常微分方程學習活動6-第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習

..常微分方程學習活動6第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習本課程形成性考核綜合練習共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習、第二章基本定理的綜合練習、第三章和第四章的綜合練習，目的是通過綜合性練習作業(yè)，同學們可以檢驗自己的學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復習，爭取盡快掌握．要求：首先請同學們下載作業(yè)附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業(yè)頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應網(wǎng)頁界面完成任務，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。一、填空題1．若A(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間不能與x軸相交．2．方程組的任何一個解的圖象是n+1維空間中的一條積分曲線．3．向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)線性相關(guān)的必要條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．4．線性齊次微分方程組，的一個基本解組的個數(shù)不能多于n+1個．5．若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上恒等于．6．函數(shù)組的朗斯基行列式是7．二階方程的等價方程組是．8．若和是二階線性齊次方程的基本解組，則它們沒有共同零點．9．二階線性齊次微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是線性無關(guān)．10．階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個數(shù)最多為n個．11．在方程y″+p(x)y′+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上可以與x軸橫截相交．12．二階線性方程的基本解組是．13．線性方程的基本解組是．14．方程的所有解構(gòu)成一個2維線性空間．15．n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個n維線性空間．二、計算題1．將下列方程式化為一階方程組（1）（2）1）解，（2）解2．求解下列方程組：（1）（2）（1）解方程組的系數(shù)陣為特征方程為：det(A-E)==，其特征根為.當時,，其中a,b滿足(A-E)==0,則有a+b=0．取a=1,b=1,則得一特解將代入原方程組，得解得.原方程組的特解為所以原方程組的通解為已知方程的一個解，求其通解．解由通解公式，，6．試求下列n階常系數(shù)線性齊次方程的通解（1）（2）（1）解特征方程為:特征根為:。它們對應的解為:方程通解為:.（2）解特征方程為:特征根為:它們對應的解為:方程通解為:.7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：（1），，（2），，（1）解特征方程為:.特征根為:，方程通解為:由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.（2）解特征方程為:.特征根為:，方程通解為:由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.8．求下列n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：（1）（2）（1）解由于，，故齊次方程的通解為.由于不是特征根，故已知方程有形如的特解.將它代入原方程，得,，所求通解為.（2）解由于，.因為不是特征根，故已知方程有形如的特解．將上式代入原方程，可得，所求通解為.三、證明題1．設矩陣函數(shù)，在（a,b）上連續(xù)，試證明，若方程組與有相同的基本解組，則．．證明設為基本解矩陣,因為基本解矩陣是可逆的,故有于是.設在方程中，在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間上嚴格單調(diào)函數(shù)．證明設w(x)是方程的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式，則且有，.又因為在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零,從而對,或,所以,在上恒正或恒負,即w(x)為嚴格單調(diào)函數(shù).3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數(shù)．證明設兩個線性的解組的朗斯基行列式分別為，，且，所以有.四、應用題1．一質(zhì)量為m的質(zhì)點由靜止開始沉入液體中，當下沉時，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點的運動規(guī)律。解設液體的反作用與質(zhì)點速度的比