2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專(zhuān)用)專(zhuān)題08三角函數(shù)、平面向量及解三角形新定義題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題08三角函數(shù)、平面向量及解三角形新定義題1．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）對(duì)于分別定義在，上的函數(shù)，以及實(shí)數(shù)，若任取，存在，使得，則稱(chēng)函數(shù)與具有關(guān)系.其中稱(chēng)為的像.(1)若，；，，判斷與是否具有關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，；，，且與具有關(guān)系，求的像；(3)若，；，，且與具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類(lèi)的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值(3)已知，、，，若，，求、之間的曼哈頓距離.3．（23-24高一下·上海楊浦·期中）定義函數(shù)為“正余弦”函數(shù).結(jié)合學(xué)過(guò)的知識(shí)，可以得到該函數(shù)的一些性質(zhì)：容易證明為該函數(shù)的周期，但是否是最小正周期呢？我們繼續(xù)探究：.可得：也為函數(shù)的周期.但是否為該函數(shù)的最小正周期呢？我們可以分區(qū)間研究的單調(diào)性：函數(shù)在是嚴(yán)格減函數(shù)，在上嚴(yán)格增函數(shù)，再結(jié)合，可以確定：的最小正周期為.進(jìn)一步我們可以求出該函數(shù)的值域了.定義函數(shù)為“余正弦”函數(shù)，根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決下列問(wèn)題：(1)求“余正弦”函數(shù)的定義域；(2)判斷“余正弦”函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(3)探究“余正弦”函數(shù)的單調(diào)性及最小正周期，說(shuō)明理由，并求其值域.4．（23-24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱(chēng)為為函數(shù)的“相伴向量”（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求的“相伴向量”；(2)求（1）中函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍；(3)當(dāng)向量時(shí)，其“相伴函數(shù)”為，若，方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．（23-24高二上·北京·期中）個(gè)有次序的實(shí)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)維向量，其中稱(chēng)為該向量的第個(gè)分量．特別地，對(duì)一個(gè)維向量，若，稱(chēng)為維信號(hào)向量．設(shè)，則和的內(nèi)積定義為，且．(1)直接寫(xiě)出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量．(2)證明：不存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量．(3)已知個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量滿(mǎn)足它們的前個(gè)分量都是相同的，求證：．6．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家.他一生有很多發(fā)明和貢獻(xiàn)，其中托勒密定理和托勒密不等式是歐幾里得幾何中的重要定理.托勒密不等式內(nèi)容如下：在凸四邊形中，兩組對(duì)邊乘積的和大于等于兩對(duì)角線的乘積，即，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立.已知凸四邊形中，.(1)當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求線段長(zhǎng)度的最大值及取得最大值時(shí)的邊長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，求線段長(zhǎng)度的最大值.7．（23-24高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）在中，對(duì)應(yīng)的邊分別為(1)求；(2)奧古斯?。芬姿梗挛鳎ˋugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法國(guó)著名數(shù)學(xué)家．柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣．很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來(lái)命名，如柯西不等式?柯西積分公式．其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．①用向量證明二維柯西不等式：②已知三維分式型柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．若是內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)作垂線，垂足分別為，求的最小值．9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)有維向量，，稱(chēng)為向量和的內(nèi)積，當(dāng)，稱(chēng)向量和正交．設(shè)為全體由和1構(gòu)成的元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合．(1)若，寫(xiě)出一個(gè)向量，使得．(2)令．若，證明：為偶數(shù)．(3)若，是從中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿(mǎn)足，猜測(cè)的值，并給出一個(gè)實(shí)例．10．（23-24高一下·上海徐匯·）設(shè)復(fù)平面中向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，給定某個(gè)非零實(shí)數(shù)，稱(chēng)向量為的向量．（1）已知，，求；（2）對(duì)于復(fù)平面中不共線的三點(diǎn)，，，設(shè)，，，求；（3）設(shè)，，的向量分別為，，，已知，，，求的坐標(biāo)（結(jié)果用，，表示）．專(zhuān)題08三角函數(shù)、平面向量及解三角形新定義題1．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）對(duì)于分別定義在，上的函數(shù)，以及實(shí)數(shù)，若任取，存在，使得，則稱(chēng)函數(shù)與具有關(guān)系.其中稱(chēng)為的像.