其中一種結(jié)論加以證明.

③

gc③40③1c③1c

②〉P①②/①②/①②/①

B④DB④DB@DB@D

備用圖

2.(2023春?宜都市期中)已知，直線AB〃CD,點E、F分別在直線AB、CD上，點P

是直線AB與CD外一點，連接PE、PF.

(1)如圖1,若/AEP=45°,ZDFP=105°,求/EPF的度數(shù)；

(2)如圖2,過點E作/AEP的角平分線EM交FP的延長線于點M,NDFP的角平分

線FN交EM的反向延長線交于點N,若NM與3NN互補，試探索直線EP與直線FN

的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)若點P在直線AB的上方且不在直線EF上，作NDFP的角平分線FN交NAEP的

角平分線EM所在直線于點N,請直接寫出/EPF與/ENF的數(shù)量關(guān)系.

A---------E---?-----B---

CFDCFD

圖1圖2備用圖

3.（2023春?深圳期中）我們知道同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

（1）觀察與思考：如圖1,若AB〃CD,點P在AB、CD內(nèi)部，NBPD、ZB,ND之

間的數(shù)量關(guān)系為，不必說明理由；

（2）猜想與證明：如圖2,將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點

Q.利用（1）中的結(jié)論（可以直接套用）求/BPD、/B、/D、NBQD之間有何數(shù)量

關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（3）拓展與應(yīng)用：如圖3,設(shè)BF交AC于點M,AE交DF于點N,已知/AMB=140°,

ZANF=105°.利用（2）中的結(jié)論直接寫出/B+NE+NF的度數(shù)為度，ZA

比NF大度.

4.（2022春?市南區(qū)校級期中）已知：直線a〃b，點A和點B是直線a上的點，點C和點

D是直線b上的點，連接AD,BC,設(shè)直線AD和BC交于點E.

③

(1)在如圖1所示的情形下，若ADJ_BC,求/ABE+/CDE的度數(shù)；

(2)在如圖2所示的情形下，若BF平分NABC,DF平分/ADC,且BF與DF交于點

F,當(dāng)NABC=64°,ZADC=72"時，求NBFD的度數(shù)；

（3）如圖3,當(dāng)點B在點A的右側(cè)時，若BF平分NABC,DF平分/ADC,且BF,DF

交于點F,設(shè)NABC=a,/ADC=0,用含有a,。的代數(shù)式表示/BFD的補角.

5.（2022?南京模擬）如圖1,AB,BC被直線AC所截，點D是線段AC上的點，過點D

作DE〃AB,連接AE,ZB=ZE.

(1)求證：AE〃BC；

(2)將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ,連接DQ.若NE=65°,

①如圖2,當(dāng)DELDQ時，則NQ的度數(shù)是；

②在整個運動中，當(dāng)/Q=2/EDQ時，求/Q的度數(shù).

6.(2022春?江海區(qū)期中)如圖，直線AB〃CD,直線MN與AB,CD分別交于點M,N,

ME,NE分別是NAMN與NCNM的平分線，NE交AB于點F,過點N作NG±EN交

AB于點G.

(1)若NAMN=70°,則NMNG=；

(2)求證：EM〃NG；

(3)連接EG,在GN上取一點H,使/HEG=NHGE,作NFEH的平分線EP交AB于

點P,求/PEG的度數(shù).

7.(2022春?江夏區(qū)校級月考)如圖，AB〃CD,點P為AB上方一點，E在直線AB上.

(1)如圖1,求證：ZP-ZPEB-ZC；

(2)如圖2,點F為直線CD上一點，NPEB、NCFP的角平分線所在直線交于點Q,

求NP與NQ的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,N為AB、CD之間一點，且在NCPE內(nèi)部，NEPN=nNCPN、ZDCN=

ZPCN,當(dāng)2/CNP-NPEA=180°恒成立時，n=.

圖1圖2圖3

8.(2022春?思明區(qū)校級期末)如圖1,AB〃CD,E為AB上一點，點P在線段CE上，

且PD〃CF.

