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第08講一元二次方程求根公式及解方程綜合【知識(shí)梳理】一:一元二次方程求根公式公式引入一元二次方程(),可用配方法進(jìn)行求解:得:.對(duì)上面這個(gè)方程進(jìn)行討論:因?yàn)椋援?dāng)時(shí),利用開(kāi)平方法,得:, 即:當(dāng)時(shí),這時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等,所以原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.求根公式一元二次方程(),當(dāng)時(shí),有兩個(gè)實(shí)數(shù)根:,這就是一元二次方程()的求根公式.用公式法解一元二次方程一般步驟把一元二次方程化成一般形式();確定a、b、c的值;求出的值(或代數(shù)式);若,則把a(bǔ)、b、c及的值代入求根公式,求出、;若,則方程無(wú)解.二:一元二次方程解法綜合開(kāi)平方法:形如及的一元二次方程,移項(xiàng)后直接開(kāi)平方法解方程.因式分解法:通過(guò)因式分解,把一元二次方程化成兩個(gè)一次因式的積等于零的形式,從而把解一元二次方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題,即:若,則或.配方法:通過(guò)添項(xiàng)或拆項(xiàng),把方程左邊配成完全平方式,剩余的常數(shù)項(xiàng)全部移到方程右邊,再通過(guò)開(kāi)平方法求出方程的解即:,再用開(kāi)平方法求解.公式法:用求根公式解一元二次方程一元二次方程,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)實(shí)數(shù)根:【考點(diǎn)剖析】題型一:一元二次方程求根公式例1.求下列方程中的值:(1); (2);(3); (4).【答案】(1)4;(2)17;(3)236;(4)38.【解析】(1),則;,則;方程可化為一般形式為:,,則;,則.【總結(jié)】本題主要考查根的判別式的概念及其計(jì)算.【變式1】用公式法解下列方程:(1); (2).【答案】(1);(2).【解析】(1),則,則,∴;(2),則,則,∴.【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用.【變式2】用公式法解下列方程:(1); (2).【答案】(1);(2).【解析】(1),則,則,∴;(2),則,則,∴.【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用.【變式3】用公式法解下列方程:(1); (2).【答案】(1);(2).【解析】(1)方程可化為:,,則, 則,∴;(2)方程可化為:,則.【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用,(2)也可以用直接開(kāi)平方法求解.【變式4】用公式法解下列方程:(1); (2).【答案】(1);(2).【解析】(1)方程可化為,,則,則 ,∴兩邊同時(shí)乘以10,方程可化為,,則, 則,∴.【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用,(2)也可以用因式分解法求解.【變式5】用公式法解下列方程:(1); (2).【答案】(1);(2).【解析】(1),則,則, ∴原方程的解為:;,則,則, ∴原方程的解為:.【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用.【變式6】用公式法解方程:.【答案】.【解析】,則,所以,∴原方程的解為:.【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用.【變式7】當(dāng)x為何值時(shí),多項(xiàng)式與的值相等?【答案】8或5.【解析】由題意,可得:,整理得:, 因式分解可得:,則. ∴當(dāng)x為8或5時(shí),多項(xiàng)式與的值相等.【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程在多項(xiàng)式的值相等時(shí)求所含字母的取值中的運(yùn)用.題型二:一元二次方程解法綜合例2.口答下列方程的根:;;;.【答案】(1);(2);(3);(4).【解析】形如的方程的兩個(gè)解分別為.【總結(jié)】本題主要考查兩個(gè)因式的乘積為零時(shí),則每一個(gè)因式都為零的應(yīng)用.【變式1】用開(kāi)平方法解下列方程:(1); (2).【答案】(1);(2).【解析】(1)則,開(kāi)平方得:, ∴原方程的解為:; (2),開(kāi)平方得:或, ∴原方程的解為:.【總結(jié)】本題主要考查利用直接開(kāi)平方法解一元二次方程.【變式2】用因式分解法解下列方程:(1); (2).【答案】(1);(2).【解析】(1),提取公因式可得:, ∴原方程的解為:; (2),提取公因式可得:, ∴原方程的解為:.【總結(jié)】本題主要考查利用提取公因式法求一元二次方程的解.【變式3】用因式分解法解下列方程:(1); (2);(3); (4).【答案】(1);(2);(3);(4).【解析】(1)對(duì)原方程十字相乘分解可得:,∴原方程的解為:; (2)對(duì)原方程整理得:,十字相乘分解可得:, ∴原方程的解為:; (3),整理得:,十字相乘分解可得:, ∴原方程的解為:; (4),提取公因式可得:, 整理得:,∴原方程的解為:.【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解法求一元二次方程的解,注意(3)和(4)化成一般形式再分解.【變式4】用配方法解下列方程: (1); (2).【答案】(1);(2),.【解析】(1),整理得:,配方得:, ∴原方程的解為:; (2),配方得:, ∴原方程的解為:,.【總結(jié)】本題主要考查利用配方法求一元二次方程的解,注意配方時(shí)方程兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.