八年級數(shù)學下冊教案北師大版

書目

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

1不等關系

2不等式的根本性質(zhì)

3不等式的解集

4一元一次不等式

5一元一次不等式與一次函數(shù)

6一元一次不等式組

第二章分解因式

1分解因式

2提公因式法

3運用公式法

第三章分式

1分式

2分式的乘除法

3分式的加減法

4分式方程

第四章相像圖形

1線段的比

2黃金分割

3形態(tài)一樣的圖形

4相像多邊形

5相像三角形

6探究三角形相像的條件

7測量旗桿的高度

8相像多邊形的性質(zhì)

9圖形的放大與縮小

第五章數(shù)據(jù)的搜集與處理

1每周干家務活的時間

2數(shù)據(jù)的搜集

3頻數(shù)與頻率

4數(shù)據(jù)的波動

第六章證明（一）

1你能確定嗎

2定義與命題

3為什么他們平行

4假設兩條直線平行

5三角形內(nèi)角和定理的證明

6關注三角形的外角

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

1.1不等關系

一、教學目的：理解實數(shù)范圍內(nèi)代數(shù)式的不等關系，并會進展表示。

可以根據(jù)詳細的事例列出不等關系式。

二、教學過程：

如圖：用兩根長度均為Lem的繩子，

(1)假設要使正方形的面積不大于25enP,那么繩長L應當滿意怎樣的關系式？

(2)假設要使原的面積大于1002m2,那么繩長L應滿意怎樣的關系式？

(3)當L=8時，正方形和圓的面積哪個大？L=12呢？

(4)由(3)你能發(fā)覺什么？變更L的取值再試一試。

在上面的問題中，所謂成的正方形的面積可以表示為(L/4)2,遠的面積可以表示為兀(L/2

兀)2。

(1)要是正方形的面積不大于25cm2,就是

(L/4)2W25,

即I7/16W25。

(2)要使原的面積大于100cm2,就是

五(L/2n)2>100

即L2/4n>l(X)o

(3)當L=8時，正方形的面積為82/16=6,圓的面積為

82/4—5.1,

4<5.1

此時圓的面積大。

當L=12時，正方形的面積為122；16=9,圓的面積為

122/4n-11.5,

9<11.5,

此時還是圓的面積大。

教師得出結論

(4)由(3)可以發(fā)覺，無論繩長L取何值，圓的面積總大于正方形的面積，即

L2/4n>L2/16o

三、隨堂練習

1、試舉幾個用不等式表示的例子。

2、用適當?shù)姆柋硎鞠铝嘘P系

(1)a是非負數(shù)；

(2)直角三角形斜邊c比她的兩直角邊a,b都長；

(3)x于17的和比它的5倍小。

1.2不等式的根本性質(zhì)

一、教學目的

(1)探究并駕馭不等式的根本性質(zhì)；

(2)理解不等式與等式性質(zhì)的聯(lián)絡與區(qū)分.

二、教學內(nèi)容

我們學習了等式，并駕馭了等式的根本性質(zhì)，大家還記得等式的根本性質(zhì)嗎？

等式的根本性質(zhì)1：在等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或整式，所得的結果仍是等式.

根本性質(zhì)2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數(shù)(除數(shù)不為0),所得的結果仍是等式.

1.不等式根本性質(zhì)的推導

例T3V5

/.3+2<5+2

3-2<5-2

3+。<5+。

3~a<5—a

所以，在不等式的兩邊都加上(或減去〉同一個整式，不等號的方向不變.

例：3<4

3X3V4X3

3X-<4X-

33

3X(-3)>4X(-3)

3X(-1)>4X(-1)

33

3X(-5)>4X(-5)

由此看來，在不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時，不等號的方向不變；在不等式的兩邊

同乘以一個負數(shù)時，不等號的方向變更.

三、課堂練習

1.將下列不等式化成或“xVa”的形式.

(1)x-l>2(2)-x<-

6

解：(1)根據(jù)不等式的根本性質(zhì)1,兩邊都加上1,得x>3

(2)根據(jù)不等式的根本性質(zhì)3,兩邊都乘以一1,得力>一3

6

2.已知x>y,下列不等式確定成立嗎？

(1)X—6<y—6;

(2)3xV3y;

(3)~2x<~2y.

解：(1)**x>yt?.x—6>y—6.

