專題02網(wǎng)格中求正切

專題02網(wǎng)格中求正切1．如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則tan∠APD的值為（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】首先連接BE，由題意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，繼而求得答案．【詳解】解：如圖：連接BE，∵四邊形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根據(jù)題意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，以及求角的正切值，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，并理解正切的定義是解題關(guān)鍵2．如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則t

anC的值是（）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】在直角三角形ACD中，根據(jù)正切的意義可求解．【詳解】如圖：在RtACD中，tanC．故選B．【點睛】本題考查了銳角三角比的意義．將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中是解答的關(guān)鍵．3．如圖，A、B、C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】連接BC，由網(wǎng)格求出AB，BC，AC的長，利用勾股定理的逆定理得到△ABC為等腰直角三角形，即可求出所求．【詳解】如圖，連接BC，由網(wǎng)格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，則tan∠BAC=1，故選：B．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．4．如圖是由邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，P，Q四點均在正方形網(wǎng)格的格點上，線段AB，PQ相交于點M，則圖中∠QMB的正切值是（）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】如圖，連接AP，QB，可得∠PAB=∠QBA=90°，又∵∠AMP=∠BMQ，∴△PAM∽△QBM，∴=，∵AP=3，BQ=，AB=2，∴=，解得：AM=，∴tan∠QMB=tan∠PMA==．故答案選D．5．如圖，的頂點在正方形網(wǎng)格的格點處，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可求CD、BD、BC，再根據(jù)三角函數(shù)的意義可求出tanC的值．【詳解】解：如圖，連接，由網(wǎng)格的特點可得，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提，利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．6．如圖，將ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則∠A的正切值是（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】首先構(gòu)造以A為銳角的直角三角形，然后利用正切的定義即可求解．【詳解】解：連接BD，則BD＝，AD＝2，則tanA＝＝＝．故選D．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．7．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取格點D，連接，根據(jù)，求解即可.【詳解】如圖，取格點D，連接，在中，．故選：A.【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．8．如圖，A，B，C，三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過C點作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB．【詳解】過C點作，垂足為D則根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，在中，所以故選B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．9．如圖所示，的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】如圖，取格點E，連接BE，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)解決問題即可；【詳解】如圖，取格點E，連接BE，由題意得：，，，∴．故答案選A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的相關(guān)知識點，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求邊是解題的關(guān)鍵．10．在圖網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D都在格點上，AB與CD相交于點O，則∠AOC的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點B作BE∥DC，交格點于點E，且BE=DC，過點E作EH⊥AB于點H，連接AE，根據(jù)△ABE的面積，求出EH長，從而求出∠AOC的正切值.【詳解】解：過點B作BE∥DC，交格點于點E，且BE=DC，過點E作EH⊥AB于點H，連接AE，∴∠ABE=∠AOC，∴BE=，∴，有勾股定理知，∴，解得：EH=，在Rt△BEH中，，∴，∴tan∠AOC=，故選A.【點睛】本題是對三角函數(shù)的綜合考查，準(zhǔn)確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.11．如圖，在方格紙中，點A，B，C都在格點上，則tan∠ABC的值是()A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形解決問題即可．【詳解】解：作AE⊥BC，∵∠AEC＝90°，AE＝4，BE＝2，∴tan∠ABC＝，故選：A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.12．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，則tan∠ABC的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出∠ABC所在的直角三角形，然后根據(jù)銳角的正切等于對邊比鄰邊列式即可．【詳解】解：∠ABC所在的直角三角形的對邊是3，鄰邊是4，所以，tan∠ABC＝．故選：B．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角,則tan∠AOB（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】連接AB，分別利用勾股定理求出△AOB的各邊邊長，再利用勾股定理逆定理求得△ABO是直角三角形，再求tan∠AOB的值即可．【詳解】解：連接AB如圖，利用勾股定理得，，∵，,∴∴利用勾股定理逆定理得，△AOB是直角三角形∴tan∠AOB==故選C【點睛】本題考查了在正方形網(wǎng)格中，勾股定理及勾股定理逆定理的應(yīng)用.14．∠BAC放在正方形網(wǎng)格紙的位置如圖，則tan∠BAC的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接CD，再利用勾股定理分別計算出AD、AC、BD的長，然后再根據(jù)勾股定理逆定理證明∠ADC=90°，再利用三角函數(shù)定義可得答案．【詳解】連接CD，如圖：，CD=，AC=∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==．故選D．【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是證明∠ADC=90°．15．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，的頂點均在格點（網(wǎng)格線的交點）上，則的值為______．【答案】【分析】在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：如圖，在中，，，∴故答案為：【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．16．如圖，點A，B，C，D在正方形網(wǎng)格的格點上，連接AB、CD交于點P，則tan∠APC＝________________．