備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(優(yōu)化探究新高考版基礎(chǔ)版)第十一章　統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的分析

第一節(jié)隨機(jī)抽樣[學(xué)習(xí)要求]1.通過實(shí)例，了解簡單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨機(jī)抽樣方法，抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.會計算樣本均值，了解樣本與總體的關(guān)系.2.通過實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.[知識梳理]知識點(diǎn)簡單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣1.簡單隨機(jī)抽樣（1）抽取方式：逐個不放回抽取和放回抽??；（2）每個個體被抽到的概率相等；（3）常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.2.分層隨機(jī)抽樣（1）一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配；（2）分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層隨機(jī)抽樣.[小題診斷]1.某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1∶2∶1，用分層隨機(jī)抽樣的方法從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件進(jìn)行使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為980h，1020h，1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的平均使用壽命為（）A.1013hB.1014hC.1016hD.1022h答案：A解析：由分層隨機(jī)抽樣的知識可知，從第一、二、三分廠抽取的電子產(chǎn)品數(shù)量分別為25件，50件，25件，則抽取的100件產(chǎn)品的平均使用壽命為1100×（980×25＋1020×50＋1032×25）＝1013（h）2.我校高一、高二、高三共有學(xué)生1800名，為了了解同學(xué)們對某一授課軟件的意見，計劃采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1800名學(xué)生中抽取一個容量為72的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則我校高三年級的人數(shù)為（）A.800B.750C.700D.650答案：D解析：設(shè)從高三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為2x人，則從高二、高一年級抽取的人數(shù)分別為2x－2，2x－4.由題意可得2x＋（2x－2）＋（2x－4）＝72，∴x＝13.設(shè)我校高三年級的學(xué)生人數(shù)為N，且高三抽取26人，由分層隨機(jī)抽樣，得N1800∴N＝650（人）.3.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖（1）和圖（2）所示.為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取2％的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A.100，10B.200，10C.100，20D.200，20答案：D4.對于總數(shù)N的一批零件，抽取一個容量為30的樣本.若每個零件被抽到的可能性均為25％，則N＝（）A.120B.150C.200D.240答案：A學(xué)生用書?第247頁考點(diǎn)一簡單隨機(jī)抽樣[例1]（1）某中獎號碼是從分別標(biāo)有1，2，…，30的30個小球中逐個不放回地?fù)u出7個小球來按規(guī)則確定中獎情況，這種從30個號碼中選7個號碼的抽樣方法是（）A.分層隨機(jī)抽樣法B.抽簽法C.隨機(jī)數(shù)法D.其他抽樣方法（2）某校高一共有10個班，編號01至10，某項(xiàng)調(diào)查要從中抽取三個班作為樣本，現(xiàn)用抽簽法抽取樣本，每次抽取一個號碼，共抽3次，設(shè)五班第一次被抽到的可能性為a，第二次被抽到的可能性為b，則（）A.a＝310，b＝29B.a＝110，C.a＝310，b＝310D.a＝110，[答案]（1）B（2）D[解析]（1）30個小球相當(dāng)于號簽，攪拌均勻后逐個不放回地抽取，是典型的抽簽法.（2）由簡單隨機(jī)抽樣的定義知，在每次抽取中每個個體都有相同的可能性被抽到，故五班在每次抽樣中被抽到的可能性都是110，所以a＝110，b＝?簡單隨機(jī)抽樣的關(guān)注點(diǎn)1231.下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的有（）A.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B.從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱18件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱18件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)答案：B解析：A，D中的總體中個數(shù)較多，不適宜用抽簽法，C中甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量可能有區(qū)別，也不適宜用抽簽法.2.用隨機(jī)數(shù)表法從100名學(xué)生（其中男生40名）中抽取20名參加一項(xiàng)文體活動，某男生被抽到的可能性是（）A.110B.C.15D.答案：C解析：從容量為100的總體中抽取一個容量為20的樣本，每個個體被抽到的可能性都是20100＝1考點(diǎn)二分層隨機(jī)抽樣[例2]（1）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣（）A.104人B.108人C.112人D.120人（2）某校老年、中年和青年教師的人數(shù)如表所示，采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為（）類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A.90B.100C.180D.300（3）某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A，B，C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計員制作了統(tǒng)計表格，如表所示：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量（件）1300樣本容量（件）130由于不小心，表格中A，C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被損壞，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是件.[答案]（1）B（2）C（3）800[解析]（1）由題意可知，這是一個分層隨機(jī)抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×81008100+7（2）設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x.由題意得3201600＝x900，（3）抽取樣本容量3000×1301設(shè)C產(chǎn)品樣本容量為x，則A產(chǎn)品樣本容量為10＋x，∴x＋10＋x＋130＝300，x＝80，∴80÷110＝學(xué)生用書?第248頁?分層隨機(jī)抽樣的關(guān)注點(diǎn)12n33.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，300，100件，為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取件.答案：18解析：因?yàn)闃颖救萘縩＝60，產(chǎn)品總數(shù)N＝200＋400＋300＋100＝1000，所以nN＝601000＝350，因此應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取300×3504.某工廠有A，B，C三個車間，A車間有600人，B車間有500人.若通過比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法得到一個樣本量為30的樣本，其中B車間10人，則樣本中C車間的人數(shù)為.答案：8解析：設(shè)C車間共有x人，樣本中C車間的人數(shù)為n；由分層隨機(jī)抽樣的性質(zhì)得：500600+500+x＝1030，解得x＝400.故n＝30×5.為了了解高一、高二、高三學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個容量為1200的樣本，三個年級學(xué)生人數(shù)之比依次為k∶5∶3，已知高一年級共抽取了240人，則高三年級抽取的人數(shù)為.答案：360解析：因?yàn)楦咭荒昙壋槿W(xué)生的比例為2401200＝15，所以kk+5+3＝15，解得k＝學(xué)生用書?第437頁[A組基礎(chǔ)保分練]1.為了解某地區(qū)的“健步走”活動情況，擬從該地區(qū)的人群中抽取部分人員進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)老、中、青三個年齡段人員的“健步走”活動情況有較大差異，而男、女“健步走”活動情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）A.抽簽法抽樣B.按性別分層隨機(jī)抽樣C.按年齡段分層隨機(jī)抽樣D.利用隨機(jī)數(shù)法抽樣答案：C解析：由題意及分層隨機(jī)抽樣的概念知選C.2.（2024·山東青島模擬）某中學(xué)高中一年級有400人，高中二年級有320人，高中三年級有280人，現(xiàn)從中抽取一個容量為200的樣本，則高中二年級被抽取的人數(shù)為（）A.28B.32C.40D.64答案：D3.某公司生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的轎車，其產(chǎn)量之比為2∶3∶4，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本.