《高等數(shù)學》(第三版)教案第一章全

《高等數(shù)學》（第三版）第一章教案全反函數(shù)教學目標： （1）復習、理解函數(shù)（含分段函數(shù)）的概念、函數(shù)的性質(zhì)、幾種常見函數(shù)；（2）學習反函數(shù)的概念，及反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)；（3）介紹微軟高級計算器Mathematics4.0。教學重點： （1）函數(shù)知識復習（銜接高職階段知識）； （2）反函數(shù)。教學難點： 反函數(shù)的概念授課時數(shù)：2課時教學過程過程備注引言介紹本學科學習要求及本章主要內(nèi)容。知識回顧我們曾經(jīng)學習過函數(shù)的概念．大家知道，在某個變化過程中，有兩個變量和，設(shè)是實數(shù)集的某個子集，如果對于任意的，按照確定的法則，變量總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，那么變量叫做變量的函數(shù)，記作．其中叫做自變量，叫做因變量，實數(shù)集叫這個函數(shù)的定義域．自變量取定義域D中的數(shù)值時，對應(yīng)的數(shù)值叫做函數(shù)在點處的函數(shù)值，記作或．當遍取內(nèi)的所有數(shù)值時，對應(yīng)函數(shù)值所組成的集合叫做函數(shù)的值域．定義域和對應(yīng)法則是函數(shù)的兩個要素．在定義域的不同子集內(nèi)，對應(yīng)法則由不同的解析式所確定的函數(shù)稱為分段函數(shù)．例如，其中，稱為分段函數(shù)的分段點．函數(shù)性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性。學習過的幾類函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)。通過幻燈片演示引領(lǐng)學生回顧30′問題一個裝有液體的圓柱形容器，其底面直徑為D，高為h，則容器內(nèi)液體體積y與液面高度x的函數(shù)關(guān)系為． 知道液面高度x，就可以知道容器內(nèi)液體體積y．反過來，知道了容器內(nèi)液體體積y，如何求得液面高度x呢？引領(lǐng)學生討論完成35′新知識解決提出的問題之前，先來研究函數(shù)圖像的一個特征．作出函數(shù)與函數(shù)的圖像（圖1-2）．觀察圖像發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖像（圖1-2（1））與任何水平直線相交的交點最多有一個，具有這種特征的函數(shù)稱為一對一函數(shù)；而函數(shù)的圖像（圖1-2（2））與水平直線相交的交點會多于1個，具有這種特征的函數(shù)稱為非一對一函數(shù)．(1)(2)圖1-2對于一對一函數(shù)，值域中的每個函數(shù)值只有唯一的一個自變量值與之對應(yīng)，因此可以用函數(shù)y來表示自變量x．例如，可以寫成，這樣就構(gòu)成一個以函數(shù)值y為自變量的新函數(shù)，叫做原來函數(shù)的反函數(shù)．按照數(shù)學習慣，仍然用字母x表示自變量，用字母y表示函數(shù)．這樣，函數(shù)的反函數(shù)就是．函數(shù)的反函數(shù)一般記作．如的反函數(shù)為．函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系如圖1-3所示．圖1－3顯然，函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域．求一對一函數(shù)的反函數(shù)的基本步驟是：用函數(shù)y來表示自變量x；自變量和函數(shù)互換字母．動畫演示45′知識鞏固例1求函數(shù)的反函數(shù)，并在同一個直角坐標系內(nèi)作出它們的圖像．解函數(shù)的定義域為，值域為．將兩邊平方，整理得．互換字母得．由于函數(shù)的值域為，故函數(shù)的反函數(shù)的定義域為．因此所求反函數(shù)為（）．函數(shù)的圖像如圖1-4所示．