高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)模型的應(yīng)用專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

函數(shù)模型的應(yīng)用

一、單項(xiàng)選擇題

1.在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下

列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y—2x~2B.y=1(x2-1)

C.y=log2XD.y=\ogix

2

2.視力檢測(cè)結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如

表所示.

小數(shù)記錄%0.10.120.15???11.21.52.0

五分記錄y4.04.14.2???55.15.25.3

現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y=5+lgx,②尸5+施x表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，y表

示五分記錄數(shù)據(jù)，請(qǐng)選擇最合適的模型解決如下問(wèn)題：小明同學(xué)檢測(cè)視力時(shí)，醫(yī)

生告訴他的視力為4.7,則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附：10°3-2,5°22-o.7,

10-01^0.8）（）

A.0.3B.0.5

C.0.7D.0.8

3.美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德?皮爾提出一種能較好地描述生物生長(zhǎng)

規(guī)律的生長(zhǎng)曲線，稱(chēng)為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡(jiǎn)

化為/。）=五篇而仍＞°，左＜0）的形式.已知/（X）=/G（X?N）描述的是一

種果樹(shù)的高度/（x）（單位：m）隨著栽種時(shí)間x（單位：年）變化的規(guī)律，若剛栽種（x

=0）時(shí)該果樹(shù)的高為1.5m,經(jīng)過(guò)2年，該果樹(shù)的高為4.5m,則該果樹(shù)的高度不

低于5.4m,至少需要（）

A.2年B.3年

C.4年D.5年

4.食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康

帶來(lái)了一定的危害.為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入資金

200萬(wàn)元，搭建甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入資金40萬(wàn)元，

其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜.根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年

收入P（單位：萬(wàn)元）、種黃瓜的年收入。（單位：萬(wàn)元）與各自的投入資金ai,或（單

位：萬(wàn)元）滿足尸=80+4同，Q=+2+120.設(shè)甲大棚的投入資金為其單位：

萬(wàn)元），每年兩個(gè)大棚的總收入為/（x）（單位：萬(wàn)元），則總收入/Q）的最大值為

（）

A.282萬(wàn)元B.228萬(wàn)元

C.283萬(wàn)元D.229萬(wàn)元

二、多項(xiàng)選擇題

5.預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，“直接推算法”使用的公式是P?=Po（l+

其中p”為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，Po為初期人口數(shù)，左為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口年增

長(zhǎng)率，〃為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，則（）

A.當(dāng)左?（—1,0）,則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)

B.當(dāng)左?（—1,0）,則這期間人口數(shù)呈擺動(dòng)變化

C.當(dāng)左=1，2三2Po時(shí)，〃的最小值為3

D.當(dāng)左=一%時(shí)，〃的最小值為3

6.噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)4

=20Xlg其中常數(shù)2。3）>0）是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，?是實(shí)際聲壓.下表為不同聲

Po

源的聲壓級(jí)：

聲源與聲源的距離/D1聲壓級(jí)/dB

燃油汽車(chē)1060~90

混合動(dòng)力汽車(chē)1050?60

電動(dòng)汽車(chē)1040

已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為pi,

P2,。3,則（）

A.pi2p2B./72>10/73

C./?3=100/70D.piW100/72

三、填空題

7.為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方

法如表所示.

每戶每月用水量水價(jià)

不超過(guò)12m3的部分37U/m3

超過(guò)12m3但不超過(guò)18m3的部分6元/n?

超過(guò)18m3的部分9元/n?

若某戶居民本月繳納的水費(fèi)為54元，則此戶居民的用水量為m3.

8.當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的

一半，這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千

分之一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一

般的放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少要經(jīng)過(guò)_______個(gè)“半衰期”.

9.某同學(xué)設(shè)想用“高個(gè)子系數(shù)上”來(lái)刻畫(huà)成年男子的高個(gè)子的程度，他認(rèn)為，成

年男子身高160cm及其以下不算高個(gè)子，其高個(gè)子系數(shù)左應(yīng)為0；身高190cm

及其以上的是高個(gè)子，其高個(gè)子系數(shù)左應(yīng)為1,請(qǐng)給出一個(gè)符合該同學(xué)想法的成

年男子高個(gè)子系數(shù)左關(guān)于身高x(cm)的函數(shù)關(guān)系式.

四、解答題

10.某科研小組研制鈦合金產(chǎn)品時(shí)添加了一種新材料，該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y是

這種新材料的含量式單位：克)的函數(shù).研究過(guò)程中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示.

式單位：克)02610???