(1)求證：/AEC+/DCF=NDPE；

(2)如圖2,在線段CF上取點H,使NHPF=NHFP,若CD平分NECF,PQ平分N

EPH,NHPQ+/AEC=90°,試判斷PF與EF的大小關(guān)系.

圖1F圖2F

9.(2022春?房山區(qū)期末)如圖，由線段AB,AM,CM,CD組成的圖形像￡,稱為

形BAMCD”.

(1)如圖1,￡形8人1\4?口中，若AB〃CD,ZAMC=60°,則NA+NC=

(2)如圖2,連接￡形8人1\4?口中B,D兩點，若NABD+NBDC=160°,ZAMC=a,

試猜想/BAM與/MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)點M在線段BD的延長線上從上向下移動的過程中,

請直接寫出/BAM與/MCD所有可能的數(shù)量關(guān)系.

10.(2022春?武昌區(qū)期末)如圖1,AB〃CD,點E在AB上，點H在CD上，點F在直

線AB,CD之間，連接EF,FH,/BEF=a,ZFHD=0.

(1)直接寫出/EFH的度數(shù)為；

(2)如圖2,若HM平分/CHF,MN平分NBEF,證明：ZEFH+2ZM=180°；

(3)如圖3,若NBEN=^NBEF,NMHC=L/FHC,則NM=.(用

含有n,a,B的式子表示)

11.（2022春?吉安期中）如圖1,已知直線CD〃EF,點A、B分別在直線CD、直線EF

上，P為兩平行線間一點.

圖1圖2圖3

猜想

（1）猜想/DAP,NFBP,/APB之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

應(yīng)用

（2）利用（1）的結(jié)論解答：

①如圖2,APi、BPi分別平分NDAP、ZFBP,請你直接寫出NP與/Pi的數(shù)量關(guān)系，

不需要說明理由；

②如圖3,AP2、BP2分別平分/CAP、ZEBP,若NAPB=a,求/AP2B的大小（用含a

的代數(shù)式表示）.

12.(2022春?涪陵區(qū)校級期中)AB〃CD,直線EF交AB于點E,交CD于點F,點G在

CD上，點P在直線EF右側(cè)、且在直線AB和CD之間，連接PE、PG.

(1)如圖1,求證：ZEPG=ZBEP+ZPGD；

(2)如圖1,連接EG,若EG平分NPEF,ZBEP+ZPGE=110°,ZPGD=AzEFD,

2

NPGD=30°.求/BEP的度數(shù)；

(3)如圖2,若EF平分NPEA,NPGD的平分線GN所在的直線與EF相交于點H,則

/EPG與/EHG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2

13.（2022?天津模擬）如圖，直線AB〃CD,直線EF與AB、CD分別交于點G、H,Z

EHD=a（00<a<90°）.小安將一個含30°角的直角三角板PMN按如圖①放置，使

點N、M分別在直線AB、CD上，且在點G、H的右側(cè)，ZP=90°,NPMN=60°.

（1）填空：ZPNB+ZPMDZP（填“>”或“=”）；

（2）若/MNG的平分線NO交直線CD于點O,如圖②.

①當(dāng)NO〃EF,PM〃EF時，求a的度數(shù)；

②小安將三角板PMN保持PM〃EF并向左平移，在平移的過程中求/MON的度數(shù)（用

含a的式子表示）.

14.（2022春?朝陽區(qū)校級期中）如圖1,AB〃CD,點E,F分別在直線CD,AB上，Z

BEC=2/BEF,過點A作AG_LBE的延長線交于點G,交CD于點N,AK平分NBAG,

交EF于點H,交BE于點M.

圖1圖2

(1)直接寫出NAHE,ZFAH,/KEH之間的關(guān)系：.

(2)若/BEFT/BAK,求NAHE.

2

(3)如圖2,在(2)的條件下，將aKHE繞著點E以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)時間為t,當(dāng)KE邊與射線ED重合時停止，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)aKHE的其中一邊與

△ENG的某一邊平行時，直接寫出此時t的值.