圖1-4學生練習教師檢查輔導55′鏈接軟件利用MicrosoftMathematic4.0(簡體中文版)作出函數(shù)的圖像演示60′新知識顯然，不同角的同名三角函數(shù)值有可能相等，例如．也就是說．正弦函數(shù)圖像與平行于x軸的直線的交點會多余一個（圖1－6），所以三角函數(shù)不是一對一的函數(shù)．圖1－6為保證三角函數(shù)存在反函數(shù)，需要改變?nèi)呛瘮?shù)的定義域，使之在所定義的區(qū)間上為一對一的函數(shù)．因此將反三角函數(shù)定義如下：正弦函數(shù)上的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作，其定義域為[-1,1],值域為，函數(shù)圖形如圖1－7（1）所示..余弦函數(shù)在上的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作，其定義域為[-1,1]，值域為，函數(shù)圖形如圖1－7（2）所示.正切函數(shù)在上的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作，其定義域為，值域為，函數(shù)圖形如圖1－7（3）所示.（1）（2）（3）圖1-7教師講授80′做一做 利用高級計算器依次作出反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的圖像并分析函數(shù)的性質(zhì)．教師演示82′練習題求出下列函數(shù)的反函數(shù)，并在同一個直角坐標系內(nèi)作出它們的圖像．（1）；（2）.學生課上完成88′小結(jié)新知識：反函數(shù)90′作業(yè)1.進一步梳理高中階段函數(shù)的相關(guān)知識；2.自學微軟高級計算器Mathematics4.0;3.完成高等數(shù)學習題集“”。1.1.2初等函數(shù)教學目標：（1）學習復合函數(shù)的概念及其復合與分解；（2）學習基本初等函數(shù)及初等函數(shù)的概念。教學重點： 復合函數(shù)與初等函數(shù)的概念； 教學難點： 復合函數(shù)的分解。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注問題正弦函數(shù)與正弦型函數(shù)是同一個函數(shù)嗎？教師設(shè)疑分析3′新知識 根據(jù)函數(shù)的定義，這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)．正弦型函數(shù)是由正弦函數(shù)和一次函數(shù)所組成的，這樣的函數(shù)稱為復合函數(shù)．一般地，設(shè)函數(shù)是u的函數(shù)，是x的函數(shù)，如果由x通過所確定的u使得y有意義，則把y叫做由函數(shù)及復合而成的復合函數(shù)．記作，其中叫做自變量，叫做中間變量，f叫做外層函數(shù)，g叫做內(nèi)層函數(shù)．需要注意：（1）不是任何兩個函數(shù)都可以復合組成復合函數(shù)的．例如，及就不能復合組成復合函數(shù)，因為對于內(nèi)層函數(shù)的定義域R中的任何x值，對應(yīng)的u值都是負數(shù)，從而使得外層函數(shù)無意義．（2）復合函數(shù)的中間變量可以不只一個．例如是由復合而成，其中u和t都是中間變量u和t都是中間變量．將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)通稱為基本初等函數(shù)．將由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復合所構(gòu)成，并且能用一個式子來表示的函數(shù)叫做初等函數(shù)．在研究問題的時候，通常將比較復雜的函數(shù)看作是由幾個簡單函數(shù)復合而成的，從而使問題變得簡單一些.這里所說的簡單函數(shù)一般指基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)與常數(shù)的四則運算所構(gòu)成的函數(shù).教師講授13′知識鞏固 例2設(shè)函數(shù)，，，試將寫成的函數(shù).