；.不等式不成立；

(2)*：x>yt：.3x>3y

???不等式不成立；

9

(3)：x>yt：.-2x<-2y

，不等式確定成立.

4.根據(jù)不等式的根本性質(zhì)，把下列不等式化成“x>a”或“xV/'的形式:

(1)X—2V3;(2)6x<5x~\;

(3)-x>5;(4)-4x>3.

2

5.設〃>6.用“V”或號填空.

(1)。一36一3;(2)-

—2—2

(3)-4a__-4/7;(4)5a___5b;

(5)當。>0,b___0時，H>0;

(6)當〃>0/0時,昉<0;

(7)當。<0力____0時，而>0;

(8)當〃V04___0時，ab<0.

參考答案：

3

4.(1)x<5;(2)x<-l;(3)x>10;(4)x<--.

4

5(1)>(2)>(3)<(4)>(5)>(6)<(7)<(8)>.

1.3不等式的解集

一、教學目的

1.可以根據(jù)詳細問題中的大小關系理解不等式的意義.

2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式這些概念的含義.

3.會在數(shù)軸上表示不等式的解集.

二、教學過程

1.現(xiàn)實生活中的不等式.

燃放某種禮花彈時，為了確俁平安，人在點燃導火線后要在燃放前轉(zhuǎn)移到10m以外的

平安區(qū)域.已知導火線的燃燒速度為以0.02m/s,人分開的速度為4mis,那么導火線的長度

應為多少厘米？

分析：人轉(zhuǎn)移到平安區(qū)域須要的時間最少為w秒，導火線燃燒的時間為一-—秒,

40.02x100

要使人轉(zhuǎn)移到平安地帶，必需有：

0.02x1004

解.：設導火線的長度應為xcm,根據(jù)題意，得

--------------->----

0.02x1004

Ax>5.

2.想一想

(1)m5,6,8能使不等式x>5成立嗎？

(2)你還能找出一些使不等式x>5成立的x的值嗎？

答：(1)戶5不能使X>5成立，x=6,8能使不等式x>5成立.

(2)x=9,10,11…等比5大的數(shù)都能使不等式力>5成立.

3.例題講解

根據(jù)不等式的根本性質(zhì)求不等式的解集，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

(1)%—22-4;(2)2A<8

(3)-2r-2>-10

解：(1)根據(jù)不等式的根本性質(zhì)1,兩邊都加上2,得工2—2

在數(shù)軸上表示為：

-3-2-101234

(2)根據(jù)不等式的根本性質(zhì)2,兩邊都除以2,得xW4

在數(shù)軸上表示為：

-10123456

(3)根據(jù)不等式的根本性質(zhì)1,兩邊都加上2,得一2x>-8

根據(jù)不等式的根本性質(zhì)3,兩邊都除以一2,得x<4

在數(shù)軸上表示為：

-1012345

三、課堂練習

1.推斷正誤：

(1)不等式x-1>0有多數(shù)個解；

2

(2)不等式2x—3WO的解集為—.

3

2.將下列不等式的解集分別表示在數(shù)軸上：

(1)x>4;(2)后一1;

(3)2;(4)xW6.

I.解：(1)VX-1>O,/.A:>1

???4—1>0有多數(shù)個解.，正確.

(2)??2-3WO,.,?2rW3,

3

，1W一,；?結論錯誤.

2

2.解：

⑴-'S~1~2~3~4~r

⑵----------------1-------------

-4-3-2-1012

⑶4=16~1~2

⑷-----------------------------L

W0123456

1.4一元一次不等式

一、教學目的

1.知道什么是一元一次不等式？

2.會解一元一次不等式.

二、一元一次不等式的定義.

下列不等式是一元一次不等式嗎？

(1)2x-2.5215;(2)5+3x>240;

(3)x<-4;(4)->1.

x

答(1)、(2)、<3)中的不等式是?元?次不等式，(4)不是.

(4)為什么不是呢？

因為x在分母中，不是整式.

X

不等式的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,這樣的不等

式，叫做一元一次不等式(linearinequalitywithoneunknown).

2.一元一次不等式的解法.

例1解不等式3—x〈2x+6,并把它的解集表示在數(shù)軸上.

［分析］要化成或“xVa”的形式，首先要把不等式兩邊的x或常數(shù)項轉(zhuǎn)移到

同一側(cè)，變成“or>力”或的形式，再根據(jù)不等式的根本性質(zhì)求得.