若樣本中A種型號的轎車比B種型號的轎車少8輛，則n＝（）A.96B.72C.48D.36答案：B解析：由題意得39n－29n＝8，所以n4.某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵.為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為（）A.30B.25C.20D.15答案：C解析：樣本中松樹苗為4000×15030000＝4000×1200＝205.為了調(diào)研雄安新區(qū)的空氣質(zhì)量狀況，某課題組對雄縣、容城、安新三縣空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查，按地域特點(diǎn)在三縣內(nèi)設(shè)置空氣質(zhì)量觀測點(diǎn)，已知三縣內(nèi)觀測點(diǎn)的個數(shù)分別為6，y，z，依次構(gòu)成等差數(shù)列，且6，y，z＋6成等比數(shù)列.若用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取12個觀測點(diǎn)的數(shù)據(jù)，則容城應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為（）A.8B.6C.4D.2答案：C解析：∵三縣內(nèi)觀測點(diǎn)的個數(shù)分別為6，y，z，依次構(gòu)成等差數(shù)列，且6，y，z＋6成等比數(shù)列，∴6+z=2y，y2=6（z+6),∴y＝12，z＝6.在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢.欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共100錢，要按照各人帶錢多少的比例進(jìn)行交稅，問三人各應(yīng)付多少稅？則下列說法錯誤的是（）A.甲應(yīng)付5141109B.乙應(yīng)付3224109C.丙應(yīng)付1656109D.三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少答案：B解析：依題意由分層隨機(jī)抽樣可知，100÷（560＋350＋180）＝10109，則甲應(yīng)付10109×560＝5141109（錢）；乙應(yīng)付10109×350＝3212109（錢）；丙應(yīng)付10109×180＝7.（多選）（2024·湖北襄陽模擬）某中學(xué)高一年級有20個班，每班50人；高二年級有30個班，每班45人.甲就讀于高一，乙就讀于高二.學(xué)校計劃從這兩個年級中共抽取235人進(jìn)行視力調(diào)查，下列說法中正確的有（）A.應(yīng)該采用分層隨機(jī)抽樣法B.高一、高二年級應(yīng)分別抽取100人和135人C.乙被抽到的可能性比甲大D.該問題中的總體是高一、高二年級的全體學(xué)生的視力答案：ABD解析：由于各年級的年齡段不一樣，因此應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣法.由于比例為23520×50+30×45＝110，因此高一年級1000人中應(yīng)抽取100人，高二年級1350人中應(yīng)抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是18.（多選）某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況的某項(xiàng)指標(biāo)，需從他們中間抽取一個容量為42的樣本，則下列說法正確的是（）A.用抽簽法比分層隨機(jī)抽樣更合理B.老年人中每個人被抽到的可能性最小C.中年人中每個人被抽到的可能性為7D.老年人、中年人、青年人被抽到的人數(shù)之比為1∶2∶3答案：CD解析：用比例分配分層隨機(jī)抽樣更合理，故A錯誤，每個人被抽到的可能性都是4227+54+81＝727，故B錯誤，C∵27∶54∶81＝1∶2∶3，故D正確.9.某地有2000人參加自學(xué)考試，為了了解他們的成績，從中抽取一個樣本，若每個考生被抽到的概率都是0.04，則這個樣本的容量是.答案：80解析：設(shè)樣本量為n，根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣，得n2000＝0.04，解得10.某商場有四類食品，食品類別和種數(shù)如表所示：類別糧食類植物油類動物性食品類果蔬類種數(shù)40103020現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測.若采用比例分配分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和為.答案：6解析：由題意可知，20×10+2040+10+30+20＝11.一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如表（單位：輛）：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類型用分層隨機(jī)抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛，則z的值為.答案：400解析：設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得50n＝10100+300，所以n＝則z＝2000－100－300－150－450－600＝400.學(xué)生用書?第438頁12.（2024·北京模擬）某校高一年級三個班共有學(xué)生120名，這三個班的男生、女生人數(shù)如表所示，已知在全年級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，抽到二班女生的概率是0.2，則x＝；現(xiàn)用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法在全年級抽取30名學(xué)生，則應(yīng)在三班抽取的學(xué)生人數(shù)為.一班二班三班女生人數(shù)20xy男生人數(shù)2020z答案：249解析：由題意可得x120＝0.2，解得x＝24.三班總?cè)藬?shù)為120－20－20－24－20＝36，用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法在全年級抽取30名學(xué)生，每個學(xué)生被抽到的概率為30120＝14，故應(yīng)從三班抽取的人數(shù)為36×[B組能力提升練]13.從某魚池中捕得130條魚，做了記號之后，再放回池中，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r間后，再從池中捕得100條魚，計算其中有記號的魚為10條，試估計魚池中共有魚的條數(shù)大約為（）A.1000B.1200C.130D.1300答案：D解析：設(shè)魚池中共有魚的條數(shù)大約為n，則10100＝130n，解得n14.某中學(xué)400名教師的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名教師作樣本，若用分層隨機(jī)抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取（）A.40人B.200人C.20人D.10人答案：C解析：由圖知，40歲以下年齡段的人數(shù)為400×50％＝200，若采用分層隨機(jī)抽樣應(yīng)抽取200×40400＝20（人）15.（多選）從一群做游戲的小孩中抽出k人，每人分一個蘋果，讓他們返回繼續(xù)游戲，一段時間后，再從中任抽出m人，發(fā)現(xiàn)其中有n個小孩曾分過蘋果，則下列說法正確的是（）A.得到蘋果的小孩占總數(shù)的mB.得到蘋果的小孩占總數(shù)的nC.小孩的總數(shù)為kmD.小孩的總數(shù)為k＋m－n答案：BC解析：設(shè)一共有x個小孩，則kx＝nm，解得x＝16.一工廠生產(chǎn)了16800件某種產(chǎn)品，它們分別來自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線.為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層隨機(jī)抽樣（按比例分配樣本量）的方法進(jìn)行抽樣.已知從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線抽取的產(chǎn)品個數(shù)分別是a，b，c，且2b＝a＋c，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了件產(chǎn)品.答案：5600解析：設(shè)甲、乙、丙3條生產(chǎn)線各生產(chǎn)了T甲，T乙，T丙件產(chǎn)品，則a∶b∶c＝T甲∶T乙∶T丙，即aT甲＝bT乙＝cT丙.因?yàn)?b所以T乙＝1680017.某班的數(shù)學(xué)老師要對該班一模考試的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時，先將該班70名同學(xué)按00，01，02，…，69進(jìn)行編號，然后從隨機(jī)數(shù)表第9行第9列的數(shù)開始向右讀，則選出的10個樣本中第8個樣本的編號是.注：以下是隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行.第8行：63016378591695556719981050717512867358074439523879第9行：33211234297864560782524207443815510013429966027954答案：38解析：由隨機(jī)數(shù)表知選出的10個樣本依次是29，64，56，07，52，42，44，38，15，51，第8個樣本編號是38.18.某地各項(xiàng)事業(yè)取得令人矚目的成就，以2023年為例，社會固定資產(chǎn)總投資約為3730億元，其中包括中央項(xiàng)目、省屬項(xiàng)目、地（市）屬項(xiàng)目、縣（市）屬項(xiàng)目和其他項(xiàng)目.圖1、圖2分別是這五個項(xiàng)目的投資額不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請完成下列問題.（1）地（市）屬項(xiàng)目投資額為億元；（2）在圖2中，縣（市）屬項(xiàng)目部分所占百分比為m％，對應(yīng)的圓心角為β，則m＝，β＝度（m，β均取整數(shù)）.答案：（1）830（2）1865解析：（1）因?yàn)樵摰厣鐣潭ㄙY產(chǎn)總投資約為3730億元，所以地（市）屬項(xiàng)目投資額為3730－（200＋530＋670＋1500）＝830（億元）.