解,說明這個函數(shù)由三層函數(shù)復合而成.外層是冪函數(shù)；中層是三角函數(shù)；內(nèi)層是冪函數(shù)與常數(shù)的四則運算.例3指出下列函數(shù)的復合過程．(1)；(2)；(3).解(1)函數(shù)是由，復合而成的.(2)函數(shù)是由,復合而成的.(3)函數(shù)是由，，復合而成的.說明分清復合函數(shù)的復合過程是非常重要的.設(shè)復合函數(shù)，對于給定的值，計算函數(shù)值的順序是先計算內(nèi)層函數(shù)值，再計算中層函數(shù)值，最后計算外層函數(shù)值.即“由內(nèi)向外”逐層計算,并且每一層都是計算一個簡單函數(shù)的值.分析函數(shù)的復合順序的過程恰好與計算函數(shù)值的順序相反，是“由外向內(nèi)”逐層復合.教師引領(lǐng)完成學生完成教師強調(diào)28′1.指出下列函數(shù)的復合過程（1）；(3)；2.寫出由各函數(shù)復合而成的函數(shù)并求其定義域.(1),,；(2),．學生課上完成40′小結(jié)新知識：復合函數(shù)－初等函數(shù)45′作業(yè)1.梳理1.1節(jié)知識內(nèi)容；2.自學微軟高級計算器Mathematics4.0;3.完成高等數(shù)學習題集“”。課題1.1.3經(jīng)濟學中常用的幾個函數(shù)教學目標知識目標1）掌握需求函數(shù)、供給函數(shù)，并了解供需平衡價格和平衡數(shù)量；2）掌握成本函數(shù)、收益函數(shù)、利潤函數(shù)，并深刻了解三者之間的關(guān)系，了解平均成本、平均收益和平均利潤函數(shù)，了解盈虧平衡點。能力目標把函數(shù)知識應(yīng)用到初步的經(jīng)濟問題中，訓練學生對經(jīng)濟現(xiàn)象的分析判斷能力和解決問題的能力。教學重點成本、收益和利潤函數(shù)的關(guān)系教學難點函數(shù)關(guān)系的建立。教法學法以實例來引入課題的講授法和以應(yīng)用為目的的練習法，2課時。教學反思把函數(shù)概念引入到經(jīng)濟上的實際應(yīng)用，這里給出的是雖然是最為基本的應(yīng)用，但相應(yīng)的數(shù)學引入方法和分析法為以后章節(jié)學習，打下一定基礎(chǔ)。教學過程設(shè)計意圖知識回顧函數(shù)兩要素概念問題問題1：一個商品投放到市場上，顧客對它的需求量與很多因素有關(guān)，如季節(jié)、消費者人數(shù)、消費者的收入、商品的價格等，其中與價格的關(guān)系最密切，價格貴，需求量就少，價格便宜，需求量就多，它們關(guān)系通過什么表達？為了便于研究，我們將問題理想化，視其他因素不變，只考慮商品的價格，我們建立商品的需求量Q與該商品價格P的函數(shù)，稱其為需求函數(shù)，記為問題2：價格上漲將刺激生產(chǎn)者向市場提供更多的商品，供給量增大；反之供給量就減少．假定其他因素不變的條件下，供給量S與價格P之間的函數(shù)就稱為供給函數(shù),記為新知識一般地，需求函數(shù)是價格的單調(diào)減少函數(shù)，在企業(yè)管理和經(jīng)濟活動中常見的需求函數(shù)模型有：線性需求函數(shù)：；二次曲線需求函數(shù)：；指數(shù)需求函數(shù)：.一般地，商品供給函數(shù)是價格的單調(diào)增加函數(shù).常見的供給函數(shù)：線性供給函數(shù)：，還有二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等.知識鞏固【例1】當雞蛋的收購價為8元/千克時，某收購站每月能收購5000千克雞蛋，若收購價每千克提高0.1元，則收購量可增加300千克，求雞蛋的線性供給函數(shù).解設(shè)雞蛋的線性供給函數(shù)為，根據(jù)題意，可得解得d=3000,c=19000，所以所求線性供給函數(shù)為S=-19000+3000P.