函數(shù)的奇偶性對(duì)稱性和周期性課件高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性專題訓(xùn)練2024/9/11北師大蕪湖附校高三數(shù)學(xué)備課組知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1.函數(shù)奇偶性：

f(－x)＝f(x)1.奇偶性：

f(x)為偶函數(shù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，f(－x)＝－f(x)f(x)為奇函數(shù)圖象特點(diǎn)：關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系.(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則為非奇非偶函數(shù)．?x∈D，都有－x∈D判斷函數(shù)的奇偶性定義域優(yōu)先f(x)－f(－x)＝0－①定義法f(x)＋f(－x)＝0偶奇兩個(gè)必備條件－②圖象法知識(shí)要點(diǎn)2.常見奇偶函數(shù)模型：

①函數(shù)

或②函數(shù)

③函數(shù)

或④函數(shù)

或奇函數(shù)④常數(shù)函數(shù)

偶函數(shù)③函數(shù)

類型函數(shù)②函數(shù)

①函數(shù)

知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2.函數(shù)周期性：

1.周期函數(shù)：f(x＋T)＝f(x)定義域?yàn)镈，?x∈D都有x＋T∈D，?非零常數(shù)T，2.最小正周期：3.函數(shù)的周期性常用結(jié)論:(a,b是不為0的常數(shù))(1)

f(x+a)=f(x)，

(2)

f(x+a)=f(x?a)，

(3)

f(x+a)=

?

f(x)，

(6)

f(x+a)=

f(x+b)，

(4)

f(x+a)=

，

(5)

f(x+a)=

?

，

f(a+x)=f(a?x)T=a；T=2a；T=2a；

T=|a-b|(a≠b).f(

x+2a

)=f(x)x

=

a對(duì)稱f(2a+x)=f(?x)f(2a?x)=f(x)探究新知知識(shí)點(diǎn)3.函數(shù)對(duì)稱性：

1.結(jié)論：

(1)

f

(a+x)=

f

(b-x)，特別：

f

(a+x)=

?

f

(b-x)，(2)f(a+x)+f(b-x)=c，2．函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系(3)f

(x)圖象有一條對(duì)稱軸x

=

a,一個(gè)對(duì)稱中心(b,c)，

(1)f

(x)圖象有兩條對(duì)稱軸x

=

a，x

=

b，

(2)f

(x)圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c)，(b,c)，

雙對(duì)稱?周期性

T=2|a-b|(a≠b)；

T=2|a-b|(a≠b)；

T=4|a-b|(a≠b).特別：

f

(a+x)=

f

(a-x)，y=

f

(x)的圖象關(guān)于直線

對(duì)稱.關(guān)于直線

x=a

對(duì)稱.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.關(guān)系式題型突破題型01函數(shù)奇偶性的判斷

解析：y＝xsinx的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，y＝|x＋1|－|x－1|的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)例1(多選)下列命題中正確的是()A．奇函數(shù)的圖象一定過坐標(biāo)原點(diǎn)B．函數(shù)y＝xsinx是偶函數(shù)C．函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)D．函數(shù)y＝

是奇函數(shù)BC題型突破【類題演練1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）函數(shù)

是（

）A．偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增

B．偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減C．奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增

D．既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【分析】借助函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)奇偶性，借助導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)單調(diào)性.【詳解】f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x>0時(shí)，∴f(x)為偶函數(shù)；在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.故選：A.A題型突破【類題演練2】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y滿足f(x+y)+f(x－y)=f(x)f(y)，且f(1)=1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．f(0)=2B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)為奇函數(shù)D．f(2)=－1【分析】由條件等式通過取特殊值求f(0),f(2)，由此判斷A,D，再取特殊值確定f(x)，f(－x)的關(guān)系結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義判斷選項(xiàng)B，C.【詳解】∵

，取x=1，y=0可得f(1)+f(1)=f(1)f(0)，又f(1)=1，∴f(0)=2，A對(duì)；取x=0，y=－x可得f(x)+f(－x)=f(0)f(x)，又f(0)=2，∴f(－x)=f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，C錯(cuò)，B對(duì)；故選：C.取x=1，y=1可得f(2)+f(0)=f(1)f(1)，又f(1)=1，f(0)=2，∴f(2)=－1，D對(duì)；C例2（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若

為偶函數(shù)，則a＝（

）

A．1

B．0

C．－1

D．2題型突破題型02函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

A【分析】由已知f(x)為偶函數(shù)，可得f(x)=f(－x)，列方程求解即可.解得a＝1.故選：A.【詳解】由

，得

，∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)=f(x)，即

，∴【類題演練】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知函數(shù)

是定義在區(qū)間(a,b)上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A．(0，9]