（2）由條形統(tǒng)計圖可以看出縣（市）屬項(xiàng)目部分總投資為670億元，所以縣（市）屬項(xiàng)目部分所占百分比為m％＝6703730×100％≈18％，即m＝18，對應(yīng)的圓心角為β≈360×0.18≈65（學(xué)生用書?第248頁第二節(jié)統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體[學(xué)習(xí)要求]1.會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖，體會它們各自的特點(diǎn).2.會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能根據(jù)實(shí)際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋.4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征；初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性.5.會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實(shí)際問題；能通過對數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識統(tǒng)計的作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異.[知識梳理]知識點(diǎn)一頻率分布直方圖作頻率分布直方圖的步驟（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；（2）決定組距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率分布直方圖.知識點(diǎn)二樣本的數(shù)字特征1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).（2）中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個數(shù)據(jù)（或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）.（3）平均數(shù)：如果有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個數(shù)的平均數(shù)x＝x1＋（4）百分位數(shù)：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使這組數(shù)據(jù)中至少有p％的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100－p）％的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.2.四分位數(shù)第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)（中位數(shù)），第75百分位數(shù)，這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)，其中第25百分位數(shù)也稱第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).3.標(biāo)準(zhǔn)差、方差（1）標(biāo)準(zhǔn)差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝1n學(xué)生用書?第249頁（2）方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2，s2＝1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]，其中xi（i＝1，2，3，…，n）是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，x是樣本平均數(shù)4.總體平均數(shù)、樣本平均數(shù)、方差（1）總體平均數(shù)：一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，Y3，…，YN，則稱Y＝Y(jié)1＋Y2＋…＋如果總體的N個變量中，不同的值共有k（k≤N）個，記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi（i＝1，2，…，k），則總體均值可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式，Y＝1N∑i=1k（2）樣本平均數(shù)：如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱y＝y(tǒng)1＋y2＋…（3）比例分配的分層隨機(jī)抽樣中的平均數(shù)：在分層隨機(jī)抽樣中，如果第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，……（x為第一層的平均數(shù)，y為第二層的平均數(shù)），則可用w＝MM＋Nx＋NM＋Ny＝[小題診斷]1.若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為（）A.2B.4C.6D.8答案：D解析：根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為22s2＝8.2.某射擊運(yùn)動員7次的訓(xùn)練成績分別為86，88，90，89，88，87，85，則這7次成績的第80百分位數(shù)（）A.88.5B.89C.91D.89.5答案：B解析：7次的訓(xùn)練成績從小到大排列為85，86，87，88，88，89，90，7×80％＝5.6，所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個數(shù)據(jù)，即89.3.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28，方差是4，若將這組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上20，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是.答案：484解析：設(shè)該組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，則新數(shù)據(jù)為x1＋20，x2＋20，…，xn＋20，記新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x'，因?yàn)閤＝x1＋x所以x'＝x1+20+x2+20+…因?yàn)閟2＝1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]＝4所以s'2＝1n{[x1＋20－（x＋20）]2＋[x2＋20－（x＋20）]2＋…＋[xn＋20－（x＋20）]2}＝s2＝4.某校體育節(jié)10名旗手的身高（單位：cm）分別為175，178，176，180，179，175，176，179，180，179，則中位數(shù)為.答案：178.5解析：把10名旗手的身高從小到大排列為175，175，176，176，178，179，179，179，180，180，則178+1792＝178.5，所以所求中位數(shù)為考點(diǎn)一頻率分布直方圖[例1]隨著新課程改革和高考綜合改革的實(shí)施，高中教學(xué)以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，學(xué)習(xí)評價更關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.為此，某市于2022年舉行第一屆高中數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)競賽，競賽結(jié)束后，為了評估該市高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生的成績（單位：分）作為樣本進(jìn)行估計，將抽取的成績整理后分成五組，依次記為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）請補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計這1000名學(xué)生成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）該市決定對本次競賽成績排在前180名的學(xué)生給予表彰，授予“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號，一名學(xué)生本次競賽成績?yōu)?9分，請你判斷該學(xué)生能否被授予“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號.[解]（1）成績在[60，70）的頻率為1－（0.30＋0.15＋0.10＋0.05）＝0.40，補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖.樣本的平均數(shù)x＝55×0.30＋65×0.40＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67.（2）因?yàn)?801000所以由頻率分布直方圖可以估計獲得“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號學(xué)生的最低成績?yōu)?0－0.18－0.05因?yàn)?9＞78，所以該學(xué)生能被授予“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號.學(xué)生用書?第250頁?1（（2（（（邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.1.（2024·深圳模擬）某市衛(wèi)健委為了解社區(qū)服務(wù)志愿者的服務(wù)時長（單位：小時），對參加過社區(qū)服務(wù)的志愿者隨機(jī)抽樣調(diào)查，將樣本中個體的服務(wù)時長進(jìn)行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖.據(jù)此估計，7.2萬名參加過社區(qū)服務(wù)的志愿者中服務(wù)時長超過32小時的約有（）A.3.3萬人B.3.4萬人C.3.8萬人D.3.9萬人答案：A解析：依題意樣本中服務(wù)時長超過32小時的個體頻率為1－4×（0.005＋0.04＋0.09）＝0.46.由樣本估計總體，可得總體中服務(wù)時長超過32小時的個體數(shù)為7.2×0.46＝3.312≈3.3（萬人）.