總體百分位數(shù)的估計

9.2.2總體百分位數(shù)的估計

學(xué)習目標

1.通過學(xué)習和應(yīng)用百分位數(shù)，重點培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2.掌握求一組數(shù)據(jù)的百分位的基本步驟

重點難點

重點：理解百分位數(shù)的概念及其簡單應(yīng)用

難點：掌握求一組數(shù)據(jù)的百分位的基本步驟

知出梳理

一、新知自學(xué)

1.如何畫頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差；

(2)決定組距和組數(shù)；

(3)將數(shù)據(jù)分組；

(4)列頻率分布表；

(5)畫頻率分布直方圖.

頻率分布直方圖的性質(zhì)

頻率

⑴因為小矩形的面積=組距x=頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率

這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.

(2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.

頻數(shù)

⑶=樣本量.

相應(yīng)的頻率

(4)在頻率分布直方圖中，各矩形的面積之比等于頻率之比，各矩形的高度之比也等于頻率之比.

2.其他統(tǒng)計圖表，會讀圖、識圖

統(tǒng)計圖表主要應(yīng)用

扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例

條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率

折線圖描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢

條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖的區(qū)別與聯(lián)系

統(tǒng)計圖區(qū)別聯(lián)系

(1)直觀反映數(shù)據(jù)分布的大致情況在同一

條形統(tǒng)計圖(2)清晰地表示各個區(qū)間的具體數(shù)目組數(shù)據(jù)

(3)會丟失數(shù)據(jù)的部分信息的不同

統(tǒng)計圖

(1)清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢及各部分所占總體的

表中，

扇形統(tǒng)計圖百分比

計算出

(2)丟失了原來的具體數(shù)據(jù)

相應(yīng)組

的頻數(shù)、

(1)表示數(shù)據(jù)的多少和數(shù)量增減變化情況

折線統(tǒng)計圖頻率應(yīng)

(2)制作類似于函數(shù)圖象的畫法，側(cè)重體現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律

該相等.

學(xué)習過程

一、情境與問題

前面我們用頻率分布表、頻率分布直方圖描述了居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù)，通過對圖表

的觀察與分析，得出了一些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布規(guī)律，并由此推測了該市全體居民用戶月均用水量的分布

情況，得出了“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區(qū)域”等推斷，接下來的問題是，如何利用這

些信息，為政府決策服務(wù)呢？下面我們對此進行討論.

問題：如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費支出不受影響，根據(jù)921節(jié)中100戶居民用戶

的月均用水量數(shù)據(jù)，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標準的建議嗎？

根據(jù)市政府的要求確定居民用戶月均用水量標準，就是要尋找一個數(shù)a,使全市居民用戶月均用水

量中不超過a的占80%,大于a的占20%.

把得到的100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第80個和81個數(shù)據(jù)分別為13.6和13.8.可以發(fā)

現(xiàn)，區(qū)間(13.6,13.8)內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)的

平均數(shù)()13.6+13.8)/2=13.7,并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)(percentile),或80%分位數(shù).

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，我們可以估計總體數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為13.7左右.由于樣本的取

值規(guī)律與總體的取值規(guī)律之間會存在偏差，而在決策問題中，只要臨界值近似為第80百分位數(shù)即可，因此

為了實際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標準定為14t,或者把年用水量標準定為168t.

你認為14t這個標準一定能夠保證80%的居民用水不超標嗎？如果不一定，那么哪些環(huán)節(jié)可能會導(dǎo)致結(jié)論的

差別？

第p百分位數(shù)的定義

定義:一般地，一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有P%的數(shù)據(jù)小于或等于這個

值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=nxp0/o.

第3步，若，不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為，則第p百分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù)；

若i是整數(shù)，則第P百分位數(shù)為第項與第(注1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

判斷正誤

1.若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23.()

2.若一組樣本數(shù)據(jù)的24%分位數(shù)是24,則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24.()

(1)班級人數(shù)為50的班主任老師說“90%的同學(xué)能夠考取本科院?！保@里的“90%”是百分位數(shù)嗎？

(2)“這次數(shù)學(xué)測試成績的第70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？

思考1：第P百分位數(shù)有什么特點？

中位數(shù)，相當于是第50百分位數(shù).

常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù).

這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).

其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，

第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等，

第1百分位數(shù)第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)和第99百分位數(shù)在統(tǒng)計中也經(jīng)常被使用.

163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0

159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0

例2.根據(jù)下面女生的身高的樣本數(shù)據(jù)，估計樹人中學(xué)高一年級女生的第25,50,75百分位數(shù).

分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率

[1.2,4.2)正正正正下230.23

[4.2,7.2)正正正正正正T320.32

[7.2,10.2)正正下130.13

[10.2,13.2)正正90.09

[13.2,16.2)正iF90.09

[16.2,19.2)正50.05

[19.2,22.2)T30.03

[22.2,25.2)1F40.04

[25.2,28.2]T20.02

合計1001.00

跟蹤訓(xùn)練：下表為12名畢業(yè)生的起始月薪

畢業(yè)生起始月薪畢業(yè)生起始月薪

1285072890

2295083130

3305092940

42880103325

52755112920

62710122880

根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)計算第85百分位數(shù).

