2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之概率

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之概率

選擇題（共10小題）

1.若隨機(jī)變量tTV（3,W）,且尸（《＞4）=0.2,則尸（2＜《＜3）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

2.已知隨機(jī)事件A,2發(fā)生的概率分別為尸（A）=0.5,P（B）=0.4,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若尸（AB）=0.9,則A,8相互獨(dú)立

B.若A,B相互獨(dú)立，則尸（A|B）=0.6

C.若尸（A|B）=0.5,則尸（AB）=0.25

D.若BUA,則P（B|A）=0.8

1

3.如圖，一個(gè)電路中有A,B,C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件正常工作的概率均為5,這個(gè)電路是通路的概

率是（）

r-E―「

4.某大學(xué)一宿舍4名同學(xué)參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還有兩人差幾分上線,

這兩名學(xué)生準(zhǔn)備從A,B,C,D,E,尸這6所大學(xué)中任選三所大學(xué)申請(qǐng)調(diào)劑，則這兩名學(xué)生在選擇了

相同大學(xué)的條件下，恰好選擇了兩所相同大學(xué)的概率為（）

181091

A.—B.—C.-D.一

19191919

5.有甲、乙兩臺(tái)車床加工同一種零件，且甲、乙兩臺(tái)車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%,30%,甲、乙兩

臺(tái)車床的正品率分別為94%,92%.現(xiàn)從一批零件中任取一件，則取到正品的概率為（）

A.0.93B.0.934C.0.94D.0.945

6.英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件48存在如下關(guān)系：

P（川8）=嗎耨若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05,現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已

知該試劑的準(zhǔn)確率為95%,即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有95%的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試

劑的誤報(bào)率為0.5%,即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有0.5%的可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性.現(xiàn)隨機(jī)

抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性，則此人患病的概率為（）

4959951021

A.------B.-------C.—D.—

100010001122

7.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有和勺學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1/2,這些人近視

13

率約為二，其余學(xué)生的近視率約為一，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是()

28

1727

A.一B.—C.-D.—

51658

8.某罐中裝有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和3個(gè)綠球，每次不放回地隨機(jī)摸出1個(gè)球.記Ri="第一次

摸球時(shí)摸到紅球”，Gi="第一次摸球時(shí)摸到綠球”，R2="第二次摸球時(shí)摸到紅球”，G2="第二次摸

球時(shí)摸到綠球"，R="兩次都摸到紅球”，G=”兩次都摸到綠球”，則下列說(shuō)法中正確的是()

A.P(R)=尸(RiAP(R2)B.P(G)=P(Gi)+P(5)

C.P(7?2|R1)=±D.P(G2|G1)+P(G1IG2)=1

9.質(zhì)數(shù)(primenumber)又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，

則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“享生素?cái)?shù)”.如：3和5,5和7……,在1900

年的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)問(wèn)題，其中第8個(gè)就是大名鼎鼎的攣生素?cái)?shù)猜

想：即存在無(wú)窮多對(duì)攣生素?cái)?shù).我國(guó)著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素?cái)?shù)間的

有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題，證明了攣生素?cái)?shù)猜想的弱化形式.那么，如果

我們?cè)诓怀^(guò)30的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件A,這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件8：這兩

個(gè)數(shù)不是攣生素?cái)?shù)，則尸(B|A)=()

11371341

A.—B.—C.—D.—

15451545

10.有4個(gè)外包裝相同的盒子，其中2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)白球，另外2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)黑球，現(xiàn)準(zhǔn)

備將每個(gè)盒子逐個(gè)拆開，則恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為()

1111

A.—B.-C.一D.一

2346

二.填空題(共5小題)

11.某企業(yè)鉗工、車工和焊工三個(gè)車間分別推薦了1名男員工和1名女員工，供該企業(yè)工會(huì)從中選出2名

員工參加全國(guó)技能比賽.若這6名員工每人被選上的機(jī)會(huì)相等，則選出的2人恰好是1名男員工和1

名女員工，且他們來(lái)自不同車間的概率為.

