高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題多維練(新高考專用)第35練拋物線(原卷版+解析)

專題11圓錐曲線的方程第35練拋物線1．(2023·福建·莆田華僑中學(xué)模擬）拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．6 B．2 C．5 D．82．(2023·山東師范大學(xué)附中模擬）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上，且，則M點(diǎn)到軸的距離為（

）A．2 B． C． D．3．(2023·重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)校模擬）拋物線上A點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（

）A．1 B． C． D．4．(2023·遼寧遼陽(yáng)·二模）下列四個(gè)拋物線中，開口朝下且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5的是（

）A． B．C． D．5．(2023·湖北·模擬）已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線l與其交與A、B兩點(diǎn)，，其準(zhǔn)線方程為___________．6．(2023·重慶·三模）已知拋物線C：，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為______．7．(2023·福建龍巖·一模）拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為__________．8．(2023·北京二中模擬）已知點(diǎn)，過(guò)拋物線．上一點(diǎn)P作的垂線，垂足為B，若，則__________．1．(2023·新疆·三模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線與y軸交于點(diǎn)M，且，則點(diǎn)P到直線l的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．(2023·湖北省仙桃中學(xué)模擬）已知的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為E，橢圓的左右頂點(diǎn)為A、B，為線段的兩個(gè)四等分點(diǎn)，與的交點(diǎn)連線過(guò)的焦點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．(2023·江蘇·模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)FB交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為M，N，若，則的面積為（

）A． B．4 C． D．24．(2023·天津南開·三模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．5．(2023·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬）已知拋物線，O為原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B為拋物線兩點(diǎn)，滿足，過(guò)原點(diǎn)O作交AB于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則p的值為_________．6．(2023·北京四中三模）直線與拋物線C：交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，記，其中O為拋物線C的頂點(diǎn)，給出下列命題：①，使得與平行；②且，使得與垂直；③不可能是等邊三角形；④無(wú)論點(diǎn)P在準(zhǔn)線上如何運(yùn)動(dòng)，總成立.其中，所有正確命題的序號(hào)是___________.7．(2023·河北·滄縣中學(xué)模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．8．(2023·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知圓，定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足以為直徑的圓與y軸相切．過(guò)點(diǎn)F的直線l與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E，圓C順次交于A，M，N，B四點(diǎn)．則的最小值為________．1．(2023·山東青島·二模）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F，過(guò)F與x軸垂直的直線交于A，B兩點(diǎn)，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2．(2023·河北邯鄲·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且線段AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，則＝（

）A． B．1 C． D．3．(2023·重慶·模擬）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，拋物線E的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，若直線與拋物線E交于P，Q兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．4．(2023·江西·新余市第一中學(xué)模擬（理））已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)都是拋物線上的點(diǎn)且位于軸的兩側(cè)，若(為原點(diǎn))，則和的面積之和的最小值為（）A． B． C． D．5．（多選題）(2023·廣東韶關(guān)·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)D，直線m過(guò)D且交C于不同的A，B兩點(diǎn)，B在線段AD上，點(diǎn)P為A在l上的射影．線段PF交y軸于點(diǎn)E，下列命題正確的是（

）A．對(duì)于任意直線m，均有AE⊥PFB．不存在直線m，滿足C．對(duì)于任意直線m，直線AE與拋物線C相切D．存在直線m，使|AF|+|BF|=2|DF|6．（多選題）(2023·廣東肇慶·模擬）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于A，B兩點(diǎn)，與C相交于E，D兩點(diǎn)，M為A，B中點(diǎn)，N為E，D中點(diǎn)，直線l為拋物線C的準(zhǔn)線，則（

）A．點(diǎn)M到直線l的距離為定值 B．以為直徑的圓與l相切C．的最小值為32 D．當(dāng)最小時(shí)，7．（多選題）(2023·江蘇·模擬）已知P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線C上，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，，，則（

）A．的最小值為4B．若線段AB的中點(diǎn)為M，則的面積為C．若，則直線l的斜率為2D．過(guò)點(diǎn)作兩條直線與拋物線C分別交于點(diǎn)G，H，且滿足EF平分，則直線GH的斜率為定值8．(2023·北京·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為___________；直線與拋物線分別交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則__________.9．(2023·湖南岳陽(yáng)·二模）已知拋物線方程，為焦點(diǎn)，為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為線段與拋物線的交點(diǎn)，定義：.已知點(diǎn)，則___________；設(shè)點(diǎn)，若恒成立，則的取值范圍為___________.10．(2023·海南·嘉積中學(xué)模擬）已知是拋物線上一點(diǎn)，且位于第一象限，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為6，則___________；若過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，則這兩條切線的斜率之積為___________.專題11圓錐曲線的方程第35練拋物線1．(2023·福建·莆田華僑中學(xué)模擬）拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．6 B．2 C．5 D．8答案：A【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，圓，即所以，圓心為，半徑，F(xiàn)到圓C上點(diǎn)的距離的最大值為.故選：A.2．(2023·山東師范大學(xué)附中模擬）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上，且，則M點(diǎn)到軸的距離為（