解：兩邊都加上x,得

3~x+x<2x+6+x

合并同類項，得

3<3x+6

兩邊都加上一6,得

3—6<3x+6—6

合并同類項，得

-3<3x

兩邊都除以3,得一IVx

即x>~\.

這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

-3-2-101234

下面大家仿照上面的步驟練習一下解一元一次不等式.

［例2］解不等式匕土」，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

23

［生］解：去分母，得3(x-2)22(7-x)

去括號，得3x-6-14-2v

移項，合并同類項，得5%220

兩邊都除以5,得x24.

這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

^2~62~46810*

三、課堂練習

解下列不等式，并把它們的解集分別表示在數(shù)軸上:

(1)5x>-10;(2)-3x+l2W0;

x-\4x-5

(3)<-------

3

x+73x+2

(4)1<

22

解：(1)兩邊同時除以5,得公>一2.

這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下:

-3-2-1012

(2)移項，得一3xW—12,

兩邊都除以一3,得“24,

這個不等式的解集在數(shù)軸上表示為：

-1612345*

(3)去分母，得3(x—l)<2(4x-5),

去括號，得力一3<81一10,

移項、合并同類項，得5x>7,

兩邊都除以5,得

不等式的解集在數(shù)軸上表示為：

-

1

^

17

-

5

(4)去分母，得x+7—2V3K+2,

移項、合并同類項，得緘>3,

3

兩邊都除以2,得公>?,

2

不等式的解集在數(shù)軸上表示如下:

-101§234

1.5一元一次不等式與一次函數(shù)

一、教學目的

1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關系.

2.會根據(jù)題意列出函數(shù)關系式，畫出函數(shù)圖象，并利用不等關系進展比擬.

二、教學過程

1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關系.

作出函數(shù)產(chǎn)標-5的圖象，視察圖象答復下列問題.

(1)x取哪些值時，2x-5=0

(2)x取哪些值時，2x-5>0

(3)x取哪些值時，2x-5<0

(4)x取哪些值時，2x-5>3

（1）當）=0時，2x—5=0,

,5

2

?,?當x=』時，2x—5=0.

2

（2）要找2r—5>0的x的值，也就是函數(shù)值,，大于。時所對應的x的值，從圖象上可

知，y>0時，圖象在x軸上方，圖象上任一點所對應的“值都滿意條件，當產(chǎn)0時，則有

2x—5=0,解得.當時，由y=2x—5可知y>0.因此當x>』時，2x—5>0;

222

（3）同理可知，當“V』時，有2x—5V0;

2

（4）要使合一5>3,也就是產(chǎn)入一5中的），大于3,那么過縱坐標為3的點作一條直線

平行于x軸，這條直線與）=2x—5相交于一點8（4,3）,則當x>4時，有2x—5>3.

3.試一試

假設廣一2r—5,那么當x取何值時，y>0

首先要畫出函數(shù)產(chǎn)一2x-5的圖象，如圖

從圖象上可知，圖象在工軸上方時，圖象上每一點所對應的），的值都大于0,而每一個

y的值所對應的x的值都在A點的左側(cè)，即為小于一2.5的數(shù)，由一2x—5=0,得后一2.5,所以

當工取小于-2.5的值時，y>0.

三、課堂練習

1.已知）『一x+3,y2=3x—4,當x取何值時，yi>”？你是怎樣做的？與同伴溝通.

解：如圖1-24所示：

乂=在

當x取小于—的值時，有yi

4

2.作出函數(shù)y=2x—4與”=一標+8的圖象，并視察圖象答復下列問題：

(1)x取何值時，2x-4>0?

(2)x取何值時，-2x+8>0

(3)x取何值時，2%—4>0與一2%+8>0同時成立？

(4)你能求出函數(shù))，i=2x-4,^=-2x+8的圖象與x軸所圍成的三角形的面積嗎？并寫

出過程.

解；圖象如下；

分析：要使2t—4>0成立，就是乃二2%—4的圖象在工軸上方的全部點的橫坐標的集合,

同理使一2x+8>0成立的x,即為函數(shù)y2=—2x+S的圖象在x軸上方的全部點的橫坐標的集

合，要使它們同時成立，即求這兩個集合中公共的x,根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點的坐標可求

出三角形的底邊長，由兩函數(shù)的交點坐標可求出底邊上的高，從而求出三角形的面積.

