浙江省源清2023年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的和為S“，%=2,且q,%，為成等比數(shù)列，則$8=（）

A.56B.72C.88D.40

2.自2019年12月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各

級(jí)政府反應(yīng)迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級(jí)要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格

檢查登記，有3個(gè)不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都

要分配出去，且每個(gè)住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有（）

A.12種B.24種C.36種D.72種

3.臺(tái)球是一項(xiàng)國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動(dòng)，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國臺(tái)灣地區(qū)的叫

法）控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù)，一次臺(tái)球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺(tái)球桌上，畫出如

圖正方形A3CZ）,在點(diǎn)￡,尸處各放一個(gè)目標(biāo)球，表演者先將母球放在點(diǎn)A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點(diǎn)E,F

處的目標(biāo)球，最后停在點(diǎn)C處，若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,ZAEF=ZCFE=60°,則該正方形的邊長為（）

A.50j5c?iB.40y/2cmC.50cmD.20瓜cm

4.2021年某省將實(shí)行“3+1+2”的新高考模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政

治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為

5.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60。，則雙曲線C的方程不可能為（）

72222

XXxyX

A.21.=115?--_---2-1_=1c=1D.=1

5'515'3-12'21"T-

6.如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）

7.雙曲線上?-y2=i的漸近線方程是（）

4'

A.y=±-^xB.y=±——-A-C.y=±-D.y=±2x

232

8.下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是（）

A.正方體B.球體

C,圓錐D.長寬高互不相等的長方體

9.已知集合4={-1,0,1,2},B={x|（x+l）（x—2）<0},則集合A8的真子集的個(gè)數(shù)是（）

A.8B.7C.4D.3

10.將函數(shù)y=2cos2的圖像向左平移〃2（〃2>0）個(gè)單位長度后，得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則加的

最小值為（）

冗兀冗

A.B.71

747

11.已知在AABC中，角48,C的對(duì)邊分別為a,4c,若函數(shù)/（x）=$3+；法2+；（/+/一比卜存在極值，則

角B的取值范圍是（）

12.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其丫-/曲線如圖所示，則該物體在，s~6s間的運(yùn)動(dòng)路程為（）小.

2

O136Z/s

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.記S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若a.+S“=32（”eN*）,則S5=.

14.已知關(guān)于x的方程q|sinx|+；=sinx在區(qū)間[0,2加上恰有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是

15.若（2-，=%+4（1+1）+。2（1+X）-++%（l+x）7，則4+4+。2++4+%=，&=-

16.若（爐一2x-3）"的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為256,則“=,含/項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知｛q｝是等差數(shù)列，滿足q=3,%=12,數(shù)列也｝滿足a=4,〃=20,且也-%｝是等比數(shù)

列.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列物,｝的前〃項(xiàng)和.

x=2-t

18.（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線C,的參數(shù)方程為“一C（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸

[y=2+f

的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=cos。（夕cosG+2）.

（1）求曲線G與直線G的直角坐標(biāo)方程;

（2）若曲線G與直線C?交于A8兩點(diǎn)，求的值.

19.（12分）已知函數(shù)f（x）=/-5x+21nx.

（1）求/（x）的極值；

（2）若/（千）=/（%）=/（%3），且尤|<%2<“3，證明：X]+々>1?

22

20.（12分）已知耳名為橢圓E：鼻+#=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，離心率為:，點(diǎn)尸（2,3）在橢圓上.

（1）求橢圓E的方程;

11

(2)過"的直線4,4分別交橢圓于4。和AO,且問是否存在常數(shù)/I,使得反T%d師成等差數(shù)列？

若存在，求出2的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.(12分)已知/(%)=ln(x+t),g(x)=e*.

(1)當(dāng)加=2時(shí),證明:〃x)＜g(x)；

(2)設(shè)直線/是函數(shù)〃x)在點(diǎn)4(天,/(不》(0＜廝＜1)處的切線，若直線/也與g(x)相切，求正整數(shù)〃?的值.

22.(10分)已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c?且(sinA-sin=sin?C-sinAsin3.

(I)求C；

(H)若c=l,A4BC的周長是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值，如果沒有，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

a；=qa9O(%+2d)2=q(q+8d),將4=2代入，求得公差d,再利用等差數(shù)列的前“項(xiàng)和公式計(jì)算即可.

【詳解】

由已知，。；=的9，6=2,故(q+2")2=%(q+84),解得d=2或4=0(舍)，

故4=2+(〃-1)x2=2〃，S8=8(4；“8)=4(2+2X8)=72.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式，考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，是一道容易題.