）A．2 B． C． D．答案：D【解析】由題意得，所以準(zhǔn)線為，又因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，解得：將代入解析式得：，所以M點(diǎn)到x軸的距離為．故選：D．3．(2023·重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)校模擬）拋物線上A點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（

）A．1 B． C． D．答案：A【解析】解：由題得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為,則，所以.故選：A4．(2023·遼寧遼陽(yáng)·二模）下列四個(gè)拋物線中，開口朝下且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】拋物線的開口朝下，說(shuō)明其焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，則其滿足標(biāo)準(zhǔn)方程，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B5．(2023·湖北·模擬）已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線l與其交與A、B兩點(diǎn)，，其準(zhǔn)線方程為___________．答案：【解析】設(shè)線段AB中點(diǎn)為D，則F為線段BD中點(diǎn)，過(guò)A、B、D、F分別向拋物線準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、、、，，由梯形中位線得，，∴準(zhǔn)線方程為故答案為：．6．(2023·重慶·三模）已知拋物線C：，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為______．答案：【解析】因?yàn)閽佄锞€，所以，∴所以的準(zhǔn)線方程為.故答案為：7．(2023·福建龍巖·一模）拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為__________．答案：3【解析】因?yàn)椋渣c(diǎn)在該拋物線上，又拋物線的準(zhǔn)線方程為：，所以點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為：，故答案為：38．(2023·北京二中模擬）已知點(diǎn)，過(guò)拋物線．上一點(diǎn)P作的垂線，垂足為B，若，則__________．答案：7【解析】設(shè)，，可得，，由，帶入可得：，所以，故答案為：7.1．(2023·新疆·三模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線與y軸交于點(diǎn)M，且，則點(diǎn)P到直線l的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C【解析】解：由拋物線，可知，即（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，因?yàn)?，即，由，可知，所以，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：C．2．(2023·湖北省仙桃中學(xué)模擬）已知的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為E，橢圓的左右頂點(diǎn)為A、B，為線段的兩個(gè)四等分點(diǎn)，與的交點(diǎn)連線過(guò)的焦點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸，如圖所示，因?yàn)闉榫€段的兩個(gè)四等分點(diǎn)，所以，即.設(shè)與在第一象限的交點(diǎn)為，因?yàn)榕c的交點(diǎn)連線過(guò)的焦點(diǎn)，所以.將代入得：，即，與矛盾，舍去.當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸，如圖所示，因?yàn)闉榫€段的兩個(gè)四等分點(diǎn)，所以，即.設(shè)與在第一象限的交點(diǎn)為，因?yàn)榕c的交點(diǎn)連線過(guò)的焦點(diǎn)，所以.將代入得：，即，.故選：A3．(2023·江蘇·模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)FB交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為M，N，若，則的面積為（

）A． B．4 C． D．2答案：A【解析】法一：由題意可知，，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為直線，則，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，所?因?yàn)?，所以，解得，所以，點(diǎn)F到AM的距離為，所以.法二：因?yàn)?，所以，所以，?連接FM，又，所以為等邊三角形.易得，所以.故選：A.4．(2023·天津南開·三模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以，又因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，所以所以，故選：A.5．(2023·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬）已知拋物線，O為原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B為拋物線兩點(diǎn)，滿足，過(guò)原點(diǎn)O作交AB于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則p的值為_________．答案：【解析】直線OD的斜率為，而，則直線AB的斜率為，直線AB的方程為，即，由消去x并整理得：，設(shè)，則，因，則，解得，所以p的值為.故答案為：6．(2023·北京四中三模）直線與拋物線C：交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，記，其中O為拋物線C的頂點(diǎn)，給出下列命題：①，使得與平行；②且，使得與垂直；③不可能是等邊三角形；④無(wú)論點(diǎn)P在準(zhǔn)線上如何運(yùn)動(dòng)，總成立.其中，所有正確命題的序號(hào)是___________.答案：②③④【解析】由，求得點(diǎn),故,設(shè)，則，,對(duì)于①，當(dāng)與平行時(shí)，，由可得，即，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，與垂直時(shí)，，即，由可得，解得，故②正確；對(duì)于③，若是等邊三角形，因?yàn)镸N垂直于x軸，故點(diǎn)P在x軸上，即，此時(shí),故不可能是等邊三角形，③正確；對(duì)于④，由可得，④正確，故答案為：②③④7．(2023·河北·滄縣中學(xué)模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．答案：【解析】解：如圖，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，由正弦定理和拋物線的性質(zhì)可知：，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)最小，也最?。O(shè)的方程為，與聯(lián)立得，由，解得，當(dāng)時(shí)，．故的最小值為．故答案為：.8．(2023·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知圓，定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足以為直徑的圓與y軸相切．過(guò)點(diǎn)F的直線l與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E，圓C順次交于A，M，N，B四點(diǎn)．則的最小值為________．答案：23【解析】解：設(shè)，則的中點(diǎn)為，所以，整理得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，焦點(diǎn)為，由直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則，其中的證明過(guò)程如下：當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)直線的方程為，，，顯然．由得:，∴，．當(dāng)軸時(shí)，直線方程為，則，，∴，同上也有．由拋物線的定義知：，，又，所以，且．所以圓圓心為，半徑1，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)；的最小值為23，故答案為：．1．(2023·山東青島·二模）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F，過(guò)F與x軸垂直的直線交于A，B兩點(diǎn)，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，由題可知，，即拋物線方程為，令代入拋物線方程，可得，代入雙曲線方程，可得，可設(shè)，，，由有兩邊平方相減可得，，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.2．(2023·河北邯鄲·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且線段AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，則＝（

