人教A版（2019）選擇性必修 第一冊 3.1 橢圓 教案

人教A版（2019）選擇性必修第一冊3.1橢圓教案課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：人教A版（2019）選擇性必修第一冊3.1橢圓

2.教學(xué)年級和班級：高二年級（10）班

3.授課時間：2023年10月25日

4.教學(xué)時數(shù)：1課時（45分鐘）二、核心素養(yǎng)目標(biāo)1.讓學(xué)生能夠理解橢圓的定義及其幾何特征，培養(yǎng)空間觀念和幾何直觀能力。

2.通過探索橢圓的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和推理能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力。三、學(xué)情分析本節(jié)課的學(xué)生為高二年級學(xué)生，他們已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，掌握了平面幾何的基本概念和性質(zhì)，對函數(shù)有一定的了解。在知識層面，學(xué)生對圓的性質(zhì)較為熟悉，但橢圓的概念和性質(zhì)對他們來說相對陌生。在能力層面，學(xué)生的邏輯思維和空間想象能力正在發(fā)展，但推理能力有待加強。

在行為習(xí)慣方面，學(xué)生普遍能夠遵守課堂紀(jì)律，積極參與課堂討論，但部分學(xué)生在自主學(xué)習(xí)方面存在依賴性，缺乏主動探究的精神。此外，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極性可能因難度增加而有所下降，這對本節(jié)課的學(xué)習(xí)可能會產(chǎn)生一定的影響。

針對這些情況，本節(jié)課將注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過實際例子引入橢圓的概念，幫助學(xué)生建立空間觀念，并通過小組討論和問題引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生自主探究和推理，以提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2.輔助材料：橢圓的動畫演示視頻、橢圓性質(zhì)的相關(guān)圖表

3.教學(xué)工具：投影儀、電腦、白板和筆

4.教室布置：確保每組學(xué)生都有足夠的空間進(jìn)行討論，準(zhǔn)備黑板用于板書和圖解橢圓性質(zhì)。五、教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課

-（我）拿出一個橢圓形狀的物體，如橢圓球星，提問：“同學(xué)們，你們能在生活中找到哪些橢圓形狀的物體？”

-（學(xué)生）思考并回答。

-（我）總結(jié)并引入本節(jié)課的主題：“今天，我們將學(xué)習(xí)橢圓的性質(zhì)和方程?！?/p>

2.橢圓的定義與性質(zhì)

-（我）在黑板上畫出橢圓，并指出橢圓的焦點、長短軸。

-（我）解釋橢圓的定義：“平面內(nèi)，到兩個定點（焦點）距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓?！?/p>

-（學(xué)生）跟隨我的講解，觀察橢圓的圖形，理解定義。

-（我）引導(dǎo)學(xué)生觀察并討論橢圓的性質(zhì)，如對稱性、離心率等。

-（學(xué)生）參與討論，嘗試用自己的語言描述橢圓的性質(zhì)。

3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

-（我）通過動畫演示，展示橢圓的生成過程，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓方程的規(guī)律。

-（我）板書橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，并解釋a、b、c的含義。

-（學(xué)生）跟隨我的講解，記錄方程，并嘗試?yán)斫飧鱾€參數(shù)的關(guān)系。

-（我）通過例題，演示如何根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出其標(biāo)準(zhǔn)方程。

-（學(xué)生）嘗試解答例題，鞏固對方程的理解。

4.橢圓的幾何性質(zhì)探究

-（我）提出探究問題：“橢圓的離心率與長短軸的關(guān)系是怎樣的？”

-（學(xué)生）分組討論，嘗試通過幾何畫圖或代數(shù)推理得出結(jié)論。

-（我）邀請小組代表分享探究結(jié)果，并進(jìn)行點評和總結(jié)。

-（我）進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究橢圓的對稱軸、對稱中心等幾何性質(zhì)。

-（學(xué)生）參與探究，嘗試找出橢圓的對稱性質(zhì)。

5.實際應(yīng)用案例分析

-（我）提供一些實際生活中的橢圓應(yīng)用案例，如地球的軌道、衛(wèi)星通信等。

-（學(xué)生）閱讀案例，思考橢圓在其中的作用和意義。

-（我）組織學(xué)生討論，如何利用橢圓的性質(zhì)解決實際問題。

-（學(xué)生）分享自己的思考，嘗試將橢圓知識應(yīng)用到實際問題中。

6.課堂小結(jié)與作業(yè)布置

-（我）總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)橢圓的定義、性質(zhì)和方程。

-（我）提問：“同學(xué)們，你們能用自己的語言總結(jié)一下橢圓的特點嗎？”

-（學(xué)生）總結(jié)并回答。

-（我）布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課所學(xué)，完成教材上的練習(xí)題，并嘗試設(shè)計一個橢圓相關(guān)的實際問題，下節(jié)課分享。