市場上商品價格的調(diào)節(jié)，就是根據(jù)需求函數(shù)與供給函數(shù)二者的關(guān)系來實現(xiàn)的，把需求曲線與供給曲線畫在同一坐標系中，由于需求函數(shù)Q是單調(diào)減少函數(shù)，供給函數(shù)S是單調(diào)增加函數(shù)，它們相交于一點，其中均衡價格，即供需平衡的價格，是均衡數(shù)量，新知識某商品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟資源的價格或費用總額.它由固定成本a(生產(chǎn)準備費,用于維修、添制設(shè)備等)和可變成本b(每單位產(chǎn)品消耗原材料、勞力等費用)兩部分組成。設(shè)是產(chǎn)量為Q時所需總成本，則每件產(chǎn)品的成本叫單位成本或平均成本，記為，則一種產(chǎn)品銷售之后就會有銷售收入，銷售收入應(yīng)該是價格乘以產(chǎn)量．但價格與產(chǎn)量之間也有一定的關(guān)系，收入R是產(chǎn)量Q與價格P的函數(shù)關(guān)系，稱為收益函數(shù)，記為其中P(Q)是價格與產(chǎn)量Q（對銷售者來說是銷售量，對消費者來說就是需求量）之間的函數(shù)關(guān)系．相應(yīng)地有平均收益函數(shù)在收益中減去成本得到的就是利潤．由于成本是產(chǎn)量Q的函數(shù)，收益也是Q的函數(shù)，那么利潤也是Q的函數(shù)．即平均利潤函數(shù)當L(Q)>0時盈利；當L(Q)<0時虧損；當L(Q)=0時盈虧平衡.滿足L(Q)=0的Q0稱為盈虧平衡點（又稱保本點）．知識鞏固【例2】生產(chǎn)某款平板電腦的總成本（單位：萬元）是，求生產(chǎn)1000臺這款平板電腦的總成本和平均成本.解生產(chǎn)1000件這款平板電腦的總成本為（萬元）平均成本為（萬元）【例3】設(shè)某商品的價格是（單位：元），求該商品的收益函數(shù)，并求銷售100件商品時的總收益和平均收益。解收益函數(shù)為平均收益為銷售100件商品時的總收益為（元）平均收益（元）【例4】已知某公司生產(chǎn)某商品的成本函數(shù)為C(Q)＝300＋5Q(元)，其中Q為該商品的產(chǎn)量，如果該商品的售價定為每件15元，試求：(1）生產(chǎn)300件該商品的利潤和平均利潤；（2）求生產(chǎn)該商品的盈虧平衡點．解

(1)已知C(Q)＝300＋5Q(元)，又由題意知收入函數(shù)為R(Q)＝15Q，因此，利潤函數(shù)為L(Q)＝R(Q)－C(Q)＝15Q－(300＋5Q)＝10Q－300又因該產(chǎn)品的平均利潤函數(shù)為生產(chǎn)300件該產(chǎn)品時的利潤為L(300)＝10×300－300＝2700(元)而此時平均利潤為(元/件)即生產(chǎn)300件該產(chǎn)品時的利潤為2700元，平均利潤為每件9元．(2)利用L(Q)＝0得10Q－300＝0解得Q＝30(件)即盈虧平衡點為30件．練習1.某款手機價格為P時，需求量關(guān)于P的需求函數(shù)，當價格時，求的值。2．設(shè)某商品的價格函數(shù)是（單位：元），求該商品的收益函數(shù)，并求銷售1000件商品時的總收益和平均收益。小結(jié)1、了解經(jīng)濟應(yīng)用中常用的需求函數(shù)、供給函數(shù)之間的關(guān)系，會求簡單的函數(shù)關(guān)系式；2、熟練掌握經(jīng)濟應(yīng)用中常用的成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù)之間的關(guān)系，會求它們及它們平均函數(shù)的關(guān)系式。作業(yè)書面作業(yè)高等數(shù)學習題集“”拓展作業(yè)（1）根據(jù)本節(jié)內(nèi)容和自己的專業(yè)、特長，上網(wǎng)閱讀、查找相關(guān)資料。（2）以小組為單位，依據(jù)本節(jié)課所學知識編寫與生活或?qū)I(yè)相關(guān)的問題（小組之間循環(huán)解答）．引導學生有目的地復習，為后面的學習做準備設(shè)置問題情境，將前面所學的函數(shù)關(guān)系引入到經(jīng)濟應(yīng)用中量與量之間的關(guān)系。給出常用模型，降低學習難度，給學生一定的理解空間。通過實例加深理解。進一步分析不同經(jīng)濟函數(shù)之間的有機聯(lián)系。通過說明，慢慢引導學生分析得出另一級常用經(jīng)濟應(yīng)用函數(shù)。仔細講解例子，把這一組函數(shù)的關(guān)系進一步明確。通過學與做的課堂活動，讓學生學以致用來解決實際問題，有助于學生認識數(shù)學的應(yīng)用價值，體驗成功。整理總結(jié)，理清思路，形成牢固的知識鏈和知識體系。按不同層次學生的需求布置作業(yè)，挖掘和發(fā)展學生的數(shù)學能力。

