6.3 二項式定理 -(選擇性必修第二、三冊) (教師版)

二項式定理1二項式展開式a+b2二項展開式的通項公式T3二項式系數(shù)表(楊輝三角)a+bn展開式的二項式系數(shù)，當n依次取1,2,3…4二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(∵Cnm=(2)增減性與最大值：當n是偶數(shù)時，中間一項Cnn2取得最大值；當n(3)二項式系數(shù)和：Cn奇數(shù)項的系數(shù)等于偶數(shù)項的系數(shù)等于2n?1PS∵令x=1，則2n令x=?1，則Cn0奇數(shù)項的系數(shù)等于偶數(shù)項的系數(shù)等于2n?1特別提醒1.在運用二項式定理時一定要牢記通項公式Tr+1=C2．在使用通項公式Tr+1=Cnr【題型一】二項式展開式【典題1】若x2+1ax6的展開式中，x3的系數(shù)是A．a(chǎn)=?12 B．所有項系數(shù)之和為C．二項式系數(shù)之和為64 D．常數(shù)項為－320【解析】由Tr+1=C令12－3r=3，得r=3．∴1a3?Cx2取x=1，可得所有項系數(shù)之和為a0+a二項式系數(shù)之和為26=64，故(二項式系數(shù)和：Cn由12－3r=0，得r=4，展開式的常數(shù)項為(?2)4?(常數(shù)項即變量x的指數(shù)為0)故選：ABC．【點撥】①先寫出展開式的通項，并把其化為最簡的形式；②每項的二項式系數(shù)Cn【典題2】在二項式2x+16A.20B.160C.240D.192【解析】二項式2x+16的展開式的通項為設ak則a當k≥2時，6?k2(k+1)<1，即ak+1而a1<a即系數(shù)最大項的系數(shù)為2【點撥】先求出系數(shù)通項，再利用求數(shù)列單調(diào)性的方法—作商法(作差法也行)求出最大項.鞏固練習1(★★)[多選題]關于x2A．奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為32 B．所有項的系數(shù)和為－1 C．只有第3項的二項式系數(shù)最大 D．含x項的系數(shù)為－80【答案】BD【解析】（x2?2x）5的展開式的所有二項式系數(shù)和為32，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16，故取x＝1，可得所有項的系數(shù)和為﹣1，故B正確；（x2?2x）5的展開式有6項，第3項與第四項的二項式系數(shù)相等且最大，故展開式的通項為Tr+1由10﹣3r＝1，得r＝3，∴含x項的系數(shù)為(?2)3?故選：BD．2(★★)[多選題]設常數(shù)a∈R,n∈NA．若a<1nB．若各項系數(shù)隨著項數(shù)增加而增大，則a>n C．若a=－2，n=10，則第7項的系數(shù)最大 D．若a=?2，n=7，則所有奇數(shù)項系數(shù)和為239【答案】BCD【解析】二項式(1+ax)n的展開式的通項為Tr+1=ar?nrxr對于A：若a<0，則各項系數(shù)一正一負交替出現(xiàn)，故A不對，對于B：Cnrar<所以a>0，且a>r+1n?r對任意的∴a>n，故B正確；當a=－2，n=10，則展開式中奇數(shù)項的系數(shù)為正值，偶數(shù)項的系數(shù)為負值，所以，只需比較C100(?2)0，C102可得，C106(?2當a=?2，n=7，則奇數(shù)項系數(shù)和為：C7故選：BCD．3(★★★)[多選題]設1+2x5=a0+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【解析】二項式的展開式的通項Tn+1=所以an=C則(C即(5!n!(5?n)!)2?22n=2×化簡得n2－5n+6=0，解得n=2或3，故選：BC．4(★★★)已知二項式(2x+1x)n(n∈N?(1)求n的值；(2)求展開式中常數(shù)項；(3)計算式子C6【答案】（1）6（2）60（3）729【解析】(1)二項式(2x+1x)n(n∈求得n=6．(2)展開式的通項公式為Tr+1=C6r?26－r?x6?3r可得常數(shù)項為C64?22=60．(3)C6026+C612【題型二】兩個二項式相乘【典題1】已知(1+ax2)(2x?A．a(chǎn)=2 B．展開式中常數(shù)項為64 C．展開式系數(shù)的絕對值的和2187 D．若r為偶數(shù)，則展開式中xr?2系數(shù)是xr系數(shù)的【解析】對于A，令x=1，可得(1+ax)(2x?∴a=2，故A正確；對于B，易知(2x?1x其中r={0,1,2,3,4,5,6}，即(2x?