四川省廣安友實(shí)學(xué)校2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題含答案

廣安友實(shí)學(xué)校高2022級(jí)2024-2025學(xué)年上期“數(shù)學(xué)定時(shí)測(cè)試”（考試時(shí)間120分鐘，總分150分）一、單選題1．已知集合，，若，則（

）A． B．C． D．2．已知向量，，若，則（

）A． B．1 C． D．23．下列函數(shù)與是相等函數(shù)的是（

）A． B．C．（且） D．（且）4．現(xiàn)測(cè)得某放射性元素的半衰期為1500年（每經(jīng)過1500年，該元素的存品為原來的一半），某生物標(biāo)本中該放射性元素面初始存量為m，經(jīng)檢測(cè)現(xiàn)在的存量，據(jù)此推測(cè)該生物距今約為（

）（參考數(shù)據(jù)：)A．2700年 B．3100年C．3500年 D．3900年5．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則（

）A．17 B．34 C．51 D．686．已知，則（

）A． B． C． D．17．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了了解本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.為了得到該敏感性問題的誠實(shí)反應(yīng)，設(shè)計(jì)如下方案：每個(gè)被調(diào)查者先后拋擲兩顆骰子，調(diào)查中使用兩個(gè)問題：①第一顆骰子的點(diǎn)數(shù)是否比第二顆的大？②你是否經(jīng)常吸煙？?jī)深w骰子點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問題，兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和為偶數(shù)的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問題.回答“是”的學(xué)生往盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的學(xué)生什么都不用做.若最終盒子中小石子的個(gè)數(shù)為57，則該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的比例約為（

）A．0.035 B．0.07 C．0.105 D．0.14二、多選題9．下列說法正確的是（

）．A．命題“，”的否定是“，”B．的最小值是2C．若，則D．的最小正周期是10．李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他記錄了100次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；騎自行車平均用時(shí)，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時(shí)和騎自行車用時(shí)都服從正態(tài)分布．則下列說法中正確的是（