1???

y-488

9

%-m

已知當(dāng)xN7時(shí)，y=(1),其中機(jī)為常數(shù).當(dāng)0Wx<7時(shí)，y和x的關(guān)系為以

下三種函數(shù)模型中的一個(gè)：①,=加+法+(;；②產(chǎn)左?"(a>0且aWl)；③尸

0ogoX(a>O且aWl),其中左，a,b,c均為常數(shù).

(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)描述x,y之間的關(guān)系，并求出其解析式；

(2)求該新材料的含量x為多少克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大

參考答案

1.B[由題表可知函數(shù)單調(diào)遞增，且y的變化隨x的增大而增大得越來(lái)越快，

分析選項(xiàng)可知B符合.故選B.]

2.B[由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞增，合適的函數(shù)模型為y=5+lgx,

令y=5+lgx=4.7,解得X=10°3=0.5.]

3.B[由題意可得/(0)=搐=1.5且〃2)=]+嬴=4.5,

解得6=1,k=-i,故/(x)=]+3：“i，

函數(shù)/(%)=在(0,+8)上單調(diào)遞增，且〃3)=三==5.4,

故該果樹(shù)的高度不低于5.4m,至少需栗3年.故選B.]

4.A[由題意可知甲大棚的投入資金為x(單位：萬(wàn)元)，乙大棚的投入資金為200

—x(單位：萬(wàn)元),

所以/(x)=80+4岳+?200—X)+12O=—卜+4后+250,

由產(chǎn)她可得40WE60,

(200—%240,

令/=?,則4V10],

g(0=--Z24-4V2/+250=--(/-8V2)2+282,

44

所以當(dāng)1=8/，即x=128時(shí)總收入最大，最大收入為282萬(wàn)元.故選A.]

5.AC[當(dāng)左?(一1,0)時(shí)，Po>O,0<1+左<1,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，P?=Po(l

+女產(chǎn)(左>一1)是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，

即人口數(shù)呈下降趨勢(shì)，故A正確，B不正確；

n

當(dāng)上三時(shí)，P；i=Po(0^2Po,所以電”三2,所以后log±2(〃GN),

log42G(2,3),所以〃的最小值為3,故C正確；

3

當(dāng)左=—1時(shí)，P?=Po(|)n|Po,所以所以心10g|*neN),

Iog2i=logs2￡(l,2),所以〃的最小值為2,故D不正確.故選AC.]

322

6.ACD[因?yàn)椤?20Xlg二隨著p的增大而增大，且￡?[60,90],[50,

PoIN

Lp

60],所以“1三%2,所以pi2p2,故A正確；由&=20Xlg亙，得夕=皿10元，因?yàn)?/p>

LL

40P2P3

%3=4°，所以。3=，。1020=100〃0,故?正確；假設(shè)〃2>10.3,則polO20>1O/?O1O20,

所以10參一點(diǎn)>10,所以Lp-Lv>20,不可能成立，故B不正確；因?yàn)槟{

*2*3P1

^￡2L

pLp

=ioopoW^=1()___+2^1>所以piWlOO。，故D正確.綜上，故選ACD.]

PQIO20

7.15[設(shè)此戶居民本月用水量為xn?,繳納的水費(fèi)為y元，則當(dāng)x?[0,12]Hf,

y=3xW36元，不符合題意；

當(dāng)xG(12,18]時(shí)，y=12X3+(x-12)X6=6x—36,令6%—36=54,解得x=15,

符合題意；

當(dāng)x?(18,+8)時(shí)，y=12X3+6X6+(x-18)X9=9x-90>72,不符合題意.

綜上所述，此戶居民本月用水量為151n3.]

8.10[設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過(guò)〃個(gè)“半衰期”后的

含量為(另,由3"<焉,得心"

所以若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少需要經(jīng)過(guò)

10個(gè)“半衰期”.]

(0,0<%W160,

9.2長(zhǎng)(％-160),160<%<190(只要寫(xiě)出的函數(shù)滿足在區(qū)間(160,190)±

11,%2190

單調(diào)遞增，且過(guò)點(diǎn)(160,0)和(190,1)即可，答案不唯一)[由題意知，函數(shù)網(wǎng)x)

在(160,190)上單調(diào)遞增，設(shè)網(wǎng)x)=ax+b(a>0),xG(160,190),

由上。a+G。，解得卜Ri

(190a+b=l,(匕=一段，

所以出)=親_(=曰(%—160),

f0,0<%W160,

所以上=總(%—160),160<x<190,]

11,ei9o.

10.解：(1)由表格知當(dāng)x=0時(shí)，y=-4,

若選①yuaf+for+c,則°=一4；

若選②'=左?a%a>0且a?l),則左=—4,

此時(shí)y=—4qx(a>0且aWl)不