重難點03二次函數(shù)綜合（7種題型）（原卷版）

重難點03二次函數(shù)綜合（7種題型）能力拓展能力拓展題型一：特殊三角形問題1．（2021·上海市洛川學(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為的拋物線經(jīng)過點、，與軸交于點，對稱軸為直線．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求的面積．2．（2020·上?！ざ＃┤鐖D，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，點A的橫坐標(biāo)為﹣1，過點C（0，3）的直線y=﹣x+3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0＜t＜1．（1）確定b，c的值；（2）寫出點B，Q，P的坐標(biāo)（其中Q，P用含t的式子表示）；（3）依點P的變化，是否存在t的值，使△PQB為等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．3．（2022·上海市奉賢區(qū)匯賢中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸上的B、C兩點，設(shè)該拋物線與x軸的另一個交點為點A，頂點為點D，連接CD交x軸于點E．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點D的坐標(biāo)；（2）求∠DCB的正切值；（3）如果點F在y軸上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求點F的坐標(biāo)．4．（2022·上海虹口·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點為，連接交拋物線的對稱軸于點．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)連接、，點是射線上的一點，如果，求點的坐標(biāo)；(3)點是線段上的一點，點是對稱軸右側(cè)拋物線上的一點，如果是以為腰的等腰直角三角形，求點的坐標(biāo)．5．（2022·上海普陀·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點、，與y軸交于點C，頂點為D．(1)求拋物線的表達(dá)式和點D的坐標(biāo)；(2)點E是第一象限內(nèi)拋物線的一個動點，其橫坐標(biāo)為m，直線交y軸于點F．①用m的代數(shù)式表示直線的截距；②在的面積與的面積相等的條件下探究：在y軸右側(cè)存在這樣一條直線，滿足：以該直線上的任意一點及點C、F三點為頂點的三角形的面積都等于面積，試用規(guī)范、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)符合條件的直線．題型二：面積問題1．（2021·上海寶山·三模）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限內(nèi)，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx的圖象經(jīng)過點A，頂點為點C．（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點C的坐標(biāo)；（2）設(shè)這個二次函數(shù)圖象的對稱軸l與OB相交于點D，與x軸相交于點E，求的值；（3）設(shè)P是這個二次函數(shù)圖象的對稱軸l上一點，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點P的坐標(biāo)．2．（2020·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點A（4，﹣1），B（1，2）（1）求拋物線的表達(dá)式及對稱軸；（2）該拋物線對稱軸與拋物線交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積．3．（2021·上海市奉賢區(qū)實驗中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3與x軸和y軸分別交于A、B兩點，拋物線的頂點為C（c，4），聯(lián)結(jié)AB、AC、BC．（1）求這條拋物線的表達(dá)式和c的值；（2）求△ABC的面積；（3）在y軸上找一個點M（點M不與點B重合），使得∠AMC＝90°，并將△AMC沿直線AC翻折，得到△ANC，求點N的坐標(biāo)．4．（2022·上海金山區(qū)世界外國語學(xué)校一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知點，點與點關(guān)于軸對稱．拋物線經(jīng)過原點，且頂點為，將該拋物線與x軸的另外一個交點記為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如果點在拋物線上，且，求點的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得拋物線上的任意一點到點的距離都等于點到直線的距離？如果存在，試求點的坐標(biāo)；如果不存在，請簡述理由．5．（2022·上海松江·九年級期末）如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)直線x＝t與該拋物線交于點C，與線段AB交于點D（點D與點A、B不重合），與x軸交于點E，聯(lián)結(jié)AC、BC．①當(dāng)＝時，求t的值；②當(dāng)CD平分∠ACB時，求ABC的面積．6．（2022·上?！ひ荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點為M的拋物線經(jīng)過點B（3，1）、C（﹣2，6），與y軸交于點A，對稱軸為直線x＝1．