15.(2021秋?王益區(qū)期末)已知：ZAOB=a(0°<a<90°),一塊三角板CDE中，Z

CED=90°,NCDE=30°,將三角板CDE如圖所示放置，使頂點C落在OB邊上，經(jīng)

過點D作直線MN〃OB交OA邊于點M,且點M在點D的左側(cè).

(1)如圖，若CE〃OA,ZNDE=45°,貝Ua=°；

(2)若/MDC的平分線DF交OB邊于點F,

①如圖，當(dāng)DF〃OA,且a=60°時，試說明：CE〃OA；

②如圖，當(dāng)CE〃OA保持不變時，試求出NOFD與a之間的數(shù)量關(guān)系.

16.(2022春?游仙區(qū)校級期末)如圖1,E點在BC上，NA=ND,ZACB+ZBED=180°.

(1)求證：ABZ/CD；

(2)如圖2,AB〃CD,BG平分/ABE,與NEDF的平分線交于H點，若/DEB比N

DHB大60°,求NDEB的度數(shù).

(3)保持(2)中所求的/DEB的度數(shù)不變，如圖3,BM平分NEBK,DN平分/CDE,

作BP〃DN,則NPBM的度數(shù)是否改變？若不變，請求值；若改變，請說明理由.

17.(2022春?沈丘縣期末)如圖1,將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中/ONM

=30°,ZOCD=45°

（1）觀察猜想

將圖1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至圖②的位置，使得點O與點N重合，CD與

MN相交于點E,則NCEN=°.

（2）操作探究

將圖1中的三角尺OCD繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使一邊OD在/MON的內(nèi)部，如圖

3,且OD恰好平分NMON,CD與NM相交于點E,求NCEN的度數(shù)；

（3）深化拓展

將圖1中的三角尺OCD繞點O按沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)邊OC旋

轉(zhuǎn)°時，邊CD恰好與邊MN平行.（直接寫出結(jié)果）

18.（2022春?廣州期中）如圖1,MN〃PQ,直線AD與MN、PQ分別交于點A、D,點

B在直線PQ上，過點B作BGLAD,垂足為點G.

（1）求證：ZMAG+ZPBG=90°；

（2）若點C在線段AD上（不與A、D、G重合），連接BC,NMAG和/PBC的平分

線交于點H,請在圖2中補全圖形，猜想并證明/CBG與/AHB的數(shù)量關(guān)系：

（3）若直線AD的位置如圖3所示，（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不

成立，請直接寫出/CBG與NAHB的數(shù)量關(guān)系.

19.（2022春?廣陵區(qū)期中）（1）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水

中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1,光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣

中，形成光線b,根據(jù)光學(xué)知識有/1=/2,Z3=Z4,請判斷光線a與光線b是否平行,

并說明理由；

（2）如圖2,直線EF上有兩點A、C,分別引兩條射線AB、CD.已知/BAF=150°,

NDCF=80°,射線AB、CD分別繞點A、點C以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)

動，設(shè)時間為t秒，當(dāng)射線CD轉(zhuǎn)動一周時，兩條射線同時停止.則當(dāng)直線CD與直線

AB互相垂直時，t=秒.

圖1圖2

20.(2022春?廣陵區(qū)期中)已知，AB〃CD,點E為射線FG上一點.

(1)如圖1,若NEAF=30°,NEDG=40°,則NAED=°；

(2)如圖2,當(dāng)點E在FG延長線上時，此時CD與AE交于點H,則NAED、NEAF、

NEDG之間滿足怎樣的關(guān)系，請說明你的結(jié)論；

(3)如圖3,DI平分NEDC,交AE于點K,交AI于點L且NEAI：ZBA1=1：2,Z

AED=22°,ZI=20°,求NEKD的度數(shù).

21.(2022?天津模擬)已知，直線AB〃DC,點P為平面上一點，連接AP與CP.

(1)如圖1,點P在直線AB、CD之間，當(dāng)NBAP=60°,/DCP=20°時，求/APC.