考點(diǎn)二總體百分位數(shù)的估計?角度（一）離散型[例2]抽查30袋洗衣粉，測量它們的凈重如下（單位：g）482485485508508509497497498499500485486488490501502505490491492493495495495496500506508509估計第25，75百分位數(shù)分別是，.[答案]490502[解析]把30個數(shù)據(jù)從小到大排列為482485485485486488490490491492493495495495496497497498499500500501502505506508508508509509由25％×30＝7.5，75％×30＝22.5，可知樣本數(shù)據(jù)的第25，75百分位數(shù)分別為第8，23項(xiàng)數(shù)據(jù)，所以估計30袋洗衣粉第25，75百分位數(shù)分別為490，502.?設(shè)一組數(shù)據(jù)按照從小到大排列后為i?角度（二）連續(xù)型[例3]為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了100個同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學(xué)的支出都在[10，50]（單位：元），其中支出在[30，50]（單位：元）的同學(xué)有67人，其頻率分布直方圖如圖所示，估計學(xué)生課外讀物支出的樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù).[解]由頻率分布直方圖可得支出在[40，50]的頻率為1－（0.01＋0.023＋0.037）×10＝0.3，又支出在[30，50]（單位：元）的同學(xué)有67人，支出在[30，40）的頻率為0.37，因此，支出在[40，50]的同學(xué)共有67×0.30.37+0.所以第65百分位數(shù)應(yīng)位于[30，40）內(nèi)，因?yàn)檎n外讀物支出在[10，40）的占70％，所以30＋10×0.65－0.33?頻率分布直方圖中的百分位數(shù)，根據(jù)頻率計算.學(xué)生用書?第251頁2.（2024·江蘇南通模擬）“雙減”政策實(shí)施后，學(xué)生的課外閱讀增多.某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下：借書數(shù)量（單位：本）5678910頻數(shù)（單位：人）58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的第75百分位數(shù)是（）A.8B.8.5C.9D.10答案：C解析：由50×75％＝37.5，故第75百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第38人，又5＋8＋13＋11＝37＜38＜5＋8＋13＋11＋9＝46，故第75百分位數(shù)是9.3.某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20，30，30，40（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計分?jǐn)?shù)的樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)；（2）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中女生的人數(shù).解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為（0.02＋0.04）×10＝0.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4，小于80的頻率為0.8，70＋0.30所以其分?jǐn)?shù)的樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)估計值為77.5.（2）由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為（0.02＋0.04）×10×100＝60，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×12＝30所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，估計總體中女生人數(shù)為400×40100＝考點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征[例4]（2021·全國乙卷）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和y，樣本方差分別記為s12和（1）求x，y，s12，（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果y－x≥2s12[解]（1）由表格中的數(shù)據(jù)易得：x＝－0.2+0.3+0+0y＝0.1+0.4+0.s12＝110×[（9.7－10.0）2＋2×（9.8－10.0）2＋（9.9－10.0）2＋2×（10.0－10.0）2＋（10.1－10.0）2＋2×（10.2－10.0）2＋（10.3－10.0）2]s22＝110×[（10.0－10.3）2＋3×（10.1－10.3）2＋（10.3－10.3）2＋2×（10.4－10.3）2＋2×（10.5－10.3）2＋（10.6－10.3）2（2）由（1）中數(shù)據(jù)可得y－x＝10.3－10.0＝0.3，而2s12＋s2210＝25（s1?利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.學(xué)生用書?第252頁4.（多選）（2021·新高考Ⅰ卷）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，n），c為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同答案：CD解析：A項(xiàng)，設(shè)x＝1n∑i=1nxi，則y＝1n∑i=1nyi＝1n∑i=1n（xi＋c）＝1所以x≠y，所以A選項(xiàng)錯誤.B項(xiàng)，因?yàn)閥i＝xi＋c（i＝1，2，…，n），所以y1，y2，…，yn的中位數(shù)是x1，x2，…，xn的中位數(shù)加c，所以B選項(xiàng)錯誤.C項(xiàng)，設(shè)s12＝1n∑i=1n（xi－x）2，s22＝所以s22＝1n∑i=1n（xi＋c－x－c）2＝1n所以s12＝所以兩組數(shù)據(jù)的方差相同，從而這兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同，所以C選項(xiàng)正確.D項(xiàng)，設(shè)x1＜x2＜…＜xn，則第一組數(shù)據(jù)的極差為xn－x1，設(shè)y1＜y2＜…＜yn，則第二組數(shù)據(jù)的極差為yn－y1＝（xn＋c）－（x1＋c）＝xn－x1，所以這兩組數(shù)據(jù)的極差相同，所以D選項(xiàng)正確.其他常見統(tǒng)計圖表?角度（一）扇形圖[例1]（多選）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅狀圖：則下面結(jié)論中正確的是（）A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半[答案]BCD[解析]設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后種植收入37％×2a＝0.74a，新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為60％×a＝0.6a＜0.74a，種植收入增加，A錯誤；其他收入建設(shè)后為5％×2a＝0.1a，建設(shè)前為4％×a＝0.04a，增加了一倍以上，B正確；養(yǎng)殖收入建設(shè)前為0.3a，建設(shè)后為0.3×2a＝0.6a，養(yǎng)殖收入增加了一倍，C正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占總收入的比例為30％＋28％＝58％＞0.5，超過經(jīng)濟(jì)收入的一半，D正確.?通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系，明確各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的比例.?角度（二）折線圖[例2]（多選）機(jī)器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機(jī)器，它具有感知、決策、執(zhí)行等基本特征，可以輔助甚至替代人類完成危險、繁重、復(fù)雜的工作，提高工作效率與質(zhì)量，服務(wù)人類生活，擴(kuò)大或延伸人的活動及能力范圍.為了研究A，B兩專賣店的機(jī)器人銷售狀況，統(tǒng)計了2023年2月至7月A，B兩店每月的營業(yè)額（單位：萬元），得到如圖的折線圖，則下列說法正確的是（）A.根據(jù)A店的營業(yè)額折線圖可知，該店營業(yè)額的平均值在[34，35]內(nèi)B.根據(jù)B店的營業(yè)額折線圖可知，其營業(yè)額總體呈上升趨勢C.根據(jù)A，B兩店營業(yè)額的折線圖，可得A店的營業(yè)額極差比B店大D.根據(jù)A，B兩店營業(yè)額的折線圖，可得B店7月份的營業(yè)額比A店多[答案]ABD[解析]根據(jù)A店的營業(yè)額折線圖可知，該店營業(yè)額的平均值為14+20+26+45+64+366≈34.17，故A正確；由B店的營業(yè)額折線圖可知B正確；A店營業(yè)額的極差為64－14＝50，B店營業(yè)額的極差為63－2＝61，故A店營業(yè)額的極差比B店小，故C錯誤；由折線圖可知，D正確?折線圖可以顯示隨時間（根據(jù)常用比例放置）而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢.?角度（三）條形圖[例3]（多選）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖1）、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖2），則下列結(jié)論中正確的是（）A.快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上B.快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20％C.快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多D.