2.C

【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有C：種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個(gè)不同的住戶中去，有A；種

方法，由分步原理可知共有c：A；種.

【詳解】

不同分配方法總數(shù)為C：A；=36種.

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查的是排列組合知識(shí)，解此類題時(shí)一般先組合再排列，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

過點(diǎn)旦尸做正方形邊的垂線，如圖，設(shè)利用直線三角形中的邊角關(guān)系，將用a表示出來，根

據(jù)AB=8C,列方程求出a,進(jìn)而可得正方形的邊長.

【詳解】

過點(diǎn)民廠做正方形邊的垂線，如圖，

設(shè)ZA￡M=a,則NCbQ=a,NMEF=NQFE=60—a,

則AB=AM+MN+NB=AEsina+EFsin（60—a）+FCsina

（、/T、

=50sina+40sin（60-a）+30sina=40二sinad-----cosa,

122/

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（60一a）

（3J

=50cos+30cos（7-40cos（60-a）=40—coscr---sina

（361（3省?1

因?yàn)锳B=CB,貝!）4。-sina+——cosa=40—cosa------sina

2J

\22\2

整理化簡得組3=2—G,又Si/a+cos2a=1，

COS6Z

得sina=^^,6+1

cosa=———

2V22V2

/lB=4of-sina+—cosa>l=40xf-x^^-+—X^^-^2076.

（22）[22V222V2J

即該正方形的邊長為20娓cm.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，是中檔題.

4.B

【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有C；C：=12種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有c：=3種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率P=W=-,

124

故選B.

5.C

【解析】

判斷出已知條件中雙曲線C的漸近線方程，求得四個(gè)選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程，由此確定選項(xiàng).

【詳解】

兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與X軸的夾角時(shí)要分為兩種情況.依題意，雙曲漸近線與X軸的夾角為30?；?0。,

雙曲線C的漸近線方程為了=土程》或丁=±百犬4選項(xiàng)漸近線為/=±*x，B選項(xiàng)漸近線為y=±"v,C選項(xiàng)

122

漸近線為y=±-x,D選項(xiàng)漸近線為y=土出x.所以雙曲線C的方程不可能為5-3=1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長方體

的底面四邊形相鄰邊長分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積

,1

S=%x「+—x2萬xlx4+lx2x2+lx4x2+2x4=5?+2(),故選C.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖的識(shí)別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

7.C

【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.

【詳解】

fY

由題意可知，雙曲線亍―V=1的漸近線方程是丫=±^.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用.

8.C

【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.

【詳解】

正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形，球的三個(gè)三視圖都是相等的圓，圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓，另外兩個(gè)是

全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

9.D

【解析】

轉(zhuǎn)化條件得AB={0,1},利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為2"-1個(gè)即可得解.

【詳解】

由題意得8={x|(x+1)(*-2)<0}={x[—l<x<2},

.?.A3={0,1},.?.集合A8的真子集的個(gè)數(shù)為22-1=3個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的化簡和運(yùn)算，考查了集合真子集個(gè)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

JT|7TTT

X+丁，要想在括號(hào)內(nèi)構(gòu)造一變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移L個(gè)單位

（4J24

長度，即為答案.

【詳解】

cos］對(duì)其向左平移四兀個(gè)單位長度后,

由題可知,

4

y=cos(x+?+?)=cos(x+)=-sinx,其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

TT

故，〃的最小值為了

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運(yùn)用，屬于簡單題.

11.C

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)/'（X）,由/'（幻=0有不等的兩實(shí)根，即/＞0可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)

論.

【詳解】

22222

f(x)=-x3+—bx2+—(a+c-ac^x,f'{x)=x+bx+^a+c-ac

324、

若/（x）存在極值，則62_4*3（/+,.2-"）＞0,二。2+。2_/72＜訛.

又cosB=a+c———,；.cos8＜L.又6€（0,兀），；.＜兀.

2ac23

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵.

12.C

【解析】

I「6

由圖像用分段函數(shù)表示V"）,該物體在彳s~6$間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分s=J4（/）3表示，計(jì)算即得解

22

【詳解】

由題中圖像可得,

丫⑺-<2,1<?<3

—z+l,3</<6

由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，可得

(?6fl(*3

S=Jiv⑺d/=J12/力+J2dt+

22

=?(m)

4

149

所以物體在一s~6s間的運(yùn)動(dòng)路程是一m.

24

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列僅“｝是以16為首項(xiàng)，以;為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求解.

【詳解】

由an+Sn=32,得2%=32,：.ax=16.

且an-\+Sn-\=32（九.2）,

則4,—+S“—S,i=O,即3=［（”??2）.

