試論初等數(shù)學(xué)符號(hào)的改進(jìn)-莫紹揆

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯試論初等數(shù)學(xué)符號(hào)的改進(jìn)莫紹揆(南京大學(xué)數(shù)學(xué)系210093)大家都知道能夠建立數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)是一件很重要的事情.我國古代固然有很先進(jìn)的十進(jìn)記數(shù)法以表示數(shù)值,但是卻沒有表示各種運(yùn)算的符號(hào).在這方面卻是大大的落后了.明代以后我國數(shù)學(xué)的中衰,這未嘗不是緣故之一.經(jīng)過世界各國千百年的不斷發(fā)展演進(jìn),目前不但數(shù)學(xué)理論異常成熟,為各個(gè)科學(xué)部門的基礎(chǔ),甚至于我們所使用的數(shù)學(xué)符號(hào),也是異常完備,為其他各個(gè)科學(xué)部門所公用,所仿效借鑒,但是鄭重說來,目前的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)還很難說是完美的,甚至于可以說是依然犯有根本性的錯(cuò)誤的.最主要的兩點(diǎn)是,因變?cè)c函數(shù)關(guān)系(運(yùn)算)的混亂,以致求導(dǎo)數(shù)(尤其是求偏導(dǎo)數(shù))的符號(hào)既異常不方便也異常不合理;以及約束變?cè)c自由變?cè)幕靵y,以致各種積分變換的表示也不方便、不合理.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微分方程時(shí),可以說到處都受到這種不完美的符號(hào)系統(tǒng)之累.我們普通認(rèn)為,這只是高等數(shù)學(xué)方面的問題,至少在初等數(shù)學(xué)方面,這兩個(gè)毛病是沒有的,因此目前的初等數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)還是很合用的,是不必更改的.本文作者認(rèn)為,即使沒有這兩種根本性的缺點(diǎn),目前的初等數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng),依然有很多不方便處,值得改進(jìn).其所以不方便,主要有兩點(diǎn).首先,尤其是通行了機(jī)器語言以后,我們常常要求所使用的符號(hào)應(yīng)該寫成一橫行,不應(yīng)有上下并列,不應(yīng)有上角下標(biāo),這已經(jīng)是不容忽略的要求.現(xiàn)在的符號(hào)系統(tǒng)倘若違抗了這個(gè)原則的應(yīng)該改進(jìn),例如,分?jǐn)?shù)的分子、分母是上下并列的,乘方的指數(shù)寫成肩碼,有限求和、求積時(shí)的上下限是寫在上下方的等等,都應(yīng)改進(jìn).第二,括號(hào)應(yīng)該只用以表示把運(yùn)算的結(jié)果合成一項(xiàng)以及表示向量,不應(yīng)表示某種特定的運(yùn)算.因此,例如,用[]表示取整數(shù)部分的運(yùn)算,用mn我們認(rèn)為,今后引進(jìn)新符號(hào)時(shí),應(yīng)該按照這些原則而發(fā)明新符號(hào),否則很難說是合適的,至于原出改進(jìn),現(xiàn)在試按照這兩點(diǎn)來看看目前的初等數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng).首先,關(guān)于四則運(yùn)算,加、減、乘、除的符號(hào),目前我們使用+、?、×181920對(duì)后面兩個(gè)除式,他們絕不會(huì)省掉有關(guān)剩余的回答,對(duì)第一除式之所以沒有回答剩余,只不過因?yàn)槭Ｓ酁?因而省略罷了.可見采取除法的結(jié)果應(yīng)該得兩個(gè)值,商與剩余.既然除法的結(jié)果有兩個(gè)值,那么鄭重說來,只用“商”來對(duì)應(yīng)除法是不完備的.