123角平分線的性質(zhì)（講練）（8大題型）-2022-2023學年八年級數(shù)學上冊重要考點(人教版)

12.3角平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等。注意：用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.題型1：作已知角的平分線1.尺規(guī)作圖：已知：∠CBA，求作∠CAB的平分線.【答案】解：如圖，射線AF就是所作的∠CAB的平分線.【解析】【分析】根據(jù)用尺規(guī)作圖法，在射線AC上取點D，以點A為圓心，AD為半徑，畫弧，交射線AB于點E；再分別以D、E為圓心，以大于12【變式11】如圖，在直線MN上求作一點P，使點P到射線OA和OB的距離相等。（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】解：如圖，∴點Ｐ就是所求作的【解析】【分析】先作∠AOB的平分線，與直線MN交于點P，點P即為所求作的點.【變式12】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）作∠BAC的平分線AD交邊BC于點D.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）在（1）的條件下，若∠BAC=28°，求∠ADB的度數(shù).【答案】（1）解：以A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于M、N，再分別以M、N為圓心，以大于MN長的一半為半徑畫弧，兩者交于點P，連接AP并延長與BC交于D，即為所求；（2）∵∠C=90°，∠BAC=28°，∴∠B=180°∠C∠BAC=62°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∴∠ADB=180°∠BAD∠B=104°.【解析】【分析】（1）以A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于M、N，再分別以M、N為圓心，以大于MN長的一半為半徑畫弧，兩者交于點P，連接AP并延長與BC交于D，即為所求；

（2）利用三角形內(nèi)角和求出∠B，由角平分線的定義可得∠BAD=12題型2：角平分線的性質(zhì)的應用證明線段2.如圖，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA于點C，AD⊥OB于點D，求證：EA=EB．【答案】證明：∵OE平分∠AOB，EC⊥AO，ED⊥BO，∴EC=ED，在△ACE和△BDE中∠ACE=∠BDE=90°∴△ACE≌△BDE（ASA）∴EA=EB.【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出EC=ED，利用ASA證出△ACE≌△BDE，即可得出EA=EB.【變式21】如圖，點D、B分別在∠A的兩邊上，C是∠A內(nèi)一點，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.求證：CE=CF.【答案】證明：在△ADC和△ABC中，AD=AB∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE＝CF.【解析】【分析】易證△ADC≌△ABC，得到∠DAC＝∠BAC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)進行證明.【變式22】已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，點F是OC上的另一點，連接DF，EF.求證：DF＝EF.【答案】證明：∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OPPD=PE∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，OD=OE∠DOF=∠EOF∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF.【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PD＝PE，證明Rt△OPD≌Rt△OPE，得到OD＝OE，由角平分線的概念可得∠DOF＝∠EOF，證明△ODF≌△OEF，據(jù)此可得結(jié)論.題型3：角平分線的性質(zhì)的應用和差關系3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點F在邊AC上，連接DF．（1）求證：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的長；（3）若CF=BE，直接寫出線段AB，AF，EB的數(shù)量關系.【答案】解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，在△ACD和△AED中，∠CAD=∠BAD∠C=∠AED∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE．（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6，∴△ABC的面積等于24，由（1）得：△ACD≌△AED，∴DC=DE，∵S△ACB=S△ACD+S△ADB，∴S△ACB=12AC?CD+1又∵AC=8，AB=10，∴24=12×8×CD+1∴DE=83（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，∴AB=AC+EB，∵AC=AF+CF，CF=BE∴AB=AF+2EB．故答案為：AB=AF+2EB．【解析】【分析】（1）先過點D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，則有∠ACB=∠AED，聯(lián)合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可證．（2）由△ACD≌△AED，證得DC=DE，然后根據(jù)S△ACB=S△ACD+S△ADB即可求得DE．（3）由AC=AE，CF=BE，根據(jù)AB=AE+EB，AC=AF+CF即可證得．【變式31】如圖，△ABC的邊BC的垂直平分線DE交△ABC的外角平分線AD于點D，DF⊥AB于點F，且AB＞AC，試探究BF、AC、AF之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】解：BF=AC+AF，理由如下：如圖，過點D作DG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接CD，DB，∵AD平分∠BAM，DF⊥AB，DG⊥AM，∴DF=DG，∠AFD=∠AGD=∠BFD=90°，∵DE垂直平分BC，∴CD=BD，在Rt△AFD和Rt△AGD中，AD=ADDF=DG∴Rt△AFD≌Rt△AGD(HL)，∴AF=AG，在Rt△BFD和Rt△CGD中，BD=CDDF=DG∴Rt△BFD≌Rt△CGD(HL)，∴BF=CG．∵CG=AC+AG，∴BF=AC+AF．【解析】【分析】BF=AC+AF，理由如下：如圖，過點D作DG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接CD，DB，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得DF=DG，∠AFD=∠AGD=∠BFD=90°，由線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”可得CD=BD，用HL定理可證Rt△AFD≌Rt△AGD，由全等三角形的性質(zhì)得AF=AG，同理證Rt△BFD≌Rt△CGD，則BF=CG，然后由線段的構(gòu)成可求解.【變式32】題型4：角平分線的性質(zhì)的應用面積相關4.如圖，BD是ΔABC的角平分線，DE⊥AB垂足為E，ΔABC的面積為70，AB=16，BC=12，求DE的長.【答案】解：如圖，過點D作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DE=DF，S△ABC=12×16?DE+1所以，14×DE=70，解得DE=5.【解析】【分析】過點D作DF⊥BC于F，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可證得DE=DF，再利用△ABC的面積=△ABD的面積+△BDC的面積，利用三角形的面積公式建立關于DE的方程，解方程求出DE的長.【變式41】如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，如圖DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和38，求△EDF的面積【答案】解：如圖，過點D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，DE=DGDF=DH∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF=S△GDH，設面積為S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF=S△ADH，即38+S=50?S，解得：S=6．∴△EDF的面積為6.【解析】【分析】過點D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得DF=DH，然后利用“HL”證明Rt△DEF≌Rt△DGH，在根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△ADF=S△ADH，列方程求解即可?！咀兪?2】如圖，在ΔABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若ΔABC的面積為21cm2，AB=8cm，AC=6cm，求【答案】解：∵S△ABC又∵DE⊥AB，DF⊥AC，S△ABC∴S△ABC∵AD為∠BAC的平分線，AB=8cm，AC=6cm，∴DE=DF，∴12∴DE=3cm.【解析】【分析】本題根據(jù)等面積性，將△ABC拆分為△ADB和△ADC，繼而利用角平分線的性質(zhì)定理，結(jié)合三角形面積公式求解DE.角的平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.注意：用符號語言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

