高中數(shù)學(xué)第2章空間向量與立體幾何55.3直線與平面的夾角課后鞏固提升（含解析）北師大版選修21

5.3直線與平面的夾角課后篇鞏固提升1.下列有關(guān)角的說法正確的是()A.異面直線所成的角的范圍是B.兩平面的夾角可以是鈍角C.斜線和平面所成角的范圍是D.直線與平面的夾角的取值范圍是答案D2.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.答案A3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長相等,側(cè)棱垂直于底面,點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心,則AD與平面BB1C1C夾角的大小是()A. B.C. D.答案C4.在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分別是棱AB,BC,CP的中點(diǎn),AB=AC=1,PA=2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為()A. B. C. D.答案B5.若平面α的一個(gè)法向量為n=(4,1,1),直線l的方向向量為a=(-2,-3,3),則l與α夾角的余弦值為.

答案6.如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD的夾角為,則平面FBE與平面DBE夾角的余弦值是.

答案7.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(1)求證:SA⊥BC;(2)求直線SD與平面SAB夾角的正弦值.(提示:用向量法求解)(1)證明如圖,作SO⊥BC,垂足為O,連接AO.由側(cè)面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因?yàn)镾A=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,故△AOB為等腰直角三角形,且AO⊥OB.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA為x軸正向,OB為y軸正向,OS為z軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(,0,0),B(0,,0),C(0,-,0),S(0,0,1),所以=(,0,-1),=(0,2,0).所以=0.所以SA⊥BC.(2)解如上圖,取AB的中點(diǎn)E.連接SE,取SE的中點(diǎn)G,連接OG,則.所以=0,=0,即OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE,AB垂直,所以O(shè)G⊥平面SAB.將的夾角記為α,SD與平面SAB的夾角記為β,則α與β互余.因?yàn)镈(,-2,0),所以=(-,2,1),所以cosα=,所以sinβ=.所以直線SD與平面SAB夾角的正弦值為.8.在正四棱錐P-ABCD中,AB=2,PA=,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),過直線EF的平面α分別與側(cè)棱PB,PD交于點(diǎn)M,N.(1)求證:MN∥BD;(2)若EF=2MN,求直線PA與平面α所成角的正弦值.(1)證明在△ABD中,因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD且EF=BD,又因?yàn)镋F?平面PBD,BD?平面PBD,所以EF∥平面PBD.因?yàn)镋F?平面α,α∩平面PBD=MN,所以EF∥MN,所以MN∥BD.(2)解由EF=2MN,得,則.設(shè)O為BD的中點(diǎn),以O(shè)為原點(diǎn),OE所在直線為x軸,作出y軸,OP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)镻A=,AB=2,所以PO=2,所以A(1,-1,0),E(1,0,0),F(0,-1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),則=(-1,1,2),=(-1,-1,0),=(1,1,-2),=(0,1,0),所以=,-,所以=-.