高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第三章 第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)突破熱點(diǎn)題型 文

第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域和值域[例1](1)求函數(shù)y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域；(2)求函數(shù)y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值與最小值．[自主解答](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x＞0，,9－x2≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜2x＜2kπ＋π，k∈Z，,－3≤x≤3.))∴－3≤x＜－eq\f(π,2)或0＜x＜eq\f(π,2).∴函數(shù)y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3≤x＜－\f(π,2)))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(或0＜x＜\f(π,2))))).(2)令t＝sinx，∵|x|≤eq\f(π,4)，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).∴y＝－t2＋t＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，ymax＝eq\f(5,4)，t＝－eq\f(\r(2),2)時(shí)，ymin＝eq\f(1－\r(2),2).∴函數(shù)y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值為eq\f(5,4)，最小值為eq\f(1－\r(2),2).【方法規(guī)律】1．三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．2．三角函數(shù)值域(或最值)的求法求解三角函數(shù)的值域(或最值)常見到以下幾種類型的題目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(或最值)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值)．(·陜西高考)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(1,2)))，b＝(eq\r(3)sinx，cos2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解：f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(1,2)))·(eq\r(3)sinx，cos2x)＝eq\r(3)cosxsinx－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝coseq\f(π,6)sin2x－sineq\f(π,6)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(1)f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π，即函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6).由正弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)時(shí)，f(x)取得最大值1.當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝0時(shí)，f(0)＝－eq\f(1,2)，當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，即x＝eq\f(π,2)時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(1,2)，故f(x)的最小值為－eq\f(1,2).因此，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值為1，最小值為－eq\f(1,2).考點(diǎn)二三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性[例2](1)(·浙江高考)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝eq\f(π,2)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(2)(·福建高考)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象的一條對(duì)稱軸是()A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4)D．x＝－eq\f(π,2)(3)(·江西高考)函數(shù)y＝sin2x＋2eq\r(3)sin2x的最小正周期T為________．[自主解答](1)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；φ＝eq\f(π,2)時(shí)，f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＝－Asinωx，為奇函數(shù)．所以“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝eq\f(π,2)”的必要不充分條件．(2)法一：(圖象特征)∵正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，故令x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，則x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.取k＝－1，則x＝－eq\f(π,4).法二：(驗(yàn)證法)x＝eq\f(π,4)時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,4)))＝0，不合題意，排除A；x＝eq\f(π,2)時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，不合題意，排除B；x＝－eq\f(π,2)時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)，不合題意，排除D；而x＝－eq\f(π,4)時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)－\f(π,4)))＝－1，符合題意，C項(xiàng)正確，故選C.(3)∵y＝sin2x＋eq\r(3)(1－cos2x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\r(3)，∴最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.[答案](1)B(2)C(3)π【互動(dòng)探究】本例(2)中函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心是什么？解：令x－eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，則x＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z.故函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，0))(k∈Z)．【方法規(guī)律】函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0.(2)對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷．1．函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的一條對(duì)稱軸為x＝eq\f(π,12)，則φ＝________.解析：由y＝sinx的對(duì)稱軸為x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即3×eq\f(π,12)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得φ＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．又|φ|＜eq\f(π,2)，所以k＝0，故φ＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)2．函數(shù)y＝cos(3x＋φ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則φ＝________.解析：由題意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函數(shù)，故φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．答案：kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性1．三角函數(shù)的單調(diào)性是每年高考命題的熱點(diǎn)，題型既有選擇題也有填空題，難度適中，為中低檔題．2．高考對(duì)三角函數(shù)單調(diào)性的考查有以下幾個(gè)命題角度：(1)求已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)；(3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值)．[例3](1)(·新課標(biāo)全國卷)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．(0,2](2)(·安徽高考)已知函數(shù)f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期為π.①求ω的值；②討論f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的單調(diào)性．[自主解答](1)由eq\f(π,2)＜x＜π，得eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,4)＜ωx＋eq\f(π,4)＜πω＋eq\f(π,4)，由題意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)，πω＋\f(π,4)))?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)且eq\f(2π,ω)≥2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,2)))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，,πω＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，))且0＜ω≤2，故eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4).(2)①f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)sinωx·cosωx＋2eq\r(2)cos2ωx＝eq\r(2)(sin2ωx＋cos2ωx)＋eq\r(2)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq\r(2).因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，且ω>0，從而有eq\f(2π,2ω)＝π，故ω＝1.②由①知，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\r(2).若0≤x≤eq\f(π,2)，則eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).當(dāng)eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)，即0≤x≤eq\f(π,8)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，即eq\f(π,8)≤x≤eq\f(π,2)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減．綜上可知，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減．[答案](1)A三角函數(shù)單調(diào)性問題的常見類型及解題策略(1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間．①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)．先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解．(3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值)．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或可化為y＝Asin(ωx＋φ)＋b的三角函數(shù)的值域(或最值)問題常利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決．1．若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω＞0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，則ω等于()A．3B．2C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)解析：選C∵y＝sinωx(ω＞0)過原點(diǎn)，∴當(dāng)0≤ωx≤eq\f(π,2)，即0≤x≤eq\f(π,2ω)時(shí)，y＝sinωx是增函數(shù)；當(dāng)eq\f(π,2)≤ωx≤eq\f(3π,2)，即eq\f(π,2ω)≤x≤eq\f(3π,2ω)時(shí)，y＝sinωx是減函數(shù)．由y＝sinωx(ω＞0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減知，eq\f(π,2ω)＝eq\f(π,3)，故ω＝eq\f(3,2).2．求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的單調(diào)區(qū)間．解：把函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))變?yōu)閥＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).由kπ－eq\f(π,2)<2x－eq\f(π,3)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,6)<2x<kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)<x<eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)，k∈Z.故函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)