題型5：角平分線的判定5.如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DAB．【答案】證明：如圖，過點M作ME⊥AD于F，∵∠C=90°，DM平分∠ADC，∴ME=MC，∵M是BC的中點，∴BM=CM，∴BM=EM，又∵∠B=90°，∴點M在∠BAD的平分線上，∴AM平分∠DAB．【解析】【分析】過點M作ME⊥AD于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得ME=MC，再根據(jù)點M是BC的中點可得MB=CM，所以BM=EM，再利用角平分線的判斷即可得到AM平分∠DAB．【變式51】如圖所示,PA=PB,∠1+∠2=180°.求證:OP平分∠AOB.【答案】解：過點P作PE⊥AO,PF⊥BO,垂足分別為E,F,則∠AEP=∠BFP=90°.∵∠1+∠2=180°,∠2+∠PBF=180°,∴∠1=∠PBF.在△APE與△BPF中，∠1=∠PBF，∠AEP=∠BFP，PA=PB,∴△APE≌△BPF,∴PE=PF.∴點P在∠AOB的平分線上,即OP平分∠AOB.【解析】【分析】過P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，證△PEA≌△PFB，得出PE=PF，再根據(jù)角平分線判定即可得出.【變式52】如圖所示，AP、CP分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點P．求證：BP為∠MBN的平分線．【答案】解：過點P作PD⊥MB于點D，PE⊥AC于點E，PF⊥BN于點F，如圖所示：∵AP平分∠MAC，∴PE=PD，同理可證：PE=PF，∴PD=PE=PF，∴BP平分∠MBN．【解析】【分析】過點P作PD⊥MB于點D，PE⊥AC于點E，PF⊥BN于點F，然后易得PE=PD=PF，進而根據(jù)角平分線的判定定理可求證．題型7：角平分線的性質(zhì)與判定綜合6.如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD.求證：（1）AB=AD；（2）CD平分∠ACE.【答案】（1）證明：∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD；（2）證明：∵AD∥BE，∴∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，又∵AB=AC，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠DCE，∴CD平分∠ACE；【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠ADB=∠DBC，由角平分線的概念可得∠ABD=∠DBC，則∠ABD=∠ADB，據(jù)此證明；