U

n-\乙

，數(shù)列僅“｝是以16為首項(xiàng)，以;為公比的等比數(shù)列，

16(1-

則$5二——f=31.

1一一

2

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

【解析】

先換元，令/nsinx,將原方程轉(zhuǎn)化為44+(=乙利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像交點(diǎn)，觀察圖像，即可

求出.

【詳解】

因?yàn)殛P(guān)于x的方程〃|sinx|+；=sinx在區(qū)間［0,2%］上恰有兩個(gè)解，令/usinx,所以方程。卜|+；=，在

1

12

t——0</<1

re(-l,O)U(O,l)上只有一解,即有a=#=<

_1

-2

-1</<0

-t

1

直線y=a與y1在re(-l,0)(0,1)的圖像有一個(gè)交點(diǎn),

綜上實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-士3」1).

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點(diǎn)問題，是常見的轉(zhuǎn)化方式.

15.12821

【解析】

令x=0,求得/+6+4++/+%的值?利用[3—(l+x)J展開式的通項(xiàng)公式，求得4的值.

【詳解】

令x=0,得/+4++%=27=128.[3—(1+x)了展開式的通項(xiàng)公式為C；37T[―(l+x)J,當(dāng)廠=6時(shí)，為

d3(l+x)6=2I(l+x)6,即4=21.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查賦值法求解二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.

16.4108

【解析】

(/-2光-3)”的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為256,r.4"=256，...〃=4，

(x2-2X-3)H=(X2-2X-3)4=(X-3)4(X+1)\..印項(xiàng)的系數(shù)是《(―3丫+C：x(—31+C：x(—3丫xC：=108,

故答案為(1)4.(2)108.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)?！?3”(〃=1,2,),"=3〃+2"T(〃=l,2,)；(2)彳〃(〃+1)+2"-1

【解析】

試題分析：(D利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即得到結(jié)論；(2)利用分組求和法，由等差

數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列也“｝前n項(xiàng)和.

試題解析：

(I)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由題意得

aj-a112~3..

d=----------=--------=1???an=ai+(n-1)d=ln

33

設(shè)等比數(shù)列｛bn-an｝的公比為q,貝!I

-nlnn1

bnan=(bi-ai)q=2-1,/.bn=ln+2

(II)由(I)知bn=ln+2n-i,?數(shù)列｛In｝的前n項(xiàng)和為小(n+1),

1-on

數(shù)列｛2n-1｝的前n項(xiàng)和為1x2_二=2n-1,

1-2

二數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為；S”=[忒〃+1)+2”-1

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；1.數(shù)列求和.

18.(1)曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2=2x；直線的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0(2)60

【解析】

X-OCOS0

(1)由公式《.八可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，消參法可化參數(shù)方程為普通方程；

y=psin，

(2)聯(lián)立兩曲線方程，解方程組得兩交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得兩點(diǎn)間距離.

【詳解】

解：(1)QCOS。(夕cos6+2)

p=pcos?6+2cos。

p2=p1cos?6+2pcos。

x2+y2=x2+2x

曲線G的直角坐標(biāo)方程為v2=2x

直線的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0

y=-x+4x=2fx=8

⑵據(jù)2c解，得c或4)

、J=2xj=2[y=-4

二|陰二J(2—8『+[2—(一4)了=672

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查參數(shù)方程與普通方程的互化，屬于基礎(chǔ)題.

9

19.(1)f(x)極大值為——2In2；極小值為-6+21n2；(2)見解析

4

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)fM求導(dǎo)，進(jìn)而可求出單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的極值；

(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)-/(l-x),xefo,1j，求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得F(x)<0,從而/(x)</(I-x)在]上

恒成立，再結(jié)合X,f(x2)=/(x,)</(l-xl)，可得到%>1-凡,即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

(1)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8)J(x)=2x-5+，=(2xT,-2)->0),

所以當(dāng)xe(0,g)(2,-KO)時(shí)J'(x)>0；當(dāng)xe6,2)時(shí),f\x)<0,

則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,；]和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為2.

故/(%)的極大值為/[1]=!-2+21n1=-g—21n2；〃x)的極小值為/(2)=4—10+21n2=-6+21n2.

V2)4224

(2)證明油(1)知0<%<3<%2<2<工3，

設(shè)函數(shù)b(x)=/(x)-/(I-尤),xe(0,g),

則F(x)=無2—5x+21nx—(1-x)--5(l-jc)+21n(l-x),

中,、(2x-l)(x-2)^(2x-l)(x+l)2(2元—I)?

