2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中核心考點(diǎn)專題02三角形的高中線角平分線含解析新人教版

PAGEPAGE1專題02三角形的高、中線、角平分線重點(diǎn)突破學(xué)問點(diǎn)一三角形的高概念：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。學(xué)問點(diǎn)二三角形的中線概念：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。性質(zhì)：三角形三條中線的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做“三角形的重心”。重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍。（選學(xué)）三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個(gè)小三角形。學(xué)問點(diǎn)三三角形的角平分線概念：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線?？疾轭}型考查題型一畫三角形的高典例1（2024·泉州市期中）如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)作對邊所在的直線的垂線段，叫做三角形的高，依據(jù)概念即可得出.【詳解】依據(jù)定義可得A是作BC邊上的高，C是作AB邊上的高，D是作AC邊上的高.故選A.變式1-1．（2024·梁平區(qū)期末）在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在練習(xí)過點(diǎn)B作線段AC所在直線的垂線段時(shí)，有一部分同學(xué)畫出下列四種圖形，請你數(shù)一數(shù)，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】試題解析：從左向右第一個(gè)圖形中，BE不是線段，故錯(cuò)誤；其次個(gè)圖形中，BE不垂直AC，所以錯(cuò)誤；第三個(gè)圖形中，是過點(diǎn)E作的AC的垂線，所以錯(cuò)誤；第四個(gè)圖形中，過點(diǎn)C作的BE的垂線，也錯(cuò)誤.故選D.變式1-2．（2024·海淀區(qū)期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正確的是（）A．B．C． D．【答案】D【解析】詳解：三角形的高必需是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吇驅(qū)叺难娱L線作的垂線段.可以推斷A,B,C雖然都是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身的，但是沒有垂直對邊或?qū)叺难娱L線.故選D.變式1-3．（2024·蘇州市期中）如圖，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F，△ABC中AC邊上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD【答案】B【解析】試題提示：依據(jù)圖形，BE是△ABC中AC邊上的高．故選B．變式1-4．（2024·杭州市期中）如圖AD⊥BC于點(diǎn)D，那么圖中以AD為高的三角形的個(gè)數(shù)有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】結(jié)合三角形高的定義可知，以AD為高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共6個(gè).故選D考查題型二與三角形高有關(guān)的計(jì)算典例2．（2024·濟(jì)南市期中）如圖，在直角三角形ABC中，點(diǎn)B沿CB所在直線遠(yuǎn)離C點(diǎn)移動(dòng)，下列說法錯(cuò)誤的是()A．三角形面積隨之增大 B．∠CAB的度數(shù)隨之增大C．BC邊上的高隨之增大 D．邊AB的長度隨之增大【答案】C【提示】依據(jù)三角形的面積公式、角和線段大小的比較以及三角形高的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=BC?AC，點(diǎn)B沿CB所在直線遠(yuǎn)離C點(diǎn)移動(dòng)時(shí)BC增大，則該三角形的面積越大．故A正確；B、如圖，隨著點(diǎn)B的移動(dòng)，∠CAB的度數(shù)隨之增大．故B正確；C、BC邊上的高是AC，線段AC的長度是不變的．故C錯(cuò)誤．D、如圖，隨著點(diǎn)B的移動(dòng)，邊AB的長度隨之增大．故D正確；故選：C．【名師點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積，角和線段大小的比較以及三角形高的定義，解題時(shí)要留意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．變式2-1．（2024·畢節(jié)市期末）如圖，△ABC中，D，E分別是BC上兩點(diǎn)，且BD=DE=EC，則圖中面積相等的三角形有（）A．4對 B．5對 C．6對 D．7對【答案】A【提示】依據(jù)三角形的面積公式，知：只要同底等高，則兩個(gè)三角形的面積相等，據(jù)此可得面積相等的三角形．【詳解】由已知條件，得△ABD，△ADE，△ACE，3個(gè)三角形的面積都相等，組成了3對，還有△ABE和△ACD的面積相等，共4對.故選A.【名師點(diǎn)撥】本題考查了三角形的相關(guān)學(xué)問，解題的關(guān)鍵是嫻熟的駕馭三角形面積公式與運(yùn)用.變式2-2．（2024·龍巖市期中）如圖，AD，CE是△ABC的兩條高，已知AD=10，CE=9，AB=12，則BC的長是（）A．10 B．10.8 C．12 D．15【答案】B【解析】∵AD，CE是△ABC的兩條高，AD=10，CE=9，AB=12，∴△ABC的面積=×12×9=BC?AD=54，即12BC?10=54，解得BC=10.8.故選B.變式2-3．（2024·合肥市期中）如圖所示，是的三條高，，則（）A． B． C． D．【答案】C【提示】依據(jù)三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：因?yàn)锳D、CE、BF是△ABC的三條高，，所以可得：BC?AD=AB?CE，可得：CE=＝＝．故選C．【名師點(diǎn)撥】此題考查三角形的面積，關(guān)鍵是依據(jù)同一三角形面積相等來提示．變式2-4．（2024·煙臺市期末）如圖，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點(diǎn)P，若∠A=50°，則∠BPC等于（）A．90° B．130° C．270° D．