則(1+2則展開式中常數(shù)項為1?a由Tr+1=?1r26?rC對于C，(1+2x2令x=1，為1+2?36對于D由(1+2當r=?6時，x?6的系數(shù)是a0+2a1，x?8的系數(shù)是故選：AC．【點撥】對于二個二項式模型“多項式?a+bn”，比如對于想象下對2x?1x若要繼續(xù)展開最后得到常數(shù)項，那只有1乘以2x?1x6的常數(shù)項和2乘以2x?即所求的常數(shù)項=1?a【典題2】(1?x)6(1+x)【解析】(1?x=1－x則x2的項為1×即x2的系數(shù)為2故選：B．【點撥】式子復雜，若能化簡為熟悉的模型“多項式?a+b鞏固練習1(★★)(xA．－19 B．－55 C．21 D．56【答案】B【解析】(x3+6x+1)(1?1x)6的展開式中的常數(shù)項為C故選：B．2(★★)已知正整數(shù)n≥7，若x?1x1－xn的展開式中不含A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】正整數(shù)n≥7，若(x?1x)(1－x)n的展開式中不含x則(1－x)n的展開式中的含x3的項和含x5的項的系數(shù)和為0，即?Cn3+故選：B．3(★★)(1?x)?(x+1x+2A．10 B．2 C．－14 D．34【答案】C【解析】∵(1?x)?(x+=(1－x)?(C80?x4+C81?x3+C82故展開式中x的系數(shù)是C8故選：C．4(★★★)(x+ax)(2x?1A．a(chǎn)=1 B．展開式中含x6項的系數(shù)是－32C．展開式中含x－1項 D．展開式中常數(shù)項為40【答案】AD【解析】令x＝1則有1+a＝2，得a＝1，故二項式為（x+1x）（2x?1（2x?1x）5通項公式為（﹣1）r25﹣rC5rx5﹣2r，（x+1x）（2x?1x）5的展開式中含x6項系數(shù)為（2x?1x）5通項展開式式中令5﹣2r＝5解得r＝0，所以（2x?1x）5通項展開式式中x5項系數(shù)（﹣1）025C5令5﹣2r＝7解得r＝﹣1，不合題意，∴展開式中含x6項的系數(shù)是32，（x+1x）（2x?1x）5的展開式中含x﹣1項系數(shù)為（2x?1x令5﹣2r＝﹣2，解得r=7令5﹣2r＝0，解得r=5則展開式不含x﹣1項，（x+1x）（2x?1x）5的展開式中含常數(shù)項為（2x?1x）5令5﹣2r＝﹣1，解得r＝3，令5﹣2r＝1，解得r＝2，所以其常數(shù)項為﹣22×C53+23C52＝40．故選：AD．【題型三】多項式展開式【典題1】x2－4x+1xA．840 B．－600 C．480 D．－360【解析】x2－4x+1對于(?4x+1x)r，它展開式通項為Cr(特別注意r、多項式展開式中x的冪指數(shù)為10－2r+r－2k=10－r－2k，求x2的系數(shù)，則令10－r－2k=2可得k=0r=8>5(舍去)，k=1r=6>5(舍去)，k=2r=4，k=3(利用r、所以只有k=2r=4故展開式中x2項的系數(shù)為C故選：C．【點撥】①多項式展開式，可轉化為二項式展開式，本題把?4x+1x看成“一項”，其實也可以把“②本題利用了二次展開式，得到最后變量x的指數(shù)10－r－2k，此時要特別注意r、k的限制范圍.鞏固練習1(★★)在(1?x+1x2021A．2021 B．28 C．－28 D．－56【答案】B【解析】由于(1?x+1x2021)故有2個因式取x，其余的因式都取1，即可得到含x2的項，故x2的系數(shù)C8故選：B．2(★★)x+y－z6的展開式中xy2【答案】－60【解析】(x+y－z)6表示6個因式(x+y－z)的乘積，故其中有一個因式取x，其中2個因式取y，其余的因式都?。瓃，即可得到展開式中xy2z3的項，故該項的系數(shù)為C61?C52?故答案為：－60．3(★★)已知等差數(shù)列{an}的第5項是x?1【答案】－40【解析】∵(x?1x+2y)6表示6個因式(x?故當有3個因式取x，其余的3個因式取?1x時，可得它的常數(shù)項為?C63?等差數(shù)列{an}的第5項是(x?1x+2y)6展開式中的常數(shù)項，則a2+a8=2a【題型四】系數(shù)問題【典題1】已知1－x2A．a(chǎn)0=0 C．a(chǎn)1+a【解析】對于A，令x=－1，則a0=0，對于B，令t=x+1?x=t－1，則已知等式變成2t－t∵t+14展開式通項為C4rt對于C，令t=1，得a0令t=?1，得a∴a1+a3對于D，令t=?1，得a又∵a0=0，∴故選：ACD．【點撥】①對于類似系數(shù)問題，常令x=0,x=1,x=?1或根據(jù)等式結構取其他特殊值，這樣往往能夠得到展開式中某些系數(shù)的關系，這個要多嘗試；②題目中等式右邊(它是以x+1展開的)，不是我們熟悉的按x來展開，那可以用換元法，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題是求解數(shù)學題的常用思考模式.