（2）由平行線的性質(zhì)得∠ADC=∠DCE，由（1）知AB=AD，結(jié)合AB=AC得AC=AD，由等腰三角形的性質(zhì)得∠ACD=∠ADC，則可推出∠ACD=∠DCE，據(jù)此證明.【變式61】如圖，已知△ABC中BC邊的垂直平分線DE與∠BAC的平分線交于點E，EF⊥AB交AB的延長線于點F，BG⊥AC交AC于點G．求證．（1）BF=CG．（2）若AB=6，AC=8，求AF的長度．【答案】（1）解：如圖，連接BE和CE,∵DE是BC的垂直平分線，∴BE＝CE.∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG.在Rt△BFE和Rt△CGE中，BE=CE，EF=EG，∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF＝CG.（2）解：∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE.在△AFE和△AGE中，∠FAE＝∠GAE，∠AFE＝∠AGE，AE=AE，∴△AFE≌△AGE，∴AF＝AG.∵BF＝CG，∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋CG＝2AF，∵AB=6，AC=8，∴AF=1【解析】【分析】（1）連接BE和CE,根據(jù)DE是BC的垂直平分線，得到BE＝CE，再利用“HL”證明Rt△BFE≌Rt△CGE，即可得到BF=CG；（2）先證出△AFE≌△AGE，再利用全等的性質(zhì)得到對應邊相等求解即可?！咀兪?2】如圖，在△ABC外作兩個大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.連接DC、BE交于F點．（1）求證：△DAC≌△BAE．（2）直線DC、BE是否互相垂直，請說明理由．（3）求證：AF平分∠DFE．【答案】（1）證明：∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，又∵AD=AB，AC=AE，在△DAC與△BAE中AD=AB∴△DAC≌△BAE；（2）解：DC⊥BE．理由是：

如圖，作AN⊥BE于N，

∵△DAC≌△BAE∴∠ACD=∠AEB∵∠AEB+∠ANE=90°∠ANE=∠FNC∴∠FNC+∠ACD=90°∴∠NFC=90°∴DC⊥BE（3）證明：如圖，作AM⊥DC于M，∵△DAC≌△BAE∴S△DAC=∴1∴AM=AN，∴AF平分∠DFE．【解析】【分析】（1）由等式的性質(zhì)得∠DAC=∠BAE，結(jié)合AD=AB，AC=AE，然后根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”進行證明；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ACD=∠AEB，結(jié)合∠AEB+∠ANE=90°可得∠FNC+∠ACD=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠NFC=90°，據(jù)此證明；

（3）作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，由全等三角形的性質(zhì)可得S△DAC=S△BAE，DC=BE，結(jié)合三角形的面積公式可得AM=AN，據(jù)此證明.【變式63】如圖1，射線BD交△ABC的外角平分線CE于點P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）如圖2，AC的垂直平分線交BD于點Q，交AC于點G，QM⊥BC于點M，求MC的長度．【答案】（1）證明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF78°，∠DBF=∠ECF39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF78°=2（∠ECF39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；（2）解：連接AQ，CQ，過點Q作BA的垂線交BA的延長線于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【解析】【分析】（1）由三角形外角的性質(zhì)可∠ABF=∠ACF∠A=∠ACF78°，∠DBF=∠ECF∠BPC=∠ECF39°，由角平分線的定義可得∠ACF=2∠ECF，從而得出∠ABF=2∠ECF78°=2（∠ECF39°）=2∠DBF，根據(jù)角平分線的定義即得結(jié)論；