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求△ABM的面積；(3)點P是拋物線上一點，且∠PMB＝∠ABM，試直接寫出點P的坐標(biāo)．7．（2022·上?！の挥袑W(xué)模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4ax+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），且AB＝2，拋物線與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)求∠ACB的正切值；(3)若點D在拋物線上，且S△BCD＝3，請直接寫出所有滿足條件的點D坐標(biāo)．8．（2022·上?！じ裰轮袑W(xué)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點、兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，對稱軸與軸交于點，直線經(jīng)過點，交拋物線的對稱軸于點.(1)求的面積；(2)聯(lián)結(jié)，交軸于點，聯(lián)結(jié)，若，求拋物線的表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，點是直線上一點，且，求點的坐標(biāo).9．（2021·上海市新涇中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線（）經(jīng)過點，與軸的負(fù)半軸交于點，與軸交于點，且，拋物線的頂點為．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)、、、AB，求四邊形的面積；（3）如果點E在軸的正半軸上，且，求點E的坐標(biāo)．10．（2022·上海市婁山中學(xué)九年級期中）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（2，0）．與點C（0，4）．與x軸的正半軸交于點B．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如果D是拋物線上一點，AD與線段BC相交于點E，且AD將四邊形ABDC分成面積相等的兩部分，求的值；(3)如果P是x軸上一點，∠PCB=∠ACO，求∠PCO的正切值．題型三：線段周長問題1．（2022·上?！ぞ拍昙墕卧獪y試）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點A的坐標(biāo)為，是拋物線上一點（點與點、、都不重合）．(1)求拋物線解析式；(2)求點B的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線PB與直線AC相交于點M，且存在這樣的點P，使得，試確定點的橫坐標(biāo)．2．（2022·上海金山區(qū)世界外國語學(xué)校一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知點，點與點關(guān)于軸對稱．拋物線經(jīng)過原點，且頂點為，將該拋物線與x軸的另外一個交點記為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如果點在拋物線上，且，求點的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得拋物線上的任意一點到點的距離都等于點到直線的距離？如果存在，試求點的坐標(biāo)；如果不存在，請簡述理由．3．（2021·上海市民辦上寶中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點C，P是直線AB下方拋物線上的一個動點．過點P作PD⊥AB，垂足為D，PEx軸，交直線AB于點E．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，在拋物線上有一點F，使得∠CBF＝∠OAC，求點F的坐標(biāo)；(3)如圖2，當(dāng)△PDE的周長為+8時，求點P的坐標(biāo)．4．（2022·上海閔行·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點，，與y軸交于點C.將拋物線的對稱軸沿x軸的正方向平移，平移后交x軸于點D，交線段于點E，交拋物線于點F，過點F作直線的垂線，垂足為點G.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)以點G為圓心，為半徑畫；以點E為圓心，為半徑畫.當(dāng)與內(nèi)切時.①試證明與的數(shù)量關(guān)系；②求點F的坐標(biāo).題型四：角度問題1．（2021·上海市民辦新北郊初級中學(xué)九年級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2＋2mx＋3m2（m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為點D．(1)點B的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為；（用含有m的代數(shù)式表示）(2)連接CD，BC．①若CB平分∠OCD，求二次函數(shù)的表達(dá)式；②連接AC，若CB平分∠ACD，求二次函數(shù)的表達(dá)式．2．（2022·上海虹口·九年級期中）如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y=x﹣5經(jīng)過點B，C．（1）求拋物線的解析式；（2）過點A的直線交直線BC于點M．①當(dāng)AM⊥BC時，過拋物線上一動點P（不與點B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點Q，若以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標(biāo)；②連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時，請直接寫出點M的坐標(biāo)．