快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多[答案]ABC[解析]由題圖可知，快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占總?cè)藬?shù)的56％，超過一半，A正確；快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為56％×39.6％＝22.176％，超過20％，所以快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90”后的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20％，B正確；快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為56％×17％＝9.52％，超過“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，C正確；快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為22.176％，小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，但“80后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占“80后”人數(shù)的比未知，D不一定正確.學(xué)生用書?第253頁?條形圖中注意條形圖的“高度”代表的意義是占“百分比”還是具體量.1.已知某市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取30％的戶主進(jìn)行調(diào)查，則樣本量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為（）A.240，18B.200，20C.240，20D.200，18答案：A解析：樣本量n＝（250＋150＋400）×30％＝240，抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為150×30％×40％＝18.2.某網(wǎng)站為了了解某“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程，收集并整理了2023年1月至2023年11月期間該“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程（單位：公里）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應(yīng)的里程數(shù)B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8，9月份D.1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)答案：D解析：由折線圖可知月跑步平均里程比6月份高的只有9，10，11，共3個月，比6月份低的有1，2，3，4，5，7，8，共7個月，故6月份對應(yīng)里程數(shù)不是中位數(shù)，因此A不正確；月跑步平均里程在1月到2月，6月到7月，7月到8月，10月到11月都是減少的，故不是逐月增加，因此B不正確；月跑步平均里程高峰期大致在9，10，11三個月，8月份是相對較低的，因此C不正確；從折線圖來看，1月至5月的跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，因此D正確.3.（2024·四川成都模擬）如圖是某超市一年中各月份的收入與支出（單位：萬元）情況的條形統(tǒng)計圖.已知利潤為收入與支出的差，即利潤＝收入－支出.則下列說法正確的是（）A.利潤最高的月份是2月份，且2月份的利潤為40萬元B.利潤最低的月份是5月份，且5月份的利潤為10萬元C.收入最少的月份的利潤也最少D.收入最少的月份的支出也最少答案：D解析：在A中，利潤最高的月份是3月份和10月份，且2月份的利潤為40－30＝10萬元，故A錯誤；在B中，利潤最低的月份是8月份，且8月份的利潤為5萬元，故B錯誤；在C中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月份的利潤不是最少，故C錯誤，D正確.學(xué)生用書?第439頁[A組基礎(chǔ)保分練]1.10名工人某天生產(chǎn)同一種零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，那么數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.14B.15C.16D.17答案：D解析：將10名工人某天生產(chǎn)同一種零件個數(shù)從小到大排列為10，12，14，14，15，15，16，17，17，19.因?yàn)?0％×10＝8，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即17.2.某班的全體學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A.45B.50C.55D.60答案：B解析：由頻率分布直方圖知，低于60分的頻率為（0.010＋0.005）×20＝0.3，∴該班學(xué)生人數(shù)n＝150.3.（2024·山東濟(jì)南模擬）已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x，方差為s2，則（）A.x＝4，s2＜2B.x＝4，s2＞2C.x＞4，s2＜2D.x＞4，s2＞2答案：A解析：設(shè)原來的7個數(shù)分別是x1，x2，…，x7，加入一個新數(shù)據(jù)4之后的平均數(shù)為7×4+48＝4，則這8個數(shù)的方差s2＝（x1－4）2＋（x2－4.已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為0，4，5，x，8，10，12，15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7，則下列選項(xiàng)中錯誤的是（）A.x＝6B.該數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.5C.該數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是4.5D.該數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是6答案：D解析：因?yàn)橹形粩?shù)為7，所以x+82＝7，即x＝所以該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為18（0＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15）＝因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)有8個數(shù)，所以8×25％＝2，所以數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是x2＋x35.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間[0，10]內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取10位某市居民進(jìn)行街頭調(diào)查，得到他們的幸福感指數(shù)為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.7.5B.8C.8.5D.9答案：C解析：數(shù)據(jù)3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，共10個，且10×80％＝8，所以第80百分位數(shù)是8.5.6.某校進(jìn)行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.得分在[40，60）之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[60，80）的概率為0.5C.估計得分的眾數(shù)為55D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65答案：D解析：根據(jù)頻率和為1，計算（a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010）×10＝1，解得a＝0.005，得分在[40，60）的頻率是0.40，估計得分在[40，60）的有100×0.40＝40人，A正確；得分在[60，80）的頻率為0.5，可得這100名參賽者中隨機(jī)選取一人，得分在[60，80）的概率為0.5，B正確；根據(jù)頻率分布直方圖知，最高的小矩形對應(yīng)的底邊中點(diǎn)為50+602＝55，即估計眾數(shù)為55，C正確7.（多選）某高中為了解學(xué)生課外知識的積累情況，隨機(jī)抽取200名同學(xué)參加課外知識測試，測試共5道題，每答對一題得20分，答錯得0分.已知每名同學(xué)至少能答對2道題，得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A.該次課外知識測試及格率為90％B.該次課外知識測試得滿分的同學(xué)有30名C.該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)D.若該校共有3000名學(xué)生，則課外知識測試成績能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有1440名答案：ABD解析：由圖知，及格率為1－8％＝92％，故A錯誤；該測試得滿分的同學(xué)百分比為1－8％－32％－48％＝12％，即樣本中有12％×200＝24（名）同學(xué)得滿分，但總體學(xué)生數(shù)未知，故B錯誤；由圖知，中位數(shù)為80分，平均數(shù)為40×8％＋60×32％＋80×48％＋100×12％＝72.8（分），故C正確；由題意，3000名學(xué)生成績能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有3000×（48％＋12％）＝1800（名），故D錯誤.8.（多選）某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個樣本量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60）元的學(xué)生有60人，則下列說法正確的是（）A.樣本中支出在[50，60）元的頻率為0.03B.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132C.n的值為200D.