(2)如圖2,點P在直線AB、CD之間，NBAP與NDCP的角平分線相交于點K,寫出

NAKC與/APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,點P落在CD外，/BAP與NDCP的角平分線相交于點K,NAKC與N

APC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

22.(2022春?臨淄區(qū)期末)“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起

見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針

旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交

叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度.假定主道路

是平行的，即PQ〃MN,且NBAM：ZBAN=2：1.

(1)填空：ZBAN=°；

(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈

轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？

(3)如圖2,若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過

C作NACD交PQ于點D,且NACD=120°,則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄?BAC與NBCD

的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變,請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由.

23.(2022秋?鯉城區(qū)校級期末)如圖,己知AB〃CD,NBAE=30°,ZDCE=60°,EF、

EG三等分NAEC(即/AEF=NFEG=NGEC).

(1)求NAEF的度數(shù)；

(2)EF〃AB嗎？為什么？

D

24.(2020秋?市中區(qū)期末)“成綿樂高鐵”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋

轉(zhuǎn)探照燈.如圖1所示燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從

BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每

秒3度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ〃MN,且NBAM：

ZBAN=2：1.

(1)填空：ZBAN=；

(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動15秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈

轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？

(3)如圖2,若兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，兩燈射出的光束交于點C,則在燈B射線到達BQ

之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒時，NACB=120°.

圖2

25.(2021春?滁州期末)已知AB〃CD,線段EF分別與AB,CD相交于點E,F.

圖1圖2圖3

(1)請在橫線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：

如圖1,當(dāng)點P在線段EF上時，已知/A=35°,ZC=62°,求NAPC的度數(shù)；

解：過點P作直線PH〃AB,

所以NA=NAPH,依據(jù)是；

因為AB〃CD,PH〃AB,

所以PH〃CD,依據(jù)是；

所以NC=(),

所以NAPC=()+()=ZA+ZC=97°.

(2)當(dāng)點P,Q在線段EF上移動時(不包括E,F兩點)：

①如圖2,ZAPQ+ZPQC=ZA+ZC+180°成立嗎？請說明理由；

②如圖3,/APM=2/MPQ,ZCQM=2ZMQP,NM+/MPQ+/PQM=180°,請直

接寫出/M,NA與NC的數(shù)量關(guān)系.

I⑥知識集結(jié)

1.方向角

方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角

(1)方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準(zhǔn)，來描述物體所處的方向.

(2)用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊,

故描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.(注意幾個方向的角平分線按日

常習(xí)慣，即東北，東南，西北，西南.)

(3)畫方向角

以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線.

2.角的計算

①NAOB是NAOC和/BOC的和，記作：ZAOB=ZAOC+ZBOC./AOC是NAOB和

NBOC的差，記作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射線OC是NAOB的三等分線，則/

AOB=3/BOC或/BOC=_1/AOB.

3

(2)度、分、秒的加減運算.在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加

減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60.

(3)度、分、秒的乘除運算.①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進位.②除法：

度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級單位進一步去除.

3.垂線

(1)垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

(2)垂線的性質(zhì)

在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與己知直線垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“過一點”的點在直線上或直線外都可以.

4.平行線

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交(重合除外).

(1)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線.

記作：a〃b；

讀作：直線a平行于直線b.

(2)同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交，對于這一知識的理解過程中要注意:

①前提是在同一平面內(nèi)：

②對于線段或射線來說，指的是它們所在的直線.

5.平行線的判定

(1)定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成:

同位角相等，兩直線平行.

(2)定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成:

內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

(3)定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡單說

成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

(4)定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行.

(5)定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.

6.三角形的面積

(1)三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即SA=工X底X高.

2

(2)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

7.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且

每個內(nèi)角均大于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在

轉(zhuǎn)化中借助平行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系,

用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

8.角平分線的定義

(1)角平分線的定義

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線.

(2)性質(zhì)：若OC是/AOB的平分線則NAOC=/BOC=L/AOB或NAOB=2/AOC=

2ZBOC.

(3)平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐.