7.課堂延伸

-（我）鼓勵學(xué)生在課后繼續(xù)探索橢圓的其他性質(zhì)，如橢圓的切線方程、橢圓的旋轉(zhuǎn)等。

-（學(xué)生）在課后自主探索，提升對橢圓知識的理解和應(yīng)用能力。

8.課堂反饋

-（我）在下一節(jié)課開始時，詢問學(xué)生對橢圓知識的應(yīng)用情況，收集反饋，以便調(diào)整后續(xù)的教學(xué)計劃。

-（學(xué)生）提供反饋，表達(dá)自己在學(xué)習(xí)橢圓過程中的困惑和收獲。六、知識點梳理1.橢圓的定義

-平面內(nèi)，到兩個定點（焦點）距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓。

2.橢圓的幾何性質(zhì)

-對稱性：橢圓關(guān)于其中心（原點）和兩個焦點所在直線對稱。

-離心率：橢圓的離心率\(e\)是焦距\(2c\)與長軸\(2a\)的比值，即\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(0<e<1\)。

-焦點：橢圓有兩個焦點，分別位于長軸的兩端。

-長軸與短軸：橢圓的長軸是兩個焦點之間的最長線段，短軸是垂直于長軸的最短線段。

3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

-橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a\)是半長軸，\(b\)是半短軸，且\(a>b\)。

-當(dāng)橢圓的中心在原點，焦點位于x軸上時，方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。

-當(dāng)橢圓的中心在原點，焦點位于y軸上時，方程為\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)。

4.橢圓的離心率與長短軸的關(guān)系

-橢圓的離心率\(e\)與半長軸\(a\)和半短軸\(b\)之間的關(guān)系為\(c^2=a^2-b^2\)，其中\(zhòng)(c\)是半焦距。

5.橢圓的切線方程

-對于橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，在點\((x_0,y_0)\)處的切線方程為\(\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1\)。

6.橢圓的旋轉(zhuǎn)

-橢圓可以通過旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后橢圓的方程將發(fā)生變化，但保持其標(biāo)準(zhǔn)形式。

7.橢圓的實際應(yīng)用

-地球繞太陽的軌道近似為橢圓。

-衛(wèi)星通信中，衛(wèi)星的軌道通常設(shè)計為橢圓。

-機(jī)械工程中，橢圓齒輪的傳動。

8.橢圓的圖像繪制

-利用橢圓的參數(shù)方程\(x=a\cost,y=b\sint\)可以繪制橢圓的圖像。

-參數(shù)\(t\)是從0到\(2\pi\)的角度變量。

9.橢圓與圓的關(guān)系

-當(dāng)橢圓的離心率\(e\)為0時，橢圓退化為圓，此時\(a=b\)。

10.橢圓的面積和周長

-橢圓的面積\(A\)可以通過公式\(A=\piab\)計算。

-橢圓的周長\(C\)無法用簡單的公式表示，但可以通過橢圓的離心率近似計算。七、課后作業(yè)1.請根據(jù)橢圓的定義，畫出一個橢圓，并標(biāo)出其焦點、長短軸。

2.已知橢圓的離心率為\(e=\frac{1}{2}\)，且半長軸\(a=5\)，求橢圓的半短軸\(b\)。

解答：由離心率的定義\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c\)是半焦距，可得\(c=ea=\frac{5}{2}\)。由橢圓的關(guān)系式\(c^2=a^2-b^2\)，代入\(c\)和\(a\)的值，解得\(b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{25-\left(\frac{5}{2}\right)^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)。

3.給定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，求橢圓的離心率\(e\)。

解答：由方程可知\(a^2=9\)，\(b^2=4\)，因此\(a=3\)，\(b=2\)。由\(c^2=a^2-b^2\)，解得\(c=1\)。所以\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\)。

4.在橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)上取一點\(P(4,0)\)，求過點\(P\)的橢圓切線方程。

解答：由于點\(P\)在橢圓的長軸上，切線方程為\(y=0\)。

5.設(shè)橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，證明橢圓的面積\(S=\piab\)。

解答：橢圓的面積可以通過積分求得。將橢圓方程中的\(y\)解出，得到\(y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\)。對\(y\)關(guān)于\(x\)在\([-a,a]\)區(qū)間內(nèi)積分，得到\(S=\int_{-a}^{a}b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx\)。通過換元積分，可以證明該積分等于\(\piab\)。

6.證明：橢圓的周長大于其長軸的長度，但小于\(4a\)。

解答：橢圓的周長\(C\)是一個無理數(shù)，可以通過近似方法計算。由于橢圓的對稱性，\(C=2\int_{0}^{a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx\)。由于\(\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}<1\)，所以\(C<2a\)。又因為\(C\)是連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)\(x=0\)或\(x=a\)時，\(C\)的值等于\(2a\)，所以\(2a<C<4a\)。