B．(0，3]C．

D．題型突破【分析】根據(jù)f(x)是奇函數(shù)求出的m值，再求出f(x)的定義域即可求出b的取值范圍.∵f(x)是定義在區(qū)間(a,b)上的奇函數(shù)，故選：D.D【詳解】∵

,∴

即

∵m>0∴∴

f(－x)=－f(x)，即∴解得m＝－3（舍）或m＝3∴∴題型突破例3（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)

是奇函數(shù)，則當(dāng)x>0時(shí)，g(x)的解析式為（

）

A．

B．

C．

D．C【分析】設(shè)x>0，利用x<0時(shí)，

和f(－x)=－f(x)可求得g(x)的解析式.【詳解】設(shè)x>0，則－x<0，∴

，又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)=－f(x)，即

，即故選：C【類題演練】（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，且滿足f(x)+g(x)=ex+x，則g(x)=（

）

A．

B．

C．

D．題型突破B【分析】由題意得

，由函數(shù)的奇偶性可得

，解之即可求解.【詳解】由題意知，f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則∴

即解得題型突破【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.故選：C例4（2024·山西·三模）設(shè)函數(shù)

，則不等式

f(x－2)≥f(2x+2)的解集為（

）A．[－4,0]B．[－4,0)C．[－4,－1)∪(－1,0] D．[－4,－1)∪(－1,0)【詳解】f(x)的定義域?yàn)?/p>

，且∴f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，∵

與

在(0,+∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，原不等式等價(jià)于

，∴解得

或

C題型突破【類題演練1】（2024·湖南永州·三模）已知函數(shù)

，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若

，則實(shí)數(shù)

t的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．C【分析】求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式可得f(x)在R上單調(diào)遞增，令g(x)=f(x)－2，從而可得g(x)在R上單調(diào)遞增，且g(x)為奇函數(shù)，從而可化為

，求解即可.【詳解】令g(x)=f(x)－2，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，∴g(x)為奇函數(shù)，∵∴g(x)在R上單調(diào)遞增，∴

化為解得故選：C題型突破【分析】根據(jù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,8)得到解析式，再由單調(diào)性和奇偶性化簡不等式求解.【類題演練2】（2024·安徽安慶·三模）已知函數(shù)

圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,8)，則關(guān)于x的不等式

的解集為（

）

A．(－∞,－4)∪

(1,+∞)

B．(－4,1)C．(－∞,－1)∪

(4,+∞)D．(－1,4)【詳解】由題意知f(2)=4a

=8，解得a

=2，∴

，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，∵∴

化為∴解得

或故選：CC例5（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)

，則下列說法正確的是（

）

A．f(x)為增函數(shù)

B．f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

C．f(x)的最大值為2e

D．f(x)的圖象關(guān)于直線x

=1對(duì)稱題型突破題型03函數(shù)的對(duì)稱性

D【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)依次計(jì)算，即可求解.故選：D.∴f(x)的圖象關(guān)于直線x

=1對(duì)稱，故D正確；【詳解】

令,得x=1，當(dāng)x<1時(shí)，

，當(dāng)x>1時(shí)，

，∴f(x)在(－∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；∴f(x)函數(shù)在R上沒有零點(diǎn)，故B，C錯(cuò)誤；∵f(x)min=f(1)=2e>0∵題型突破【類題演練】（2023·四川瀘州·一模）函數(shù)

的對(duì)稱中心為

．(1,1)【分析】依題意得

，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的平移變換判斷即可.【詳解】

圖象

圖象向右平移1個(gè)單位向上平移1個(gè)單位關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱

圖象

題型突破故選：A例6（2024·江西·二模）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=0，f(3x)=4f(x)且f(1－x)+f(x)=2，則

（

）

A．

B．

C．

D．A【分析】根據(jù)題意，可得f(x)關(guān)于

對(duì)稱，進(jìn)一步求得f(1)=2，結(jié)合條件求得

，可求得

.【詳解】由f(1－x)+f(x)=2，可知f(x)關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱，又f(0)=0，則f(1)=2，

又f(3x)=4f(x)，得題型突破【類題演練1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知

y=f(x+1)+1為奇函數(shù)，則f(－1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=（

）

A．6

B．5

C．－6D．－5【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)對(duì)函數(shù)

y=f(x+1)+1依次賦值

x=0,1,2即可求解.【詳解】由題y=f(x+1)+1為奇函數(shù)，則f(－x+1)+1=－f(x+1)－1，

f(x)圖象

y=f(x+1)+1圖象向左平移1個(gè)單位向上平移1個(gè)單位關(guān)于點(diǎn)(1,－1)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱∴f(－x+1)+f(x+1)=－

2∴f(－1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=[f(－1)+f(3)]+[f(0)+f(2)]+f(1)=－2－2－1=－5∴f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,－1)對(duì)稱?另解：故選：DD∴f(－x+1)+f(x+1)=－

2題型突破【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，計(jì)算f(x)+f(2－x)=4，推得函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)成中心對(duì)稱，由此利用函數(shù)的對(duì)稱性，即可求得答案.【詳解】由題意函數(shù)，定義域?yàn)椋瑘D象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱.【類題演練2】若函數(shù)

，則

的值為（

）A．2022 B．4042 C．4044 D．8084故選：DD∴f(x)+f(2－x)=4例7（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知直線x

=1是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸，則函數(shù)f(x)的解析式可以是（

）

A．

B．

C．

D．題型突破A故D錯(cuò)誤.【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換即可判斷AB；令

，即可判斷C；根據(jù)

即可判斷D.

