（全國Ⅰ卷）2016-2019年高考理科數(shù)學全國卷1試卷試題真題含答案

絕密★啟用刖3.已知等差數(shù)列｛4)前9項的和為27,4。=8,則即X)()

在

.A.100B.99C.98D.97

.2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國新課標卷1)

.

.4.某公司的班車在7：30,8:00,8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐

.

.班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是

.理科數(shù)學

.

.()

此

便雨堵區(qū)：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建,廣東\_2

.

.A.3B.2

.

.本試卷分第I卷和第n卷兩部分.第1卷1至3頁，第n卷4至6頁，滿分15。23

.

.分.C.3D.4

.

.

卷J=1

考生注意：上___

-5.已知方程"+〃3〃廠-〃表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則〃的

-

-1.答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認真核對答取值范圍是

-

-題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、

-()

-

,-姓名是否一致.A.T3)B.(T6)

叩

上

生.

.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如c(0,3)口.(°，6)

沏.

斐.

.需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.第II卷用0.5亳米的黑色墨水6.如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該

.

.簽字筆在答題卡上書寫作答,若在試題卷上作答，答案無效.28萬

.

.幾何體的體積是3,則它的表面積是

.3.考試結束，監(jiān)考員將本試題卷、答題卡一并收回.

答

.

.第I卷

.

.

.

.

.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

.

題

-合題目要求的。

-

-I設集合'=-4'+3<0},"={石2'—3>0},則AB=

-

-

-

-

-A.3B.18萬

無

C.20萬D.28%

7.函數(shù)y=2/一外在［-2,2］的圖象大致為

2,設(l+i)x=l+，i,其中x,是實數(shù)，則口+川=()()

效D.2

a平面4^4=〃，則加，〃所成角的正弦值為

.也

A.2B.2

C.3D.3

7T

()f(x)=sin(5+(p)(co>0,|工I)x=-

12.已知函數(shù)2彳為"X）的零點,4為

A.相<加Bab<>bd

alog〃cvblog"Cy=f（x）圖象的對稱軸，且/（x）在（!？*）單調(diào)，則。的最大值為

D.log"CVlog〃c

.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的則輸出的值滿足（

9x=°,y=i,”=1,x,y()

A.11B.9

C.7D.5

第n卷

注意事項：

第n卷共3頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，若在試題卷上作答，答

案無效.

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13?21題為必考題,每個試題考生都必須作答.

yx

第22?24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(結一)二、填空題：本題共4小題，每小題5分.

13.設向量。=（皿1）,b=。，2）,且1〃+葭=1/+1請，則〃?=.

A.,'=2xB.)'=3x

14.（2x+?）’的展開式中，爐的系數(shù)是（用數(shù)字填寫答案）.

D.y=5x

15.設等比數(shù)列伍”｝滿足4+%=10,%+%=5,則4%…4的最大值為.

10.以拋物線C的頂點為圓心的圓交OTA,B兩點，交C的準線于D,E兩點,已知

16.某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需

148|=4及，1°￡|=26，則（：的焦點到準線的距離為

要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,

()乙材料0.3kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B

A.2B.4的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時

C.6D.8的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元.

11.平面儀過正方體ABCD-ABQR的頂點A,?//平面CBRa平面ABCD=m,三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

數(shù)學試卷第3頁（共72頁）數(shù)學試卷第4頁（共72頁）

■BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosc(acosB+6cosA)=c

(I)求C：

石

320.(本小題滿分12分)

若,=行，△的面積為,求△的周長.

(11)ABC2ABC設圓//+2.1-15=0的圓心為4直線/過點8(1。)且與x軸不重合，/交圓A于

C,。兩點，過8作AC的平行線交AD于點E.

18.(本小題滿分12分)(1)證明+為定值，并寫出點E的軌跡方程；

設點的軌跡為曲線直線/交&于M,N兩點，過且與/垂直的直線

如圖，在以4,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，面尸為正方形，AF=2FD,(II)EG,B

4FD=90,且二面角Q—AF—E與二面角C—BE-F都是60.與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

(I)證明：平面A81'_L平面EEDC；

(II)求二面角七一3C—A的余弦值.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)=(x-2)e*+a(x-有兩個零點

(I)求。的取值范圍：

(II)設W，三是『(X)的兩個零點，證明：W+毛<2.

19.(本小題滿分12分)

某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在請考生在第22-24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.

購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間,22.(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個一

如圖，△38是等腰三角形，NAO8=12°.以。為圓心，2為半徑作圓.

易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件

(I)證明：直線與。0相切；

數(shù)，得下面柱狀圖：(H)點C,。在?！闵希褹,B,C,。四點共圓，證明：AB//CD_

頻數(shù)1

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的

40

頻率代替I臺機器更換的易損零件數(shù)

發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年

20

內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，〃表示購

23.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).IhIx=ticosr,

而就損零件數(shù)

089H)H~U

(1)求X的分布列；{y=l+asinf,“為參數(shù)，a>0).在

(II)若要求尸(XW〃R0.5，確定n的最小值：以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：P=4COS9

(1)說明G是哪一種曲線，并將G的方程化為極坐標方程；

(III)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其

(II)直線G的極坐標方程為0=a?,其中4滿足tan4=2,若曲線C,與G的公

一，應選用哪個？

共點都在Gi上，求〃

24.（本小題滿分10分），選修4-5：不等式選講

已知函數(shù),（X）=|x+l|-|2x-3|

（I）在圖中畫出丫=/（*）的圖象：

（II）求不等式的解集.

