天津市寧河區(qū)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題含解析

天津市寧河區(qū)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），考試用時(shí)120分鐘，共150分.答卷時(shí)，將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡上，非選擇題的答案寫在答題紙上.第Ⅰ卷一、選擇題（每小題5分，共45分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合A，B，求交集并集即可.詳解】，，故選：C．2.已知命題，，則命題的否定是A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)特稱命題的否定，變更量詞，否定結(jié)論，可得出命題的否定.【詳解】命題為特稱命題，其否定為，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定的改寫，要留意量詞和結(jié)論的變更，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先推斷函數(shù)的奇偶性，解除選項(xiàng)，再推斷時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，解除選項(xiàng).【詳解】明顯，，解得：且，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解除CD；當(dāng)，，，所以，解除B故選：A．4.為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)100名年齡在17～18歲的男生的體重(千克)，將他們的體重按[54.5，56.5)，[56.5，58.5)，…，[74.5，76.5]分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．由圖可知這100名學(xué)生中體重在[56.5，64.5)的學(xué)生人數(shù)是（）A.20 B.30C.40 D.50【答案】C【解析】【分析】計(jì)算[56.5，64.5)的頻率為0.4，然后樣本人數(shù)100×0.4=40人.【詳解】由頻率分布直方圖可得體重在[56.5，64.5)的學(xué)生頻率為(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，則這100名學(xué)生中體重在[56.5，64.5)的學(xué)生人數(shù)為100×0.4＝40.故選：C.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在頻率分布直方圖中，小長(zhǎng)方形的面積表示頻率，而不是縱坐標(biāo)表示頻率.5.已知正方體的全部頂點(diǎn)都在球O的表面上，若球的體積為，則正方體的體積為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出球的半徑，再依據(jù)正方體的棱長(zhǎng)與其外接球半徑的關(guān)系，求出正方體的棱長(zhǎng)，即可求出正方體的體積.【詳解】解：球的體積為，即，解得：，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由題意知：，即，解得：，正方體的體積.故選：D.6.在高三下學(xué)期初，某校開展老師對(duì)學(xué)生的家庭學(xué)習(xí)問卷調(diào)查活動(dòng)，已知現(xiàn)有3名老師對(duì)4名學(xué)生家庭問卷調(diào)查，若這3名老師每位至少到一名學(xué)生家中問卷調(diào)查，又這4名學(xué)生的家庭都能且只能得到一名老師的問卷調(diào)查，那么不同的問卷調(diào)查方案的種數(shù)為A.36 B.72 C.24 D.48【答案】A【解析】【分析】分為兩步進(jìn)行求解，即先把四名學(xué)生分為1,1,2三組，然后再分別對(duì)應(yīng)3名任課老師，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可．【詳解】依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先把4名學(xué)生分成3組，其中1組2人，其余2組各1人，有種分組方法；②將分好的3組對(duì)應(yīng)3名任課老師，有種狀況；依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的問卷調(diào)查方案．故選A．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，分清是依據(jù)分類求解還是依據(jù)分布求解，然后再依據(jù)排列、組合數(shù)求解，簡(jiǎn)單出現(xiàn)的錯(cuò)誤時(shí)在分組時(shí)忽視平均分組的問題．考查理解和運(yùn)用學(xué)問解決問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，記，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定，依據(jù)單調(diào)性和偶函數(shù)定義可比較出函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】，在是增函數(shù)，，又為偶函數(shù)，，，即.故選：A.8.如圖，已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓于兩點(diǎn)（在之間），與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過作，垂足為H，可得，在直角中利用勾股定理可求出，進(jìn)而得出，利用雙曲線定義得出關(guān)系即可求出離心率.【詳解】圓，故圓心為原點(diǎn)，半徑為，過作，垂足為H，則H是AB中點(diǎn)，，則H是中點(diǎn)，，，，則在直角中，，則,是中點(diǎn)，，則由雙曲線定義可得，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是作出中點(diǎn)H，得出，進(jìn)而利用雙曲線定義求解.9.設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下述結(jié)論：①關(guān)于中心對(duì)稱；②關(guān)于直線軸對(duì)稱；③在上的值域?yàn)?；④方程在有個(gè)不相同的根.其中正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①② B.②③ C.②④ D.③④【答案】D【解析】【分析】利用題干中的已知條件求得，可得出，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可推斷①②的正誤，利用正弦型函數(shù)的值域可推斷③的正誤，求出方程在上的解，可推斷④的正誤.【詳解】，由可得，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，所以，，解得，由，解得，且，，可得，，則.對(duì)于①，，所以，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，即在上的值域?yàn)?，③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，令，可得，或或或.所以，方程在有個(gè)不相同的根，④正確.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成形如的形式或的形式；其次步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.第Ⅱ卷二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)一個(gè)給3分）10.設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是_________.【答案】##【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可化簡(jiǎn)得到，由實(shí)數(shù)的定義可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】實(shí)數(shù)，，解得：.故答案為：.11.已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則的值為_________.【答案】1【解析】【分析】利用圓心到直線的距離，通過勾股定理列方程求解即可.【詳解】依題意可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離，由勾股定理可知，，代入化簡(jiǎn)可得，且，解得．故答案：．12.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則___________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出函數(shù)在處的導(dǎo)函數(shù)值為切線的斜率.