浙江省紹興市新昌縣2024-2025學年高三數(shù)學上學期期末試題含解析

Page21浙江省紹興市新昌縣2024-2025學年高三數(shù)學上學期期末試題選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交運算求即可.【詳解】由題設，.故選：C2.設（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則化簡，再依據(jù)復數(shù)模的計算公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以；故選：B3.若實數(shù)，滿意約束條件，則的最大值是（）A.－2 B.－4 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得結論.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，化目標函數(shù)為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最大值為.故選：C.4.某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三視圖知幾何體為棱臺，并還原直觀圖，應用棱臺的體積公式求幾何體體積即可.【詳解】由三視圖知：幾何體為如下圖示的棱臺，而，，所以.故選：A.5.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性可解除BC，由可解除A，從而得到正確結果.【詳解】∵，定義域為R，又，為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，可解除BC，又，可解除A.故選：D.6.已知非零向量，，，則“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分、必要性的定義，結合向量減法的幾何意義推斷條件間的推出關系，即可得答案.【詳解】由，，如下圖示，，當且僅當，，共線時前一個等號成立，充分性成立；當，不肯定有，，必要性不成立綜上，“，”是“”的充分而不必要條件.故選：A7.數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34…，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從第三項起先，每項等于其前相鄰兩項之和.記該數(shù)列的前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用迭代法可得，可得，代入即可求解.【詳解】由題意，該數(shù)列從第三項起先，每項等于其前兩相鄰兩項之和，所以，所以，令，可得，故選：B【點睛】關鍵點點睛：理解數(shù)列新定義的含義得出，利用迭代法得出，進而得出.8.如圖，正方體中，是棱的中點，是側面上的動點，且平面.記與平面所成角為，與所成角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用作圖，構造出和，分別求和，比較后，即可推斷選項.【詳解】如圖，取，，的中點，，，連接，，，，，，設棱長為2，，平面，平面，所以平面，，同理平面，，且，所以平面平面，所以點在線段上，因為平面，所以，因為，所以或為，,當點在的中點時，最小，此時最大，最大值是，當點與點，重合時，最大，此時最小，最小值是，當點在的中點時，，當點與點，重合時，最小，,，，，所以，，，所以.故選：D9.已知為圓：上長度為4的動弦，點是直線：上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設的中點為，則，則由題意可得點在以為圓心，1為半徑的圓上，從而可得的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑1，進而可求得答案【詳解】由，得，所以圓心，半徑，設的中點為，則，因為，半徑，所以，所以點在以為圓心，1為半徑的圓上，所以的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑1，所以，所以的最小值為，故選：A10.已知關于的不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，，則（）A.既有最小值，也有最大值 B.有最小值，沒有最大值C.有最大值，沒有最小值 D.既沒有最小值，也沒有最大值【答案】B【解析】【分析】對不等式進行變形，構造新函數(shù)，結合單調性與同構得到，從而利用導函數(shù)探討，求出最大值，從而求出，得到答案.【詳解】變形為：，令（）則上式可化為：，其中，所以（）單調遞增，故，即，令，則，當時，，當時，，所以在處取得極大值，也是最大值，故，所以，解得：，綜上：有最小值，無最大值.故選：B【點睛】探討函數(shù)單調性，利用同構學問，求出參數(shù)的取值范圍問題，通常適用于等式或不等式中同時存在指數(shù)與對數(shù)式，要結合不等式特點，進行適當變形.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.已知等比數(shù)列是特別數(shù)數(shù)列，且，，則______.【答案】##0.375【解析】【分析】由題可得，進而可得，再利用即求.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由題可知，又，，∴，解得或（舍去），∴.故答案為：.12.已知則______；若，則的取值范圍是______.【答案】①.3②.【解析】【分析】先求，再求，即得，分和兩種狀況代的解析式，解不等式即可．【詳解】因為，，當時，，得，當時，，得，故的取值范圍是故答案為：3；.13.在中，內角，，的對邊分別為，，，已知，，，則的面積為______；______.【答案】①.②.【解析】【分析】首先求出，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求出，最終利用余弦定理求出；【詳解】解：因為，所以，所以，由余弦定理可得，所以，所以由，解得；故答案為：；；14設，則______；______.【答案】①.②.【解析】【分析】利用賦值法求得正確答案.【詳解】依題意，令，得.令得①，令得②，①+②得.故答案為：；15.某市出名男老師和名女老師（），從中任取兩名老師去西部支教，甲被抽中的概率為，一名男老師和一名女老師被抽中的概率為，則______，記去支教的老師中男老師的人數(shù)是，則______.【答案】①.②.