若該校有2000名學(xué)生，則一定有600人的支出在[50，60）元答案：BC解析：在A中，樣本中支出在[50，60）元的頻率為1－（0.010＋0.024＋0.036）×10＝0.3，故A錯誤；在C中，n＝600.03×10＝200，故n在B中，樣本中支出不少于40元的人數(shù)為200×（0.030＋0.036）×10＝132，故B正確；在D中，若該校有2000名學(xué)生，則可能有600人的支出在[50，60）元，故D錯誤.學(xué)生用書?第440頁9.小玲家的魚塘里養(yǎng)了2500條鰱魚，按經(jīng)驗(yàn)，鰱魚的成活率約為80％.現(xiàn)準(zhǔn)備打撈出售，為了估計魚塘中鰱魚的總質(zhì)量，從魚塘中捕撈了3次進(jìn)行統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如下表：魚的條數(shù)平均每條魚的質(zhì)量/kg第一次捕撈201.6第二次捕撈102.2第三次捕撈101.8那么，魚塘中鰱魚的總質(zhì)量約是kg.答案：3600解析：1.6×12+210.（2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬）數(shù)據(jù)：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位數(shù)為m，第60百分位數(shù)為a，則m＋a＝.答案：10解析：中位數(shù)m＝4+52＝4.5，因?yàn)?0×60％＝6，所以第60百分位數(shù)a＝5+62＝5.5，所以m＋a11.在一個容量為5的樣本中，數(shù)據(jù)均為整數(shù)，已測出其平均數(shù)為10，但墨水污損了兩個數(shù)據(jù)，其中一個數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未被污損，即9，10，11，1■，■，那么這組數(shù)據(jù)的方差s2可能的最大值是.答案：32.8解析：設(shè)這組數(shù)據(jù)的最后兩個分別是10＋x，y，則9＋10＋11＋（10＋x）＋y＝50，得x＋y＝10，故y＝10－x，故s2＝1+0+1+x2＋(?x）25＝25＋25x212.現(xiàn)有某地一年四個季度的GDP（億元），第一季度GDP為232（億元），第四季度GDP為241（億元），四個季度的GDP逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的GDP為.答案：946（億元）解析：設(shè)第二季度GDP為x億元，第三季度GDP為y億元，則232＜x＜y＜241，∵中位數(shù)與平均數(shù)相同，∴x＋y2∴x＋y＝473，∴該地一年的GDP為232＋x＋y＋241＝946（億元）.[B組能力提升練]13.（多選）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從甲、乙兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了100個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，分別得到甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，如圖所示.若甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數(shù)分別為m1，m2，平均數(shù)分別為s1，s2，則下面正確的是（）A.m1＞m2B.m1＜m2C.s1＜s2D.s1＞s2答案：BC解析：由題中頻率分布直方圖得，甲地區(qū)[40，60）的頻率為（0.015＋0.020）×10＝0.35，[60，70）的頻率為0.025×10＝0.25，所以甲地區(qū)用戶滿意度評分的中位數(shù)m1＝60＋0.5－0.350.25×10＝66，甲地區(qū)的平均數(shù)s1＝45×0.015×10＋55×0.020×10＋65×0.025×10＋75×0.020×10＋85×0.010×10＋95×0.010×10＝67.乙地區(qū)[50，70）的頻率為（0.005＋0.020）×10＝0.25，[70，80）的頻率為0.035×10＝0.35，所以乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數(shù)m2＝70＋0.5－0.250.35×10≈77.1，乙地區(qū)的平均數(shù)s2＝55×0.005×10＋65×0.020×10＋75×0.035×10＋85×0.025×10＋95×14.（多選）甲、乙兩家企業(yè)2023年1至10月份的月收入情況如圖所示，下列說法中正確的是（）A.甲企業(yè)的月收入比乙企業(yè)的月收入高B.甲、乙兩家企業(yè)月收入相差最多的是7月份C.甲、乙兩家企業(yè)月收入差距的平均值為350萬元D.10月份與6月份相比，甲企業(yè)的月收入增長率比乙企業(yè)的月收入增長率低答案：ABD解析：A項(xiàng)，由圖可知，甲企業(yè)的月收入比乙企業(yè)的月收入高，所以該選項(xiàng)正確；B項(xiàng)，由圖可知，甲、乙兩家企業(yè)的月收入差距如表所示，月份12345678910差距/萬元200300200100300300600400300300則甲、乙兩家企業(yè)月收入相差最多的是7月份，為600萬元，故該選項(xiàng)正確；C項(xiàng)，由上表可知，甲、乙兩家企業(yè)月收入差距的平均值為110×（200＋300＋200＋100＋300＋300＋600＋400＋300＋300）＝300（萬元），故該選項(xiàng)不正確；D項(xiàng)，10月份與6月份相比，甲企業(yè)與乙企業(yè)的月收入都增加了200萬元，但甲企業(yè)6月份的收入為600萬元，乙企業(yè)6月份的收入為300萬元，所以甲企業(yè)月收入的增長率比乙企業(yè)月收入的增長率低，故該選項(xiàng)正確15.將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2.A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為15，30，20，則樣本的平均數(shù)為.答案：20.5解析：由題意可知樣本的平均數(shù)為w＝55+3+2×15＋35+3+2×30＋25+3+2×16.若等差數(shù)列{xn}的公差為3，則x1，x2，x3，…，x9的方差為.答案：60解析：由等差數(shù)列{xn}的公差為3，可知x＝x1＋x2＋…＋x所以方差s2＝19[（x1－x5）2＋（x2－x5）2＋…＋（x9－x5）2]＝19（16d2＋9d2＋4d2＋d2）×2＝203d2＝20317.一個高中研究性學(xué)習(xí)小組對本地區(qū)2021年至2023年快餐公司發(fā)展情況進(jìn)行了調(diào)查，制成該地區(qū)快餐公司個數(shù)的函數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖（如圖所示）.據(jù)圖中提供的信息，可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯萬盒.答案：92.5解析：由題意和題圖知，三年內(nèi)共銷售盒飯為30×1＋45×1.5＋90×2＝277.5（萬盒），則平均數(shù)為277.5÷3＝92.5（萬盒）.學(xué)生用書?第254頁第三節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析[學(xué)習(xí)要求]1.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的關(guān)系.2.結(jié)合實(shí)例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.[知識梳理]知識點(diǎn)一變量的相關(guān)關(guān)系1.變量的相關(guān)關(guān)系常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.2.散點(diǎn)圖一般地，如果收集到了變量x和變量y的n對數(shù)據(jù)（簡稱為成對數(shù)據(jù)），如下表所示.序號i123…n變量xx1x2x3…xn變量yy1y2y3…yn則在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出點(diǎn)（xi，yi），i＝1，2，3，…，n，就可以得到這n對數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.3.正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的概念如果由變量的成對數(shù)據(jù)、散點(diǎn)圖或直觀經(jīng)驗(yàn)可知，變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來刻畫，則稱x與y線性相關(guān).正相關(guān)：如果一個變量增大，另一個變量大體上也增大，則稱這兩個變量正相關(guān).如圖（1）.負(fù)相關(guān)：如果一個變量增大，另一個變量大體上減少，則稱這兩個變量負(fù)相關(guān).如圖（2）.知識點(diǎn)二樣本相關(guān)系數(shù)1.r＝∑＝∑i=1nxiyi－2.樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（1）｜r｜≤1，且y與x正相關(guān)的充要條件是r＞0，y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是r＜0.（2）｜r｜越小，說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱，也就是得出的回歸直線方程越?jīng)]有價值，即方程越不能反映真實(shí)的情況；｜r｜越大，說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng)，也就是得出的回歸直線方程越有價值.（3）｜r｜＝1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在回歸線上.知識點(diǎn)三一元線性回歸模型1.一元線性回歸模型x與Y的關(guān)系可以表示為Y＝我們稱上式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)，e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差.2.一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程我們將y＝bx＋a，其中b稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的最小二乘估計.學(xué)生用書?第255頁（2）殘差分析對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差，殘差是隨機(jī)誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.