(1)若，；，，判斷與是否具有關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，；，，且與具有關(guān)系，求的像；(3)若，；，，且與具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)不具有，理由見(jiàn)解析；(2)或或；(3)或，【分析】（1）根據(jù)具有關(guān)系的定義及三角函數(shù)的值域判斷即可；（2）根據(jù)具有關(guān)系及三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）利用三角函數(shù)的性質(zhì)先確定，根據(jù)具有關(guān)系的定義得出，再根據(jù)二次函數(shù)的動(dòng)軸定區(qū)間分類(lèi)討論計(jì)算即可.【詳解】（1）與不具有關(guān)系，理由如下：時(shí)，，，所以，則與不具有關(guān)系；（2）由題意可知，所以，又，所以，解之得或或，即的像為或或；（3）對(duì)于，則，所以，即，因?yàn)榕c具有關(guān)系，所以要滿(mǎn)足題意需，使得即可.令，令，則，設(shè)，①若，即時(shí)，，則，②若，即時(shí)，，則，③若，即時(shí)，，則或，顯然無(wú)解，④若，即時(shí)，，則或，顯然無(wú)解，綜上所述：或，2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類(lèi)的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值(3)已知，、，，若，，求、之間的曼哈頓距離.【答案】(1)，余弦距離等于(2)(3)【分析】（1）根據(jù)公式直接計(jì)算即可.（2）根據(jù)公式得到，，計(jì)算得到答案.（3）利用兩角和與差的正弦、余弦公式可求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，結(jié)合題中定義可求得、之間的曼哈頓距離.【詳解】（1），，故余弦距離等于；（2）；故，，則.（3）因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?因?yàn)?，所?因?yàn)?，則，所以.因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以、之間的曼哈頓距離是.3．（23-24高一下·上海楊浦·期中）定義函數(shù)為“正余弦”函數(shù).結(jié)合學(xué)過(guò)的知識(shí)，可以得到該函數(shù)的一些性質(zhì)：容易證明為該函數(shù)的周期，但是否是最小正周期呢？我們繼續(xù)探究：.可得：也為函數(shù)的周期.但是否為該函數(shù)的最小正周期呢？我們可以分區(qū)間研究的單調(diào)性：函數(shù)在是嚴(yán)格減函數(shù)，在上嚴(yán)格增函數(shù)，再結(jié)合，可以確定：的最小正周期為.進(jìn)一步我們可以求出該函數(shù)的值域了.定義函數(shù)為“余正弦”函數(shù)，根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決下列問(wèn)題：(1)求“余正弦”函數(shù)的定義域；(2)判斷“余正弦”函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(3)探究“余正弦”函數(shù)的單調(diào)性及最小正周期，說(shuō)明理由，并求其值域.【答案】(1)(2)偶函數(shù)，理由見(jiàn)解析(3)在是嚴(yán)格減函數(shù)，在上嚴(yán)格增函數(shù)；最小正周期為；理由見(jiàn)解析.值域?yàn)?【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義域的求法，求得的定義域.（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求得的奇偶性.（3）結(jié)合題目所給的解題思路，求得的單調(diào)區(qū)間、最小正周期、值域.【詳解】（1）的定義域?yàn)?（2）對(duì)于函數(shù)，，所以是偶函數(shù).（3），在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以在上遞減.在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞增，所以在上遞增.所以的最小正周期為，在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格增函數(shù).結(jié)合的單調(diào)性可知，的值域?yàn)?4．（23-24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱(chēng)為為函數(shù)的“相伴向量”（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求的“相伴向量”；(2)求（1）中函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍；(3)當(dāng)向量時(shí)，其“相伴函數(shù)”為，若，方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用兩角和余弦公式展開(kāi)化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)相伴函數(shù)的概念求解即可；（2）結(jié)合向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式，根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解即可；（3）由定義得并化簡(jiǎn)（化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式），解方程得或，求得兩根，然后作出函數(shù)，的圖象，由圖象可得且有兩根的的范圍．【詳解】（1），所以函數(shù)的“相伴向量”.（2），，，的取值范圍為；（3），當(dāng)時(shí)，，由，得：，∴或，由，即，而，解得或，即在上有兩個(gè)根，方程在上存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)且在上有兩個(gè)不等實(shí)根，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)在上的圖象和直線，如圖，方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在上的圖象和直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，觀察圖象知：或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.5．（23-24高二上·北京·期中）個(gè)有次序的實(shí)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)維向量，其中稱(chēng)為該向量的第個(gè)分量．特別地，對(duì)一個(gè)維向量，若，稱(chēng)為維信號(hào)向量．設(shè)，則和的內(nèi)積定義為，且．(1)直接寫(xiě)出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量．(2)證明：不存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量．