9.余角和補角

(1)余角：如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角.叩其中一個角是

另一個角的余角.

(2)補角：如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角.即其中一個角

是另一個角的補角.

(3)性質(zhì)：等角的補角相等.等角的余角相等.

(4)余角和補角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).

注意：余角(補角)與這兩個角的位置沒有關(guān)系.不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足

了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系.

10.垂線

(1)垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

(2)垂線的性質(zhì)

在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“過一點”的點在直線上或直線外都可以.

11.平行公理及推論

(1)平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

(2)平行公理中要準(zhǔn)確理解“有且只有”的含義.從作圖的角度說，它是“能但只能畫出

一條”的意思.

(3)推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

(4)平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直

線平行時應(yīng)用.

12.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相

等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補..簡單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

13.平行線的判定與性質(zhì)

(1)平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系

來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

(2)應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆.

(3)平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別

區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行.

聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān).

(4)輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角.

參考答案與試題解析

1.【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】動點型；探究型；線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】(1)如圖1,延長BP交直線AC于點E,由AC〃BD,可知/PEA=/PBD.由

ZAPB=ZPAE+ZPEA,可知/APB=NPAC+NPBD；

(2)過點P作AC的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；

(3)根據(jù)P的不同位置，分三種情況討論.

【解答】解：(1)解法一：如圖1延長BP交直線AC于點E.

VAC/7BD,

AZPEA=ZPBD.

ZAPB=ZPAE+ZPEA,

???NAPB=/PAC+NPBD；

圖1圖2圖3

解法二：如圖2,

過點P作FP〃AC,

.'.ZPAC=ZAPF.

VAC//BD,

???FP〃BD.

???NFPB=NPBD.

???NAPB=NAPF+NFPB.

=ZPAC+ZPBD；

解法三：如圖3,

VACZ/BD,

.,.ZCAB+ZABD=180°,

NPAC+NPAB+NPBA+NPBD=180°.

又NAPB+NPBA+NPAB=180°,

JNAPB=NPAC+NPBD.

(2)不成立.

(3)(a)當(dāng)動點P在射線BA的右側(cè)時，結(jié)論是：

ZPBD=ZPAC+ZAPB.

(b)當(dāng)動點P在射線BA上，結(jié)論是：

或NPAC=NPBD+NAPB或NAPB=O°,

ZPAC=ZPBD(任寫一個即可).

(c)當(dāng)動點P在射線BA的左側(cè)時，

結(jié)論是NPAC=NAPB+NPBD.

選擇（a）,

證明：如圖4,連接PA,連接PB交AC于M.

VAC/7BD,

，/PMC=NPBD.

又；NPMC=NPAM+NAPM（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）,

；./PBD=/PAC+NAPB.

選擇（b）證明：如圖5,

:點P在射線BA上，

...NAPB=O度.

；AC〃BD,

NPBD=NPAC.

.-.ZPBD=ZPAC+ZAPB,

或NPAC=NPBD+NAPB,

或NAPB=O°,NPAC=NPBD.

選擇（c）,

證明：如圖6,連接PA,連接PB交AC于F,

：AC〃BD,

.\ZPFA=ZPBD.

ZPAC=ZAPF+ZPFA,

NPAC=ZAPB+ZPBD.

【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)；是一道探索性問題，旨在考查同學(xué)們對材料的分

析研究能力和對平行線及角平分線性質(zhì)的掌握情況.認(rèn)真做好（1）（2）小題，可以為

（3）小題提供思路.

2.【考點】平行線的性質(zhì)；余角和補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】（1）過P作PQ〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NEPF=120。；

（2）EP〃FN,根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)可得N4=2N1=/AEP,進而

可得結(jié)論；

（3）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)分情況討論即可.

【解答】解：（1）如圖，過P作PQ〃AB,

；AB〃CD,

；.PQ〃CD,

.-.ZQPE=ZAEP=45°,ZQPF=Z1800-ZDFP=180°-105°=75°,

...NEPF=NQPE+NDFP=45°+75°=120°.