［解］(1)當％>2時，2v-4>0;

(2)當xV4時，-2x+8>0;

(3)當2VxV4時，2r—4>0與-2%+8>0同時成立.

(4)由2%—4=0,得m2;

由一2x+8=0,得尸4

所以45=4-2=2

\y=2x-4

由，

y=-2x4-8

得交點C(3,2)

所以三角形ABC中AB邊上的高為2.

所以S=-X2X2=2.

2

3.分別解不等式

5x~1>3(x+1),

所得的兩個解集的公共局部是什么？

解：解不等式5x—1>3(x+1),得x>2

解不等式工彳-1〈7—3x,得xV4,

22

所以兩個解集的公共局部是2<v<4.

4.某商場安排投入一筆資金選購一批緊俏商品，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)覺：假設月初出售，可

獲利15%,并可用本和利再投資其他商品，到月末又可獲利10%：假設月末出售可獲利30%,

但要付出倉儲費用700元.請問根據(jù)商場的資金狀況，如何購銷獲利較多？

解：設商場安排投入資金為了元，在月初出售，到月末共獲利y元；在月末一次性出

售獲利及元，

根據(jù)題意，得

yi=15%x+(x+15%x),10%=0.265x,

yi=3O%x-700=0.3x-700.

(1)當即0.265x>0.3%—700時，x<20000;

(2)當#=及,即0.265x=0.3x-700時，A=20000;

(3)當yV》，即0.265xV0.3x-700時，x>20000.

所以，當投入資金不超過20000元時，第一種銷售方式獲利較多；當投入資金超過20000

元時，第二種銷售方式獲利較多.

5.某醫(yī)院討論發(fā)覺了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)覺，假設成人按規(guī)定劑量服用，那么服

藥后2小時時血液中含藥量最高，達每亳升6微克(1微克=10③亳克)，接著逐步衰減，10

小時時血液中含藥量為每毫升3毫克，每亳升血液中含藥量y(微克)，隨著時間x(小時)

的變更如圖所示(成人按規(guī)定服藥后).

(1)分別求出x《2和x22時，y與x之間的函數(shù)關系式；

(2)根據(jù)圖象視察，假設每亳升血液中含藥量為4微克或4微克以上，在治療疾病時

是有效的，那么這個有效時間是多少？

解：⑴當xW2時,圖象過(0,0),(2,6)點，設y尸切,

把(2,6)代入得，將二3

.*.yi=3x

當x22時，圖象過(2,6),(10,3)點.

設丫2=%冰+"則有

2&+匕=6

10fc+/?=3

得舊一二3加上27

84

.327

??y2=--x+——

84

(2)過y軸上的4點作平行于x軸的一條直線，于yiM的圖象交于兩點，過這兩點向

工軸作垂線，對應x軸上的4上和22三，即在2三2一±4二6小時間是有效的.

3333

1.6一元一次不等式組

一、教學目的

總結解一元一次不等式組的步驟及情形.

二、教學過程

某校今年冬季燒煤取暖時間為4個月。假設每月比安排多燒5噸煤，那么取暖用煤總量將超

過100噸；假設每月比安排少燒5噸煤，那么取暖用煤總量缺乏68噸。該校安排每月燒煤

多少噸？

解：

設該校安排每月燒煤x噸，根據(jù)題意，得

4(x+5)>100,(1)

且4(x-5)<68.(2)

未知數(shù)x同時滿意(1)(2)兩個條件，把(1)(2)兩個不等式合在一起，就組成

一個一元一戶不等式組，記作4(x+5)>100,

*U(x-5)<68.

一般地，關于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元依次不

等式組。

解下列不等式組

x+\.

---->1

(1)2

7x-8<9x

3x—2<x+1

⑵

x+5>4x+l

5x-2>3(x+1)

(3)

—x-1<7--x

122

3x-l>ll

(4)

2x<6

x+\

>1(1)

(1)2

⑵

7x-8<9x

解：解不等式(1),得x>l

解不等式(2),得x>-4.