）A． B．1 C． D．答案：B【解析】由題設(shè)知：，而，則，又AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，則，不妨設(shè)且，則，可得，故，所以，綜上.故選：B3．(2023·重慶·模擬）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，拋物線E的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，若直線與拋物線E交于P，Q兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題設(shè)知：，，且拋物線E為，∴直線為，聯(lián)立拋物線方程有，整理得：，則，即，令且，則，∴，∴，令，如上圖易知：，即，可得，∴，又，∴，整理得，而，∴，則.故選：C.4．(2023·江西·新余市第一中學(xué)模擬（理））已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)都是拋物線上的點(diǎn)且位于軸的兩側(cè)，若(為原點(diǎn))，則和的面積之和的最小值為（）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)直線的方程為，，，.，解得：或.因?yàn)槲挥谳S的兩側(cè)，所以.即：，.設(shè)點(diǎn)在軸的上方，則，，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取“”號(hào).所以和的面積之和的最小值為.故選：A5．（多選題）(2023·廣東韶關(guān)·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)D，直線m過(guò)D且交C于不同的A，B兩點(diǎn)，B在線段AD上，點(diǎn)P為A在l上的射影．線段PF交y軸于點(diǎn)E，下列命題正確的是（

）A．對(duì)于任意直線m，均有AE⊥PFB．不存在直線m，滿足C．對(duì)于任意直線m，直線AE與拋物線C相切D．存在直線m，使|AF|+|BF|=2|DF|答案：AC【解析】A選項(xiàng)，如圖1，由拋物線知O為DF的中點(diǎn)，軸，所以E為線段PF的中點(diǎn)，由拋物線的定義知，所以，所以A正確；B選項(xiàng)，如圖2，設(shè)，，，，，E為線段PF的中點(diǎn)，則，，由得，解得，，又，故，，又，可得，，故存在直線m，滿足，選項(xiàng)B不正確．C選項(xiàng)，由題意知，E為線段PF的中點(diǎn)，從而設(shè)，則，直線AE的方程：，與拋物線方程聯(lián)立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直線AE與拋物線相切，所以選項(xiàng)C正確．D選項(xiàng)，如圖3，設(shè)直線m的方程，，，，由，得．當(dāng)，即且時(shí)，由韋達(dá)定理，得，．因?yàn)?，，所以，又，，所以成立，故D不正確．故選：AC．6．（多選題）(2023·廣東肇慶·模擬）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于A，B兩點(diǎn)，與C相交于E，D兩點(diǎn)，M為A，B中點(diǎn)，N為E，D中點(diǎn)，直線l為拋物線C的準(zhǔn)線，則（

）A．點(diǎn)M到直線l的距離為定值 B．以為直徑的圓與l相切C．的最小值為32 D．當(dāng)最小時(shí)，答案：BCD【解析】設(shè)，，，，，直線的方程為，則直線的方程為,將直線的方程代入，化簡(jiǎn)整理得，則，，故,所以，,因?yàn)辄c(diǎn)A到直線l的距離，點(diǎn)B到直線l的距離，點(diǎn)M到直線l的距離，又，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以以為直徑的圓的圓心M到l的距離為，即以為直徑的圓與l相切，故B正確；同理，，所以，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；.設(shè)，則，，.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最小，這時(shí)，故D正確,故選:BCD.7．（多選題）(2023·江蘇·模擬）已知P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線C上，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，，，則（

）A．的最小值為4B．若線段AB的中點(diǎn)為M，則的面積為C．若，則直線l的斜率為2D．過(guò)點(diǎn)作兩條直線與拋物線C分別交于點(diǎn)G，H，且滿足EF平分，則直線GH的斜率為定值答案：ACD【解析】由在拋物線C上，得，拋物線C的方程為，．對(duì)于A，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的準(zhǔn)線的垂線PD，垂足為D，由拋物線的定義知，即M，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，為，故A正確．對(duì)于B，因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)，所以，，求得直線l的方程為，則