【變式5】用配方法解下列關(guān)于x的方程: (1); (2)().【解析】(1),則,配方得: 當(dāng)時(shí),, ; 當(dāng)時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根; (2)(),則,整理得:, 配方可得:, 當(dāng)時(shí),,, 當(dāng)時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根.【總結(jié)】本題主要考查利用配方法求一元二次方程的解,注意配方時(shí)方程兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,另此題系數(shù)中含有字母,要注意分類(lèi)討論.【變式6】用公式法解下列方程: (1); (2).【答案】(1)方程無(wú)解;(2)方程無(wú)解.【解析】(1)因?yàn)?,則,所以原方程無(wú)解; (2)整理可得:,則,所以原方程無(wú)解.【總結(jié)】本題主要考查對(duì)求根公式的理解及運(yùn)用.【變式7】用公式法解下列方程: (1); (2); (3).【答案】(1),; (2),; (3),.【解析】(1)∵,∴,∴, ∴原方程的解為:,;整理可得:,,則,, ∴原方程的解為:,;(3)整理可得:,,則,, ∴原方程的解為:,.【總結(jié)】本題主要考查利用公式法求解一元二次方程的根.【變式8】用公式法解下列關(guān)于x的方程: (1); (2).【解析】(1)∵,∴當(dāng)時(shí),,; 當(dāng)時(shí),原方程無(wú)實(shí)數(shù)根;原方程可化為:,∵, ∴原方程的解為:,.【總結(jié)】本題主要考查利用公式法求解一元二次方程的根,注意分類(lèi)討論.【變式9】用適當(dāng)方法解下列方程: (1); (2); (3); (4); (5); (6).【答案】(1),;(2),;(3),;(4),;(5),;(6),.【解析】(1)直接開(kāi)平方可得:,∴原方程的解為:,; (2)化簡(jiǎn)得:,十字相乘分解可得:, ∴原方程的解為:,; (3),平方差因式分解得:, 整理得:,∴ 原方程的解為:,; (4),提取公因式可得:, 整理得:,∴原方程的解為:,; (5)∵方程,, ∴原方程的解為:,; (6),整理可得, 十字相乘分解得:, ∴原方程的解為:,.【總結(jié)】本題主要考查利用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庖辉畏匠?,解題時(shí)注意對(duì)方法的合理選擇.【變式10】用因式分解法和公式法2種方法解方程:.【答案】,.【解析】方程可整理成:, 十字相乘分解可得:, ∴原方程的解為:,; 公式法:,∴, ∴原方程的解為:,.【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解和公式法求解一元二次法的解.【變式11】如果對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù),定義:.試解方程:.【答案】.【解析】由題意可得:,利用完全平方公式可得:.【總結(jié)】本題主要考查對(duì)新定義的理解和運(yùn)用.【變式12】.已知,求代數(shù)式的值.【答案】1.【解析】 , ∵,∴, ∴原式.【總結(jié)】本題主要考查代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值,不要去解方程,而是用整體代入思想求值.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一.選擇題(共6小題)1.(2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末)方程(x+1)(x﹣3)=5的解是()A.x1=1,x2=﹣3 B.x1=4,x2=﹣2 C.x1=﹣1,x2=3 D.x1=﹣4,x2=2【分析】首先把方程化為一般形式,利用公式法即可求解.【解答】解:(x+1)(x﹣3)=5,x2﹣2x﹣3﹣5=0,x2﹣2x﹣8=0,化為(x﹣4)(x+2)=0,∴x1=4,x2=﹣2.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法.本題運(yùn)用的是公式法.2.(2023春?浦東新區(qū)期末)方程2x2﹣2=0的解是()A.x=﹣1 B.x=0 C.x=1 D.x=±1.【分析】首先把已知方程變形為x2=1,再根據(jù)直接開(kāi)平方即可得到原方程的解.【解答】解:2x2﹣2=0,2x2=2,x2=1,解得x=±1.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法,形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程.3.(2022春?上海期中)下列關(guān)于x的方程一定有實(shí)數(shù)根的是()A.a(chǎn)x+1=0 B.a(chǎn)x2+1=0 C.x+a=0 D.x2+a=0【分析】分類(lèi)討論a的范圍確定出各方程的解,確定出一定有實(shí)數(shù)根的即可.【解答】解:A、方程ax+1=0,整理得:ax=﹣1,當(dāng)a=0時(shí),方程無(wú)解;當(dāng)a≠0時(shí),方程解為x=﹣,不符合題意;B、方程ax2+1=0,整理得:ax2=﹣1,當(dāng)a=0時(shí),方程無(wú)解;當(dāng)a>0時(shí),方程無(wú)解;當(dāng)a<0時(shí),方程的解為x=±,不符合題意;C、方程x+a=0,解得:x=﹣a,符合題意;D、方程x2+a=0,整理得:x2=﹣a,當(dāng)a≤0,即﹣a≥0時(shí),方程解為x=±;當(dāng)a>0時(shí),方程無(wú)解,不符合題意.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法,以及解一元一次方程,熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵.4.