315°【答案】B【詳解】依據(jù)∠A=50°可得∠ABC+∠ACB=130°，依據(jù)CD⊥AB，BE⊥AC可得∠ABE=40°，∠ACD=40°，則∠PBC+∠PCB=130°－40°－40°=50°，則∠BPC=180°－50°=130°.故選：B.變式2-5．（2024·荊門市期末）如圖，三角形ABC，∠BAC=，AD是三角形ABC的高，圖中相等的是（）．A．∠B=∠C B．∠BAD=∠B C．∠C=∠BAD D．∠DAC=∠C【答案】C【提示】依據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠B+∠C=，由AD是三角形ABC的高，可得∠BDA=∠ADC=，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理依次推斷即可.【詳解】∵∠BAC=，∴∠B+∠C=，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵AD是三角形ABC的高，∴∠BDA=，∴∠BAD+∠B=，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵∠BAC=，∴∠BAD+∠DAC=，又∵∠ADC=，∴∠DAC+∠C=，∴∠C=∠BAD，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.【名師點(diǎn)撥】本題考查了三角形的高線以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型.變式2-6．（2024·濟(jì)南市期中）如圖△ABC中，分別延長邊AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面積為1，則△DEF的面積為()A．12 B．14 C．16 D．18【答案】D【提示】連接AE和CD，要求三角形DEF的面積，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE）來分別計(jì)算，三角形ABC是一個(gè)重要的條件，抓住圖形中與它同高的三角形進(jìn)行提示計(jì)算，即可解得△DEF的面積．【詳解】解：連接AE和CD，∵BD=AB，∴S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=1+1=2，∵AF=3AC，∴FC=4AC，∴S△FCD=4S△ACD=4×2=8，同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2，則S△FCE=4S△ACE=4×2=8；S△DCE=2S△BCD=2×1=2；∴S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18．故選：D．【名師點(diǎn)撥】本題考查三角形面積及等積變換的學(xué)問，留意高相等時(shí)三角形的面積與底成正比的關(guān)系，并在實(shí)際問題中的敏捷應(yīng)用，有肯定難度．考查題型三三角形中線有關(guān)的長度計(jì)算典例3．（2024·秦皇島市期中）如圖，AE是的中線，已知，，則BD的長為A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解析】試題解析：∵AE是△ABC的中線，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故選A．變式3-1．（2024·肇慶市期中）已知AD是△ABC的中線，且△ABD比△ACD的周長大3cm，則AB與AC的差為()A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】B【提示】依據(jù)三角形中線的定義可得BD=CD，然后依據(jù)三角形的周長公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC，∴△ABD與△ACD的周長之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC，∵△ABD比△ACD的周長大3cm，∴AB與AC的差為3cm．故選B．【名師點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中線，熟記概念并求出兩三角形周長的差等于AB-AC是解題的關(guān)鍵．變式3-2．（2024·哈爾濱市期中）如圖，三角形ABC中，D為BC上的一點(diǎn)，且S△ABD=S△ADC，則AD為（）A．高 B．角平分線 C．中線 D．不能確定【答案】C【解析】解：設(shè)BC邊上的高為h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中線．故選C．變式3-3．（2024·臨清市期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多5cm，AB與AC的和為13cm，那么AC的長為（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【答案】B【提示】依據(jù)中線的定義知CD=BD．結(jié)合三角形周長公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的長度．【詳解】∵AD是BC邊上的中線，∴D為BC的中點(diǎn)，CD=BD．∵△ADC的周長-△ABD的周長=5cm．∴AC-AB=5cm．又∵AB+AC=13cm，∴AC=9cm．即AC的長度是9cm．故選B.【名師點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中線，依據(jù)周長的差表示出AC-AB=5cm，是解題的關(guān)鍵．考查題型四三角形中線有關(guān)的面積計(jì)算典例4．（2024·渠縣期中）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，且△ABC的面積為4cm2，則△BEF的面積等于（）A．2cm2 B．1cm2 C．0．5cm2 D．0．25cm2【答案】B【提示】依據(jù)三角形的面積公式及點(diǎn)D、E、F分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，推出從而求得△BEF的面積．【詳解】解：∵點(diǎn)D、E、F分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，∵△ABC的面積是4，∴S△BEF=1．故選：B【名師點(diǎn)撥】本題主要考查了與三角形的中線有關(guān)的三角形面積問題，關(guān)鍵是依據(jù)三角形的面積公式S=×底×高，得出等底同高的兩個(gè)三角形的面積相等．變式4-1．（2024·鄂爾多斯市期中）如圖，△ABC的面積為12cm2，點(diǎn)D在BC邊上，E是AD的中點(diǎn)，則△BCE的面積是（）A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．6cm2【答案】B【解析】∵E是AD的中點(diǎn)，∴S△BDE=S△ABD，S△DEC=S△ADC，∴△BCE的面積=S△BDE+S△DEC=×（S△ABD+S△ADC）=×△ABC的面積=6，故選B．