故NEPF=120°；

(2)EP〃FN,如圖，

理由：?.?EM平分NAEP,FN平分NMFD,

.\ZAEP=2Z1,NMFD=2N3,

由(1)得，ZM=Z1+ZCFM=Z1+(180°-2Z3)=Z1+(180°-2Z4),

VAB/7CD,

AZ3=Z4,

由三角形外角的性質(zhì)可得，ZN=Z4-Z2=Z4-Zl,

???/1\4與32?4互補，

AZ1+(180°-2Z4)+3(Z4-Zl)=180°,

整理得，Z4=2Z1=ZAEP,

???EP〃FN；

(3)@ZEPF+2ZENF=180°.如圖，

???NCFH=NEHF,ZEKF=ZDFK,

YFN平分NDFP,ME平分NAEP,

/.ZCFH=180°-2ZDFK,ZAEP=2ZAEM=2ZKEN,

由外角的性質(zhì)得，NEPF=NEHF-NAEP=1800-2ZDFK-2ZAEM,ZENF=Z

EKF+ZKEN=ZDFK+ZAEM,

???NEPF=180°-2ZENF,

.".ZEPF+2ZENF=180°.

?ZEPF=2ZENF-180°?如圖,

VAB/7CD,

NPKB=NPFD=2NDFN,

由外角的性質(zhì)得，ZEPF=ZPKB-ZBEP=ZPKB-(180°-2NMEP)=2NDFN+2

ZAEM-180°,

由（1）得，ZENF=ZDFN+ZNEK=ZDFN+ZAEM,

2ZENF=2ZDFN+2ZAEM,

AZEPF=2ZENF-180°.

【點評】本題考查平行線判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，根

據(jù)題意理清各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3.【考點】平行線的性質(zhì).

【分析】（1）過點P作PE〃AB,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NB=N1,ZD=

N2,再根據(jù)/BPD=/l+/2即可得解；

（2）連接QP并延長，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和解答；

（3）依據(jù)（2）中的結(jié)論、三角形的內(nèi)角和及三角形的外角和即可求得.

【解答】解：（1）過點P作PE〃AB,

；AB〃CD,

；.AB〃EP〃CD,

=ND=/2,

.,.ZBPD=ZB+ZD；

（2）如圖，連接QP并延長，

結(jié)論：ZBPD=ZBQD+ZB+ZD.

ZBPD=（ZBQP+ZB）+（ZDQP+ZD）=ZBQD+ZB+ZD.

（3）VZANF=105°,

；./ENF=/B+NE+/F=180°-105°=75°,

ZA=ZAMB-ZB-ZE,

NF=180°-ZANF-ZB-ZE,

AZA-ZF=ZAMB+ZANF-180°=65°.

故答案為：NBPD=NB+/D；75,65.

B_X

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.【考點】平行線的性質(zhì)；余角和補角；垂線.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】（1）過點E作EG〃AB,根據(jù)a〃b,可得EG〃CD,得/ABE+NCDE=NBED

=90。；

（2）過點F作FH〃AB,結(jié)合（1）的方法，根據(jù)BF平分NABC,DF平分NADC,即

可求/BFD的度數(shù)；

（3）過點F作FH〃AB,結(jié)合（1）的方法，根據(jù)BF平分NABC,DF平分NADC,設(shè)

NABC=a,NADC=0,即可用含有a,0的代數(shù)式表示NBFD的補角.