(3)已知個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量滿(mǎn)足它們的前個(gè)分量都是相同的，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩兩垂直的定義，即可求解；（2）根據(jù)題意，不妨設(shè)，得到有7個(gè)分量為，設(shè)的前7個(gè)分量中有個(gè)，得到7個(gè)分量中有個(gè)，進(jìn)而求得的值，即可求解；（3）任取，得到，設(shè)的第個(gè)分量之和為，結(jié)合，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，結(jié)合維向量的定義，則兩兩垂直的4維信號(hào)向量可以為：．（2）解：假設(shè)存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量，因?yàn)閷⑦@14個(gè)向量的某個(gè)分量同時(shí)變號(hào)或?qū)⒛硟蓚€(gè)位置的分量同時(shí)互換位置，任意兩個(gè)向量的內(nèi)積不變，所以，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以?個(gè)分量為，設(shè)的前7個(gè)分量中有個(gè)，則后7個(gè)分量中有個(gè)，所以，可得，矛盾，所以不存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量．（3）解：任取，計(jì)算內(nèi)積，將所有這些內(nèi)積求和得到，則，設(shè)的第個(gè)分量之和為，則從每個(gè)分量的角度考慮，每個(gè)分量為的貢獻(xiàn)為所以，令所以，所以．6．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家.他一生有很多發(fā)明和貢獻(xiàn)，其中托勒密定理和托勒密不等式是歐幾里得幾何中的重要定理.托勒密不等式內(nèi)容如下：在凸四邊形中，兩組對(duì)邊乘積的和大于等于兩對(duì)角線的乘積，即，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立.已知凸四邊形中，.(1)當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求線段長(zhǎng)度的最大值及取得最大值時(shí)的邊長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，求線段長(zhǎng)度的最大值.【答案】(1)，的邊長(zhǎng)為(2)【分析】（1）設(shè)，由托勒密不等式得到，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立，從而得到，由余弦定理得到；（2）在中，利用正弦定理得到，由余弦定理得到，兩式相減結(jié)合基本不等式得到，由三角恒等變換和有界性得到，得到，求出，由余弦定理求出，利用托勒密不等式得到.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)椋?，所以，?dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，，在中，，所以，所以的邊長(zhǎng)為；（2）設(shè)，在中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，所以，由，故，因?yàn)?，，所以，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.7．（23-24高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）在中，對(duì)應(yīng)的邊分別為(1)求；(2)奧古斯?。芬姿梗挛鳎ˋugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法國(guó)著名數(shù)學(xué)家．柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣．很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來(lái)命名，如柯西不等式?柯西積分公式．其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．①用向量證明二維柯西不等式：②已知三維分式型柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．若是內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)作垂線，垂足分別為，求的最小值．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析，②【分析】（1）根據(jù)條件，邊轉(zhuǎn)角得到，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；（2）①利用數(shù)量積的定義，得到，再利用數(shù)量積和模的坐標(biāo)表示，即可證明結(jié)果；②根據(jù)條件及三角形面積公式，利用，得到，結(jié)合余弦定理，令，得到，再求出的范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得即由余弦定理有，若，等式不成立，則，所以，因?yàn)椋?（2）①設(shè)，由，得，從而，即②.又.由三維分式型柯西不等式有.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.由余弦定理得，所以即，則，令，則.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，則，令；則在上遞減，當(dāng)即時(shí)，有最大值，此時(shí)有最小值.8．（23-24高一下·上?！て谥校⑺衅矫嫦蛄拷M成的集合記作．如果對(duì)于向量，存在唯一的向量與之對(duì)應(yīng)，其中坐標(biāo)由確定，則把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系記為或者，簡(jiǎn)記為．例如就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．若在的條件下有最大值，則稱(chēng)此最大值為對(duì)應(yīng)關(guān)系的模，并把的模記作；若存在非零向量及實(shí)數(shù)使得，則稱(chēng)為的一個(gè)特征值．(1)如果，求；(2)如果，計(jì)算的特征值，并求相應(yīng)的；(3)若，要使有唯一的特征值，實(shí)數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？試找出一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①有唯一的特征值，②，并驗(yàn)證滿(mǎn)足這兩個(gè)條件．【答案】(1)(2)，其中且(3)，答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，可求得，可求得.（2）利用向量相等的條件可得，進(jìn)而可求得，進(jìn)而可得其中且．（3）利用，可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可證明當(dāng)時(shí)，有唯一的特征值，且．【詳解】（1）由題意，所以，當(dāng)時(shí)，，最大值也為2，所以．（2）由，可得：，解此方程組可得：，解得．當(dāng)時(shí)，解方程組，此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程，所以此時(shí)方程有無(wú)窮多個(gè)解，為（寫(xiě)出一個(gè)即可），其中且．（3），可得