學法大視野·數(shù)學·九年級上冊(湘教版)·第1章-反比例函數(shù)

1.反比例函數(shù)概念一般地,如果兩個變量x,y之間的對應關(guān)系可以表示成(k為常數(shù),k0)的形式,那么稱y是x的反比例函數(shù).反比例函數(shù)的自變量x不能為.

2.反比例函數(shù)的等價形式y(tǒng)是x的反比例函數(shù)?y=kx(k≠0)?y=kx-1(k≠0)?xy=k(k≠0)探究一:反比例函數(shù)的概念【例1】若函數(shù)y=(m+1)xm2+3m+1是反比例函數(shù),則(A)m=1 (B)m=-2(C)m=-2或m=-1 (D)m=2或m=1【導學探究】判斷形如y=kx(k≠0)的反比例函數(shù)時,要特別注意:①自變量x的指數(shù)是,②k的取值范圍是反比例函數(shù)y=kx(k≠0)中應注意三點:(1)k≠0;(2)x≠0;(3)其解析式的另外兩種寫法是xy=k,y=kx-1(k≠0),其中(1)是最容易被忽視的.變式訓練1-1:下列各式中的兩個字母都表示變量,哪些式子中的兩個變量可以成反比例函數(shù)關(guān)系?每一個反比例函數(shù)相應的常數(shù)“k”值是多少?(1)y=x3;(2)xy=-6(3)s=-3p;(4)y=3x變式訓練1-2:寫出下列問題中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并判斷是否為反比例函數(shù).(1)三角形的面積為36cm2,底邊長y(cm)與該邊上的高x(cm);(2)圓錐的體積為60cm3,它的高y(cm)與底面的面積x(cm2).探究二:求反比例函數(shù)解析式【例2】已知y是x的反比例函數(shù),(2,-2)是它圖象上的一點,該圖象是否經(jīng)過點-6,13?【導學探究】1.設(shè)函數(shù)關(guān)系式為.

2.把點代入關(guān)系式.

確定反比例函數(shù)的關(guān)系式:(1)設(shè):設(shè)出關(guān)系式y(tǒng)=kx(k≠0);(2)代:把一組x、y的值代入;(3)寫:寫出函數(shù)關(guān)系式.變式訓練2-1:已知y與x成反比例,并且當x=-1時,y=3,那么該函數(shù)的表達式為()(A)y=-3x (B)y=-(C)y=-13x (D)y=1變式訓練2-2:已知函數(shù)y=y1+y2,y1與x成正比例,y2與x成反比例,且當x=1時,y=4;當x=2時,y=5.(1)求y與x的函數(shù)表達式;(2)當x=4時,求y的值.1.(2013溫州)已知點P(1,-3)在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上,則k的值是((A)3 (B)-3 (C)13 (D)-2.下列函數(shù)中,能表示y是x的反比例函數(shù)的是 ()(A)y=2x (B)y=1(C)y=13x (D)3.(2013邵陽)下列四個點中,在反比例函數(shù)y=-6x的圖象上的是((A)(3,-2) (B)(3,2) (C)(2,3) (D)(-2,-3)4.已知函數(shù)y=(m-2)xm2-5是反比例函數(shù),則5.某市舉辦“珍珠節(jié)”,需要生產(chǎn)4000個珍珠紀念品,一名工人一天的產(chǎn)量為5至8個,若要在40天內(nèi)完成任務(wù),那么大約需要多少工人?1.下列各選項中所列舉的兩個變量之間的關(guān)系,是反比例函數(shù)關(guān)系的是()(A)直角三角形中,30°角所對的直角邊y與斜邊x之間的關(guān)系(B)等腰三角形,頂角y與底角x之間的關(guān)系(C)圓的面積S與它的直徑d之間的關(guān)系(D)面積為20的菱形,其中一條對角線y與另一條對角線x的關(guān)系2.在函數(shù)①y=3x;②y=2x;③y=-5x④y=-5x;⑤s=vt;⑥v=st;⑦S=πR⑧t=100v;⑨I=220R中.反比例函數(shù)有((A)4個 (B)3個 (C)5個 (D)6個3.(2013遂寧)已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(2,-2),則k的值為((A)4 (B)-12(C)-4 (D)-24.已知y與x成正比例,z與y成反比例,則z與x之間()(A)成正比例(B)成反比例(C)既成正比例又成反比例(D)既不成正比例也不成反比例5.已知反比例函數(shù)y=-2x的圖象經(jīng)過點(a,-a),則a的值為((A)2 (B)-2 (C)±2 (D)±26.已知函數(shù)y=(m+2)x|m|-3是反比例函數(shù),則m的值為.

7.(2013揚州)在溫度不變的條件下,一定質(zhì)量的氣體的壓強p與它的體積V成反比例,當V=200時,p=50,則當p=25時,V=.