【答案】【分析】設(shè)線段AB上的格點為E，把線段BE向下平移1個單位得到DF，如圖，則DF∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CDF=∠APC，再利用勾股定理的逆定理可判斷△CDF為直角三角形，然后根據(jù)正切的定義求解．【詳解】解：如圖，設(shè)線段AB上的格點為E，把線段BE向下平移1個單位得到DF，如圖，則DF∥BE，∴∠CDF＝∠APC，∵CD2＝12+32＝10，CF2＝12+12＝2，F(xiàn)D2＝22+22＝8，而2+8＝10，∴CD2＝CF2+FD2，∴△CDF為直角三角形，∠CFD＝90°，∴tan∠CDF＝＝＝，∴tan∠APC＝．故答案為：【點睛】本題考查了解直角三角形，平行線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，銳角三角函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是利用平移把∠APC轉(zhuǎn)化為∠CDF．17．如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上，則tan∠ACB的值為_____．【答案】【分析】如圖，作，垂足為D，由圖可知，計算求解即可．【詳解】解：如圖，作，垂足為D由圖可知故答案為：．【點睛】本題考查了正切．解題的關(guān)鍵在構(gòu)造直角三角形求正切值．18．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，則的值為_______．【答案】4【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】在網(wǎng)格上取點D，得，∵CD=4，BD=1∴．故答案為：4．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是作出點D，構(gòu)造直角三角形求解．19．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點，和，，與相交于點，則___．【答案】【分析】連接格點FD、FC，可得AB∥FD，由平行線的性質(zhì)得出∠AEC=∠FDC，證出∠FCD=90°，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】解：連接格點FD、FC，如圖所示：則四邊形ABDF是平行四邊形，△AFC和△CGD都是等腰直角三角形，∴AB∥FD，∠ACF=∠DCG=45°，F(xiàn)C=AC=，CD=CG=2，∴∠AEC=∠FDC，∠FCD=180°∠ACF∠DCG=180°45°45°=90°，∴tan∠AEC=tan∠FDC=，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中點A，B，C都在格點上，則tan∠ABC＝_____．【答案】【分析】過點C作CE⊥AB于點E，利用面積法可求出CE的長，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出BE的長，再結(jié)合正切的定義可求出tan∠ABC的值．【詳解】解：過點C作CE⊥AB于點E，如圖所示．∵S△ABC＝AC?3＝AB?CE，即×2×3＝×3?CE，∴CE＝．在Rt△BCE中，BC＝，CE＝，∴BE＝，∴tan∠ABC＝．故答案為．【點睛】本題考查了解直角三角形、三角形的面積以及勾股定理，利用面積法及勾股定理，求出CE，BE的長是解題的關(guān)鍵．21．如圖，把n個邊長為1的正方形拼接成一排，求得tan=1，tan=，，計算=_________________．【答案】【分析】作于，根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積公式求出、，根據(jù)正切的概念求出即可.【詳解】作于，由勾股定理得，，，，，解得，，則，.故答案為.【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及正切的概念，掌握正方形的性質(zhì)，熟記銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.22．如圖，將放置在的正方形網(wǎng)格中，如果頂點A、B、C均在格點上，那么的正切值為______．【答案】1【分析】連接BC，先利用勾股定理逆定理證△ABC是等腰直角三角形，再根據(jù)正切函數(shù)的定義可得．【詳解】解：如圖所示，連接BC，則，，，是等腰直角三角形，且，，則，故答案為1．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及其逆定理和三角函數(shù)的定義．23．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C都在這些小正方形的頂點上，則tan∠ABC的值為_____．【答案】.【分析】根據(jù)題意和勾股定理的逆定理、銳角三角函數(shù)可以求得tan∠ABC的值．【詳解】連接CD，如圖所示，設(shè)每個小正方形的邊長為a，則CD＝a，BD＝2a，BC＝a，∵（2a）2+（a）2＝（a）2，∴△BCD是直角三角形，∴tan∠ABC＝tan∠DBC＝，故答案為．【點睛】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．24．如圖，在Rt△ABC紙片上可按如圖所示方式剪出一正方體表面展開圖，直角三角形的兩直角邊與正方體展開圖左下角正方形的邊共線，斜邊恰好經(jīng)過兩個正方形的頂點，已知BC＝24cm，則這個展開圖可折成的正方體的體積為_____cm3．【答案】27【分析】首先設(shè)這個展開圖圍成的正方體的棱長為xcm，然后延長FE交AC于點D，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可求得AC的長，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)這個展開圖圍成的正方體的棱長為xcm，延長FE交AC于點D，則EF＝2xcm，EG＝xcm，DF＝4xcm，∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠B，∵在RtGEF中，tan∠EFG＝，∴在RtABC中，tanB＝，∵BC＝24cm，∴AC＝12cm，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣2x（cm）∵DF∥BC，∴△ADF∽△ACB，∴，即，解得：x＝3，即這個展開圖圍成的正方體的棱長為3cm，∴這個展開圖可折成的正方體的體積為27cm3．故答案為27．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．25．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，則tanC＝__．【答案】．【分析】如圖，過點A作AE⊥CB交CB的延長線于E．Rt△AEC中，根據(jù)tanC=，求解即可．【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥CB交CB的延長線于E．Rt△AEC中，tanC＝＝＝，故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．26．如圖，在正方形網(wǎng)格中，三角形ABC的三個頂點都在網(wǎng)格中的格點上，則tan∠B的值為_____．【答案】【分析】如圖（見解析），先利用平移的性質(zhì)畫出平行四邊形，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)可得，最后在中，利用正切三角函數(shù)的定義即可得．【詳解】解：將點先向下平移1個單位，再向左平移3個單位可得到點，將點按同樣的方法進(jìn)行平移，可得到點，連接，與交于點，如圖所示：則四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，，則在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了圖形的平移、菱形的判定與性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識點，結(jié)合網(wǎng)格特點，構(gòu)造菱形是解題關(guān)鍵．27．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點、、、都在這些小正方形的頂點上，線段、，相交于點，則的值是__________．【答案】2【分析】由AD，CD為正方形的對角線，求出，證，得，設(shè)小正方形的邊長為，利用勾股定理，再求，利用三角函數(shù)定義求即可．【詳解】∵AD，CD為正方形的對角線，∴，∵，∴，，在和中，，∴，∴，設(shè)小正方形的邊長為，則，，在中，．故答案為：2．【點睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件和網(wǎng)格的特點進(jìn)行求解．28．如圖，在邊長都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D都在這些小正方形的頂點上，AB，CD相交于點P，則tan∠APD的值是

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