圖象

圖象向右平移1個(gè)單位把x軸下方的圖象翻折到軸上方關(guān)于直線x

=1對(duì)稱C【詳解】向右平移1個(gè)單位關(guān)于直線x

=1對(duì)稱圖象

圖象

偶函數(shù)關(guān)于y軸(x

=0)對(duì)稱B令

x

=k,k∈Zx

=1符合是

圖象的對(duì)稱軸不關(guān)于直線x

=1對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱題型突破【類題演練】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)y＝g(x)的圖象與y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則g(x)＝

．ln(4－x)【分析】利用對(duì)稱的定義求解即可.【詳解】

y＝g(x)圖象y＝lnx圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱任取點(diǎn)(x,y)點(diǎn)(4－x,y)y＝ln(4－x)

例8（2024·全國·模擬預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)

的結(jié)論正確的是（

）A．D(D(x))有零點(diǎn)

B．D(x)是單調(diào)函數(shù)

C．D(x)是奇函數(shù)

D．D(x)是周期函數(shù)題型突破題型04函數(shù)的周期性

D【詳解】∵，∴D(D(x))=1>0，故D(D(x))無零點(diǎn)，A錯(cuò)誤，

∵D(x)=0或D(x)=1均為有理數(shù)，故D(x)不是單調(diào)函數(shù)，B錯(cuò)誤，∴，∵x和－x同為有理數(shù)或同為無理數(shù)

，∴，故D(x)是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤，設(shè)T為任意非零有理數(shù)，則x和x+T同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，∴D(x+T)=D(x)故D(x)是周期函數(shù)（以任意非零有理數(shù)為周期），D正確，故選：D.題型突破【分析】根據(jù)函數(shù)周期的定義，求解即可．【詳解】因?yàn)閒(2x+5)的周期是3，所以f(2x+5)=f(2(x+3)+5)=f(2x+11)，令2x+5=y，則f(y)=f(y+6)，所以f(x)的周期為6，故選：CD【類題演練】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(2x+5)的周期是3，則f(x)的周期為（

）．

A．

B．3

C．6

D．9C題型突破故選：C【分析】根據(jù)周期性求函數(shù)解析式.【詳解】∵函數(shù)f(x)是T=4的周期函數(shù)，∴f(x－4n)=f(x)，例9（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，且f(x)=2x2+1，x∈[－2,2]，則f(x)在區(qū)間[4n－2,4n+2](n∈Z)上的解析式為（

）

A．

B．

C．

D．∴x∈[4n－2,4n+2](n∈Z)時(shí)，∴f(x－4n)=2(x－4n)2+1=f(x)Cx－4n∈

[－2,2]題型突破故選：D【類題演練】已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(x－2)是偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤

2時(shí)，f(x)=x2－4x，則當(dāng)6≤x≤

8時(shí)，f(x)的解析式為（

）

A．f(x)=－x2－4xB．f(x)=x2－16x

+60

C．f(x)=x2－12x+32

D．f(x)=－x2+12x－32D【詳解】∵f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f(x－2)是偶函數(shù)，∴f(－x)=－f(x)，f(－x－2)=f(x－2)即，f(－x)=f(x－4)∴f(x－4)=－f(x)，∴f(x+4)=－f(x)，∴f(x+8)=－f(x+4)=f(x)，∴f(x)的最小正周期為8，∴當(dāng)6≤x≤

8時(shí)，0≤8－x≤

2，又當(dāng)0≤x≤

2時(shí)，f(x)=x2－4x，f(8－x)=(8－x)2－4(8－x)=x2－12x+32，∴f(x)=f(x－8)=－f(8－x)=－(x2－12x+32)=－x2+12x－32，例10若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝－f(x)，且當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)＝x－1，則f()的值等于()A．

B．

C．

D．題型突破故選：D【詳解】∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(2－x)＝－f(－x)，∴f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x)D∴f(－x)=f(x)，∵f(2－x)＝－f(x)，即f(2+x)＝－f(x)，∴f(x)的周期為4，∴f(

)=

f(

－4)=

f(－

)=f(

)=－1=－例11（多選題）（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x,y∈R，，都有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(2)=－1，則（