8.已知A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函數(shù)y=6x的圖象上.若x1x2=-3,則y1y2的值為9.已知函數(shù)y=(m-2)xm(1)若y是x的正比例函數(shù),求m的值.(2)若y是x的反比例函數(shù),求m的值.10.生物學習小組欲建一個一邊長為xm,面積是30m2的三角形生物養(yǎng)殖區(qū).若這條邊上的高為ym,(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式及自變量x的取值范圍.(2)y關(guān)于x的函數(shù)是不是反比例函數(shù)?如果是,請說出它的比例系數(shù).第1課時反比例函數(shù)的圖象1.反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是雙曲線2.反比例函數(shù)圖象畫法的注意事項(1)反比例函數(shù)的圖象不是直線,“兩點法”是不能畫的;(2)選取的點越多,畫的圖越準確.3.反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)(1)當k>0時,兩支曲線分別位于第象限內(nèi).

(2)當k<0時,兩支曲線分別位于第象限內(nèi).

探究一:反比例函數(shù)圖象性質(zhì)【例1】已知如圖所示的曲線是函數(shù)y=m-5x(m為常數(shù)(1)求常數(shù)m的取值范圍;(2)若該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象在第一象限的交點為A(2,n),求點A的坐標及反比例函數(shù)的解析式.【導學探究】由題中圖象可知反比例函數(shù)y=m-5x的兩個分支分別位于.可判斷m-5反比例函數(shù)y=kx圖象的位置決定于k的符號.變式訓練1-1:已知反比例函數(shù)y=1-mx的圖象如圖所示,則實數(shù)m的取值范圍是(A)m>1 (B)m>0(C)m<1 (D)m<0變式訓練1-2:反比例函數(shù)y=mx2m2+3m-探究二:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的結(jié)合【例2】已知反比例函數(shù)y=kx的圖象與一次函數(shù)y=3x+m的圖象相交于點(1,5)(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式;(2)求這兩個函數(shù)圖象的另一個交點的坐標.【導學探究】1.把點代入y=kx和y=32.兩函數(shù)圖象的交點坐標,即求方程組的解.

變式訓練2-1:(2013汕頭)已知k1<0<k2,則函數(shù)y=k1x-1和y=k2x的圖象大致是(變式訓練2-2:如圖,已知直線y=-x+2與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于點A(-1,a),并且與x軸相交于點(1)求a的值;(2)求反比例函數(shù)的表達式;(3)求△AOB的面積.1.(2013蘭州)當x>0時,函數(shù)y=-5x的圖象在((A)第四象限 (B)第三象限(C)第二象限 (D)第一象限2.(2013沈陽)在同一平面直角坐標系中,函數(shù)y=x-1與函數(shù)y=1x的圖象可能是(3.若雙曲線y=kx與直線y=2x+1的一個交點的橫坐標為-1,則k的值為((A)-1 (B)1 (C)-2 (D)24.(2013廈門)已知反比例函數(shù)y=m-1x的圖象的一支位于第一象限,則常數(shù)m5.(2013岳陽)如圖,反比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y=x+b的圖象,都經(jīng)過點A(1,2(1)試確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;(2)求一次函數(shù)圖象與兩坐標軸的交點坐標.1.(2013隨州)正比例函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)y=-k2+1x(k是常數(shù)且k≠0)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是2.(2013銅仁)已知矩形的面積為8,則它的長y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為()3.(2013大理)若ab>0,則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=abx在同一坐標系中的大致圖象是(4.關(guān)于反比例函數(shù)y=4x的圖象,下列說法正確的是((A)必經(jīng)過點(1,1)(B)兩個分支分布在第二、四象限(C)兩個分支關(guān)于x軸成軸對稱(D)兩個分支關(guān)于原點成中心對稱5.(2013畢節(jié))一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=kx在同一直角坐標系下的大致圖象如圖所示;則k、b的取值范圍是((A)k>0,b>0 (B)k<0,b>0(C)k<0,b<0 (D)k>0,b<06.(2013無錫)已知雙曲線y=k+1x經(jīng)過點(-1,2),那么k的值等于7.(2013陜西)如果一個正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y=-6x的圖象交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,那么(x2-x1)(y2-y1)的值為8.已知反比例函數(shù)y=m2x的圖象過點(-4,-9),且反比例函數(shù)y=mx的圖象位于第一、三象限,求9.如圖,直線y=kx+k(k≠0)與雙曲線y=m-5x在第一象限內(nèi)相交于點M,與(1)求m的取值范圍和點A的坐標;(2)若點B的坐標為(3,0),AM=5,S△ABM=8,求雙曲線的函數(shù)表達式.第2課時反比例函數(shù)的性質(zhì)1.反比例函數(shù)的增減性反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象,當k>0時,,y的值隨x值的增大而;當k<0時,,y的值隨x值的增大而2.反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)的圖象雙曲線既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.(對稱軸為直線,對稱中心為).

