概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)課件7.1點估計

點估計

區(qū)間估計

估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)第七章參數(shù)估計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七章、參數(shù)估計正態(tài)總體的區(qū)間估計非正態(tài)總體的區(qū)間估計舉例單側(cè)置信區(qū)間§7.1

點估計一、基本概念在實際問題中，我們往往知道某個總體服從某個分布，但其中參數(shù)未知，即已知總體，其中是總體中的未知參數(shù)，則根據(jù)樣本來對總體的這些未知參數(shù)進(jìn)行估計。概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計所謂點估計，就是由樣本構(gòu)造統(tǒng)計量，來對未知參數(shù)進(jìn)行估計。稱為的估計量；當(dāng)具體抽樣為樣本觀測值時,稱為的估計值。概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計點估計的關(guān)鍵就是如何選取估計量二、矩估計1.矩估計的基本思想我們知道，總體分布中的參數(shù)均可由其它的相應(yīng)矩表示。因而對總體未知參數(shù)的估計可以根據(jù)總體矩的估計來求得。由大數(shù)定律可知，當(dāng)樣本容量n趨于無窮大時，樣本矩依概率收斂于總體矩。也就是說，當(dāng)樣本容量n充分大時，k階樣本矩與總體k階矩的差異相差不是很大，因此用樣本矩作為總體相應(yīng)矩的估計。概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計2.矩估計方法

設(shè)總體，其中是總體中的未知參數(shù)，若總體X的前m階矩存在，且它們是未知參數(shù)的函數(shù)，即如果是來自總體X的樣本，將前m

階樣本矩

矩估計量，即令作為總體由此解得，稱為矩估計

量概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計例1

設(shè)是來自總體X的樣本，求總體X的數(shù)學(xué)期望和方差的矩估計量。例2

設(shè)是來自二項總體X的樣本，p的矩估計量?？傮w，m已知，求未知參數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計例3燈泡廠某天從一批20瓦燈泡中抽取9只進(jìn)行壽命檢驗，得到下列數(shù)據(jù)：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1200，1200，試估計該日生產(chǎn)的整批燈泡的平均壽命及壽命分布的均方差。概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計三、極大似然估計法例4

袋中有黑色、白色顏色球兩種，不知是白球多還是黑球多，但知道兩種球數(shù)的比例3：1，現(xiàn)連續(xù)抽取3個球（重復(fù)抽?。┌l(fā)現(xiàn)全是黑球，問袋中是白球多還是黑球多？“概率大的事件最可能出現(xiàn)”。極大似然估計法就是根據(jù)這一原理(極大似然原理)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計記作，稱為樣本的似然函數(shù)。設(shè)總體，其中X的樣本。若隨機(jī)變量X為離散型的，其分布律是總體中的未知參數(shù)，來自總體的聯(lián)合分布律為：為：,則樣本

，即概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計1.似然函數(shù)記作，稱為樣本的似然函數(shù)。設(shè)總體，其中是總體中的未知參數(shù)，來自總體X的樣本。若隨機(jī)變量X為連續(xù)型的，其密度的聯(lián)合密度函數(shù)為：函數(shù)為：,則樣本，即概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計2.極大似然原理

似然函數(shù)描述了樣本取觀測值的可能性，由于L是（其中）的函數(shù)，所以這一可能性同的總體，因而L的大小描述了已出現(xiàn)的樣本來自不同總體的可能性的大小。最大可能來自參數(shù)為的那個總體。由于已經(jīng)出現(xiàn)了，所以用作為的估計量比較合理。是隨著的取值而變化的，不同的表示不若當(dāng)取時，L達(dá)到最大值，說明樣本概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計3.極大似然估計法

定義1

如果似然函數(shù)在處取得最大值，則稱分別為的極大似然估計值，其中；若，則稱為的極大似然估計量。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計例5

求0-1分布中參數(shù)p的極大似然估計量。例6

設(shè)是來自正態(tài)總體的一個樣本觀測值，其中未知，求的極大似然估計量。例7

設(shè)是來自總體X的樣本，X服從上的均勻分布，是未知數(shù)，求的極大似然估計。概率論與數(shù)理統(tǒng)計§7.1點估計§7.1.3

估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計

估計量評選標(biāo)準(zhǔn)

我們知道，對總體的未知參數(shù)

進(jìn)行估計，可用不同的方法構(gòu)造不同的估

估計最好？為此，我們給出評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)。

計量。到底那一種估計量作為未知參數(shù)的、無偏性

定義1

設(shè)是總體分布中未

是真值的無偏估計量。

知參數(shù)的估計量，如果，稱定理1

設(shè)是來自總體X的樣本，總體數(shù)學(xué)期望的無偏估計量，樣本方差

是總體方差的無偏估計量。且，則樣本均值是概率論與數(shù)理統(tǒng)計

估計量評選標(biāo)準(zhǔn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計

估計量評選標(biāo)準(zhǔn)例1

設(shè)是來自總體X的樣本，作為總體數(shù)學(xué)期望的估計有：其中，且試證明都是的無偏估計量。例2

設(shè)總體X服從均勻分布，其密度函數(shù)為是來自總體X的樣本，試問：和是否為的無偏估計？概率論與數(shù)理統(tǒng)計

估計量評選標(biāo)準(zhǔn)二、有效性定義2

設(shè)是未知參數(shù)的兩個無偏估計則稱比有效。量，即，若例3

設(shè)是來自總體X的樣本，且，若，則比更有效。概率論與數(shù)理統(tǒng)計

估計量評選標(biāo)準(zhǔn)三、相合性定義3

設(shè)是總體分布中未知收斂于，即對于，有稱是參數(shù)的相合估計量（或稱一致估參數(shù)的估計量，當(dāng)n充分大時，依概率計量）。概率論與數(shù)理統(tǒng)計

估計量評選標(biāo)準(zhǔn)