達標檜利

1.下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()

2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6

A.3.2B.3.0C.4.4D.2.5

2.知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3,則下列說法正確的是（）

A.這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3

B.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)

C.這100個數(shù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)和第76個數(shù)的平均數(shù)

D.這100個數(shù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)和第74個數(shù)的平均數(shù)

3.某公司2018年在各個項目中總投資500萬元如圖是幾類項目的投資占比情況,已知在1萬元以上的項目投

資中，少于3萬元的項目投資占，那么不少于3萬元的項目投資共有（）

A.56萬元B.65萬元C.91萬元D.147萬元

/1千元以下的項\

八里產(chǎn)資（占46%）\

__________

上的項Fl/"二

'投資/8千元至一邛

\/完的項目投球

\/（433%）,

4.為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長（單位:cm）,所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間

[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示,你能估計一下60株樹木的第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)嗎?

藪卓/組距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

08090100110120130底部周長/m

5.從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質(zhì)量（單位：切如下：

7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.

⑴分別求出這組數(shù)據(jù)的第25,50,95百分位數(shù)；

2）請你找出珍珠質(zhì)量較小的前15%的珍珠質(zhì)量；

3）若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個樣本的

數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級的劃分標準.

6.某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超

過200千瓦時的部分按0.5元/千瓦時收費，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按0.8元/千瓦時收

費，超過400千瓦時的部分按1.0元/千瓦時收費.

（1）求某戶居民用電費用M單位：元）關(guān)于月用電量x（單位：千瓦時）的函數(shù)解析式.

（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖

所示的頻率分布直方圖.若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的占80%,求a,b的值.

⑶根據(jù)⑵中求得的數(shù)據(jù)a=0.0015,0=0.0020.計算用電量的75%分位數(shù).

課堂4?結(jié)

i.通過學(xué)習和應(yīng)用百分位數(shù)，重點培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2.求一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)時，掌握其步驟：

①按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；

②計算i=“xp%;

③若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j,則第P百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；

若i是整數(shù)，則第P百分位數(shù)為第，項與第0+1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

參考答案：

知識梳理

學(xué)習過程

判斷正誤

1.xT

2.不是.是指能夠考取本科院校的同學(xué)占同學(xué)總數(shù)的百分比.

有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測試成績在小于或等于85分.

思考1：總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p.

例2.解：把27名女生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得

148.0149.0154.0154.0155.0155.0155.5157.0157.0158.0158.0159.0161.0161.0

162.0162.5162.5163.0163.0164.0164.0164.0165.0170.0171.0172.0172.0

由25%義27=6.75,50%*27=13.5,75%*27=20.25,

可知樣本數(shù)據(jù)的第25,50,75百分位數(shù)為第7,14,21項數(shù)據(jù)，分別為155.5,161,164.

據(jù)此可以估計樹人中學(xué)高一年級女生的第25,50,75百分位數(shù)分別約為155.5,161和164.

例3.分析：統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖，與原始數(shù)據(jù)相比，它們損失了一些信息，例如由上表中可以知道在口6.2,19.2）

內(nèi)有5個數(shù)據(jù)，但不知道這5個數(shù)據(jù)具體是多少.此時，我們通常把它們看成均勻地分布在此區(qū)間上.

解：由表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為23%+32%+13%+9%=77%.

在16.2t以下的居民用戶所占的比例為77%+9%=86%.

因此，80%々癖^位于［13.2,16.2）內(nèi).

由13.2+3X086-0.77=14.2,可以估計月均用水量的樣本

數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為14.2.

類似地，由22.2+3X0.95-0.94=22.95,

0.98-0.94

可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的95%分位數(shù)約為22.95.

計算方法和計算中位數(shù)是一樣的

跟蹤訓(xùn)練：解:計算i=12x85%=10.2,

所以所給數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)是從小到大的第11個數(shù)據(jù)3130

達標檢測

1.解：把該組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：

2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,

由，=10x25%=2.5,不是整數(shù)，則第3個數(shù)據(jù)3.2,是第25百分位數(shù)選A

2.解析：因為100x75%=75為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3,選C.

3.

解析:由題意，因為在1萬元以上的項目投資中，少于3萬元的項目投

資馬，

所以在1萬元以上的項目投資中,不少于3萬元的項目投資占比為

13

211

而1萬元以上的項目投資占總投資的比例為1-46%-33%=21%,

所以不少于3萬元的項目投資共有500x21%x手65（萬元）,故選B

4.解:由題意知分別落在各區(qū)間上的頻數(shù)為

在［80,90）上有60x0.15=9,

在［90,100）上有60x0.25=15,

在［100,110)上有60x0.3=18,

在［110,120)上有60x0.2=12,

在［120,130］上有60x0.1=6.

從以上數(shù)據(jù)可知第50百分位數(shù)一定落在區(qū)間［100,110)上，

由100+10x^1=100+^103.3;

0.7-0.43

第75百分位數(shù)一定落在區(qū)間［110,120)上，

由110+10X---------=110+—=112.5;

0.9-0.74'

綜上可知，第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)分別估計為103.3cm,112.5cm.

5.解(1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得

7.8,7,9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9,0,9.9,

因為共有12個數(shù)據(jù)，

所以12x25%=3,12x50%=6,12x95%=11.4,

則第25百分位數(shù)是駕即=8.15,

8.5+8.5

第50百分位數(shù)是~—=8.5,

第95百分位數(shù)是第12個數(shù)據(jù)為9.9.

(2)因為共有12個數(shù)據(jù)，所以12x