12.一袋中有大小相同的4個(gè)球，其中3個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從該袋中隨機(jī)取2個(gè)球，則取到2個(gè)紅球的

概率是.

91_q

13.設(shè)A,8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且PQ4)=5，P(B)=^P(4+B)=],則P(B|A)

14.在統(tǒng)計(jì)調(diào)查中，對(duì)一些敏感性問(wèn)題，要精心設(shè)計(jì)問(wèn)卷，設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實(shí)回

答問(wèn)題.否則，被調(diào)查者往往會(huì)拒絕回答，或不提供真實(shí)情況.某中學(xué)為了調(diào)查本校中學(xué)生某不良習(xí)慣

A的發(fā)生情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名中學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查中設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：你的陽(yáng)歷生日日期是否偶數(shù)？問(wèn)題2：你是否有A習(xí)慣？

調(diào)查者準(zhǔn)備了一個(gè)不透明袋子，里面裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的5個(gè)白球和5個(gè)紅球.每個(gè)被調(diào)

查者隨機(jī)從袋中摸出1個(gè)球(摸出的球再放回袋中并攪拌均勻)，摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題，

摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什

么都不做.已知調(diào)查結(jié)束后，盒子里共有55個(gè)小石子.據(jù)此估計(jì)此中學(xué)學(xué)生中有習(xí)慣A的人數(shù)的百分

比為.

15.已知隨機(jī)變量X?2(2,p),其中0<p<l,隨機(jī)變量￥的分布列為

Y012

1

P2Q

3^3

表中0<qv|,則。⑴的最大值為____________________.我們可以用M=XLoP(X=k)萬(wàn)券M

3ill—/tJ

_iM—ITI3

來(lái)刻畫X與Y的相似程度，則當(dāng)￡)(X)=9,且。(丫)取最大值時(shí)，———=.

三.解答題(共5小題)

16.為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)

常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取男女各100名學(xué)

生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，抽查數(shù)據(jù)如下表：

性別鍛煉合計(jì)

經(jīng)常不經(jīng)常

男生8020100

女生6040100

合計(jì)14060200

(1)依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與體育錘煉的經(jīng)常性是否有關(guān)？

(2)為提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，學(xué)校決定在上述經(jīng)常參加體育鍛煉的學(xué)生中，按性別分層抽樣隨

機(jī)抽取7名同學(xué)組成體育鍛煉宣傳小組，并從這7名同學(xué)中選出3人擔(dān)任宣傳組長(zhǎng)，記女生擔(dān)任宣傳組

長(zhǎng)的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：f=(a+b)圖篇(其中,〃="b+c+d為樣本容量)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.假定射手甲每次射擊命中目標(biāo)的概率為p,其中0<p<l.

(1)當(dāng)「=電寸，若甲射擊N次，命中目標(biāo)的次數(shù)為X.

①求E(X)；

②若尸(X=10)>P(X=k),其中OWZWN,k^lO,求N的值.

(2)射擊積分規(guī)則如下：?jiǎn)未挝疵心繕?biāo)得。分，單次命中目標(biāo)得1分，若連續(xù)命中目標(biāo)次，

則其中第一次命中目標(biāo)得1分，后一次命中目標(biāo)的得分為前一次得分的2倍.記射手甲射擊4次的總得

分為匕若對(duì)任意p有P(Y=i)=P(r=j)(z<j)成立，求所有滿足上述條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)(i,j).

18.為促進(jìn)全面閱讀，建設(shè)書香校園，鼓勵(lì)學(xué)生參加閱讀活動(dòng)，某校隨機(jī)抽查了男、女生各200名，統(tǒng)計(jì)

他們?cè)谑罴倨陂g每天閱讀時(shí)長(zhǎng)，并把每天閱讀時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的記為“閱讀達(dá)標(biāo)”，時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)

的記為“閱讀不達(dá)標(biāo)”，閱讀達(dá)標(biāo)與閱讀不達(dá)標(biāo)的人數(shù)比為1：1,閱讀達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為3：

2.