（2）連接AQ，CQ，過點Q作BA的垂線交BA的延長線于N，先證明Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），可得NA=MC，再證Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），可得NB=MB，從而得出BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，據(jù)此即可求解.題型7：角平分線的實際應用7.某地有兩條相交叉的公路，計劃修建一個飯館：希望飯館點P既在MN這條公路上，又到直線OA、OB的距離相等．你能確定飯館應該建在什么位置嗎？（保留作圖痕跡）【答案】解：如圖所示：，點P的位置就是飯館的位置．【解析】【分析】連接MN作出∠AOB的角平分線OD，與MN的交點P就是飯館位置．【變式71】如圖：某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個公園，要使公園到三條公路的距離相等，應在何處修建？（使用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）并證明你的觀點．【分析】要使公園到三條公路的距離相等，則公園所處位置應在三條公路圍成的三角形的內(nèi)角和外角平分線的交點．【解答】解：如圖，設三條公路圍成的三角形為△ABC，內(nèi)角和外角平分線的交點為O，O1，O2，O3，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，∴OD＝OF，OD＝OE，∴OD＝OE＝OF，即點O到三角形各邊的距離相等；同理可證點O1，O2，O3分別到三角形各邊的距離相等．∵公園是在三條公路圍成的一塊平地上，∴只有點O符合題意.【變式72】太和中學校園內(nèi)有一塊直角三角形（Rt△ABC）空地，如圖所示，園藝師傅以角平分線AD為界，在其兩側(cè)分別種上了不同的花草，在△ABD區(qū)域內(nèi)種植了月季花，在△ACD區(qū)域內(nèi)種植了牡丹花，并量得兩直角邊AB＝10m，AC＝6m，分別求月季花與牡丹花兩種花草的種植面積．【答案】解：過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，E、F是垂足．由SΔABC=SΔADB+∵AD是∠BAC的平分線，∴DE=DF=15∴【解析】【分析】過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，E、F是垂足，由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，根據(jù)SΔABC題型8：三角形中的角平分線8.已知△ABC的三條角平分線相交于點O，過點O作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.求證：OD=OE=OF.【答案】證明：連接BO、CO、AO，∵BO是∠B的角平分線，且OD⊥BC，OF⊥AB，∴OD=OF，同理可得OD=OE，OE=OF，∴OD=OE=OF.【解析】【分析】連接BO、CO、AO，由角平分線上的點到角兩邊距離相等得OD=OF，OD=O，OE=OF，據(jù)此證明.【變式81】如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F.求△AEF的周長．【答案】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝6，AC＝7，∴△AEF的周長為：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝6+7＝13．【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，繼而根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，根據(jù)等量代換求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，即可得到ED=EB，F(xiàn)D=FC?！咀兪?2】如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？【答案】解：過點O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三條角平分線的交點，∴OD=OE=OF，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB:BC:AC=2：3：4．故答案為：2：3：4．【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得到得到點O到三角形三邊的距離相等，即三個三角形的高相等，根據(jù)面積公式求出答案即可。【變式83】如圖①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∠A＝α．（1）如圖①，若∠A＝50°，求∠BOC的度數(shù)．（2）如圖②，連接OA，求證：OA平分∠BAC．（3）如圖③，若射線BO與∠ACB的外角平分線交于點P，求證OC⊥PC．【答案】（1）解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°∠A=130°，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+1∴∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=115°；（2）證明：過點O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OD=OE，OD=OF，∴OE=OF，∴OA平分∠BAC；（3）證明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACP=1∴∠OCP=∠ACO+∠ACP=12∠ACB+1=12=12=90°，∴OC⊥CP．【解析】【分析】（1）先求出∠ABC+∠ACB=130°，再根據(jù)角平分線求出∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=65°，最后求解即可；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OD=OE，OD=OF，再求出OE=OF，最后證明即可；