極限的定義教學目標：（1）結(jié)合圖像理解極限的的概念及其兩種變化過程；（2）了解兩種趨近過程中極限存在的充要條件，會判斷極限是否存在；教學重點： 函數(shù)在自變量兩種變化過程的極限； 教學難點： 極限的概念。授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注導言劉徽在“割圓術(shù)”中提到，如果不斷地分割下去，直到圓周無法再分割為止，即圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限多的時候，正多邊形的周長就與圓的周長“合體”而完全一致了.下面對這種數(shù)學思想做進一步研究．主要研究在自變量x的某種變化趨勢下，函數(shù)的變化趨勢． 自變量的變化規(guī)律分為兩大類．（1）自變量x的絕對值無限增大，記為，當x只取正數(shù)而無限增大時，記為，當x只取負數(shù)而絕對值無限增大時，記為．（2）自變量x無限趨近于某定值，記為，當x從左側(cè)無限趨近于（即只取小于的值）時，記為，當x從右側(cè)無限趨近于（只取大于的值）時，記為．動畫演示結(jié)合圖像動畫演示10′1.時，函數(shù)的極限探究利用高級計算器作出函數(shù)的圖像（圖1-8），觀察圖像，研究當x的絕對值無限增大時，函數(shù)值y的變化情況．圖1-8新知識觀察圖1-8發(fā)現(xiàn)，隨著自變量x絕對值的增大，圖像越來越接近x軸，說明函數(shù)的絕對值越來越小，并且無限趨近于0．一般地，設(shè)對任意大的有意義，如果當（或)時，的值無限趨近于確定的常數(shù)A，則把常數(shù)A叫做函數(shù)當（或)時的極限，記作（或，）．還可以記作或或）．符號包括與，因此．教師演示分析講解25′知識鞏固 例1作出下列函數(shù)的圖像，寫出時的極限． （1）；（2） 解（1）利用高級計算器作出函數(shù)圖像（圖1-9），觀察圖像知，；圖1-9圖1-10（2）利用高級計算器作出函數(shù)圖像如圖1-10所示，觀察圖像知，，．因此，所以不存在．教師引領(lǐng)完成學生完成教師強調(diào)35′2.時，函數(shù)的極限探究觀察函數(shù)的圖像（圖1-11），研究當x無限趨近1時，函數(shù)值y的變化情況．圖1-11學生課上完成40′新知識由于當時．函數(shù)的圖像就是在函數(shù)的圖像中挖去點（1,2）（圖1-11）．觀察發(fā)現(xiàn)，當自變量x從1的左側(cè)無限趨近于1時，函數(shù)值無限趨近于2；當自變量x從1的右側(cè)無限趨近于1時，函數(shù)值無限趨近于2；如果自變量從1的兩側(cè)以任意方式無限趨近于1時，函數(shù)值無限趨近于2．一般地，設(shè)在點近旁有意義（在點可以沒有定義），如果當時，的值無限趨近于確定的常數(shù)A，則把常數(shù)A叫做函數(shù)當時的極限，記作．還可以記作）．x從左側(cè)趨近點時的極限叫做左極限，記作；x從右側(cè)趨近點時的極限叫做右極限，記作．符號包括與，故．結(jié)合圖像分析55′知識鞏固 例2已知函數(shù) （1）求當時，函數(shù)的極限；（2）求當時，函數(shù)極限．解作出函數(shù)圖形（圖1-12），觀察圖像知：（1）；（2）1，－1．因為，所以當時，的極限不存在．圖1-12教師引領(lǐng)學生完成65′ 1.利用函數(shù)圖像求下列極限.(1)(C為常數(shù))； (2)；(3)； (4)；2.作出函數(shù)的圖像，并求.學生課上完成教師講評85′小結(jié)新知識：函數(shù)極限的定義90′作業(yè)1.自學微軟高級計算器Mathematics4.0;2.完成高等數(shù)學習題集“”。