7.已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，求橢圓上點到原點的最遠(yuǎn)和最近距離。

解答：橢圓上點到原點的距離為\(\sqrt{x^2+y^2}\)。將橢圓方程中的\(y^2\)用\(x^2\)表示，得到\(y^2=3(1-\frac{x^2}{4})\)。代入距離公式，得到\(\sqrt{x^2+3(1-\frac{x^2}{4})}=\sqrt{4-\frac{x^2}{4}}\)。當(dāng)\(x=0\)時，距離最大，為\(2\sqrt{3}\)；當(dāng)\(x=\pm2\)時，距離最小，為\(\sqrt{3}\)。

8.某衛(wèi)星的軌道為橢圓，其方程為\(\frac{x^2}{40000}+\frac{y^2}{30000}=1\)。求衛(wèi)星在軌道上離地球最近的距離。

解答：衛(wèi)星在軌道上離地球最近的距離即為橢圓上離原點最近的點到原點的距離。由于橢圓的對稱性，最近點位于短軸的端點，即\(x=0\)，\(y=\sqrt{30000}\)。所以，衛(wèi)星離地球最近的距離為\(\sqrt{30000}=100\sqrt{3}\)單位長度。由于題目中沒有給出單位長度，這里只給出計算結(jié)果。八、教學(xué)反思與總結(jié)1.教學(xué)反思

在這節(jié)課的教學(xué)過程中，我嘗試通過多種方式引導(dǎo)學(xué)生理解橢圓的概念和性質(zhì)。首先，我通過實物展示引入橢圓的概念，激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心。然而，我也發(fā)現(xiàn)，對于一些學(xué)生來說，從實物到抽象概念的過程仍然有些困難，他們需要更多的時間來消化和理解。

在教學(xué)方法上，我采用了講解與討論相結(jié)合的方式，鼓勵學(xué)生參與到課堂討論中來。這一點收到了一定的效果，大部分學(xué)生能夠積極參與，但對于一些較為內(nèi)向的學(xué)生來說，他們可能需要更多的鼓勵和支持才能開口。

在課堂管理方面，我發(fā)現(xiàn)自己在維持課堂秩序方面做得還可以，但在課堂節(jié)奏的把控上還有待提高。有時候，我可能會在某個問題上花費過多的時間，導(dǎo)致課堂內(nèi)容無法按時完成。

2.教學(xué)總結(jié)

總體來看，本節(jié)課的教學(xué)效果是積極的。學(xué)生們對橢圓的概念有了更深入的理解，能夠通過標(biāo)準(zhǔn)方程來描述橢圓，并能夠利用橢圓的性質(zhì)解決一些實際問題。在情感態(tài)度方面，學(xué)生們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣有所提高，他們能夠感受到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價值。

然而，我也注意到教學(xué)中存在一些問題。首先，對于一些概念的理解，學(xué)生們?nèi)匀淮嬖诶щy，他們可能需要更多的實例和練習(xí)來加深理解。其次，我在課堂上的提問方式可能需要改進(jìn)，以更好地激發(fā)學(xué)生的思維。

針對這些問題，我認(rèn)為可以采取以下措施進(jìn)行改進(jìn)：

-在引入新概念時，提供更多的實例和實際應(yīng)用，幫助學(xué)生建立直觀感受。

-在課堂提問時，設(shè)計更多開放性問題，鼓勵學(xué)生進(jìn)行思考和探索。

-在課堂管理方面，合理控制課堂節(jié)奏，確保教學(xué)內(nèi)容能夠按時完成。

-對于內(nèi)向的學(xué)生，給予更多的關(guān)注和鼓勵，幫助他們積極參與課堂討論。

-在課后，布置一些與生活實際相關(guān)的作業(yè)，讓學(xué)生在實踐中運用所學(xué)知識。內(nèi)容邏輯關(guān)系①橢圓的定義：理解橢圓的定義是學(xué)習(xí)其性質(zhì)和方程的基礎(chǔ)。定義中涉及的關(guān)鍵詞有“平面內(nèi)”、“兩個定點”（焦點）、“距離之和等于常數(shù)”。通過理解這些關(guān)鍵詞，學(xué)生能夠建立起橢圓的直觀形象，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

②橢圓的性質(zhì)：橢圓的性質(zhì)是本節(jié)課的核心內(nèi)容之一。性質(zhì)包括對稱性、離心率、焦點、長軸和短軸等。學(xué)生需要理解這些性質(zhì)之間的關(guān)系，以及它們?nèi)绾斡绊憴E圓的形狀和大小。例如，離心率\(e\)的值決定了橢圓的扁平程度，\(e\)越接近1，橢圓越扁平。

③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是本節(jié)課的另一個重點。方程\(\fra