數(shù)學試卷第7頁（共72頁）數(shù)學試卷第8頁（共72頁）

時間不超過10分鐘，故P='20=±1.

402

【提示】求出小明等車時間不超過10分鐘的時間長度，代入幾何概型概率計算公式，可

得答案.

【考點】幾何概型

2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國新課標卷

5.【答案】A

1)

【解析】雙曲線兩焦點間的距離為4,/.c=2,當焦點在x軸上時，可得

2，

理科數(shù)學答案解析4=(m2+n)+(3m2-n),解得小=1，方程/------J=1表示雙曲線，

m“+n3rrr-n

第I卷/.(m2+n)(3m2-n)>0,可得(n+1)(3-n)>0,解得-lvnv3,即n的取值范圍

一、選擇題

是(T3是當焦點在y軸上時，可得-4=(n?+n)+(3m2-n),解得m?=T，無解.

1.【答案】D

【提示】由已知可得c=2,利用4=(m2+n)+(3m2-n),解得2=i,又

【解析】A={x|五一4滸頭}0$|x*B={x|2x-3>0j=1x|xm

(m2+n)(3nr-n)>0,從而可求n的取值范圍.

AB={X'l'Vm>.【考點】雙曲線的標準方程

6.【答案】A

【提示】解不等式求出集合A,B,結合交集的定義，可得答案.【解析】由題意可知三視圖復原的幾何體是一個球去掉)后的幾何體，如圖:

8

【考點】交集及其運算

2.【答案】B

【解析】(l+i)x=l+yi,/.x+xi=l+yi,即解得"；，即|x**斗=2|丁.

【提示】根據(jù)復數(shù)相等求出x,y的值，結合復數(shù)的模長公式進行計算即可.

【考點】復數(shù)求模可得1x3兀R3="N,R=2,它的表面積是Nx47rx22+3x，兀x2?=17兀.

83384

3.【答案】C

9a+a【提示】判斷三視圖復原的幾何體的形狀，利用體積求出幾何體的半徑，然后求解幾何

【解析】等差數(shù)列{an}前9項的和為27,$(.9)=9x2a￡=9「.9%=27,

22體的表面積.

a=3,又a=8,/.d=1,「回8=@10+90d=98.

5)0【考點】由三視圖求面積、體積

【提示】根據(jù)已知可得a.5=3,進而求出公差，可得答案.

7.【答案】D

【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)【解析】f(x)=y=2x2-e|x|,/.f(-x)=2(-x)2-e'-x|=2x2-ew,故函數(shù)為偶函數(shù)，當

4【答案】Bx=±2時，y=8-e2e(0,l),故排除A,B；當xe[0,2|時，f(x)=y=2x2-ex,

【解析】設小明到達時間為y,當y在7：50至8：00,或8：20至8：30時，小明等車

.?.f，(x)=4x-eX=0有解，故函數(shù)y=2x?-盧在。2］不是單調(diào)的，故排除C.

【提示】根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的奇偶性，最大值及單調(diào)性，利用排除法，

可得答.

【考點】函數(shù)的圖象

8.【答案】C

【解析】a>b>l,Ovcvl,.,.函數(shù)y=x。在(0,十8)上為增函數(shù)，故故A錯【提示】畫出圖形，設出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可.

誤；函數(shù)y=x'T在(1,物)上為減函數(shù)，故故bac<ab1故B錯誤；【考點】圓與圓錐曲線的綜合，拋物線的簡單性質(zhì)

logac<0,且logbCvO,logab<1,即譬,」=:0號￡<1,B|Jlogac>logbc,故D11.【答案】A

log^alogbc

【解析】如圖，a〃平面CBQi，a平面ABCD=m,a平面ABA|B1二n,可知:

錯誤；0<-logc<-logc,故-blogc<-alogc,即blogc>alogc,即

abahabn//CD,,m〃BQ1,△CBQ1是正三角形，m、n所成角就是NC?B1=60,則

alogbc<blogac,故C正確.m、n所成角的正弦值為3.

【提示】根據(jù)已知中a>b21,0<c<l,結合對數(shù)函數(shù)和事函數(shù)的單調(diào)性，分析各個結

論的真假，可得答案.

【考點】不等式比較大小，對數(shù)值大小的比較

9.【答案】C

【解析】輸入x=0,y=l,n=l,則x=0,y=l,不滿足x?+y2之36,故n=2,則

x=；,y=2,不滿足乂？十9236,故n=3,則*=^|,y=6,滿足x2+y?236,【提示】畫出圖形，判斷出m、n所成角，求解即可.

【考點】異面直線及其所成的角

故y=4x.