(1)完成下面的2X2列聯(lián)表：

性別閱讀達(dá)標(biāo)情況合計(jì)

閱讀達(dá)標(biāo)閱讀不達(dá)標(biāo)

男生

女生

合計(jì)

(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”有

關(guān)聯(lián)？

(3)從閱讀達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@5人

中任選2人，記這2人中男生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：乂2=(a+乃泮d)g%(b+d)，n^a+b+c+d.

a0.100.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

19.2024年甲辰龍年春節(jié)來(lái)臨之際，赤峰市某食品加工企業(yè)為了檢查春節(jié)期間產(chǎn)品質(zhì)量，抽查了一條自動(dòng)

包裝流水線的生產(chǎn)情況.隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)

量的分組區(qū)間為(495,505],(505,515],(535,545],由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值元；

(2)由樣本估計(jì)總體,結(jié)合頻率分布直方圖，近似認(rèn)為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值彳服從正態(tài)分布N(u，1.252),

其中U近似為(1)中的樣本平均值元，計(jì)算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值W'519.75的概率；

(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)￥為質(zhì)量超過(guò)515克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：若￡可⑴，。2),則P(廠。＜^M+o)p0.6827,P(n-2o＜^n+2o)^0.9545,P(廠3

o＜只葉3。)心0.9973.

頻率

0.025

0.020

0.015

0.005

0490505515525535545質(zhì)量/克

20.一個(gè)車間有3臺(tái)機(jī)床，它們各自獨(dú)立工作，其中A型機(jī)床2臺(tái)，8型機(jī)床1臺(tái).A型機(jī)床每天發(fā)生故

障的概率為0.1,8型機(jī)床每天發(fā)生故障的概率為02

(1)記X為每天發(fā)生故障的機(jī)床數(shù)，求X的分布列及期望E(x)；

(2)規(guī)定：若某一天有2臺(tái)或2臺(tái)以上的機(jī)床發(fā)生故障，則這一天車間停工進(jìn)行檢修.求某一天在車

間停工的條件下，2型機(jī)床發(fā)生故障的概率.

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之概率

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.若隨機(jī)變量《TV(3,小)，且尸解＞4)=0.2,則尸(2＜彳＜3)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解.

【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量孑e(3,。2),且P(《＞4)=0.2,

所以尸(3＜彳＜4)=0.5-P—＞4)=0.3,

所以P(2＜^＜3)=P(3＜^＜4)=0.3.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知隨機(jī)事件A,8發(fā)生的概率分別為P(A)=0.5,P(B)=0.4,則下列說(shuō)法正確的是()

A.若尸(AB)=0.9,則A,B相互獨(dú)立

B.若A,B相互獨(dú)立，則尸(A|B)=0.6

C.若P(A|B)=0.5,則尸(AB)=0.25

D.若匹A,則P(B|A)=0.8

【考點(diǎn)】條件概率；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷A,根據(jù)條件概率公式判斷8、C、D.

【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)槭?AB)WP(A)P(B),所以A與8不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于2：若A,B相互獨(dú)立，貝lJP(4|8)=g鬻=寫等=2(4)=0.5,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)镻(4|B)=號(hào)鬻，所以P(AB)=P(B)P(A|B)=0.4X0.5=0.2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：若8UA,則尸(AB)=P(B)=0.4,所以P(B|4)=攀羔=照=0.8,故。正確.

1(A)U.Z)

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立事件的定義，考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.如圖，一個(gè)電路中有A,B,C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件正常工作的概率均為這個(gè)電路是通路的概

率是()

M3-J

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】這個(gè)電路是通路，則原件A正常工作，且元件8,C至少有一個(gè)正常工作，由此能求出這個(gè)電

路是通路的概率.