探究一:反比例函數(shù)的增減性【例1】如圖是反比例函數(shù)y=2n-4x(1)圖象的另一支在哪個象限?常數(shù)n的取值范圍是什么?(2)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,1),求n的值.(3)在這個函數(shù)圖象的某一支上任取點A(a1,b1)和點B(a2,b2),如果a1<a2,試比較b1和b2的大小.【導學探究】1.函數(shù)過象限,所以2n-4.

2.在每個分支上,y隨x的增大而,由a1<a2可得b1b2.

反比例函數(shù)的增減性要注意:(1)前提是在每個象限內(nèi),(2)與一次函數(shù)增減性相反.變式訓練1-1:(2013涼山州)如圖,正比例函數(shù)y1與反比例函數(shù)y2相交于點E(-1,2),若y1>y2>0,則x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是()變式訓練1-2:(2013海南)點(2,y1),(3,y2)在函數(shù)y=-2x的圖象上,則y1y2(填“>”或“<”或“=”)探究二:反比例函數(shù)的幾何意義【例2】如圖所示,A、B是函數(shù)y=2x的圖象上關(guān)于原點對稱的任意兩點,BC∥x軸,AC∥y軸,且交x軸于D,求△ABC的面積【導學探究】從反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上任一點向兩坐標軸作垂線(如圖所示),與兩坐標軸圍成的矩形的面積等于,三角形面積(S△AOB)等于變式訓練2-1:(2013永州)如圖,兩個反比例函數(shù)y=4x和y=2x在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2,設(shè)點P在C1上,PA⊥x軸于點A,交C2于點B,則△POB的面積為變式訓練2-2:如圖所示,設(shè)A為反比例函數(shù)y=kx圖象上一點,且長方形ABOC的面積為3,求這個反比例函數(shù)的解析式1.(2013義烏)已知兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)在反比例函數(shù)y=3x的圖象上,當x1>x2>0時,下列結(jié)論正確的是((A)0<y1<y2 (B)0<y2<y1(C)y1<y2<0 (D)y2<y1<02.(2013濱州)若點A(1,y1)、B(2,y2)都在反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖象上,則y1、y2的大小關(guān)系為((A)y1<y2 (B)y1≤y2(C)y1>y2 (D)y1≥y23.如圖,已知A點是反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上一點,AB⊥y軸于B,且△ABO的面積為3,則k的值為4.如圖,點A在雙曲線y=3x上,點B在雙曲線y=5x上,C,D在x軸上,若四邊形ABCD為矩形,則它的面積為5.(2013郴州)已知:如圖,一次函數(shù)的圖象與y軸交于點C(0,3),且與反比例函數(shù)y=2x的圖象在第一象限內(nèi)交于A、B兩點,其中A(1,a求這個一次函數(shù)的解析式.1.(2013蘭州)已知A(-1,y1),B(2,y2)兩點在雙曲線y=3+2mx上,且y1>y2,則m的取值范圍是((A)m>0 (B)m<0(C)m>-32 (D)m<-2.反比例函數(shù)y=2x圖象上的兩點為(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2,則下列關(guān)系成立的是((A)y1>y2 (B)y1<y2(C)y1=y2 (D)不能確定3.(2013濰坊)設(shè)點A(x1,y1)和B(x2,y2)是反比例函數(shù)y=kx圖象上的兩個點,當x1<x2<0時,y1<y2,則一次函數(shù)y=-2x+k的圖象不經(jīng)過的象限是((A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限4.如圖所示,兩個反比例函數(shù)y=1x和y=-2x的圖象分別是l1和l2.設(shè)點P在l1上,PC⊥x軸,垂足為C,交l2于點A,PD⊥y軸,垂足為D,交l2于點B,則三角形PAB的面積為((A)3 (B)4 (C)92 (D)5.如圖,點A是反比例函數(shù)y=-6x(x<0)的圖象上的一點,過點A作平行四邊形ABCD,使點B、C在x軸上,點D在y軸上,則平行四邊形ABCD的面積為((A)1 (B)3 (C)6 (D)126.(2013內(nèi)江)如圖,反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M,分別與AB、BC相交于點D、E,若四邊形ODBE的面積為9,則k的值為((A)1 (B)2 (C)3 (D)47.如圖所示,一次函數(shù)y1=-x-1與反比例函數(shù)y2=-2x的圖象交于點A(-2,1),B(1,-2),則使y1>y2的x的取值范圍是8.(2013黃岡)已知反比例函數(shù)y=6x在第一象限的圖象如圖所示,點A在其圖象上,點B為x軸正半軸上一點,連接AO、AB,且AO=AB,則S△AOB=9.如圖是反比例函數(shù)y=5-2mx(1)圖象的另一支在哪個象限?常數(shù)m的取值范圍是什么?(2)若點A(m-3,b1)和點B(m-4,b2)是該反比例函數(shù)圖象上的兩點,請你判斷b1與b2的大小關(guān)系,并說明理由.1.反比例函數(shù)的應用主要體現(xiàn)在三個方面(1)根據(jù)圖象或其他信息,寫出函數(shù)的解析式.(2)由已知條件畫出函數(shù)的圖象.(3)運用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題.2.應用反比例函數(shù)解決問題的注意事項(1)設(shè)出函數(shù)表達式,不要忘記系數(shù)的取值范圍.(2)在求解中注意自變量的取值范圍.(3)有些問題也可借助于圖象或圖表來解決,使問題更直觀、條理.探究一:反比例函數(shù)的應用【例1】某汽車的功率P(瓦)為一定值,汽車行駛時的速度v(米/秒)與它所受的牽引力F(牛)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.(1)這輛汽車的功率是多少?請寫出v關(guān)于F的函數(shù)表達式;(2)當它所受牽引力為1200牛時,汽車的速度為多少千米/時?(3)如果限定汽車的速度不超過30米/秒,那么F在什么范圍內(nèi)?【導學探究】1.由題圖象知,v與F是函數(shù),所以可設(shè).