極限的運算教學目標：（1）結(jié)合圖像，根據(jù)定義認知幾個常用的極限；（2）了解極限的運算法則，能利用法則和常用極限進行簡單的極限運算；（3）掌握利用微軟高級計算器計算極限的方法。教學重點： 利用極限的運算法則和常用極限進行簡單的極限運算； 教學難點： 極限計算中轉(zhuǎn)化思想的理解與運用。授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注做一做利用高級計算器作出并觀察函數(shù)圖像，可以得到下列幾個常用極限：（1）（為正實數(shù)）； （2）（C為常數(shù)）；（3）（C為常數(shù)）； （4）；（5）（當時，）．．教師引領(lǐng)師生共同完成20′新知識 計算函數(shù)的極限時，經(jīng)常要用到極限的下列運算法則(證明略)： 設(shè)，.則 1．=； 2．==；特別當（C為常數(shù)）時，有.3．().以上極限運算法則對于的情況也成立，并且法則1與法則2還可推廣到存在極限的有限個函數(shù)的情形.利用極限的運算法則和上述幾個常用極限，可以計算函數(shù)的極限．教師利用微軟計算器通過特例驗證法則30′知識鞏固例1求.解因為,所以===.例2求,解因為且,所以=.例3求.解因為，所以不能直接應(yīng)用法則來計算.考慮到函數(shù)的分子和分母存在公因式，于是，可以先約去公因式，再求極限.即==.例4求.解當時，，，即分子與分母的極限不存在，故不能直接應(yīng)用法則來計算．考慮到分子和分母都是多項式，可以先將分子、分母同時除以分母中自變量的最高次冪，然后再求極限.即===.教師引領(lǐng)完成學生完成教師強調(diào)轉(zhuǎn)化的思想和方法65′鏈接軟件利用高級計算器可以方便的計算函數(shù)的極限（詳見實驗1）．計算例4操作如下：單擊極限輸入符號，在命令窗口出現(xiàn)的極限號下的方框中輸入“”，后面輸入極限式；單擊“輸入”，得到極限值0.5. 請同學自己操作一下，利用高級計算器求出下列兩個重要極限：（1）；（2）．師生共同完成70′ 計算下列極限：(1)； (2)；(3)； (4)．學生課上完成教師講評85′小結(jié)90′作業(yè)1.自學微軟高級計算器Mathematics4.0;2.完成高等數(shù)學習題集“”中的1，2，3，4。1.2.3無窮小量教學目標：（1）結(jié)合圖像，了解無窮小的概念；（2）能進行無窮小的比較。教學重點： 無窮小的比較； 教學難點： 無窮小的比較。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注新知識 《莊子天下篇》中有一個命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”．意思是說，一尺長的木棍，今天取其一半，明天取其一半的一半，…，如是“日取其半”無限的取下去，總會有剩下的存在．顯然，當時間趨近無窮時，所剩的木棍的長度是以零為極限的量． 在生活和科研中，經(jīng)常遇到某一個過程中極限為零的量． 一般地，若，則函數(shù)叫做當或（）時的無窮小量，簡稱無窮小.注意（1）無窮小不是一個很小的數(shù)，它是在自變量的某一變化過程中的以零為極限的一個變量.但數(shù)“0”是一個例外，數(shù)“0”是無窮小，那是因為數(shù)“0”可以視為常函數(shù)并且.（2）一個函數(shù)是否為無窮小量，取決于它的自變量的變化趨勢．例如，由知，是當時的無窮小；由知，不是當時的無窮小.因此，說某一變量是無窮小量，必須指明自變量的變化趨勢.當時，函數(shù)、、都是無窮?。^察圖1－13看出，它們趨近于0的速度是不同的，乘方的次數(shù)越高，趨近于0的速度越快.圖1－13為了反映出在自變量的同一變化過程中，不同函數(shù)變化過程的差異，需要進行無窮小的比較.一般地，設(shè)和是同一變化過程中的無窮小，即，.則（1）如果，則叫做比較高階的無窮小，即趨近0的速度高于，記作；（2）如果，則叫做比較低階的無窮小，即趨近0的速度低于；（3）如果(C為非零常數(shù))，則叫做與同階的無窮小，即趨近0的速度與相當.特別地，當C=1時，即時,叫做與等價的無窮小.記作：～.讀做“等價于”.