3．（2021·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、、，拋物線經(jīng)過、兩點．（1）當(dāng)該拋物線經(jīng)過點時，求該拋物線的表達(dá)式；（2）在（1）題的條件下，點為該拋物線上一點，且位于第三象限，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；（3）如果拋物線的頂點位于內(nèi)，求的取值范圍．4．（2021·上海市實驗學(xué)校二模）已知直線交x軸于點A，交y軸于點C（0,4），拋物線經(jīng)過點A，交y軸于點B（0，2），點P為拋物線上一個動點，設(shè)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，聯(lián)結(jié)PB．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；（3）將△BDP繞點B旋轉(zhuǎn)得到△且旋轉(zhuǎn)角∠PB=∠OAC，當(dāng)點P對應(yīng)點落在y軸上時，求點P的坐標(biāo)．5．（2022·上?！ざ＃佄锞€，與x軸交于點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，頂點為D．（1）求拋物線的表達(dá)式和點D的坐標(biāo)；（2）∠ACB與∠ABD是否相等？請證明你的結(jié)論；（3）點P在拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點P的坐標(biāo)．題型五：特殊四邊形問題一、解答題1．（2021·上海寶山·九年級期末）已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過A(4，0)，B(﹣1，3)兩點，拋物線的對稱軸與x軸交于點C，點D與點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接BC、BD．(1)求該拋物線的表達(dá)式以及對稱軸；(2)點E在線段BC上，當(dāng)∠CED＝∠OBD時，求點E的坐標(biāo)；(3)點M在對稱軸上，點N在拋物線上，當(dāng)以點O、A、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求這個平行四邊形的面積．2．（2022·上海崇明·九年級期末）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A(4，0)，與y軸交于點B(0，3)，點M(m，0)為線段OA上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．(1)求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；(2)如果以點P、N、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，求m的值；(3)如果以B、P、N為頂點的三角形與△ABO相似，求點M的坐標(biāo)．3．（2021·上海徐匯·二模）如圖，已知拋物線y＝x2+m與y軸交于點C，直線y＝﹣x+4與y軸和x軸分別交于點A和點B，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，設(shè)點E在x軸上，以CD為對角線作?CEDF．（1）當(dāng)點C在∠ABO的平分線上時，求上述拋物線的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，如果?CEDF的頂點F正好落在y軸上，求點F的坐標(biāo)；（3）如果點E是BO的中點，且?CEDF是菱形，求m的值．4．（2022·上海徐匯·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A和點B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且AB＝4．(1)求這個函數(shù)的解析式，并直接寫出頂點D的坐標(biāo)；(2)點E是二次函數(shù)圖像上一個動點，作直線軸交拋物線于點F（點E在點F的左側(cè)），點D關(guān)于直線EF的對稱點為G，如果四邊形DEGF是正方形，求點E的坐標(biāo)；(3)若射線AC與射線BD相交于點H，求∠AHB的大?。?．（2022·上海市奉賢區(qū)華亭學(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸相交點A（1，0）和點B（3，0），與y軸相交于點C，拋物線的頂點為點D，對稱軸交x軸于點E，點Q為線段DE上一點，聯(lián)結(jié)AC．(1)求這條拋物線的表達(dá)式及對稱軸；(2)當(dāng)∠ACO=∠QOE時，求的值；(3)當(dāng)∠ACO=∠QOC時，判斷四邊形ACQO的形狀；(4)（附加題）當(dāng)∠ACO=∠AQE時，求∠BQE的余切值；(5)（附加題）當(dāng)∠ACO=∠CBQ時，判斷△BCQ的形狀．題型六：相似三角形問題一、解答題1．（2022·上海靜安·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點A（2，0）和點，頂點為點D．(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)求tan∠ABD的值；(3)設(shè)線段BD與軸交于點P，如果點C在軸上，且與相似，求點C的坐標(biāo)．2．（2022·上海徐匯·九年級期末）如圖，拋物線與x軸相交于點A，與y軸交于點B，C為線段OA上的一個動點，過點C作x軸的垂線，交直線AB于點D，交該拋物線于點E．