12.【答案】B

【提示】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量x,【解析】X=-四為f(x)的零點，x=工為y=f(x)圖象的對稱軸，.?.空UT=N,即

4442

y的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

=，即3=2141(nwN,即3為正奇數(shù)，f(x)在(二，諼］上

【考點】程序框圖4co211836J

10.【答案】B單調(diào)，則.?.史-二工，即T=仝2工，解得SV12,當3=11時，

【解析】設拋物線為y?=2px,如圖:|AB|=4x/2,|AM|=242,|DE|=25/5,|DN|=75,3618122(06

一手+(p=k兀，ksZ,同吟，此時f(x)在&D不單調(diào)，不滿

|ON|=^,xA=^^-=-,|OD|=|OA|,牛+8=^+5,解得p=4,C的焦點

11

22ppP~4足題意：當(0=9時，一半+(p=k兀，keZ,何蕓，二?中=：，此時f(x)在

到準線的距離為4.

單調(diào)，滿足題意；故①的最大值為9.

數(shù)學試卷第11頁(共72頁)數(shù)學試卷第12頁(共72頁)

【提示】根據(jù)已知可得co為正奇數(shù)，且①412,結合x=-2為f(x)的零點，x」為x￡N,yGN

441.5x+0.5y<150

【解析】設A，B兩種產(chǎn)品分別是X件和y件,獲利為Z元，由題意得

(兀5兀)x+0.3y<90

y=f(x)圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結合f(x)在118,36；上單調(diào),

5x+3y<600

可得①的最大值.x+0.3y=90人,

z=2100x+900y,不等式組表示的可行域如圖，由題意可得5x+3y=600'解得

【考點】正弦函數(shù)的對稱性

x=60

第n卷900'AIQOO)，目標函數(shù)z=2100x+900y經(jīng)過A時,直線的截距最大,

二、填空題

目標函數(shù)取得最大值2100x60+900x100=216000元.

13.【答案】—2

【解析】?+中=［「+忖~,可得ab=O，向量a=(m,l),b=(l,2),m+2=0,解得

m=—2.

【提示】利用已知條件，通過數(shù)量積判斷兩個向量垂直，然后列出方程求解即可.

【考點】平面向量數(shù)量積的運算

14.【答案】10

【提示】設A,B兩種產(chǎn)品分別是X件和y件，根據(jù)題干的等量關系建立不等式組以及

【解析】(2X+?M勺展開式中，通項公式為Tr+|=G(2x)J(4)，=C；25rx5Y,令

5-：=3,解得r=4,.”3的系數(shù)2C：=10.目標函數(shù)，利用線性規(guī)劃作出可行域，通過目標函數(shù)的幾何意義，求出其最大值即

可.

【提示】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為3,求出r,即可求出

【考點】簡單線性規(guī)劃的應用

展開式中x3的系數(shù).

三、解答題

【考點】二項式定理的應用

17.【答案】(I)在△,€：中，OVCVTI,/.sinC^O,

15.【答案】64

已知等式利用正弦定理化簡得2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

【解析】等比數(shù)列｛an｝滿足％+a3=10,a2+a4=5,可得q(a1+2,)=5,解得q=g,

整理得2(:(^^$皿人+8)=§皿(：，即溫［兀一A用岑,2cosCsinC=sinC,

3)+q2a1=10,解得3)=8,則.*.cosC=—>/.C=—；

l23

11由余弦定理得2

ae2…an=a「q"-=8H丁)=2"寸=2修，當n=3或4時，表達(II)7=a2+b?-2abL,A(a+b)-3ab=7,,/.±=6,

2

1，

式取得最大值2；=26=64.(a+b)2-18=7,「.a+b=5,.\AABC的周長為5+近.

【提示】求出數(shù)列的等比與首項，化簡…然后求解最值.【提示】(I)已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘

【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合，等比數(shù)列的性質(zhì)導公式化簡，根據(jù)sinC不為0求出cosC的值，即可確定出出C的度數(shù)；

16.【答案】216000元(H)利用余弦定理列出關系式，利用三角形面積公式列出關系式，求出a+b的值，即

可求AABC的周長.m=(I)-

nBC=0「

【考點】解三角形設平面ABC的法向量為n=(x,,y,,z,),則[,則，取n=(0,6,4),設二面角

[nAB=0

18.【答案】(1)ABEF為正方形,

E-BC-A的大小為e,

.?.AF_LEF,

ZAFD=90,則0°歷就r后rhr一嚕,則二面角E-BC-A的余弦值為一嚕-

.-.AF±DF,

DFEF=F,

.?.AF_L平面EFDC,

AFu平面ABEF,

「?平面ABEF_L平面EFDC：

(II)由AFLDF,AFJ_EF,可得NDFE為二面角D—AF—E的平面角，由ABEF為

正方形，【提示】(I)證明AFJ_平面EFDC,利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF

AFJ_平面EFDC,平面EFDC：

BEJ.EF,(II)證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點，建立如圖所示的坐標系，求出平面

.?.BE_L平面EFDC,即有CE_LBE,可得NCEF為二面角C—BE—F的平面角,BE