課件或?qū)嵨镅菔窘處煆娬{(diào)結(jié)合具體函數(shù)引出并介紹比較方法25′知識鞏固例5比較下列各組無窮小.（1）當時，比較與；（2）當時，比較與.解（1）因為==，所以當時，與是同階的無窮小.(2)因為，所以當時，與是等價無窮小.即當時，～.教師引領(lǐng)完成30′練習1.2.3 （1）當時，比較無窮小和．（2）當時，比較無窮小和．學生課上完成教師講評40′小結(jié)注意：自變量的趨近過程概念注意：自變量的趨近過程概念無窮小量無窮小量比較方法比較方法45′作業(yè)1.梳理1.2節(jié)知識內(nèi)容;2.完成高等數(shù)學習題集“”。1.3連續(xù)教學目標：（1）理解函數(shù)連續(xù)性的概念，能結(jié)合圖像判斷函數(shù)的連續(xù)性；（2）會利用初等函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限；（3）了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學重點： 函數(shù)連續(xù)性的概念； 教學難點： 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的理解。授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注觀察觀察函數(shù)的圖像（圖1－14），曲線在附近是連續(xù)的，并且；曲線在處是斷開的，此時，而不存在．圖1－14課件演示圖像教師引導學生觀察10′新知識設(shè)函數(shù)在點處及其近旁有定義，且，則稱函數(shù)在點處連續(xù)，點叫做函數(shù)的連續(xù)點．如果，那么稱函數(shù)在點左連續(xù)；如果，那么稱函數(shù)在點右連續(xù)．可以證明，函數(shù)在點連續(xù)的充要條件是函數(shù)在處既左連續(xù)，又右連續(xù)．由此可知，函數(shù)在點處連續(xù)必須滿足下面三個條件：（1）函數(shù)在點處及其近旁有定義；（2）存在，即；（3）．上述三個條件中，只要有一條不滿足，函數(shù)在點處就不連續(xù)，此時點稱為間斷點由此可知，是圖1－13所示函數(shù)的連續(xù)點，而是該函數(shù)的間斷點．結(jié)合圖形介紹20知識鞏固例1設(shè)函數(shù)試討論函數(shù)在及處的連續(xù)性.解函數(shù)的圖像如圖1-15所示.（1）因為在處有定義，且，，因此．又因為，即.所以函數(shù)在處連續(xù).（2）雖然函數(shù)在處有定義，但由于，，所以，不存在.因此，在處不連續(xù).圖1?15在區(qū)間I上的每一個點都連續(xù)的函數(shù)，叫做在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，區(qū)間I叫做函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．如果區(qū)間包括端點，那么區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)在右端點處左連續(xù)，在左端點處右連續(xù)．觀察圖1－15知,、均為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．教師引領(lǐng)完成35′ 設(shè)函數(shù) （1）作出函數(shù)圖像，討論函數(shù)在及處的連續(xù)性； （2）指出函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.學生課上完成教師講評40′1.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限新知識在1.1.2中學習了初等函數(shù)，知道初等函數(shù)在其定義區(qū)間的圖形是一條連續(xù)不斷的曲線．因此初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)．利用這個特征可以方便地求出初等函數(shù)的極限． 設(shè)為初等函數(shù)，是其定義域中的點，則 ．結(jié)合圖像說明43′知識鞏固 例2計算． 