【解答】解：（1）過點E作EG〃AB,

ABa

①

???a〃b,

???EG〃CD,

???NABE=NBEG,ZCDE=ZDEG,

???NABE+NCDE=ZBEG+ZDEG=ZBED,

VAD±BC,

JNABE+NCDE=ZBED=90°；

(2)如圖，過點F作FH〃AB,

圖2

???FH〃CD,

/.ZABF=ZBFH,NCDF=NDFH,

JNBFD=ZABF+ZCDF=ZBFH+ZDFH,

YBF平分/ABC,DF平分NADC,ZABC=64°,ZADC=72°,

???NABF=-1/ABC=32°,ZCDF=-1/ADC=36°,

22

???NBFD=NABF+NCDF=68°；

(3)如圖，過點F作FH〃AB,

圖3

\?a〃b,

???FQ〃CD,

，NABF+NBFQ=180°,NCDF=NDFQ,

ZBFD=ZBFQ+ZDFQ=180°-ZABF+ZCDF

：BF平分/ABC,DF平分NADC,ZABC=a,ZADC=p,

.?.NABF”/ABC=La，NCDF=上/ADC=J-B,

2乙22A2P

...NBFD=180°-ZABF+ZCDF=180°R,

22P

；./BFD的補角=^aB.

22P

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性

質(zhì).

5.【考點】平移的性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NBAE+/E=180°,利用等量代換得到/BAE+

ZB=180°,即可證出.

(2)①過點D作DM〃PQ,則DM〃AE,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案.

②兩種情況，運用類比的方法，當(dāng)點P在線段AD上時;過點D作DF〃AE交AB于點F,

根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案；當(dāng)點P在線段DA的延長線上時，過點D作DF〃AE

交AB于點F,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案.

【解答】(1)證明：VDE/7AB

AZBAE+ZE=180°

又；NB=/E

.,.ZBAE+ZB=180°

；.AE〃BC

(2)解：①如圖，

過點D作DM〃PQ,貝ljDM〃AE,

；./E=NEDM,NQ=NMDQ,

AZE+ZQ=ZEDM+ZMDQ=90°,

而NE=65°,

ZQ=90°-65°=25°,

故答案為：25°.

②如圖，當(dāng)點P在線段AD上時，

過點D作DF//AE交AB于點F,

；PQ〃AE,

；.DF〃PQ,

.?.NQDF=180°-ZQ,

VZQ=2ZEDQ,

即NEDQ蔣NQ，

VZE=65°,

.\ZEDF=180°-65°=115°,

???NQDF=1150卷NQ=1800-NG

如圖，當(dāng)點P在線段DA的延長線上時，過點D作DF〃AE交AB于點F,

,:PQ〃AE,

???DF〃PQ,

.?.ZQDF=180°-ZQ,

???NQ=2NEDQ,即NEDQ=/NQ，

VZE=65°,

.\ZEDF'=180°-65°=115°,

1800-ZQ-^ZQ=115°-

.*./Q=130°,

綜上所述：NQ的度數(shù)為國二或130°.

3

【點評】此題考查了平移的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識

并正確作出輔助線.

6.【考點】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；幾何直觀；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/CNM=110°,由角平分線定義求出NENM的度

數(shù)，即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線得到定義，即可得出/MEN=90°,再根據(jù)NG_L

EN,即可得到/MEN+/ENH=180°,進而得到EM〃NG；

(3)先設(shè)NHEG=x,則/HGE=/MEG=x,/NEH=90°-2x,根據(jù)EP平分/FEH,

可得/FEH=2(ZPEG+x),再根據(jù)NFEH+NHEN=180°,可得方程2(NPEG+x)

+90°-2x=180°,進而解得/PEG.

【解答】解：(1)：AB〃CD,

.../AMN+NCNM=180°,

；NAMN=70°,

.?.NCNM=110°

INE平分NCNM,

?■?ZENM=yZCNM=55°'

VNG1EN,

AZENG=90°,

.?.NMNG=90°-NENM=35°,

故答案為：35°；

(2)VAB/7CD,

.,.ZAMN+ZCNM=180°,

VME,NE分別是/AMN與/CNM的平分線，

?*-ZEMN=yZAMN,ZENM-yZCNM'

?e-ZEMN+ZENM=y(ZAMN+ZCNM)=90°(即ZMEN=90°，

又：NG_LEN,

/.ZENG=90°,

AZMEN+ZENH=180°,

；.EM〃NG；

(3)設(shè)NHEG=x,則NHGE=NMEG=x,ZNEH=90°-2x,

；EP平分NFEH,

.,.ZFEH=2ZPEH=2(ZPEG+x),

又：/FEH+/HEN=180°,

：.1(ZPEG+x)+90°-2x=180°,

.'.ZPEG=45°.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等;

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

7.【考點】平行線的性質(zhì)；角平分線的定義.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力；推理能力；模型思想.