【解答】解：：這個(gè)電路是通路，

原件A正常工作，且元件8,C至少有一個(gè)正常工作，

這個(gè)電路是通路的概率是P=[1-(1-1)(1-1)]=

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.某大學(xué)一宿舍4名同學(xué)參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還有兩人差幾分上線,

這兩名學(xué)生準(zhǔn)備從A,B,C,D,E,尸這6所大學(xué)中任選三所大學(xué)申請(qǐng)調(diào)劑，則這兩名學(xué)生在選擇了

相同大學(xué)的條件下，恰好選擇了兩所相同大學(xué)的概率為()

181091

A.—B.——C.——D.——

19191919

【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；條件概率；古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】c

【分析】根據(jù)題意，設(shè)事件A="兩名學(xué)生在選擇了相同大學(xué)”，事件8=”恰好選擇了兩所相同大學(xué)”，

由古典概型公式求出尸(A)和P(B),結(jié)合條件概率公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)事件A=”兩名學(xué)生在選擇了相同大學(xué)”，事件B="恰好選擇了兩所相同

大學(xué)”，

兩名學(xué)生分別從A,B,C,D,E,尸這6所大學(xué)中任選三所大學(xué)，有//=400種選法，

其中沒(méi)有選擇相同大學(xué)的選法有/=20種,

則兩名學(xué)生選擇了相同大學(xué)的選法有400-20=380種，故尸（A）=端=荒,

若恰好選擇了兩所相同大學(xué)，其情況有北朗=180種，則P"）=擺=葛，

PQ4B)_P(B)_9

故

P(B|A)=P(A)=PG4)=19'

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.有甲、乙兩臺(tái)車床加工同一種零件，且甲、乙兩臺(tái)車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%,30%,甲、乙兩

臺(tái)車床的正品率分別為94%,92%.現(xiàn)從一批零件中任取一件，則取到正品的概率為（）

A.0.93B.0.934C.0.94D.0.945

【考點(diǎn)】全概率公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】結(jié)合全概率公式，即可求解.

【解答】解：甲、乙兩臺(tái)車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%,30%,甲、乙兩臺(tái)車床的正品率分別為94%,

92%,

則取到正品的概率為：0.7X0.94+0.3X0.92=0.934.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件48存在如下關(guān)系：

P（4|B）=嗎耨①.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05,現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已

知該試劑的準(zhǔn)確率為95%,即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有95%的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試

劑的誤報(bào)率為0.5%,即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有0.5%的可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性.現(xiàn)隨機(jī)

抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性，則此人患病的概率為（）

4959951021

A.------B.-------C.—D.—

100010001122

【考點(diǎn)】條件概率.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】c

【分析】利用條件概率，結(jié)合全概率公式與貝葉斯公式即可得解.

【解答】解：依題意，設(shè)用該試劑檢測(cè)呈現(xiàn)陽(yáng)性為事件8,

被檢測(cè)者患病為事件A,未患病為事件無(wú)

則=0.95,P(A)=0.05,P(B|4)=0.005,P(1)=0.95,

故P⑻=0.95X0.05+0.005X0.95=0.05225,

則所求概率為P(*2)=需="爛=靠翳=春

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有1的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1/z,這些人近視

13

率約為三，其余學(xué)生的近視率約為一，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是()

28

1727

A.—B.——C.-D.一

51658

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析.

【答案】c

【分析】根據(jù)近視情況分為超過(guò)球和低于1/7兩種可能，利用古典概率模型計(jì)算可得.

14

【解答】解：某學(xué)校學(xué)生中，大約有g(shù)的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)I/?,則有g(shù)的學(xué)生每天玩手機(jī)低于i〃，

13

超過(guò)1/2近視率約為-，低于lh近視率約為一，

28

114342

所以從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是:x-+-x--—

5258105

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概率模型，屬于基礎(chǔ)題.