（3）利用R2刻畫回歸效果R2的計算公式為R2＝1－∑i=1n（yi－yi）2∑i=1n（y[小題診斷]1.在對兩個變量x，y進(jìn)行回歸分析時有下列步驟：①對所求出的回歸直線方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)（xi，yi），i＝1，2，…，n；③求回歸直線方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖.則下列操作順序正確的是（）A.①②④③B.③②④①C.②③①④D.②④③①答案：D解析：根據(jù)回歸分析的思想，可知對兩個變量x，y進(jìn)行回歸分析時，應(yīng)先收集數(shù)據(jù)（xi，yi），然后繪制散點(diǎn)圖，再求回歸直線方程，最后對所求的回歸直線方程作出解釋.2.兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下，其中擬合效果最好的模型是（）A.模型1的相關(guān)系數(shù)r為0.98B.模型2的相關(guān)系數(shù)r為0.80C.模型3的相關(guān)系數(shù)r為0.50D.模型4的相關(guān)系數(shù)r為0.25答案：A3.（2024·重慶模擬）某商家今年上半年各月的人均銷售額（單位：千元）與利潤率統(tǒng)計表如下：月份123456人均銷售額658347利潤率（％）12.610.418.53.08.116.3根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系B.利潤率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系C.利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系D.利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系答案：A解析：由統(tǒng)計表可得利潤率與人均銷售額不是正比例關(guān)系，也不是反比例關(guān)系，排除C和D；其屬于正相關(guān)關(guān)系，A正確，B錯誤.4.（2024·廣東廣州模擬）若某商品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下表所示的對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y2040607080根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝bx＋1.5，根據(jù)預(yù)測，當(dāng)投入10萬元時，銷售額的估計值為萬元.答案：106.5解析：x＝15×（2＋4＋5＋6＋8）＝5，y＝15×（20＋40＋60＋70＋80）＝∴樣本中心為（5，54），將其代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝bx＋1.5中，有54＝5b＋1.5，解得b＝10.5，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝10.5x＋1.5，當(dāng)x＝10時，y＝10.5×10＋1.5＝106.5.考點(diǎn)一成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性[例1]兩個變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是（）A.①②③B.②③①C.②①③D.①③②[答案]D[解析]第一個散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，則是正相關(guān)；第三個散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，則是負(fù)相關(guān)；第二個散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒有什么規(guī)律，則是不相關(guān)，所以應(yīng)該是①③②.[例2]某公司為了準(zhǔn)確地把握市場，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計劃，對過去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第x年與年銷售量y（單位：萬件）之間的關(guān)系如表：x1234y12284256（1）在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）根據(jù)（1）中的散點(diǎn)圖判斷y與x的回歸模型的類型，并用相關(guān)系數(shù)加以說明.附：∑i=14（yi－y）2≈32.7，5≈2.24，∑i=14xiyi＝418.相關(guān)系數(shù)r＝∑i=1n（xi－[解]（1）作出的散點(diǎn)圖如圖：（2）由（1）散點(diǎn)圖可知，各點(diǎn)大致分布在一條直線附近，故可用一元線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.又x＝52，y＝692，∑i=14xi2＝30，∑i=14（xi－x）（yi－y）＝∑i=14xiyi－4∑i=14（xi－x）∴r＝∑i=14（∵y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.9966，說明y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)強(qiáng)，∴可以用一元線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.學(xué)生用書?第256頁?利用散點(diǎn)圖看點(diǎn)的分布可判斷關(guān)系強(qiáng)弱，或用1.（多選）有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5組（x，y）數(shù)據(jù)中去掉D（3，10）后，下列說法正確的是（）A.經(jīng)驗(yàn)回歸方程不變B.樣本相關(guān)系數(shù)r變大C.各組數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的距離的平方和變小D.變量x與變量y的相關(guān)程度變強(qiáng)答案：BCD解析：根據(jù)D點(diǎn)在散點(diǎn)圖中的位置可知，D比較偏離經(jīng)驗(yàn)回歸直線，故去掉D（3，10）后，數(shù)據(jù)比原來集中，相關(guān)程度變強(qiáng)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程有所改變，A錯誤，B，C，D都正確.2.（2024·河北滄州模擬）在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線y＝12x＋1A.－1B.0C.12答案：D解析：因?yàn)樗悬c(diǎn)都在直線上，所以它就是確定的函數(shù)關(guān)系，故其相關(guān)系數(shù)為1.考點(diǎn)二經(jīng)驗(yàn)回歸方程的概念[例3]（2024·河南鄭州模擬）設(shè)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相同）是變量x和y的n個樣本點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘估計得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線（如圖），以下結(jié)論正確的是（）A.x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率B.x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間C.當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個數(shù)一定相同D.直線l過點(diǎn)（x，y）[答案]D[解析]根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)的計算公式可知A錯誤；由回歸直線的趨勢可知變量x，y負(fù)相關(guān)，故x和y的相關(guān)系數(shù)在－1到0之間，故B錯誤；C顯然錯誤；經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn)（x，y），故D正確.?結(jié)合具體實(shí)例，理解教材中的有關(guān)概念.3.（多選）設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中正確的是（）A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.經(jīng)驗(yàn)回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（x，y）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg答案：ABC解析：b為正數(shù)，所以兩變量具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確；B，C顯然正確；若該大學(xué)某女生身高為170cm，則由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可預(yù)測其體重在58.79kg左右.學(xué)生用書?第257頁考點(diǎn)三非線性回歸模型[例4]近年來，明代著名醫(yī)藥學(xué)家李時珍故鄉(xiāng)黃岡市蘄春縣大力發(fā)展大健康產(chǎn)業(yè)，蘄艾產(chǎn)業(yè)化種植已經(jīng)成為該縣主要產(chǎn)業(yè)之一.已知蘄艾的株高y（單位：cm）與一定范圍內(nèi)的溫度x（單位：℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了蘄艾的13組觀測數(shù)據(jù)，得到如下的散點(diǎn)圖：現(xiàn)根據(jù)散點(diǎn)圖利用y＝a＋bx或y＝c＋dx建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，令s＝x，t＝1xyst10.15109.943.040.16∑i=113si13s·y∑i=113ti13t·y∑i13s∑i13t∑i13y13.94－2.111.670.2121.22且（si，yi）與（ti，yi）（i＝1，2，3，…，13）的相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2，且r2＝－0.9953.