（3）先求出∠ACO=12一、單選題1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D；若DC=3，AB=8則△ABD的面積是()A．8 B．12 C．16 D．24【答案】B【解析】【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E，又∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DE=DC=3.∴△ABD的面積是12故答案為：B?！痉治觥坑扇切蔚拿娣e公式，可先過點D作DE⊥AB于點E，則DE即為底邊AB上的高；由角平分線的性質(zhì)可知，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，知DE=DC。從而可求出△ABD的面積。2．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點，若PA=4，則PQ的長不可能是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】A【解析】【解答】解：當PQ⊥OM時，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=4，∴PQ即PQ的最小值為4，∴PQ的長不可能是3.5，故答案為：A．【分析】利用角平分線的性質(zhì)和垂線段最短的性質(zhì)可得答案。3．如圖，已知點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到三邊的距離相等，∠A=40°，則∠BOC=（）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】A【解析】【解答】由已知O到三角形三邊距離相等，所以點O是三角形三條角平分線交點，即AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO=∠ABO=12∠ABC，∠BCO=∠ACO=12∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°【分析】由已知O到三角形三邊距離相等，可得點O是三角形三條角平分線交點，即AO，BO，CO都是△ABC的角平分線，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BOC=180°70°=110°。4．如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延長線交于點E,若點P使得S△PAB=S△PCD,則滿足此條件的點P()A．有且只有1個B．有且只有2個C．組成∠E的平分線D．組成∠E的平分線所在的直線(E點除外)【答案】D【解析】【解答】解：作∠E的平分線，可得點P到AB和CD的距離相等，

∵AB=CD，

∴此時點P滿足S△PAB=S△PCD，

故應選：D.【分析】作∠E的平分線，可得點P到AB和CD的距離相等，又AB=CD，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等得出滿足條件的點P在組成∠E的平分線所在的直線(E點除外)。5．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，BD=2CD，AD平分∠BAC，則點D到AB的距離等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【解析】【解答】解：∵BC=12，BD=2CD，∴CD=4，由角平分線的性質(zhì)，得點D到AB的距離等于CD=4.故答案為：B.【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，可得點D到AB的距離=點D到AC的距離=CD.二、填空題6．如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點E，AF⊥BC于點F，BE、AF交于點P，若AB=9，PF=3，則△ABP的面積是.【答案】27【解析】【解答】解：如圖，作PH⊥AB于H.∵BE平分∠ABC，PH⊥AB，PF⊥BC，∴PH=PF=3，∴S△ABP故答案為：272【分析】如圖，作PH⊥AB于H，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出PH=PF=3，進而根據(jù)S△ABP7．如圖，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝18°，則∠AOB的度數(shù)為．【答案】108°【解析】【解答】∵∠COB=2∠AOC，∴∠AOC=13∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∴∠COD=∠AOD∠AOC=12∠AOB13∠AOB=∵∠COD=18?，∴∠AOB=6∠COD=6×18?=108?.故答案為108?

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠AOD=12∠AOB，又因為∠COB=2∠AOC，可得∠AOC=13∠AOB，所以∠COD=∠AOD∠AOC=12∠AOB18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,AD是∠BAC的平分線.若P,Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是.【答案】24【解析】【解答】解：如圖，過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，∵AD是∠BAC的平分線.∴PQ＝PM，這時PC＋PQ有最小值，即CM的長度，∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，S△ABC＝12AB?CM＝1∴CM＝AC?BCAB＝24即PC＋PQ的最小值為245.

故答案為：24【分析】過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，由AD是∠BAC的平分線.得出PQ＝PM，這時PC＋PQ有最小值，即CM的長度，運用勾股定理求出AB，再運用S△ABC＝12AB?CM＝19．如圖，OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，點D在OB上，DH⊥OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，則DH的長為．【答案】12【解析】【解答】解：作PE⊥OB于E，∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PM＝3，S△ODP＝12×OP×DH＝12×OD×∴12×7×DH＝1解得，DH＝127故答案為：127【分析】作PE⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出PE，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．三、作圖題10．如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔．按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖標出它的位置．【答案】解：如圖所示：點P就是發(fā)射塔修建的位置【解析】【分析】利用角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，作出AB的垂直平分線及直線m，n相交的夾角的角平分線即可.四、解答題11．如圖，已知AD⊥BC于點D，E是延長線BA上一點，且EC⊥BC于點C，若∠ACE=∠E.求證：AD平分∠BAC.【答案】證明：∵AD⊥BC于點D，EC⊥BC于點C，∴AD//EC，∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，∵∠ACE=∠E，∴∠BAD=∠DAC，即AD平分∠BAC【解析】【分析】由同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出AD∥EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，即可證明∠BAD=∠DAC，即AD平分∠BAC.12．如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面積是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的長．【答案】解：∵在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF，∵△ABC面積是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，∴S△ABC=12AB?DE+1即12×20×DE