）（參考數(shù)值：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.）A． B．C． D．11．已知是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A．B．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C．當(dāng)時(shí)，D．函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)三、填空題12．二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)為.13．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式：①；②數(shù)列是遞減數(shù)列；③數(shù)列的前n項(xiàng)和恒成立．14．已知不等式對(duì)任意恒成立，則當(dāng)取最大值時(shí)，.四、解答題15．已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知，.(1)求B；(2)若的面積為，求c.16．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。ńY(jié)論不要求證明）18．已知函數(shù)在時(shí)取得極值，且滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求整數(shù)的最小值．19．在某抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，初始時(shí)的袋子中有3個(gè)除顏色外其余都相同的小球，顏色為2白1紅．每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球后放回．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：設(shè)定抽中紅球?yàn)橹歇?jiǎng)，抽中白球?yàn)槲粗歇?jiǎng)；若抽到白球，放回后把袋中的一個(gè)白色小球替換為紅色；若抽到紅球，放回后把三個(gè)球的顏色重新變?yōu)?白1紅的初始狀態(tài)．記第n次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為．(1)求，，；(2)若存在實(shí)數(shù)a，b，c，對(duì)任意的不小于4的正整數(shù)n，都有，試確定a，b，c的值，并說明理由；(3)若累計(jì)中獎(jiǎng)4次及以上可以獲得一枚優(yōu)勝者勛章，則從初始狀態(tài)下連抽9次獲得至少一枚勛章的概率為多少？1．C【分析】由交集運(yùn)算求解參數(shù)，再驗(yàn)證可得.【詳解】，或，解得或.當(dāng)時(shí)，，則，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則，不滿足題意；綜上所述，.故選：C.2．B【分析】先出求，再根據(jù)即可得出的值，最后求的模.【詳解】由題意可知，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，即，解?所以.故選：B.3．D【分析】可得，且定義域?yàn)镽，根據(jù)函數(shù)相等逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)?，且定義域?yàn)镽，對(duì)于選項(xiàng)A：，可知兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以函數(shù)不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)椋芍獌蓚€(gè)函數(shù)的定義域不同，所以函數(shù)不相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)?，可知兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以函數(shù)不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，且定義域?yàn)镽，所以兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù)，故D正確；故選：D.4．C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得，兩邊取對(duì)數(shù)得.故選：C5．C【分析】利用等差數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】解：設(shè)公差為d，則，即，則，故選：C6．C【分析】運(yùn)用兩角和差的正弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式中商關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，由，可得，所以.故選：C7．C【分析】由分段函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性分別求出的范圍，再考慮由時(shí)左右函數(shù)值的大小關(guān)系得到的的范圍，求其交集即得【詳解】當(dāng)時(shí)，,依題須使恒成立，則；當(dāng)時(shí)，由在0,+∞上遞增，須使，即；又由解得.綜上可得，的取值范圍是.故選：C.8．D【分析】根據(jù)古典概型的知識(shí)得到回答問題①②的人數(shù)均為，再求出點(diǎn)數(shù)第一次比第二次大的概率，即可推出第二個(gè)問題中回答“是”的人數(shù)，進(jìn)而求出結(jié)果．【詳解】由題意，兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)與偶數(shù)的概率相等，都為，則回答問題①②的人數(shù)均為，擲兩次骰子所有可能情況有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種可能，所得點(diǎn)數(shù)第一次比第二次大的有，，，，，，，，，，，，，，，共種可能，所以所得點(diǎn)數(shù)第一次比第二次大的概率是，所以回答問題①時(shí)，大約有人回答“是”，所以回答問題②時(shí)，大約有人回答“是”，故該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的比例約為，選項(xiàng)中最接近的為D．故選：D．9．ACD【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可判斷選項(xiàng)A；由基本不等式使用的條件可判斷選項(xiàng)B；在單調(diào)遞增，即可判斷選項(xiàng)C；由正弦型函數(shù)的最小正周期公式計(jì)算即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，命題“，”的否定是“，”，故A正確；當(dāng)時(shí)，，的最小值是2，當(dāng)時(shí)，，的最大值是，故B錯(cuò)誤；在單調(diào)遞增，若，則，故C正確；的最小正周期為：，故D正確.故選：ACD10．AD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念判斷A，B；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)及題中所給數(shù)據(jù)求解判斷C，D．【詳解】由題意可設(shè)，由題意可得：，所以A正確，B錯(cuò)誤；，，，，故C錯(cuò)誤；，，，故D正確.故選：AD．11．AC【分析】根據(jù)題意，由條件可得關(guān)于軸，1,0對(duì)稱，且，由函數(shù)的周期性即可判斷A，由函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷BC，結(jié)合函數(shù)的圖像，即可判斷D.【詳解】由題意可知關(guān)于軸，1,0對(duì)稱，當(dāng)，則，且f1=0，故，對(duì)于A,，，故A正確；對(duì)于B，對(duì)稱中心為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)y=fx在0,1和上的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，由圖像可知函數(shù)y=fx與函數(shù)有7個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．15【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式代入計(jì)算即可.【詳解】展開式通項(xiàng)為，.故答案為：15.13．(不唯一)【分析】根據(jù)①②，可以聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)，且底數(shù)滿足，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式驗(yàn)證③即可.【詳解】解：因?yàn)棰?，可以?lián)想到指數(shù)函數(shù)；又因?yàn)棰跀?shù)列是遞減數(shù)列，可以聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)中底數(shù)滿足；當(dāng)時(shí)，，所以，滿足①；且數(shù)列是遞減數(shù)列，滿足②；，滿足③.故答案為：(不唯一)14．【分析】分離變量可得，令，分類討論可得，可得，結(jié)合基本不等式可求結(jié)論.【詳解】已知不等式對(duì)任意恒成立，根據(jù)目標(biāo)式，知，由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增且值域?yàn)镽，此時(shí)不恒成立，當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以時(shí)，方程有解，設(shè)解為，則，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)，取最大值，此時(shí).故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）借助三角形內(nèi)角和及兩角和的正弦公式計(jì)算即得；（2）借助面積公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）由，則有，即，由，故，故，又B∈0,π故；（2）由，，故，解得.16．（1）（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，即可解出,則可寫出其通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減，化簡(jiǎn)解可得出答案.【詳解】（1）由題意知：，即：化簡(jiǎn)得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）因?yàn)樗曰?jiǎn)得：.17．(1)(2)(i)0.122萬元；(ii)這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值大于（i）中估計(jì)值【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，用頻率估計(jì)概率后可求的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求.（ⅱ）先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合（1）的結(jié)果可求，從而即可比較大小得解.【詳解】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.（2）（ⅰ）設(shè)為賠付金額，則可取，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，故（萬元），從而.18．(1)(2)5【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題意列出方程，即可求得答案；（2）將原問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知的定義域?yàn)?，，由于函?shù)在時(shí)取得極值，且滿足，故，且，解得，則，經(jīng)驗(yàn)證函數(shù)在時(shí)取得極小值，適合題意故；（2）由題意存在實(shí)數(shù)，使得成立，即恒成立；令，，則，令，則在上恒成立，故在單調(diào)遞增，又，故存在唯一的使得，即，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，結(jié)合，得，故整數(shù)的最小值為5.19．(1)，，(2)(3)【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解即可；（2）分別求出第一次中獎(jiǎng)，第次中獎(jiǎng)的概率，第一次未中獎(jiǎng)而第二次中獎(jiǎng)，第次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率，前兩次均未中獎(jiǎng)，第次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率，即可求解時(shí)，，對(duì)比即可求解；（3）先分析獲得勛章的情形，分別求出從初始狀態(tài)開始抽三次，前兩次均未中獎(jiǎng)而第三次中獎(jiǎng)的概率，再求出僅三次中獎(jiǎng)的概率即可求解.【詳解】（1）,，；（2）因?yàn)槊看沃歇?jiǎng)后袋中的球會(huì)回到初始狀態(tài)，從初始狀態(tài)開始，若第一次中獎(jiǎng)，此時(shí)第次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為，從初始狀態(tài)開始，若第一次未中獎(jiǎng)而第二次中獎(jiǎng)，此時(shí)第次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為，從初始狀態(tài)開始，若前兩次均未中獎(jiǎng)，則第三次必中獎(jiǎng)，此時(shí)第次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為，綜上所述，對(duì)任意的，，又，所以；（3）由題意知每抽三次至少有一次中獎(jiǎng)，故連抽次至少中獎(jiǎng)次，所以只需排除次中獎(jiǎng)的情況即可獲得一枚優(yōu)勝者勛章，另外，每?jī)纱沃歇?jiǎng)的間隔不能超過三次，每次中獎(jiǎng)后袋中的球會(huì)回到初始狀態(tài)，從初始狀態(tài)開始，