解函數(shù)是初等函數(shù)，其定義域為，．所以．教師引領(lǐng)完成45′2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)觀察 我們已經(jīng)知道，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線．設(shè)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖像如圖1－16所示，觀察圖像發(fā)現(xiàn)：圖1－16 （1）函數(shù)在點時取得最大值M，即對任意的，都有； （2）函數(shù)在點時取得最小值m，即對任意的，都有； （3）對于介于m與M之間的任意值C，存在，使得． 課件演示介紹55′新知識一般地，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在這個區(qū)間上一定有最大值和最小值；性質(zhì)2若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，分別為在上的最小值和最大值，則對介于m與M之間的任意實數(shù)C，至少存在一點，使的.性質(zhì)3若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則至少存在一點，使得.性質(zhì)3的幾何意義是：閉區(qū)間上的連續(xù)曲線，當兩個端點分別位于x軸的上方與下方時，該曲線至少會穿過x軸一次．設(shè)曲線與x軸的交點為，則有，即是方程的根．結(jié)合課件說明70′鏈接軟件 根據(jù)性質(zhì)3，高級計算器編制了方程求解器，可以方便的求出一元n次方程的根．例如，用高級計算器解方程（精確到0.0001）操作如下：1.設(shè)置小數(shù)位數(shù)為4；2.在輸入窗口輸入方程“”，點擊輸入；顯示即方程的近似解為．教師引領(lǐng)演示75′ 1．計算下列極限： （1）；（2）； （3）；（4）． 2．利用高級計算器求方程的實數(shù)近似解（精確到0.0001）．學生完成教師指導85′小結(jié)概念概念連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)應(yīng)用應(yīng)用——求連續(xù)函數(shù)的極限閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)微軟計算器使用微軟計算器使用——解一元代數(shù)方程90′作業(yè)1.梳理本章知識內(nèi)容;2.完成高等數(shù)學習題集“作業(yè)1.3.1”與“”。課題1.4復利與貼現(xiàn)教學目標知識目標1）理解單利、復利、連續(xù)復利、貼現(xiàn)等金融操作的數(shù)學意義；2）會解決類似的簡單案例題。能力目標通過教學活動使學生體會連續(xù)與實際生活的聯(lián)系，通過對現(xiàn)實生活中事物和現(xiàn)象的正確分析，準確判斷，提高實際應(yīng)變能力，發(fā)展學生思維，培養(yǎng)學生分析解決問題的能力。教學重點復利概念教學難點貼現(xiàn)計算。教法學法探究式問題教學法、小組學習法。2課時。教學反思從現(xiàn)實生活中存在的連續(xù)現(xiàn)象，通過案例進行教學，在教學中如何發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，提高學習數(shù)學的興趣。教學過程設(shè)計意圖知識回顧復習函數(shù)的連續(xù)性概念問題：張先生把10萬元借給某公司5年，約定以復利計息，年利率為5%，那么5年末他的本利和為多少？假設(shè)一年按平均12期計息，那么5年末他的本利和為多少？假設(shè)計息間隔無限縮短，5年末他的本利和又為多少？新知識復利計息，指的是將第一期的利息與本金之和作為第二期的本金，然后反復計息。設(shè)本金為，年利率為r，一年末的本利和為，則第二年把作為本金存入，第二年末的本利和為依此類推，第n年末的本利和為這是以年為期的復利公式。如果一年按平均t期計息，且以為每期的利息，則n年末的本利和為這是一年t期的復利公式.假設(shè)