（1）用相關(guān)系數(shù)說明哪種模型建立y與x的回歸方程更合適.（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.（3）已知蘄艾的利潤z與x，y的關(guān)系為z＝20y－12x，當(dāng)x為何值時，z附：參考數(shù)據(jù)和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，247.6374≈15.7365，對于一組數(shù)據(jù)（ui，vi）（i＝1，2，3，…，n），其回歸直線方程v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為β＝∑i=1n相關(guān)系數(shù)r＝∑i[解]（1）由題意知r2＝－0.9953，r1＝13.9411.67×21.22＝13.94247.6374≈13.9415.7365（2）因?yàn)閠＝1x，所以y＝c＋dt因?yàn)閐＝∑i=113tic＝y(tǒng)－dt＝109.94＋10×0.16＝111.54所以y關(guān)于x的回歸方程為y＝111.54－10x（3）由題意知z＝20y－12x＝20×111.54－10x－12x＝2230.8－200x＋12x≤2230.8－所以當(dāng)x＝20時這種草藥的利潤最大.?利用相關(guān)系數(shù)來定量地衡量兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系當(dāng)｜｜4.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i＝1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.xyw∑（xi－x）2∑（wi－w）2∑（xi－x）·（yi－y）∑i=18（wi－（yi－y）46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝xi，w＝18∑（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y＝a＋bx與y＝c＋dx哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費(fèi)x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：β＝∑i=1n（ui－解：（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.（2）令w＝x，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于d＝∑i=18（wc＝y(tǒng)－dw＝563－68×6.8＝100.6所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為y＝100.6＋68x.（3）①由（2）知，當(dāng)x＝49時，年銷售量y的預(yù)報值y＝100.6＋6849＝576.6，年利潤z的預(yù)報值z＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(jù)（2）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值z＝0.2×（100.6＋68x）－x＝－x＋13.6x＋20.12，所以當(dāng)x＝13.62＝6.8，即xz取得最大值.故年宣傳費(fèi)為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大.學(xué)生用書?第441頁[A組基礎(chǔ)保分練]1.下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是（）A.具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系B.散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度C.回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變量之間的關(guān)系D.任一組數(shù)據(jù)都有線性回歸方程答案：D解析：根據(jù)兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的概念，可知A正確；散點(diǎn)圖能直觀地描述呈相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)程度，且回歸直線最能代表它們之間的相關(guān)關(guān)系，所以B、C正確；具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)才有線性回歸方程，所以D不正確.2.在線性回歸模型中，變量x與y的一組樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)均在直線y＝12x＋1上，R2＝1－∑i=1nA.14B.C.1D.5答案：C3.某醫(yī)院醫(yī)療小組在一項(xiàng)試驗(yàn)中獲得一組關(guān)于癥狀指數(shù)y與時間t之間的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖，以下回歸模型最能擬合y與t之間關(guān)系的是（）A.y＝kt2B.y＝log2tC.y＝t3D.y＝（2）t答案：B解析：由題圖可知，散點(diǎn)幾乎落在一條曲線周圍，圖象單調(diào)遞增且增長的速度越來越緩慢，結(jié)合選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象，函數(shù)y＝kt2，y＝t3和y＝（2）t的圖象單調(diào)遞增，但是增長速度越來越快，故排除，而函數(shù)y＝log2t的圖象單調(diào)遞增且增長速度越來越緩慢，所以選項(xiàng)B符合題意，最能擬合y與t之間的關(guān)系.4.（多選）（2024·江蘇蘇州模擬）已知變量x，y的5對樣本數(shù)據(jù)為A1（1，1），A2（2，3），A3（2.5，3.5），A4（3，4），A5（4，6），用最小二乘法得到線性回歸方程l1：y＝1.6x＋a，過點(diǎn)A2，A3的直線方程為l2：y＝mx＋n，則（）A.變量y和x之間具有正相關(guān)關(guān)系B.a＞nC.樣本數(shù)據(jù)A2（2，3）的殘差為－0.3D.∑i=15（yi－1.6xi－a）2≤∑i=15（yi－答案：AD解析：對于A項(xiàng)，根據(jù)線性回歸方程，可知變量y和x之間具有正相關(guān)關(guān)系，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由已知可得，x＝1+2+2.5+3+45＝2.5，y＝1+3+3.5+4+65＝3.5，根據(jù)線性回歸方程，可知3.5＝1.6×2.5根據(jù)已知，可求出kA2A3＝3.5－32.5－2＝1，則直線A2A3方程為y－3＝x－2，整理可得y對于C項(xiàng)，由B知，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝1.6x－0.5，樣本數(shù)據(jù)A2（2，3）的預(yù)測值為1.6×2－0.5＝2.7，所以樣本數(shù)據(jù)A2（2，3）的殘差為3－2.7＝0.3，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，根據(jù)最小二乘法的意義，可知∑i=15（yi－1.6xi－a）2≤∑i=15（yi－mxi－n5.已知變量y與x的一組數(shù)據(jù)如表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程為y＝ebx－1.x1234ye2e3e5e6若y＝e13，則x等于（）A.6B.7C.8D.9答案：B解析：由y＝ebx－1，得lny＝bx－1，令z＝lny，則z＝bx－1，由題意知，x＝1+2+3+44＝2.5，z＝2+3+5+64＝因?yàn)椋▁，z）滿足z＝bx－1，所以4＝b×2.5－1，解得b＝2，所以z＝2x－1，所以y＝e2x－1，令e2x－1＝e13，解得x＝7.6.（多選）某制衣品牌為使成衣尺寸更精準(zhǔn)，選擇了10名志愿者，對其身高（單位：cm）和臂展（單位：cm）進(jìn)行了測量，這10名志愿者身高和臂展的折線統(tǒng)計圖如圖所示.已知這10名志愿者身高的平均值為176cm，根據(jù)這10名志愿者的數(shù)據(jù)求得臂展u關(guān)于身高v的線性回歸方程為u＝1.2v－34，則下列結(jié)論正確的是（）A.這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差B.這10名志愿者的身高和臂展呈負(fù)相關(guān)C.這10名志愿者臂展的平均值為176.2cmD.根據(jù)線性回歸方程可估計身高為160cm的人的臂展為158cm答案：AD解析：對于選項(xiàng)A，因?yàn)檫@10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差，故A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?.2＞0，所以這10名志愿者的身高和臂展呈正相關(guān)關(guān)系，故B錯誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)檫@10名志愿者身高的平均值為176cm，所以這10名志愿者臂展的平均值為1.2×176－34＝177.2（cm），故C錯誤；對于選項(xiàng)D，若一個人的身高為160cm，則由線性回歸方程u＝1.2v－34，可得這個人的臂展的估計值為158cm，故D正確.7.某智能機(jī)器人的廣告費(fèi)用x（萬元）與銷售額y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：廣告費(fèi)用x（萬元）2356銷售額y（萬元）28314148根據(jù)此表可得回歸直線方程為y＝5x＋a，據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為8萬元時銷售額為萬元.答案：57解析：由表格，得x＝2+3+5+64＝4，y＝28+31+41+484＝所以37＝5×4＋a，即a＝17，所以預(yù)測當(dāng)廣告費(fèi)用為8萬元時，銷售額為5×8＋17＝57（萬元）.8.在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，…，6）都在曲線y＝bx2－13附近波動.經(jīng)計算∑i=16xi＝11，∑i=16yi＝13，∑答案：5解析：令t＝x2，則曲線的回歸方程變?yōu)榫€性的回歸方程，即y＝bt－13，此時t＝∑i=16xi26＝72，y＝∑i=16yi6＝136，代入y＝b9.（2024·江蘇連云港模擬）為了研究高三（1）班女生的身高x（單位：cm）與