【分析】(1)過點P作PQ〃AB,得AB〃CD〃EF,得NQPE=NPEB,NQPC=NC,

兩式相減便可得出結(jié)論：

(2)由(1)中結(jié)論可得/P=NPEB-/PFD,ZQ=ZCFQ-ZAEQ,設(shè)NBEM=a,

NCFN=0,因為EM平分/BEP,FN平分NCFP,所以/PEM=a,/PFN=|J,即得N

P=2a+2p-180°,ZQ=180°-ZCFN-ZBEM=180°-p-a,即可得解；

(3)易得/CPE=(n+1)ZCPN,NPCD=(n+1)ZPCN,再結(jié)合(1)結(jié)論，具體

見解答過程.

【解答】(1)證明：過點P作PQ〃AB,如圖，

0

：AB〃CD,

；.AB〃CD〃EF,

.?.ZQPE=ZPEB,ZQPC=ZC,

，ZQPE-/QPC=ZPEB-ZC,

即NCPE=NPEB-ZC；

(2)如圖：

設(shè)/BEM=a,ZCFN=P，

：EM平分NBEP,FN平分NCFP,

；./PEM=a,NPFN=。，

由(1)中結(jié)論可得NP=NPEB-NPFD,

NQ=NCFQ-ZAEQ,

NP=NPEM+NBEM-(1800-ZCFN-ZPFN)

=a+a-(180°-p-p)=2a+2p-180°,

ZQ=180°-ZCFN-ZBEM=180°-p-a,

.?.2NQ+NP=360°-2p-2a+2a+2p-180°=180°,

HP2ZQ+ZP=180"；

(3)如圖：

與(1)同理可得，ZCPE=ZPEB-ZPCD,

ZEPN=nZCPN,NEPN+/CPN=ZCPE,

AZCPE=(n+1)ZCPN,

：NDCN=nNPCN,/DCN+/PCN=/PCD,

AZPCD=(n+1)ZPCN,

(n+1)NPCN=/PEB-(n+1)ZCPN,

又???/PEB=180°-ZPEA,

(n+1)(ZCPN+ZPCN)=180°-ZPEA,

又,.?/CPN+NPNC=180°-ZCNP,

(n+1)(180°-ZCNP)=180°-ZPEA,

又；2/CNP-NPEA=180°,

(n+1)(180°-ZCNP)+2ZCNP=360°,

(n+1)(180°-ZCNP)-2(180°-ZCNP)=0,

(n-1)(180°-ZCNP)=0,

，n-1=0或180°-ZCNP=0(不符合題意，舍法)

An-1=0,解得n=l,

故答案為：1.

【點評】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線分得的角相等、模型思想，解題關(guān)鍵是熟練

掌握平行線性質(zhì)，應(yīng)用(1)所得結(jié)論解決(2)和(3)中問題，計算繁瑣，難度較大，

易出錯.

8.【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NAEC=/ECD,ZPDC=ZDCF,然后根據(jù)外角

的性質(zhì)即可證得結(jié)論；

(2)設(shè)NECD=NFCD=a,則NECF=2a,設(shè)NHPF=NHFP=(3,根據(jù)平行線的性質(zhì)

可推出/EPD=/ECF=2a,NFPD=NPFH=(3,NAEC=NECD=a,從而得出/EPH

=2a+2p,根據(jù)已知條件NHPQ+NAEC=90°,可得出2a+p=90°,進一步得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：；AB〃CD,

.,.ZAEC=ZECD,

VPD/7CF,

NPDC=NDCF,

；NDPE=NECD+/PDC,

ZDPE=ZAEC+ZDCF；

(2)：CD平分/ECF,

ZECF=2ZECD=Z2FCD,

設(shè)NECD=/FCD=a,則/ECF=2a,

設(shè)NH