人們對(duì)于除法之所以只提“商”這個(gè)值,乃由于一個(gè)除法運(yùn)算而有兩個(gè)值,這與前三個(gè)運(yùn)算只有一個(gè)值的情況不同.其實(shí),商和剩余是兩個(gè)不同的但卻是同樣異常重要的數(shù)值,是內(nèi)容豐盛的數(shù)論的根本出發(fā)點(diǎn).既然人們不肯意一個(gè)運(yùn)算而得兩個(gè)數(shù)值作為結(jié)果,我們應(yīng)該把求商和求剩余看作兩個(gè)不同的運(yùn)算,給它們分離造專用的符號(hào).目前人們卻沒有這樣做,以致即使在高深的數(shù)論里,要表示剩余,根本沒有正式的符號(hào)(有人表示為rs19,6,這只是暫時(shí)使用,很難說已經(jīng)成了正式符號(hào));要表示商我們只能寫為19/6,它意指先求分?jǐn)?shù)19/6,再取其整數(shù)部分,結(jié)果雖與商相同,但鄭重說來,不是求商運(yùn)算.可以說目前人們沒有給商和剩余發(fā)明19從小學(xué)起便認(rèn)識(shí)它們,以后在數(shù)論中繼續(xù)使用,運(yùn)算起來便將得心應(yīng)手了.再說表示分?jǐn)?shù)的符號(hào).現(xiàn)在,求分?jǐn)?shù)的運(yùn)算用有的符號(hào)也可以按照這些原則而評(píng)定其優(yōu)劣并作。一條橫畫表示，分子，公母各放在橫畫的上下方，例如56,讀為“六分之五”.但是,上面說過,我們使用的符號(hào)應(yīng)該寫成一橫行,不應(yīng)有上下堆疊,不應(yīng)有上角下標(biāo).因此我們建議,應(yīng)該把目前已經(jīng)使用的另一寫法5/6作為分?jǐn)?shù)的正式(標(biāo)準(zhǔn))記號(hào);并依其書寫順序讀為:“五分以六”(用舊寫法才讀“六分之五”).又,現(xiàn)在把a(bǔ)的逆數(shù)記為1/a,憑空多寫分子1,這是不夠簡便的;我們應(yīng)該仿把a(bǔ)的反號(hào)數(shù)記為?a那樣,把a(bǔ)的逆數(shù)記為/a.正如“a加負(fù)b”可記為a?b那樣,“a乘b的逆數(shù)”也可記為a/b,這正是我們建議的分?jǐn)?shù)記法.分?jǐn)?shù)加減時(shí)還可如下記憶,更為方便:外積加減內(nèi)積作為分子,分母相乘為分母;例如,5/6±3/4將是:外積4?5加減內(nèi)積現(xiàn)在沒有特定的記號(hào)表示乘方運(yùn)算,只把底數(shù)寫在一行中間,把乘方指數(shù)寫成上標(biāo),這么重要的運(yùn)算居然沒有特定符號(hào)表示,這是異常不合理的;此外,如上所說,它使用上標(biāo),不寫成線形行,不適用于機(jī)器語言,這是極不方便的,必須改正.我們建議,可模仿程序語言中的寫法而略作變化,用↑作為乘方運(yùn)算的記號(hào),叫做乘方符,把“a的b次方”記為a↑b,a叫做乘方的底,b叫做乘方指數(shù);并約定,它的管轄范最狹,甚至于比毗連(表示乘法)所管的還狹;例如,3a↑b指“a的b次方的三倍”而不是“3a的b次方”,后者須寫為3a↑b.普通,倘若↑所管的不是最狹的范圍,則必須用括號(hào)括出.至于兩個(gè)乘方符之間,則和兩個(gè)同等管轄能力的符號(hào)之間一樣,約定使用左結(jié)合,亦即乘方的三大定理可寫為:aaa給出這三條乘方定理后,可以順便告訴讀者:倘若容許乘方指數(shù)可為0及正負(fù)整數(shù),它們應(yīng)該有下列的意義,當(dāng)a≠0因?yàn)閍↑0?a↑n=a因?yàn)閍↑?n?a↑n+1=a↑和沒有制定乘方運(yùn)算符號(hào)相反,現(xiàn)在卻異常為開方運(yùn)算(求根運(yùn)算)制定異常記號(hào):?,這是開平方,當(dāng)開n次方時(shí)則在左上角記上n.按照目前的教學(xué)順序,學(xué)了正整指數(shù)以后,即進(jìn)入到開方,當(dāng)讀者認(rèn)識(shí)開方運(yùn)算后,再找機(jī)會(huì)推薦分?jǐn)?shù)指數(shù),其實(shí),我們應(yīng)該一開始便推薦分?jǐn)?shù)指數(shù).