名師點(diǎn)撥：本題考查的是三角形的面積的計(jì)算，駕馭三角形的一條中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．變式4-2．（2024·滄州市期末）如圖，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD，AC上的中點(diǎn)，若S陰影的面積為3，則△ABC的面積是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【提示】利用三角形中線將三角形分成面積相等的兩部分，，再得到，所以即可得出.【詳解】∵D為BC的中點(diǎn)∴，∴∴+=+=∴==×3=8故選：D【名師點(diǎn)撥】三角形的中線將三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，依據(jù)中線找出圖中三角形的面積關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.變式4-3．（2024·溫州市期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，BE的中點(diǎn)，連結(jié)CE，CF，若S△CEF＝5，則△ABC的面積為（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【提示】依據(jù)題意，利用中線分的三角形的兩個(gè)圖形面積相等，便可找到答案【詳解】解：依據(jù)等底同高的三角形面積相等，可得∵F是BE的中點(diǎn)，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中點(diǎn)，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20故選：B．【名師點(diǎn)撥】熟識三角形中線的拓展性質(zhì)：分其兩個(gè)三角形的面積是相等的，這樣便可在實(shí)際問題當(dāng)中家以應(yīng)用.考查題型五三角形重心的有關(guān)性質(zhì)典例5．（2024·北京市期中）如圖，小明用鉛筆可以支起一張質(zhì)地勻稱的三角形卡片，則他支起的這個(gè)點(diǎn)應(yīng)是三角形的（）A．三邊高的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三邊中線的交點(diǎn)【答案】D【提示】依據(jù)題意得：支撐點(diǎn)應(yīng)是三角形的重心．依據(jù)三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．【詳解】解：∵支撐點(diǎn)應(yīng)是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，故選D．【名師點(diǎn)撥】考查了三角形的重心的概念和性質(zhì)．留意數(shù)學(xué)學(xué)問在實(shí)際生活中的運(yùn)用．變式5-1．（2024·泉州市期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，AD和BE相交于點(diǎn)G，若AD=6，則AG的長度為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【提示】依據(jù)D、E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，AD、BF相交于G，即可得出G為三角形的重心，利用重心的性質(zhì)得出AG的長即可.【詳解】∵D、E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，AD、BF相交于G∴G為△ABC的重心∴AG=2DG∵AD=6∴AG=4故選C.【名師點(diǎn)撥】本題考查的是三角形的重心性質(zhì)，能夠推斷出點(diǎn)G是三角形的重心是解題的關(guān)鍵.考查題型六三角形的角平分線典例6．（2024·濱州市期末）如圖，△ABC中，AD為△ABC的角平分線，BE為△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A．59° B．60° C．56° D．22°【答案】A【詳解】依據(jù)題意可得，在△ABC中，，則，又AD為△ABC的角平分線，又在△AEF中，BE為△ABC的高∴變式6-1．（2024·寧德市期末）如圖，已知AE是ΔABC的角平分線，AD是BC邊上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，則∠DAE的大小是（）A．5° B．13° C．15° D．20°【答案】C【提示】由三角形的內(nèi)角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分線，可求∠BAE=41°，再由AD是BC邊上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，問題得解．【詳解】在△ABC中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,∴∠BAC=180°?∠B?∠C=82°，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠CAE=41°.又∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°?∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD?∠BAE=15°.【名師點(diǎn)撥】在本題中，我們須要留意到已知條件中已經(jīng)告知三角形的兩個(gè)角，所以利用內(nèi)角和定理可以求出第三個(gè)角，再有已知條件中提到角平分線和高線，所以我們可以利用角平分線和高線的性質(zhì)計(jì)算出相關(guān)角，從而利用角的和差求解，在做幾何證明題時(shí)需留意已知條件衍生的結(jié)論.變式6-2．（2024·信陽市期中）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，△ABC的面積為7，AB=4，DE=2，則AC的長是（）A．4 B．3 C．6 D．5【答案】B【解析】過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3.故選B.變式6-3．（2024·合肥市期中）如圖所示，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，且∠B=76°，∠C=36°，則∠DAE等于（）A．20° B．18° C．45° D．30°【答案】A【提示】依據(jù)高線的定義以及角平分線的定義分別得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，進(jìn)而得出∠DAE的度數(shù)，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD=14°，∠CAD=54