【解析】【分析】利用題中所給的概率，列式，即可求解；首先求的分布列，再求期望.【詳解】由隨機抽樣的概率可知，，且，得，且，解得：，，所以；，，，，分布列如下：1.故答案為：；16.若實數(shù)，滿意，且的最大值為，則實數(shù)的值是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)象限取肯定值符號，依據(jù)的幾何意義，然后數(shù)形結合可得.【詳解】當時，曲線為橢圓在第一象限的圖象，當時，曲線為雙曲線在第四象限的圖象，當時，曲線為雙曲線在其次象限的圖象，當時，原方程無實數(shù)解.因為直線是雙曲線和的漸近線，令，則表示曲線上的點到直線的距離，因為的最大值為，所以的最大值為由圖知，曲線上到直線距離最大的點在橢圓上，設橢圓上動點坐標為，由點到直線的距離公式得因為，所以要想有最大值，直線需向上平移，使得平移后的直線與直線的距離為，即直線與直線的距離為，所以，解得，故答案為：17.梯形中，，線段交以，為焦點且過，的雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率為_____.【答案】【解析】【分析】設，雙曲線為，求坐標，應用定比分點求坐標，將代入雙曲線方程得到齊次方程求離心率即可.【詳解】由題設，如下圖示，令雙曲線為，由，則，令，可得，故，又，則，，所以，由E在雙曲線上，可得，整理得，且，則.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.已知函數(shù)（）的最小正周期為.（1）求的值，并求的單調遞增區(qū)間；（2）當時，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換法則將函數(shù)解析式化為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，再利用正弦函數(shù)的單調性可求得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）依據(jù)（1）中的結論，由求得的取值范圍，結合正弦函數(shù)的基本性質可求得函數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】∵,所以，函數(shù)的最小正周期，則，，令，解得.因此，函數(shù)單調遞增區(qū)間為；【小問2詳解】，則，，則.因此，當時，的取值范圍為．19.如圖，三棱錐中，，，.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）若分別是中點，連接，由已知條件及勾股定理可得、，依據(jù)線面垂直的判定和面面垂直的判定即可證結論.（2）由（1）可得，結合面面垂直的性質求到面的距離，由等體積法求到面的距離，進而求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】如下圖，若分別是中點，連接，令，由，即△為等腰直角三角形，則；在等腰△中，可得且，又，所以，即，又且面，所以面，而面，故平面平面.【小問2詳解】由（1）知：，，則，即，若為到上的高，則，可得，又面面，且面面，易知到面的距離為.所以，又，，若到面的距離為，則，可得，又，所以直線與平面所成角正弦值.20.已知數(shù)列的前項和為，滿意（）.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）已知，且數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用前n項和與的關系可得，時，，時，，即證；（2）由題可得，進而可得，設，利用錯位相減法可求的前n項和為，然后通過分類探討可求.【小問1詳解】∵，∴當時，，即，當時，，，∴，即，∴，又，∴是等差數(shù)列；【小問2詳解】由上可知，，∴，又數(shù)列的前項和為，，∴，∴或（舍去），∴，設，設數(shù)列的前n項和為，則，∴，∴∴，當時，，當時，，綜上，.21.如圖，已知拋物線的焦點為橢圓：（）的右焦點，點為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交拋物線于，兩點，交橢圓于，兩點（，，，依次排序），且，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）確定拋物線即橢圓的右焦點坐標，繼而求得點，由此列出方程組，即可求得橢圓方程；（2）設直線方程，和拋物線以及橢圓分別聯(lián)立，求得相應的弦長，即的表達式，利用，解方程可得答案.【小問1詳解】由拋物線可知：，故由得：,故，則，則對于有：，解得，故橢圓方程為：；【小問2詳解】過點的直線的斜率不存在時，則有不符合題意，故設直線的斜率為k，則直線方程為，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：，設，則，故，聯(lián)立，整理得：，設,則，則，又故，即，整理得，解得，由題中所給圖可知，，故，故直線的方程為.【點睛】本題考查了橢圓方程的求法，以及直線和橢圓相交時的弦長問題，綜合考查了學生分析問題，解決問題以及計算的實力，解答的關鍵是明確解答的思路，即聯(lián)立方程，計算弦長，難點就是計算量大且繁雜，要特別細心.22.已知函數(shù)，其中，，…為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若-1是的極大值點，求實數(shù)的取值范圍；（2）記在區(qū)間上的值域為，若對于隨意給定的非負實數(shù)，存在使得，求有序實數(shù)對的個數(shù).【答案】（1）（2）滿意題意的有序數(shù)對的個數(shù)為1個【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出導函數(shù)等于零時的根，由題意可得不等式，解得答案；（2）分類探討實數(shù)的取值狀況，其中依據(jù)題意合理地構造函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，依據(jù)推斷是否有滿意題意的有序數(shù)對.【小問1詳解】因為，由得：或，因為是的極大值點，所以，故，故實數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】當時，，，所以在R上單調遞增，故在上的值域為，即，由得，故，此時有一組解也即有一組有序數(shù)對；當時，，由得：或，此時，令，得或，令，得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，若，所以