(2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期末)用配方法解方程x2+5x+2=0時(shí),下列變形正確的是()A. B. C. D.【分析】把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊,等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,即可得出選項(xiàng).【解答】解:x2+5x+2=0,x2+5x=﹣2,x2+5x+=﹣2+,(x+)2=,故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程,能正確配方是解此題的關(guān)鍵.5.(2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中)要使方程ax2+b=0有實(shí)數(shù)根,則條件是()A.a(chǎn)≠0,b>0 B.a(chǎn)≠0,b<0 C.a(chǎn)≠0,a,b異號(hào)或b=0 D.a(chǎn)≠0,b≤0【分析】由于ax2+b=0可以變?yōu)閍x2=﹣b,若方程有解,那么a≠0,并且ab≤0,由此即可確定方程ax2+b=0有實(shí)數(shù)根的條件.【解答】解:∵ax2+b=0,∴ax2=﹣b,若方程有解,∴a≠0,并且ab≤0,∴a≠0,a,b異號(hào)或b=0.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】此題這樣考查了方程是否有解的問(wèn)題,結(jié)合方程的形式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.6.(2020秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考)若方程(2016x)2﹣2015?2017x﹣1=0較大的根為m,方程x2+2015x﹣2016=0較小的根為n,則m﹣n=()A.2016 B.2017 C. D.【分析】先用分組分解法因式分解求出第一個(gè)方程的兩個(gè)根,確定m的值;再用十字相乘法因式分解求出第二個(gè)方程的兩個(gè)根,確定n的值,然后代入即可求出代數(shù)式的值.【解答】解:∵(2016x)2﹣2015?2017x﹣1=0,∴(2016x)2﹣(2016﹣1)(2016+1)x﹣1=0,(2016x)2﹣20162x+x﹣1=0,20162x(x﹣1)+(x﹣1)=0(x﹣1)(20162x+1)=0,∴x1=1,x2=﹣,∴m=1,又∵x2+2015x﹣2016=0,∴(x﹣1)(x+2016)=0,故x1=1,x2=﹣2016,∴n=﹣2016,∴m﹣n=1﹣(﹣2016)=2017,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用因式分解法解一元二次方程.注意根據(jù)方程的特點(diǎn),靈活選取解法.二.填空題(共12小題)7.(2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末)方程x2=3的根是x1=,x2=﹣.【分析】把方程兩邊開(kāi)方即可.【解答】解:x2=3,x=±,所以x1=,x2=﹣.故答案為:x1=,x2=﹣.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法:形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程.8.(2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中)一元二次方程x2=2x的根是x1=0,x2=2.【分析】先移項(xiàng),再提公因式,使每一個(gè)因式為0,從而得出答案.【解答】解:移項(xiàng),得x2﹣2x=0,提公因式得,x(x﹣2)=0,x=0或x﹣2=0,∴x1=0,x2=2.故答案為:x1=0,x2=2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法:解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法.9.(2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中)方程(x﹣2)2=0的解是x1=x2=2.【分析】本題直接開(kāi)平方即可.【解答】解:(x﹣2)2=0∴x﹣2=0∴x1=x2=2.【點(diǎn)評(píng)】用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類(lèi)型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同號(hào)且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同號(hào)且a≠0).法則:要把方程化為“左平方,右常數(shù),先把系數(shù)化為1,再開(kāi)平方取正負(fù),分開(kāi)求得方程解”.10.(2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期中)方程x2﹣5x=4的根是x1=,x2=.【分析】先把給出的方程進(jìn)行整理,找出a,b,c的值,再代入求根公式進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解:∵x2﹣5x=4,∴x2﹣5x﹣4=0,∵a=1,b=﹣5,c=﹣4,∴x===,∴x1=,x2=.故答案為:x1=,x2=.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了公式法解一元二次方程,熟練掌握求根據(jù)公式x=是本題的關(guān)鍵.11.(2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期中)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足(x2+y2)(x2+y2﹣7)=8,那么x2+y2=8.