在同一條數(shù)軸.1二表示不等式〔1),(2)的解集如下圖

-6-5-4-3-2-101234567

所以，原不等式組的解集是工>1

(3x-2<x+\(1)

(2){

[x+5>4x+l(2)

解：解不等式(1),得xV士

2

解不等式(2),得xV二4

3

在同一條數(shù)軸上表示不等式：1),(2)的解集.如下圖

01422

32

4

所以，原不等式組的解集是XV士

3

5x-2>3(x+1)

(1)

(3)

-x-1<7--x⑵

22

解：解不等式(1),得

2

解不等式(2),得盡4.

在同一條數(shù)軸上表示不等式(1),(2)的解集，如下圖

-10123456*

所以，原不等式組的解集為.VxW4.

3x-l>ll(1)

(4)

2x<6⑵

解:解不等式(1),得蘇>4.

解不等式(2),得xV3.

在同一條數(shù)軸上表示不等式：1),(2)的解集如下圖

-10~1~2~~3~4~~5^

所以，原不等式組的解集為無解.

我們從每個不等式的解集，到這個不等式組的解集，細致視察，互相溝通，找出規(guī)律.

X>1

(1)由得x>l;

x>-4

94

(2)由)得％<—;

43

x>-5

(3)由《2得一VxW4;

x<42

fr>4

(4)由《得，無解.

[x<3

兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集有以下四種情形.

設4V4那么

X>C1

(1)不等式組4的解集是x>b;

x>b

X<Q

(2)不等式組4的解集是xVa;

x<b

x>a

(3)不等式組4的解集是aVxVb;

x<b

(4)不等式組4XC的l解集是無解.

x>b

用語言簡潔表述為：

同大取大；同小取??；

大于小數(shù)小于大數(shù)取中間；

大于大數(shù)小于小數(shù)無解.

三.課堂練習

解下列不等式組

x+3<5

(1)

3x-l>8

Y

^+l<2(x-l)

(2)

xx+2

—>------

35

x+3<5(1)

［解］(1)

3x-l>8⑵

解不等式(1),得xV2

解不等式（2）,得x>3

在同一數(shù)軸上表示不等式（1）、（2）的解集,

-2-10~1~2~3~4*

所以，原不等式組無解.

尹<2(1)

(2)2八

xx+2(2)

.3>^-

解：解不等式（1）,得x>2

解不等式（2）,得x>3

在同一數(shù)軸上表示不等式（1）,（2）的解集，如下圖

-16~1~2~34~5*

所以，原不等式組的解集為立>3.

第二章分解因式

2.1分解因式

一、教學目的

讓學生理解多項式公因式的意義，初步會用提公因式法分解因式.

二、教學過程

寬都是,，求這塊場地的

一塊場地由三個矩形組成，這些矩形的長分別為二，二

4242

面積.

131?317337、

解法一：5=—X—+v—+—+—=2

242224848

一131317133

24222424242

1.公因式與提公因式法分解因式的概念.

把多項式ma+mb+mc寫成in與（a+8+c）的乘積的形式，相當于把公因式m從各項中

提出來，作為多項式ma+mb+mc的一個因式，把機從多項式ma+mb+mc各項中提出后形成

的多項式（a+b+c）,作為多項式ma+mb+mc的另一個因式，這種分解因式的方法叫做提公

因式法.

2.例題講解

［例1］將下列各式分解因式：

(1)3x+6;

(2)—2￡;

(3)^b2~\2ab3c+abc

(4)一2底一12?+28工

分析：首先要找出各項的公因式，然后再提取出來.

解：（1）3x+6=3x+3X2=3（滸2）;

(2)7f-2Lt=7x?x-7x?3=7x(x-3);

(3)Sa3b2~\2ab3c+abc

-Sa?b,ab\2bPc?ab+ab?c

-ab(.Sorb—\2b2c+c)

(4)-24/—1*+281

=-4x(6A2+3X-7)

三、課堂練習

1.寫出下列多項式各項的公因式.