8.某罐中裝有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和3個(gè)綠球，每次不放回地隨機(jī)摸出1個(gè)球.記幻="第一次

摸球時(shí)摸到紅球”，Gi="第一次摸球時(shí)摸到綠球”，R2="第二次摸球時(shí)摸到紅球”，G2="第二次摸

球時(shí)摸到綠球"，R="兩次都摸到紅球”，G="兩次都摸到綠球”，則下列說(shuō)法中正確的是()

A.P(R)=P(RiAP(R2)B.P(G)=P(GI)+P(5)

C.P{R2\R^D.P(G2IG1)+P(G1IG2)=1

【考點(diǎn)】條件概率.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】c

【分析】由獨(dú)立事件的定義可判斷A,由古典概型的概率公式可判斷8,由條件概率公式可判斷CD

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)镽=RICR2,RI,R2不相互獨(dú)立，所以P(R)中P(Ri)P(R2),故A錯(cuò)

1天；

■33

對(duì)于2,因?yàn)镻(GQ=村P0)=P(R"2)+P(G]G2)=7P(G)=PIGG)=所以P(G)

WP(Gi)+P(G2),故2錯(cuò)誤；

對(duì)于C,P(/?|7?)=^^=4=1

21故C正確;

對(duì)于DP(G21G])=畏竽='=稱,7

則。92￡1)+「停1￡2)=呈故

。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立事件的定義，考查了條件概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.質(zhì)數(shù)(primenumber)又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，

則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“享生素?cái)?shù)”.如：3和5,5和7……，在1900

年的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)問(wèn)題，其中第8個(gè)就是大名鼎鼎的李生素?cái)?shù)猜

想：即存在無(wú)窮多對(duì)攣生素?cái)?shù).我國(guó)著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素?cái)?shù)間的

有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題，證明了攣生素?cái)?shù)猜想的弱化形式.那么，如果

我們?cè)诓怀^(guò)30的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件A,這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件3：這兩

個(gè)數(shù)不是攣生素?cái)?shù)，則P(B|A)=()

11371341

A.—B.—C.—D.—

15451545

【考點(diǎn)】條件概率.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式求出尸(A)和尸(AB),再根據(jù)條件概率的計(jì)算方法求得正確答案.

【解答】解：根據(jù)題意，不超過(guò)30的自然數(shù)有30個(gè)，其中素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,

29共10個(gè)，

攣生素?cái)?shù)有3和5,5和7,11和13,17和19,共4組.

所以PQ4)=/=蔡P(砌=汐=墨，

P(AB)::夜一4187一41

所以

P(B|4)=P(A)一急一435*9—45,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.有4個(gè)外包裝相同的盒子，其中2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)白球，另外2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)黑球，現(xiàn)準(zhǔn)

備將每個(gè)盒子逐個(gè)拆開，則恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為（）

1111

A.-B.-C.—D.—

2346

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】先將4個(gè)盒子進(jìn)行全排，若恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中，則前兩個(gè)盒子

都是白球或都是黑球，分別計(jì)算出排列數(shù)，即可得到答案.

【解答】解：將4個(gè)盒子按順序拆開有用=24種方法，

若恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中，

則前兩個(gè)盒子都是白球或都是黑球，有掰掰+脛掰=8種情況，

則恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為P=^=1.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

填空題（共5小題）

11.某企業(yè)鉗工、車工和焊工三個(gè)車間分別推薦了1名男員工和1名女員工，供該企業(yè)工會(huì)從中選出2名

員工參加全國(guó)技能比賽.若這6名員工每人被選上的機(jī)會(huì)相等，則選出的2人恰好是1名男員工和1

名女員工，且他們來(lái)自不同車間的概率為|.

【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】

【分析】先列出從6名員工中選出2名員工的基本事件總數(shù)，再列出來(lái)自不同車間的一名男員工和一名

女員工數(shù)量，二者比值即為結(jié)果.

【解答】解：設(shè)3名男員工分別為A,B,C,3名女員工分別為X,匕Z,其情況如下表：

鉗工車工焊工

男員工ABC

女員工XYZ

則從6人中選出2人的基本事件有

(A,B),(A,C),(A,X),(A,X),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y)(B,Z),(C,X),(C,F),

(C,Z),(X,Y),(.X,Z),(Y,Z),共15個(gè)，

其中滿足條件的基本事件有(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y),共6個(gè)，

所以選出的2人恰好是1名男員工和1名女員工，且他們來(lái)自不同車間的概率P=2=|，

2

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

12.一袋中有大小相同的4個(gè)球，其中3個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從該袋中隨機(jī)取2個(gè)球，則取到2個(gè)紅球的

1

概率是-?