【分析】設(shè)t=x2+y2(t≥0),則原方程轉(zhuǎn)化為t(t﹣7)=8,然后利用因式分解法解方程求得t的值即可.【解答】解:設(shè)t=x2+y2(t≥0),則:t(t﹣7)=8,整理,得(t﹣8)(t+1)=0.所以t=8或t=﹣1(舍去).所以x2+y2=8.故答案為:8.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了換元法解一元二次方程,換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,變得容易處理.12.(2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考)若m、n為實(shí)數(shù),且(m2+n2)(m2﹣1+n2)=30,則m2+n2=6.【分析】設(shè)t=m2+n2(t≥0),則原方程轉(zhuǎn)化為t(t﹣1)=30,然后利用因式分解法解方程求得t的值即可.【解答】解:設(shè)t=m2+n2(t≥0),則:t(t﹣1)=30.整理,得(t﹣6)(t+5)=0.解得t=6或t=﹣5(舍去).所以m2+n2=6.故答案為:6.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了換元法解一元二次方程,換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,變得容易處理.13.(2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考)把二次方程x2﹣2xy﹣8y2=0化成兩個(gè)一次方程,那么這兩個(gè)一次方程分別是x﹣4y=0和x+2y=0.【分析】把x2﹣2xy﹣8y2=0看作是關(guān)于x的一元二次方程,方程左邊進(jìn)行因式分解得到(x﹣4y)(x+2y)=0,于是得到兩個(gè)一次方程:x﹣4y=0或x+2y=0.【解答】解:∵x2﹣2xy﹣8y2=0,∴(x﹣4y)(x+2y)=0,∴x﹣4y=0或x+2y=0.故答案為x﹣4y=0;x+2y=0.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法:把一元二次方程變形為一般式,再把方程左邊進(jìn)行因式分解,然后把方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程,解這兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解.14.(2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期末)方程x(3x+2)﹣6(3x+2)=0的根是x1=6,x2=﹣.【分析】此題用因式分解法比較簡(jiǎn)單,先移項(xiàng),再提取公因式,可得方程因式分解的形式,即可求解.【解答】解:原方程移項(xiàng)得,x(3x+2)﹣6(3x+2)=0,∴(3x+2)(x﹣6)=0,解得x1=6,x2=﹣.故答案為:x1=6,x2=﹣.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程,根據(jù)方程的特點(diǎn),靈活選擇解方程的方法,一般能用因式分解法的要用因式分解法,難以用因式分解法的再用公式法.15.(2022?普陀區(qū)二模)如果關(guān)于x的方程(x﹣1)2=m沒(méi)有實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<0.【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根,即可解答.【解答】解:如果關(guān)于x的方程(x﹣1)2=m沒(méi)有實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是:m<0,故答案為:m<0.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法,熟練掌握負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根是解題的關(guān)鍵.16.(2021秋?寶山區(qū)期末)方程2(x﹣3)=x(x﹣3)的根為x1=3,x2=2.【分析】先移項(xiàng),然后對(duì)方程左邊因式分解,然后利用因式分解法解答即可.【解答】解:2(x﹣3)=x(x﹣3)移項(xiàng)得,2(x﹣3)﹣x(x﹣3)=0因式分解得,(x﹣3)(2﹣x)=0解得,x1=3,x2=2.故答案為:x1=3,x2=2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的方法,當(dāng)把方程通過(guò)移項(xiàng)把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時(shí),一般情況下是把左邊的式子因式分解,再利用積為0的式子的特點(diǎn)解出方程的根.17.(2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中)對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b,我們規(guī)定符號(hào)Max{a,b}表示a,b中的較大值,如:Max{2,4}=4,按照這個(gè)規(guī)定,方程Max{x,﹣x}=x2﹣2的解為+2或﹣2.【分析】分為兩種情況:①當(dāng)x>﹣x時(shí),得出方程x2﹣2=x,②當(dāng)﹣x>x時(shí),得出方程x2﹣2=﹣x,求出方程的解即可.【解答】解:分為兩種情況:①當(dāng)x>﹣x,即x>0時(shí),x2﹣2=x,解得:x1=2,x2=﹣1,x=﹣1舍去;②當(dāng)﹣x>x,即x<0時(shí),x2﹣2=﹣x,解得:x1=﹣2,x2=1,x=1舍去;所以方程Max{x,﹣x}=x2﹣2的解為2或﹣2,故答案為:2或﹣2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程,能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵.18.