【詳解】所以函數(shù)在處的導(dǎo)函數(shù)值為，依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得故答案為：13.一個(gè)盒子里有1個(gè)紅1個(gè)綠2個(gè)黃四個(gè)相同的球，每次拿一個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為，則_______；______．【答案】①.②.1【解析】【分析】先計(jì)算出的分布列，再利用公式可求.【詳解】隨機(jī)變量，對(duì)應(yīng)事務(wù)為第一次拿紅球或第一次拿綠球，其次次拿紅球，所以，對(duì)應(yīng)事務(wù)為第一次拿黃球，其次次拿紅球，或第一次拿黃球，其次次拿綠球，第三次拿紅球，或第一次拿綠球，其次次拿黃球，第三次拿紅球，故，故，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：計(jì)算離散型隨機(jī)變量的分布列，留意隨機(jī)變量取值時(shí)對(duì)應(yīng)的含義，從而正確計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，另外留意利用對(duì)立事務(wù)計(jì)算概率.14.已知、都是正數(shù)，且，則的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】由可得出，依據(jù)已知條件得出，將代入所求代數(shù)式可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】，所以，，，由，解得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要留意其必需滿意的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必需驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最簡(jiǎn)單發(fā)生錯(cuò)誤的地方.15.在中，，，，在邊上，若，，則實(shí)數(shù)的值為______________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量數(shù)量積定義可求得，利用表示出，利用平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】，，解得：.故答案為：.三、解答題（本題共5小題，共75分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.在中，角所對(duì)邊分別為，，，且，，.（1）求邊及的值；（2）求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先由求得，再利用三角形面積公式可得，結(jié)合條件可得，的值，從而利用余弦定理求得，利用正弦定理求得；（2）由（1）可知，從而求得，，再結(jié)合二倍角公式與余弦的和差公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，又，即，所以，即，解得（?fù)值舍去），則，所以，則，因?yàn)?，即，所?【小問2詳解】在中，，由（1）可得，則，所以，，則，，所以.17.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，是線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為.（1）證明∥平面BCM（2）已知，為上的點(diǎn)，若與平面所成角的正弦值為是，求線段的長(zhǎng).（3）在（2）的條件下，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】(1)先證明∥平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理可證∥平面；(2)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),計(jì)算出平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合與平面所成角的正弦值為是解出，進(jìn)而可得的長(zhǎng)；(3)分別計(jì)算二面角兩個(gè)半平面的法向量，結(jié)合空間角的向量求法即可求解.【小問1詳解】在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面【小?詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則有，，，，，設(shè)，則有，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為是，所以，解得.所以.【小問3詳解】由（2）可知平面的一個(gè)法向量為因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以于是，，設(shè)平面的法向量則，即.令，得，，，所以二面角的正弦值為.18.已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，，前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）干脆利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組即可求出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減和分組求和進(jìn)行求和.【小問1詳解】設(shè)的公差為，的公比為，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，；【小?詳解】因?yàn)椋?；所以記所以所以所?19.已知橢圓的離心率為，一個(gè)頂點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上，其中為原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)滿意，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)）.（i）直線與以為圓心圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）若點(diǎn)在第四象限，且，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）求出拋物線的準(zhǔn)線方程，從而得到，結(jié)合離心率列出方程組，求出橢圓方程；（2）（i）解法1：設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)，斜率乘積為，得到，，利用基本不等式求出的取值范圍，結(jié)合異于橢圓的頂點(diǎn)，所以，最終求出范圍；解法2：設(shè)，得到，由，得到，列出方程，結(jié)合，得到，結(jié)合且，求出的取值范圍；（ⅱ）解法1：分與兩種狀況，依據(jù)差角正弦公式得到或，直線的傾斜角為，從而求出直線方程，進(jìn)而聯(lián)立橢圓方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線斜率.解法2：由，，得到，結(jié)合（?。┲兴簏c(diǎn)的坐標(biāo)，表達(dá)出到直線的距離為，從而表達(dá)出，，從而列出方程，求出.小問1詳解】的準(zhǔn)線方程為，由已知，得，而，，∴，，故；【小問2詳解】（?。┙夥?：因?yàn)橹本€與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，所以，依據(jù)題意可知，直線和的斜率均存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，聯(lián)立與得：，解得或.將代入，得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為，又因?yàn)?，所以，整理得，因，所以且，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).因?yàn)楫愑跈E圓的頂點(diǎn)，所以，解得的取值范圍是.解法2：因?yàn)?，而得，設(shè)，即，∵，則，∴，整理得，①而，有，代入①中得，∴，由橢圓方程知：且，∴，（ⅱ）解法1：不妨令，如圖1所示：因?yàn)?，所以，由點(diǎn)在第四象限，∴，而，，∴，而，有，即直線的傾斜角為，∴直線為，代入橢圓方程得，得，，∴由知：；若，如圖2，因?yàn)?，所以，由點(diǎn)在第四象限，∴，而，，所以，而，有，即直線的傾斜角為，∴直線為，代入橢圓方程得，得，，∴由知：；（ⅱ）解法2：由，且，得，即由（?。┲?，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)在軸的下方，則.設(shè)到直線：的距離為，.，.從而，解得：.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．20.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明；（3）若關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】(1)把函數(shù)寫成分段函數(shù)，再推斷每一