引入過程大體如下.當(dāng)想開始研究開方運(yùn)算時(shí),再次指出,乘方指數(shù)還可以推廣到分?jǐn)?shù),其意義如下.因?yàn)閍↑m/n↑n=a↑m/n?n=a↑m,故a↑m/n應(yīng)該是滿意下列條件的x:x↑必須注重,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a↑/n是唯一的而且a可正可負(fù)均有定義;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),只當(dāng)a為正時(shí)a↑/n才有定義,而且這時(shí)可有兩值,一正一負(fù).因?yàn)槲覀內(nèi)菀鬃C實(shí),推廣到正負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)以后,仍然滿意指數(shù)的三大定律,其證實(shí)絕不難于證實(shí)有關(guān)開方運(yùn)算的定理;而使用分?jǐn)?shù)指數(shù)的乘方較之使用開方符號(hào)要方便得多.因此,可以根本取消有關(guān)開方運(yùn)算?的理論,根本不必引入符號(hào)?.可以說,乘方與開方屬于同一個(gè)運(yùn)算↑,當(dāng)主目為整數(shù)時(shí)便是乘方,當(dāng)主目為分?jǐn)?shù)時(shí)便是開方.使用這種符號(hào)系統(tǒng)后,例如,普通的二次方程可表示為:ax∧2+bx初等數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)有一個(gè)極大的特征,那就是,鄭重區(qū)別運(yùn)算(函數(shù)關(guān)系)和因變量(函數(shù)).前者指一種動(dòng)作,后者是一個(gè)項(xiàng),一種數(shù)值.例如,提到運(yùn)算時(shí)叫做加減乘除,提到數(shù)值時(shí)叫做和差積商,兩者區(qū)別得清清晰楚,絕沒有混亂的可能.到了乘方,開始有些混亂.當(dāng)我們說,“對(duì)x乘方三次”,這時(shí)“乘方”是動(dòng)詞,是運(yùn)算;當(dāng)我們說“x的三次乘方”,這時(shí)“乘方”是名詞,是項(xiàng),是(因)變量.但是這只是同名(同叫做“乘方”)歧義,還能按照它用為動(dòng)詞還是用為名詞而作區(qū)別,到了“乘方”以上,亦即超出代數(shù)運(yùn)算的范圍時(shí),人們便只說“因變量”(函數(shù))”不再說“運(yùn)算(函數(shù)關(guān)系)”了.這時(shí),我們只引入表示函數(shù)(因變量)的符號(hào)fx,不再單獨(dú)地引入表示運(yùn)算的符號(hào)f略談對(duì)一個(gè)幾何題的開辟夏敦煌(湖北省通山縣寺下中學(xué)437600)已知AD與BC交于E求證:1AC圖一這是一個(gè)常見的幾何題,它有較為豐盛的潛能.若對(duì)它舉行開辟,以用于初三復(fù)習(xí)或第二課堂教學(xué).則在培養(yǎng)學(xué)生的探索能力方面將收到事半功倍的教學(xué)效果.下面本文在原條件不變及盡量不加新線段(若加,則要求所得的結(jié)論能以原題結(jié)論引出)的基礎(chǔ)上大略地談?wù)剬?duì)本題的(初步)開發(fā).(主要結(jié)論都在波浪線上).1.若AC=BD且AC⊥AB,由AC//FE//BD知△2.若AC=BD.由AC//FE//BD得1AC+1BD=1FE,而AC=BD.∴2AC=1FE,2BD=1FE,∴EF=13.由AC//FE//BD∴4.若∠1=∠2=60°(圖二)由AC//FE//BD知△AEC與圖二5.若∠1=∠2≠60°(圖三)由AC//FE//BD易知∠C=∠5,知道“對(duì)數(shù)運(yùn)算”log和“正弦運(yùn)算”sin了,豈止不知道這兩個(gè)運(yùn)算,以前的讀者甚至于還被千叮萬囑地告訴:log和sin是沒存心義的,必須后面跟以數(shù)值或變?cè)獣r(shí)才干使用.其實(shí),這樣的告誡是不夠妥善的.因?yàn)?