(2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中)方程x2+x﹣1=0的根是.【分析】此題考查了公式法解一元二次方程,解題時(shí)要注意將方程化為一般形式.【解答】解:∵a=1,b=1,c=﹣1∴b2﹣4ac=5>0∴x=﹣.【點(diǎn)評(píng)】解此題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用求根公式,要注意將方程化為一般形式,確定a、b、c的值.三.解答題(共12小題)19.(2023春?楊浦區(qū)期中)解關(guān)于x的方程:(k2﹣4)x2﹣(5k﹣2)x+6=0.【分析】先求出“△”的值,再代入公式求出即可.【解答】解:(k2﹣4)x2﹣(5k﹣2)x+6=0,分為兩種情況:①當(dāng)方程是一元二次方程時(shí),k2﹣4≠0,Δ=[﹣(5k﹣2)]2﹣4(k2﹣4)?6=(k﹣10)2,x=,x1=,x2=;②當(dāng)方程是一元一次方程時(shí),k2﹣4=0且﹣(5k﹣2)≠0,解得k=±2,當(dāng)k=2時(shí),方程為﹣8x+6=0,解得x=;當(dāng)k=﹣2時(shí),方程為12x+6=0,解得x=﹣.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程和解一元一次方程,掌握公式法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵.20.(2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末)解方程:y+=.【分析】先方程化為一般式為y2﹣2y﹣2=0,再計(jì)算出根的判別式的值,然后利用求根公式得到方程的解.【解答】解:方程化為一般式為y2﹣2y﹣2=0,a=1,b=﹣2,c=﹣2,Δ=(﹣2)2﹣4×1×(﹣2)=12>0,y===1±,所以y1=1+,y2=1﹣.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣公式法:熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.21.(2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期中)解方程:x2+3x=2【分析】將方程整理為一般形式,找出a,b及c的值,判斷b2﹣4ac的值是否大于0,若大于0,則x=,由此即可得到答案.【解答】解:x2+3x=2,x2+3x﹣2=0,∵a=,b=3,c=﹣2,∴b2﹣4ac=32﹣4××(﹣)=25>0,∴x=,∴=;=﹣.【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解,解題的關(guān)鍵是掌握利用公式法解方程的步驟,屬于中考常考題型.22.(2022秋?奉賢區(qū)期中)解方程:(x﹣2)(x+4)=1.【分析】先把原方程轉(zhuǎn)化為一般式方程,然后利用公式法求解即可.【解答】解:由原方程,得x2+2x﹣9=0,a=1,b=2,c=﹣9,Δ=22﹣4×1×(﹣9)=40>0,x==﹣1±,所以x1=﹣1+,x2=﹣1﹣.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣公式法.用公式法解一元二次方程的一般步驟為:①把方程化成一般形式,進(jìn)而確定a,b,c的值(注意符號(hào));②求出b2﹣4ac的值(若b2﹣4ac<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根);③在b2﹣4ac≥0的前提下,把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根.注意:用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè):①a≠0;②b2﹣4ac≥0.23.(2022秋?嘉定區(qū)月考)解方程:4x2﹣(x﹣2)2=11.【分析】先把方程化為一般式,再計(jì)算根的判別式的值,然后利用求根公式得到方程的解.【解答】解:方程化為一般式為3x2+4x﹣15=0,a=3,b=4,c=﹣15,Δ=42﹣4×3×(﹣15)=4×49>0,x===,所以x1=,x2=﹣3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣公式法:熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.24.(2023春?虹口區(qū)期末)解方程:x2﹣4x=9996.【分析】根據(jù)配方法解出方程即可.【解答】解:x2﹣4x=9996,x2﹣4x+4=10000,(x﹣2)2=10000,x﹣2=±100,∴x1=102,x2=﹣98.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法:熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.25.(2022秋?浦東新區(qū)期中)解方程:.【分析】利用公式法求解即可.【解答】解:∵a=1,b=﹣2,c=﹣1,∴Δ=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=12>0,∴y==±,∴y1=+,y2=﹣.【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法,本題屬于基礎(chǔ)題型.26.(2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中)解關(guān)于x的方程:ax2+4x﹣6=0.【分析】分三種情況討論:當(dāng)a=0時(shí),則為一次方程,解得即可;當(dāng)a≠0,且Δ=42﹣4a?(﹣6)=16+24a≥0時(shí),利用公式法即可求解;當(dāng)a≠0,且Δ=42﹣4a?(﹣6)=16+24a<0時(shí),方程無(wú)解.【解答】解:當(dāng)a=0
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