【典題2】若1+x+1+x2A．n=6 B．1+2xn展開式中二項式系數(shù)和為C．(1+x)+1+x2D．a(chǎn)【解析】對于A，∵1+x∴較易得到a0令x=1，可得2+2?21?2對于B，1+2xn展開式中二項式系數(shù)和為2n=對于C，(1+x)+1+x2+…+故C正確；對于D，∵(1+x)+(1+x)兩邊求導得1+21+x令x=1得a1+2a故選：ACD．【點撥】對于D選項，a1+2a2+3a3鞏固練習1(★★)[多選題]已知2+x1－2xA．a(chǎn)0的值為2B．a(chǎn)5的值為C．a(chǎn)1+a2+a3【答案】ABC【解析】∵已知(2+x)(1?2x)令等式中的x=0，可得a0=2，故A正確．a(chǎn)5的值，即展開式中x5的系數(shù)，為2×(?2)5C5在所給的等式中，令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=－3①，又a0=2，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=－5，故C正確；在所給的等式中，令x=－1，得a0－a1+a2－a3+a4－a5+a6=243②，由①②得：a1+a3+a5=－123，D錯誤．故選：ABC．2(★★★)[多選題]已知x－210A．a(chǎn)0=1 B．C．a(chǎn)12+【答案】ACD【解析】∵（x﹣2）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+???+a10（x﹣1）10，令x＝1，得a0＝1，故A正確，令x＝2，得a0+a1+a2+…+a9+a10＝0，令x＝0，得a0﹣a1+a2+…﹣a9+a10＝210，所以a0+a2+a4+a6+a8+a10=0+210令x=32，得a0+a12+a∵（x﹣2）10＝[（x﹣1）﹣1]10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+???+a10（x﹣1）10，∴a6=C106?（﹣1）4故選：ACD．3(★★★)[多選題]已知2x－3x－2A．a(chǎn)1+aC．a(chǎn)12+a【答案】ACD【解析】∵(2x－3)(x－2)8=a0+a1(x－1)+a2(x－1)2+a3(x－1)3+…+a9(x－1)9，令x=1，得a0=－1，令x=2，得a0+a1+a2+…+a9=0，所以a1+a2+…+a9=1，故A正確；由(2x－3)(x－2)8=[2(x－1)－1][(x－1)－1]8，所以a5=2×C令x=3得(2×3所以a0+a12+a2設f(x)=(2x－3)(x－2)8=a0+a1(x－1)+a則f'(x)=2(x－2)8+8(2x－3)(x?令x=2，得a1+2a2+…+9a9=0，故D正確，故選：ACD．【題型五】其他應用【典題1】證明32n+2－8n－9能被64整除(n∈【證明】3=====64(∵8∴32n+2－8n－9【點撥】這是整除與余數(shù)的問題，由于證明中的除數(shù)是64，則要在32n+2－8n－9中盡量找到與其有關信息，沒直接信息與64有關，而32n+2【典題2】求0.9986的近似值，使誤差小于0.001【解析】0.998=≈1+6?=0.988．【點撥】這是求近似值，由于0.998接近1，則由0.9986【典題3】求證：Cn【證明】設Sn=把①式右邊倒轉過來得Sn又由Cnm=C①+②得2S∴S即Cn原等式得證．【點撥】這是證明“左式=右式”的題型，方法很多，①直接把左式化簡得到右式，本題就是這樣，它借鑒了數(shù)列中的“倒序相加法”，主要是留意到組合數(shù)的性質(zhì)Cn②左式，右式同步化簡，化簡為同一結果，則左式=右式；③數(shù)學歸納法對于與正整數(shù)n有關的等式或不等式均較為友好.【典題4】用二項式定理證明：2n【證明】∵n≥5，∴n－2≥3，由二項式定理可得2=1+n－2∵2當n≥5時，n－32∴n≥5時，2n【點撥】不等式的證明常用的方法有放縮法，而二項式的展開式是放縮法中的一種方式，展開式中有多項，那可有選擇的把“影響大的項”留下，去除“影響小的項”，從而達到放縮的目的，留“幾項”就看放縮的要求了，在求近似值也是類似的方法.鞏固練習1(★★)若n是正奇數(shù)，則7n+CA．2 B．5 C．7 D．8【答案】C【解析】∵n是正奇數(shù)，則7====9∴它被9除的余數(shù)為?Cnn?1=－2，即它被故選：C．2(★★)用二項式定理證明：1110－1能被【證明】1110－1=(10+1)10－1=(1010+C101?109+?+C109?10+1)－1