(1)ma+mb(w)

(2)4kx~Uy(4&)

(3)5爐+20y(5)2)

(4)c^b-lab^+ab(ab)

2.把下列各式分解因式

(1)8x-72=8(x-9)

(2)a2b-5ab=ab(a—5)

(3)4m3—6m2=2m2(2m—3)

(4)c^b—5ab+9b=b(tt2—5a+9)

(5)—(r+ab—ac=—(a1—ab+ac')=~a(a—b+c)

(6)-2xi+4x1-2x=-(2?-4f+2x)=~2x(x2-2x+l)

四、課后作業(yè)

1.解：(1)2X2~4X=2X(X-2);

(2)^nrn+2mn=2mn(4/H+I);

(3)d1^—axy=axy(ax—j);

(4)3xi-3x1-9x=3x(f一1一3);

(5)~24^>-12A}r+28j3

=-(24*)y14-28y3)

=-4yC6x1+3xy—ly2');

(6)—4cPb3+6a2b—lab

=-(4"/一6片什2而)

=~2abC2a2b2—3a+1);

(7)—“—［均+加'

=-(2?+1均一阮)，3)

=—2x(x+by2-4J3);

(8)—3mai+6mcr-12ma

=—(3wr?3—6ma2+12ma)

=-3〃?a(a2-加+4);

2.利用因式分解進展計算

(1)121X0.13+12.1X0.9-12X1.21

=12.1X1.3+12.1X0.9-1.2X12.1

=12.1X(1.3+0.9-1.2)

=12.1X1=12.1

(2)2.34X13.2+0.66X13.2-26.4

=13.2X(2.34+0.66-2)

=13.2X1=13.2

(3)當Ri=20,&=16,&=12,7=3.14時

萬R/+乃&2+^/?32

一萬(尺/十尺2‘十尺3’〉

=3.14X(202+162+122)

=2512

2.2提公因式法

一、教學目的

讓學生理解多項式公因式的意義，初步會用提公因式法分解因式.

例1把4(x-3)+2b(X-3)分解因式.

分析：這個多項式整體而言可分為兩大項，即〃(工-3)與2b(工一3),每項中都含有

(x-3)，因此可以把(x-3)作為公因式提出來.

解：a(工一3)+2b(x-3)=(1一3)(a+2b)

［例2］把下列各式分解因式：

(1)a(x—y)+b(y—x);

(2)6(m-3-12(〃-m)2.

分析：雖然a(x-y)與b(y~x)看上去沒有公因式，但細致視察可以看出(x-y)

與(y-x)是互為相反數(shù)，假設把其中一個提取一個“一”號，則可以出現(xiàn)公因式，如y-

x=—(x—y).(m—?)3與(〃一m)?也是如此.

解：(Da(x—y)+b(.y—x)

=aCx—y)—b(x—y)

=(/—y)(.a—b)

(2)6(m—AZ)3—12(w—m)2

=6(m—/2)3—12[—(m—?1)]2

=6(m—n)3—12(m-72)2

=6(m—/2)2(m—〃一2).

二、做一做

請在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“一”號，使等式成立:

(1)2~a=_________(a-2);

(2)y一尸(x-v);

(3)b+a=_________(a+b);

(4)Cb-a)2=_________la-b>2;

(5)—m—__________—(m+w);

(6)-s2+~=_________(s2—z2).

解：(1)2~a=—(a—2);

(2)y~x=—(工一y);

(3)b+a=+(a+b);

(4)(b—a)2=+(a—b)2;

(5)-m—n=-(m+〃);

(6)—s2+?=—(s2—?).

三、課堂練習

把下列各式分解因式：

解：(I)x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y);

(2)3a(/—y)—Cx—y)

=(x-y)(3a-1);

(3)6(p+g)2—12(q+p)

-6(/?+</)212(〃十夕)

=6(p+,)Cp+q—2);

(4)a(m-2)+b(2—m)

=a(m-2)—b(m—2)

=(m—2)(“一b);

(5)2(y—x)2+3(x—y)

=2[—(x—y)]2+3(x—y)

=2(x—y)2+3(x—y)

=(x-y)⑵-2y+3);

(6)inn—in(〃-m)2

=ftin—m(〃?一〃)2

-tn(/?-/?)\_n—(??-〃)]

=in(m-n)(2〃-.

補充練習

把下列各式分解因式

解：1.5(x-y)3+10。一外2

=5(x~y)3+10(.x—y)2

=5(x—y)2[(x—y)+2]

=5(x—y)2(x—y+2);

2.m(a-b)-〃(b-a)

=m(〃-6)+〃(a—b)

=(a-b)(m+n);

3.m(機—〃)+〃Cn—rn')

=m(.m-n')~n(.in-n)

=(m—n)(〃L〃)=Cm-n)2;

4.m(〃?一〃)(〃一q)~n(〃一m)(p—g)

=in(m-n)(p-g)+n(w?-〃)(p—q)

=(in-n)(p—g)(〃?+??);

5.(b—a)2+a(a——b)+b(b——a)

=(b~a)2~a(b-a)+b(b—a)

=(/?—￡?)[(。-a)—a+8]

=(.b~a)(b—a-a+b)

=(b-a)(2b—2a)

=2Cb~a)(。一a)

=2(b—a)2

2?3運用公式法(一)

一、教學目的

1.使學生理解運用公式法分解因式的意義；

2.使學生駕馭用平方差公式分解因式.