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】

【分析】根據(jù)古典概型求解即可.

【解答】解：由題意，所求概率

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

21_c1

13.設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且PQ4)=可P(8)=2,P(a+8)=+貝！.

【考點(diǎn)】條件概率.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】由P(A+F)=P(A)+P(萬(wàn))-P(A耳)求出P(AB),再利用條件概率公式求解.

【解答】解:因?yàn)镻(2+后)=P(4)+P⑧-P(而)=|+1-(P(4)-P(AB))=|+1-PG4B))=

升1PQ4B)5/,

所以PQ4B)=全

所以P(B|4)=?需

1

故答案為：--

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.在統(tǒng)計(jì)調(diào)查中，對(duì)一些敏感性問(wèn)題，要精心設(shè)計(jì)問(wèn)卷，設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實(shí)回

答問(wèn)題.否則，被調(diào)查者往往會(huì)拒絕回答，或不提供真實(shí)情況.某中學(xué)為了調(diào)查本校中學(xué)生某不良習(xí)慣

A的發(fā)生情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名中學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查中設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：你的陽(yáng)歷生日日期是否偶數(shù)？問(wèn)題2：你是否有A習(xí)慣？

調(diào)查者準(zhǔn)備了一個(gè)不透明袋子，里面裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的5個(gè)白球和5個(gè)紅球.每個(gè)被調(diào)

查者隨機(jī)從袋中摸出1個(gè)球(摸出的球再放回袋中并攪拌均勻)，摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題，

摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什

么都不做.已知調(diào)查結(jié)束后，盒子里共有55個(gè)小石子.據(jù)此估計(jì)此中學(xué)學(xué)生中有習(xí)慣A的人數(shù)的百分

比為5%.

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】被調(diào)查者回答第一個(gè)問(wèn)題的概率為2=,=去其陽(yáng)歷生日日期是偶數(shù)的概率也是5,由此得

到隨機(jī)抽出的200名學(xué)生中，回答兩個(gè)問(wèn)題的人數(shù)估計(jì)各有100人，200人中抽取到白球并回答第一個(gè)

問(wèn)題為“是”的學(xué)生估計(jì)有50人，抽到紅球并回答第二個(gè)問(wèn)題為“是”的人數(shù)估計(jì)為5人，由此能估

計(jì)此中學(xué)學(xué)生有A習(xí)慣人數(shù)的百分比.

【解答】解：根據(jù)題意，由等可能事件概率得：

被調(diào)查者回答第一個(gè)問(wèn)題的概率為P=^=1,

其陽(yáng)歷生日日期是偶數(shù)的概率是今

???對(duì)隨機(jī)抽出的200名中學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，

其中回答兩個(gè)問(wèn)題的人數(shù)估計(jì)各有200x1=100人，

???200人中抽取到白球并回答第一個(gè)問(wèn)題為“是”的學(xué)生估計(jì)有200x*x*=50人，

抽到紅球并回答第二個(gè)問(wèn)題為“是”的人數(shù)估計(jì)為55-50=5人,

I.此中學(xué)學(xué)生有A習(xí)慣人數(shù)的百分比為三=5%.

100

故答案為：5%.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.已知隨機(jī)變量X?3(2,p),其中0<pVl,隨機(jī)變量y的分布列為

Y012

1

P2q

3

表中0<4<,則。⑴的最大值為:.我們可以用Af=￡念op(x=k)"需罵來(lái)刻畫X與y

J3"(t—KJ

、,1M—ln32

的相似程度，則當(dāng)D(X)=2，且D(y)取最大值時(shí)，———=.