尸(x)=------------+------------=---------,

x1-xx(l-X)

則9(x)>0在[(),；)上恒成立，即F(x)在(0,；)上單調(diào)遞增，

故F(x)〈尸出，

又則Ea)=/a)_/(i_x)<°'xe[°'；)，

即/(x)</(I一x)在J上恒成立.

因?yàn)椋ニ?(玉)</(1一%),

又"七)="%)，則/(w)<F。-石)，

因?yàn)椤?1-詞g,2),且f(x)在(g，2)上單調(diào)遞減，

所以x2>1-%,故為+x2>1.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題.

27

20.（1）—+^v-=1；（2）存在，—.

161248

【解析】

（1）由條件建立關(guān)于。為工的方程組，可求得“,力,c,得出橢圓的方程；

（2）①當(dāng)直線/穴的斜率不存在時(shí)，可求得|Aq=6,忸q=&,求得2,②當(dāng)直線/陽的斜率存在且不為o時(shí)，設(shè)

lAC-y=k{x+2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段|的=24（1+公）,再由4_L4得出線段怛4=24（、+J）,根

據(jù)等差中項(xiàng)可求得2,得出結(jié)論.

【詳解】

。一_C—_1

a2[?2=16

(1)由條件得<—^+77=1=12,所以橢圓E的方程為：—+^=1；

ab2,1612

=4

a2=b2c1

(2)片(—2,0),

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，MC"1—6,IBDI-8,：：+：：——1———此時(shí)/=_Z_,

111\AC\\BD\6824,見)48

fr2v2

A|^-1

設(shè)聯(lián)立-消元得

②當(dāng)直線lAC的斜率存在且不為0時(shí),，c：y=^x+2),1612

.y=Z(x+2)

(4k2+3)/+16人+16二—48=09

16公16/-48

設(shè)A(%,%),(7(冗2,%)，Xj+--

z伏2+3'*”—以2+3

/.|AC|=V1+^21%|-x|=>/l+^2?、

2/(%+/)4X,X2-，

^TKID

直線的斜率為-，，同理可得

4(--)2+34+J”

114爐+34+3&27(1+公)7

------------------------------------------

|AC||BD|24(1+/)24(/+1)24(1+/)24

77

2X=—，所以丸=—>

2448

71,1

綜合①②，存在常數(shù)％=加，使得由，九所成等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長公式的相關(guān)問題，當(dāng)兩直線的斜率具

有關(guān)系時(shí)，可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長，屬于中檔題.

21.(1)證明見解析；(2)m=2.

【解析】

⑴令F(x)=g(x)—"x)=e*-ln(x+2),求導(dǎo)尸(力=/一白，可知?(x)單調(diào)遞增，且小⑼=g,

F'(-l)=--l<0,因而尸(x)在(一1,0)上存在零點(diǎn)a,網(wǎng)力在此取得最小值，再證最小值大于零即可.

e

(2)根據(jù)題意得到“X)在點(diǎn)A&,/(/))(0<X。<1)處的切線/的方程y=-4-------工+In(X。+m)①，再設(shè)

直線/與g(x)相切于點(diǎn)a，e&),有/'=展三，即X=-ln&+M，再求得g(x)在點(diǎn)(芭,e")處的切線直線/的

方程為尸」_+處叱包+'_②由①②可得吧叱⑹+」_=。+1”/+機(jī))，即

%+加xQ+mx0+m/+加玉)+mx0+m

(題根據(jù)()加一轉(zhuǎn)化為(玉)+“)=“0+1

+m-l)ln(%)+m)=/+l,x+1>(),In0<x0<1,令

x0+m-1

V*1|

/z(x)=ln(x+w)----------(0<%<1),轉(zhuǎn)化為要使得〃(x)在(0,1)上存在零點(diǎn)，則只需//(())=ln〃z--------<0,

x+加一1m—1

2

/z(l)=ln(m+l)一一>0求解.

m

【詳解】

(1)證明：設(shè)F(x)=g(x)_"x)=eX_ln(x+2),

則尸(x)="-——,尸(x)單調(diào)遞增，且尸(O)=L尸(一1)=1一1<0,

x22e

因而小(X)在(—1,0)上存在零點(diǎn)a,且尸(x)在(一2,〃)上單調(diào)遞減，在(a,物)上單調(diào)遞增,

1。+1)2

從而尸(x)的最小值為F{a)=ea-ln(a+2)>0-

a+2a+2

所以*x)>0,即f(x)<g(力.

故切線/的方程為y=」-------0+1”4+加)①

x0+mx0+m

設(shè)直線l與g(x)相切于點(diǎn)(M),注意到g'(%)=",

從而切線斜率為-'=」一，

x0+m

因此％=-ln(x0+m),

而g(xj=e",從而直線/的方程也為y=