3.使學生理解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因

式.

二、教學過程

1.請看乘法公式

(a+〃)(a—b')—(?R(1)

左邊是整式乘法，右邊是一個多項式，把這個等式反過來就是

a2~b2=(a+b)(a—h)(2)

左邊是一個多項式，右邊是整式的乘積.

利用平方差公式進展的因式分解.第(1)個等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，

第(2)個等式可以看作是因式分解中的平方差公式.

2.公式講解

視察式子/一俄找出它的特點.

答：是一個二項式，每項都可以化成整式的平方，整體來看是兩個整式的平方差.

假設一個二項式，它可以化成兩個整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解

成兩個整式的和與差的積.

如『-16二(x)2—42=(x+4)(X—4).

9/-4〃2=(3m)2-⑵)2

=(3m+2n)(3m~2n)

3.例題講解

[例1]把下列各式分解因式：

(1)25—16吐

(2)9a2--b2.

4

解：⑴25-16^=52-(4x)2

=(5+4x)(5—4x);

(2)9a2--b2=(3a)2-(-Z?)2

42

=(3a+—b)C3a——b).

22

[例2]把下列各式分解因式：

(1)9(m+n)2—Cm—n)2;

(2)2?-8x.

解：(1)9(w+n)2-(加一〃)2

=[3(〃?+〃)]2—(tn—n)2

=[3(ni+n)+(zn—n)][3(m+〃)—(m—〃)]

=(3fn+3〃+m~n)(3/n+〃)

=(4/?i+2n)(2w+4n)

=4C2m+n)(機+2〃)

(2)2?-8.r=2r(x2-4)

=2x(x+2)(x-2)

說明：例1是把一個多項式的兩項都化成兩個單項式的平方，利用平方差公式分解因

式；例2的(1)是把一個二項式化成兩個多項式的平方差，然后用平方差公式分解因式，

例2的(2)是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當一個題中既要用

提公因式法，又要用公式法分解因式時，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法.

三、課堂練習

1.推斷正誤

解：(1)f+)2=(x+y)(.x—y);(X)

(2)J?~/=(x+y)(x-y);(J)

(3)/十y2=(x+y)(xj)；(X)

(4)一『一y2二一(x+j)(x—y).(X)

2.把下列各式分解因式

解：(1)片從一小2

=(ah')2~m2

=(ab+m)Cab—m);

(2)(w—?)2—(〃+A)2

=[(6-a)+(〃+b)][(/?—a)—(n+b)]

=Cm—a+n+b')("】一〃一〃一力);

(3)JC2—(a+b—c)2

=[x+(a+b-c)]\_x—(a+6-c)]

=(x+a+b—c)(x—a—b+c');

(4)-16?+81/

=(9尸)2—(4X2)2

=(9)2+4/)(9)2—4/)

=(9)2+4f)(3JH-2X)(3>-2x)

3.解：S朝余=/一4護.

當斫3.6力:0.8時，

S剩余=3.62—4X0.82=3.62—16=5.2X2=10.4(cm2)

答：剩余局部的面積為10.4cm?.

四、課后作業(yè)

1.解：(1)?2-81=(。+9)(。-9);

(2)36—X2=(6+x)(6—x);

(3)1-16^=1-(4b)2=(1+46)(1一4();

(4)m2—9nr=(m+3n)(w—3/1);

(5)0.25/-121p2

=(0.5^+llp)(0.5q—11/7);

(6)169J2—4y2=(13x+2y)(\3x-2y');

(7)942P2一方242

=(3ap+bq)(3ap-bq);

4977

(8)fy2=o(ya+.yy)(—a—xy);

2.解：(1)(m+n)2—w2=(tn+n+n)(m+n-n)=m(m+2n);

(2)49(a-b)2-16(a+b)2

=[7(a—b)]2—[4(a+b)]2

=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)—4(a+b)]

=(7。-7A+4a+4b)(7a—7b—4。-4b)

=(lla-3b)(3a-llb);

(3)⑵+y)2—(x+2y)2

=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)—(x+2y)]

=(3x+3y)(x—y)

=3(x+y)(x-y);

(4)(f+y2)Ty2

=($+產(chǎn)閃)(f+y2-肛，);

(5)3o？3a/=3a(//)

=3a(x+y2)(x-y2)

(6)p4-l=(戶+l)(p2-1)

=(p2+i)(p+1)(p-1).