2ln2------2—

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

23

【答案】

32

8

【分析】根據(jù)題意，求得()頹》()+-+|,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得

Ey=4+2qy=—4q23D(y)

取得最大值點(diǎn)再由二項(xiàng)分布方差，求得p=今進(jìn)而得到“="3-如2即可求解.

1

【解答】解：由題意，可得E(y)=@+2q,

則0(y)=(§+2q)(~-2g)+(1-@-2q)X@+(2-可-2q)Xq

-—4g2+

—_4(q-專)2+東

2i2

因?yàn)镺VqV呈所以當(dāng)q=［時(shí)，D(Y)取得最大值？

又由X?3(2,p),可得。(X)=2p(1-p)=熱解得p=}

111

所以尸(X=0)=a，p(x=l)p(X=2)=j

又因?yàn)镸=2K=oP(X=fc)Inp^y-j^9

^fr以M=［仇］+］仇7+4"4=2LIT4+7)11"g二仇3一1仇2,

M-"33

所以

ln22

23

故答案為：-;-

32

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差，屬于中檔題.

三.解答題(共5小題)

16.為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)

常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取男女各100名學(xué)

生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，抽查數(shù)據(jù)如下表：

性別鍛煉合計(jì)

經(jīng)常不經(jīng)常

男生8020100

女生6040100

合計(jì)14060200

(1)依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與體育錘煉的經(jīng)常性是否有關(guān)？

(2)為提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，學(xué)校決定在上述經(jīng)常參加體育鍛煉的學(xué)生中，按性別分層抽樣隨

機(jī)抽取7名同學(xué)組成體育鍛煉宣傳小組，并從這7名同學(xué)中選出3人擔(dān)任宣傳組長(zhǎng)，記女生擔(dān)任宣傳組

長(zhǎng)的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：%)=(a+b)圖篇(其中,為樣本容量)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望).

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)認(rèn)為性別與鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005；

(2)分布列見(jiàn)解答，E(X)=/

【分析】(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算x2,與臨界值比較即可得結(jié)論；

(2)隨機(jī)變量X所有可能的取值分別為0,1,2,3,由古典概型概率公式求出對(duì)應(yīng)的概率，可得分布

列及數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)零假設(shè)為Ho：性別與鍛煉的經(jīng)常性無(wú)關(guān)聯(lián)，

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到f=2。潞潞部窯°x9.524>7.879=%o,oo5-

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立，

即認(rèn)為性別與鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005；

(2)根據(jù)分層抽樣可知，隨機(jī)抽取的7名同學(xué)中男生4人，女生3人,

隨機(jī)變量X所有可能的取值分別為0,1,2,3,

根據(jù)古典概型的知識(shí)，可得P(X=0)=等=余，P(x=l)=等=%,

C75?c7

P(X=2)=等埸P(X=3)=等型

c7c7

所以X的分布列為：

X0123

P418121

35353535

A1O-121Q

所以E(X)=0x+1x+2x+3x=y?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

17.假定射手甲每次射擊命中目標(biāo)的概率為p,其中

(1)當(dāng)p=|時(shí)，若甲射擊N次，命中目標(biāo)的次數(shù)為X.

①求E(X)；

②若尸(X=10)>P(X=k),其中OWAWN,k^lO,求N的值.

(2)射擊積分規(guī)則如下：?jiǎn)未挝疵心繕?biāo)得。分，單次命中目標(biāo)得1分，若連續(xù)命中目標(biāo)Mi》2)次，

則其中第一次命中目標(biāo)得1分，后一次命中目標(biāo)的得分為前一次得分的2倍.記射手甲射擊4次的總得

分為匕若對(duì)任意P有尸(y=O=P(y=j)(z<j)成立，求所有滿足上述條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)(i,j).

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

2N

【答案】(1)①三；②15；

(2)(2,3),(4,7).

【分析】(1)①根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可；②先求出P(X=k)=林@)氣上N-k,再根據(jù)

P(X=k)2P(X=k+l),求解即可;

.尸(X=