(1)求直線AB的表達(dá)式，直接寫出頂點M的坐標(biāo)；(2)當(dāng)以B，E，D為頂點的三角形與相似時，求點C的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，求與的面積之比．3．（2022·上海嘉定·九年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點、兩點在直線上，如圖．二次函數(shù)的圖像也經(jīng)過點、兩點，并與軸相交于點，如果軸，點的橫坐標(biāo)是．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)這個二次函數(shù)圖像的對稱軸與交于點，點在軸的負(fù)半軸上，如果以點、、所組成的三角形與相似，且相似比不為，求點的坐標(biāo)；(3)設(shè)這個二次函數(shù)圖像的頂點是，求的值．4．（2021·上海市文來中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點，，且與y軸交于點A．(1)求拋物線的表達(dá)式及點A的坐標(biāo)；(2)點P是y軸右側(cè)拋物線上的一點，過點P作，交線段OA的延長線于點Q，如果，求證：；(3)若點F是線段AB（不包含端點）上的一點，且點F關(guān)于AC的對稱點恰好在上述拋物線上，求直線的解析式．5．（2022·上海理工大學(xué)附屬初級中學(xué)一模）已知矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標(biāo)分別為，，直線與邊BC相交于點D．(1)求點D的坐標(biāo)；(2)若拋物線經(jīng)過A、D兩點，試確定此拋物線的解析式；(3)在（2）中的拋物線的對稱軸與直線AD交于點M，點P在對稱軸上，且△PAM與△ABD相似，求點P的坐標(biāo)．6．（2022·上海青浦·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．(1)求該拋物線的表達(dá)式及點C的坐標(biāo)；(2)聯(lián)結(jié)BC、BD，求∠CBD的正切值；(3)若點P為x軸上一點，當(dāng)△BDP與△ABC相似時，求點P的坐標(biāo)．7．（2022·上海市羅山中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點為M的拋物線經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B，AO=OB=2，∠AOB=1200．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）連接OM，求∠AOM的大??；（3）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標(biāo)．8．（2022·上海崇明·二模）如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標(biāo)為，對稱軸為直線．點M為線段OB上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交直線BC于點F，交拋物線于點E．(1)求拋物的解析式；(2)當(dāng)以C、E、F為頂點的三角形與相似時，求線段EF的長度：(3)如果將沿直線CE翻折，點F恰好落在y軸上點N處，求點N的坐標(biāo)．9．（2022·上?！ず缈趯嶒瀸W(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于、兩點，拋物線經(jīng)過點和點，且其頂點為，點為拋物線與軸的另一個交點(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求的正切值；(3)點在拋物線上，若，求點的坐標(biāo)．(4)連接，延長交軸于點，點是直線上的動點，如果與是相似三角形，求點的坐標(biāo)．題型七：其他問題一、填空題1．（2022·上?！ぞ拍昙墕卧獪y試）若拋物線的頂點為，拋物線的頂點為B，且滿足頂點A在拋物線上，頂點B在拋物線上，則稱拋物線與拋物線互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，已知頂點為M的拋物線與頂點為N的拋物線互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，直線MN與軸正半軸交于點D，如果，那么頂點為N的拋物線的表達(dá)式為_________二、解答題2．（2022·上海松江·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸交于點A、與軸交于點，拋物線經(jīng)過點A、．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)是拋物線上一點，且位于直線上方，過點作軸、軸，分別交直線于點、．①當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；②連接交于點，當(dāng)點是的中點時，求的值．3．（2022·上海奉賢·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點A、B．拋物線經(jīng)過點A、B頂點為C．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)將拋物線沿y軸向上平移，平移后所得新拋物線頂點為D，如果，求平移的距離；(3)設(shè)拋物線上點M的橫坐標(biāo)為m，將拋物線向左平移3個單位，如果點M的對應(yīng)點Q落在內(nèi)，求m的取值范圍．4．（2022·上海民辦永昌學(xué)校九年級期中）已知：拋物線經(jīng)過，,．(1)求：拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線的頂點為P，把翻折，使點P落在線段AB上（不與A、B重合），記作，折痕為EF，設(shè)，，求y關(guān)于x的函