3.解：S環(huán)形=JTR1—冗d=Ji(R2—產(chǎn))

=%(R+r)(/?—r)

當R=8.45尸3.45,〃=3.14時，

S環(huán)形=3.14X(8.45+3.45)(8.45~3.45)=3.14X11.9X5=186.83(cm2)

答：兩圓所圍成的環(huán)形的面積為186.83cnR

VI.活動與探究

把(a+Hc)(bc+ca+ab)—而c分解因式

解：(4+力+c)(hc+ca+ab)~ahc

=[?+(0+c)][_bc+a(b+c)]~abc

=abc+a2(He)+bc(He)+a(ZH-C)2—abc

=a1(b+c)+bc(b+c)+a(力+c)2

=(b+c)[.c^+bc+a(b+c)]

=(b+c)la^+bc+ab+acl

=(b+c)\_a(a+b)+c(a+b；]

=(h+c)Ca+h)(a+c)

運用公式法(二)

一、教學目的

1.使學生會用完全平方公式分解因式.

2.使學生學習多步驟，多方法的分解因式.

二、教學過程

在前面我們不僅學習了平方差公式

(4+6)(。-6)=。2—〃2

而且還學習了完全平方公式

(?！纀)2=a2±2ab+b2

三，新課

推斷一個多項式是否為完全平方式，要考慮三個條件，項數(shù)是三項；其中有兩項同號且

能寫成兩個數(shù)或式的平方；另一項是這兩數(shù)或式乘積的2倍.

1.例題講解

[例1]把下列完全平方式分解因式：

(1)f+14x+49;

(2)(m+〃)2—6(zn+n)+9.

[師]分析：大家先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然后再根據(jù)公式分解

因式.公式中的〃力可以是單項式，也可以是多項式.

解：⑴14x+49=^+2X7A+72=(X+7)2

(2)(〃？+〃)2—6(〃？+〃)+9=(m+n)2—2?(/〃+〃)X3+32=[(機+〃)—3]2=(m+n

-3)2.

[例2]把下列各式分解因式：

(1)3加+60\)，+3〃)2;

(2)—x1—4y2+4xy.

[師]分析：對一個三項式，假設發(fā)覺它不能干脆用完全平方公式分解時，要細致視察

它是否有公因式，若有公因式應先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式.

假設三項中有兩項能寫成兩數(shù)或式的平方，但符號不是“+”號時，可以先提取“一”

號，然后再用完全平方公式分解因式.

解：(1)3加+6343。)，

=3a(x1+2xy+)r')

=3a(x+y)2

(2)~x1~4y2+4xy

=—(f-4盯+4)2)

=-[f-2?x?2尹(2y)2]

=—(x—2y)2

四、課堂練習

1.(1)是完全平方式

f—x+1=f—2?x--+(-)2=(x--)2

4222

(2)不是完全平方式，因為3次;不符合要求.

(3)是完全平方式

1,,

—nr+3rnn+9n~

4

=(—in)2+2X—(3〃)2

22

=(—/n+3/i)2

2

(4)不是完全平方式

2.(1)x2—12^+36產(chǎn)

=x1~2?x?6>'+(6y)2

=(x-6y)2;

(2)161+24A2+9/

=(4/)2+2?4/?36+(3加)2

=(4/+3序)2

(3)—Ixy—x1—y1

=-(j^+Zry+y2)

=—Cx+y)2;

(4)4—12(x—y)+9(x—y)2

=22—2X2X3(x-y)+[3(x-y)]2

=[2—3(x—y)]2

=(2—3x+3y)2

五、課后作業(yè)

1.(1)x2^2—2xy+l=(xy—1y2;

(2)9-12/+4?=(3-2r)2;

(3))r+y+^=Cy+—)2;