2.v隨F的增大而.

變式訓練1-1:近視眼鏡的度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例,已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()(A)y=400x (B)y=(C)y=100x (D)y=變式訓練1-2:在對物體做功W一定的情況下,力F(牛)與此物體在力的方向上移動的距離s(米)成反比例函數(shù)關(guān)系,其圖象如圖所示,P(5,1)在圖象上,則當力達到10牛時,物體在力的方向上移動的距離是米.

探究二:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用【例2】如圖所示,直線y=k1x+b與雙曲線y=k2x相交于A(1,2),B(m,-1)(1)求直線和雙曲線的解析式;(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)為雙曲線上的三點,且x1<x2<0<x3,請直接寫出y1,y2,y3的大小關(guān)系式;(3)觀察圖象,請直接寫出不等式k1x+b>k2x【導學探究】1.由A點的坐標,可求出,從而可求出m=.

2.借助求出不等式的解集.

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用的常見類型:(1)求關(guān)系式;(2)求交點坐標;(3)求三角形面積;(4)比較函數(shù)值大小.變式訓練2-1:(2013天水)函數(shù)y1=x和y2=1x的圖象如圖所示,則y1>y2的x取值范圍是((A)x<-1或x>1 (B)x<-1或0<x<1(C)-1<x<0或x>1 (D)-1<x<0或0<x<1變式訓練2-2:已知平面直角坐標系xOy,直線y=12x+b經(jīng)過第一、二、三象限,與y軸交于點B,點A(2,t)在直線y=12x+b上,連接AO,△AOB的面積等于(1)求b的值;(2)如果反比例函數(shù)y=kx(k是常量,k≠0)的圖象經(jīng)過點A,求這個反比例函數(shù)的解析式1.(2013泉州)為了更好保護水資源,造福人類,某工廠計劃建一個容積V(m3)一定的污水處理池,池的底面積S(m2)與其深度h(m)滿足關(guān)系式:V=Sh(V≠0),則S關(guān)于h的函數(shù)圖象大致是()2.(2013三明)如圖,已知直線y=mx與雙曲線y=kx的一個交點坐標為(3,4),則它們的另一個交點坐標是 ((A)(-3,4) (B)(-4,-3)(C)(-3,-4) (D)(4,3)3.(2013荊州)如圖,在平面直角坐標系中,直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點,以AB為邊在第一象限作正方形ABCD,沿x軸負方向平移a個單位長度后,點C恰好落在雙曲線上,則a的值是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.(2013棗莊)若正比例函數(shù)y=-2x與反比例函數(shù)y=kx圖象的一個交點坐標為(-1,2),則另一個交點的坐標為5.(2013新疆)如圖,已知一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=mx的圖象交于A(2,4)、B(-4,n)兩點(1)分別求出y1和y2的解析式;(2)寫出y1=y2時,x的值;(3)寫出y1>y2時,x的取值范圍.1.在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳,當改變?nèi)萜鞯捏w積時,氣體的密度也會隨之改變,密度ρ(單位:kg/m3)是體積V(單位:m3)的反比例函數(shù),它的圖象如圖所示,當V=10m3時,氣體的密度是 ()(A)5kg/m3 (B)2kg/m3(C)100kg/m3 (D)1kg/m32.三角形的面積為8cm2,這時底邊上的高y(cm)與底邊長x(cm)之