）A．f(0)=1

B．f(x)是奇函數(shù)

C．f(x)的周期為4

D．題型突破題型05函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性和周期性的綜合應(yīng)用

A【詳解】f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)得f(y)+f(－y)=2f(0)f(y)=2f(y)，令x=y=0，得2f(0)=2[f(0)]2，又f(0)≠0，∴f(0)=1A正確令x=0，∴f(－y)=f(y)∴f(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤令x=y=1，得f(2)+f(0)=2[f(1)]2=0，∴f(1)=0令x=1，得f(1+y)+f(1－y)=2f(1)f(y)=0，C正確Cf(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱T=4例11（多選題）（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x,y∈R，，都有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0，，則（

）A．f(0)=1

B．f(x)是奇函數(shù)

C．f(x)的周期為4

D．題型突破題型05函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性和周期性的綜合應(yīng)用

A【詳解】f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)f(－x)=f(x)f(1+x)+f(1－x)=0Cf(0)=1f(1)=0f(2)=－1f(4)=f(0)=1由周期性f(3)=f(3－4)=f(－1)=f(1)=0∴f(1)=f(3)=f(5)=···=0f(2)=f(6)=f(10)=···=－1f(4)=f(8)=f(12)=···=1D例11（多選題）（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x,y∈R，，都有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(2)=－1，則（

）A．f(0)=1

B．f(x)是奇函數(shù)

C．f(x)的周期為4

D．題型突破題型05函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性和周期性的綜合應(yīng)用

A【詳解】∵f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，得f(y)+f(－y)=2f(0)f(y)=2f(y)，令x=y=0，得2f(0)=2[f(0)]2，又f(0)≠0，∴f(0)=1∴f(x+1)=－f(x－1)A正確令x=0，∴f(－y)=f(y)∴f(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤令x=y=1，得f(2)+f(0)=2[f(1)]2=0，∴f(1)=0令y=1，得f(x+1)+f(x－1)=2f(x)f(1)=0，即f(x+2)=－f(x)∴f(x+4)=－f(x+2)=f(x)∴f(x)的周期為4，C正確C例11（多選題）（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x,y∈R，，都有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(2)=－1，則（

）A．f(0)=1

B．f(x)是奇函數(shù)

C．f(x)的周期為4

D．題型突破題型05函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性和周期性的綜合應(yīng)用

A【詳解】f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，Cf(－x)=f(x)f(x+4)=－f(x+2)=f(x)∴f(3)=－f(1)=0f(0)=1f(1)=0f(2)=－1f(4)=f(0)=1∴f(1)=f(3)=f(5)=···=0f(2)=f(6)=f(10)=···=－1f(4)=f(8)=f(12)=···=1D題型突破【類題演練1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f′(x)為定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x－1)為奇函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，且f′(0)=2，則下列說法不正確的是（

）A．f(0)=f(2)B．f′(－1)+f′(3)=0C．f′(4)=2D．C【詳解】∵f(x－1)為奇函數(shù)，∴f(－x－1)=－f(x－1)，①∵f(x+1)為偶函數(shù)，∴f(－x+1)=f(x+1)，

②對(duì)①兩邊求導(dǎo)可得－f′(－x－1)=－f′(x－1)，即f′(－x－1)=f′(x－1)，③對(duì)②兩邊求導(dǎo)可得－f′(－x+1)=f′(x+1)，即f′(－x+1)+f′(x+1)=0，

④將x=1代入②得f(0)=f(2)，故A正確；將x=2代入④得f′(－1)+f′(3)=0，故B正確；將x=3代入④得f′(－2)+f′(4)=0將x=1代入③得f′(－2)=f′(0)=2，∴f′(4)=－2，C錯(cuò)誤；題型突破【類題演練1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f′(x)為定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x－1)為奇函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，且f′(0)=2，則下列說法不正確的是（

）A．f(0)=f(2)B．f′(－1)+f′(3)=0C．f′(4)=2D．Cf(x－1)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱f(－x－1)=－f(x－1)，

①向右平移1個(gè)單位關(guān)于點(diǎn)(－1,0)對(duì)稱f(x)f(x+1)關(guān)于y軸對(duì)稱f(－x+1)=f(x+1)，

②向左平移1個(gè)單位關(guān)于x=1對(duì)稱f(x)導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱f(x)可導(dǎo)關(guān)于x=a對(duì)稱關(guān)于x=a對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于x=－1對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱f′(－x－1)=f′(x－1)，

③f′(－x+1)+f′(x+1)=0，

④題型突破【類題演練1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f′(x)為定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x－1)為奇函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，且f′(0)=2，則下列說法不正確的是（

）A．f(0)=f(2)B．f′(－1)+f′(3)=0C．f′(4)=2D．C【詳解】f′(8)=