2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題08三角函數(shù)、平面向量及解三角形新定義題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題08三角函數(shù)、平面向量及解三角形新定義題1．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）對于分別定義在，上的函數(shù)，以及實數(shù)，若任取，存在，使得，則稱函數(shù)與具有關(guān)系.其中稱為的像.(1)若，；，，判斷與是否具有關(guān)系，并說明理由；(2)若，；，，且與具有關(guān)系，求的像；(3)若，；，，且與具有關(guān)系，求實數(shù)的取值范圍.2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）人臉識別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值(3)已知，、，，若，，求、之間的曼哈頓距離.3．（23-24高一下·上海楊浦·期中）定義函數(shù)為“正余弦”函數(shù).結(jié)合學(xué)過的知識，可以得到該函數(shù)的一些性質(zhì)：容易證明為該函數(shù)的周期，但是否是最小正周期呢？我們繼續(xù)探究：.可得：也為函數(shù)的周期.但是否為該函數(shù)的最小正周期呢？我們可以分區(qū)間研究的單調(diào)性：函數(shù)在是嚴格減函數(shù)，在上嚴格增函數(shù)，再結(jié)合，可以確定：的最小正周期為.進一步我們可以求出該函數(shù)的值域了.定義函數(shù)為“余正弦”函數(shù)，根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決下列問題：(1)求“余正弦”函數(shù)的定義域；(2)判斷“余正弦”函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(3)探究“余正弦”函數(shù)的單調(diào)性及最小正周期，說明理由，并求其值域.4．（23-24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為為函數(shù)的“相伴向量”（其中O為坐標原點）．(1)求的“相伴向量”；(2)求（1）中函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍；(3)當向量時，其“相伴函數(shù)”為，若，方程存在4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．5．（23-24高二上·北京·期中）個有次序的實數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個維向量，其中稱為該向量的第個分量．特別地，對一個維向量，若，稱為維信號向量．設(shè)，則和的內(nèi)積定義為，且．(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．(2)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．(3)已知個兩兩垂直的2024維信號向量滿足它們的前個分量都是相同的，求證：．6．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家.他一生有很多發(fā)明和貢獻，其中托勒密定理和托勒密不等式是歐幾里得幾何中的重要定理.托勒密不等式內(nèi)容如下：在凸四邊形中，兩組對邊乘積的和大于等于兩對角線的乘積，即，當四點共圓時等號成立.已知凸四邊形中，.(1)當為等邊三角形時，求線段長度的最大值及取得最大值時的邊長；(2)當時，求線段長度的最大值.7．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）在中，對應(yīng)的邊分別為(1)求；(2)奧古斯丁．路易斯．柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法國著名數(shù)學(xué)家．柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣．很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式．其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用．①用向量證明二維柯西不等式：②已知三維分式型柯西不等式：，當且僅當時等號成立．若是內(nèi)一點，過作垂線，垂足分別為，求的最小值．9．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)有維向量，，稱為向量和的內(nèi)積，當，稱向量和正交．設(shè)為全體由和1構(gòu)成的元數(shù)組對應(yīng)的向量的集合．(1)若，寫出一個向量，使得．(2)令．若，證明：為偶數(shù)．(3)若，是從中選出向量的個數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足，猜測的值，并給出一個實例．10．（23-24高一下·上海徐匯·）設(shè)復(fù)平面中向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，給定某個非零實數(shù)，稱向量為的向量．（1）已知，，求；（2）對于復(fù)平面中不共線的三點，，，設(shè)，，，求；（3）設(shè)，，的向量分別為，，，已知，，，求的坐標（結(jié)果用，，表示）．專題08三角函數(shù)、平面向量及解三角形新定義題1．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）對于分別定義在，上的函數(shù)，以及實數(shù)，若任取，存在，使得，則稱函數(shù)與具有關(guān)系.其中稱為的像.(1)若，；，，判斷與是否具有關(guān)系，并說明理由；(2)若，；，，且與具有關(guān)系，求的像；(3)若，；，，且與具有關(guān)系，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)不具有，理由見解析；(2)或或；(3)或，【分析】（1）根據(jù)具有關(guān)系的定義及三角函數(shù)的值域判斷即可；（2）根據(jù)具有關(guān)系及三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可；（3）利用三角函數(shù)的性質(zhì)先確定，根據(jù)具有關(guān)系的定義得出，再根據(jù)二次函數(shù)的動軸定區(qū)間分類討論計算即可.【詳解】（1）與不具有關(guān)系，理由如下：時，，，所以，則與不具有關(guān)系；（2）由題意可知，所以，又，所以，解之得或或，即的像為或或；（3）對于，則，所以，即，因為與具有關(guān)系，所以要滿足題意需，使得即可.令，令，則，設(shè)，①若，即時，，則，②若，即時，，則，③若，即時，，則或，顯然無解，④若，即時，，則或，顯然無解，綜上所述：或，2．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）人臉識別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值(3)已知，、，，若，，求、之間的曼哈頓距離.【答案】(1)，余弦距離等于(2)(3)【分析】（1）根據(jù)公式直接計算即可.（2）根據(jù)公式得到，，計算得到答案.（3）利用兩角和與差的正弦、余弦公式可求出點、的坐標，結(jié)合題中定義可求得、之間的曼哈頓距離.【詳解】（1），，故余弦距離等于；（2）；故，，則.（3）因為，，所以.因為，所以.因為，所以.因為，則，所以.因為，，所以.因為，，所以.因為，所以、之間的曼哈頓距離是.3．（23-24高一下·上海楊浦·期中）定義函數(shù)為“正余弦”函數(shù).結(jié)合學(xué)過的知識，可以得到該函數(shù)的一些性質(zhì)：容易證明為該函數(shù)的周期，但是否是最小正周期呢？我們繼續(xù)探究：.可得：也為函數(shù)的周期.但是否為該函數(shù)的最小正周期呢？我們可以分區(qū)間研究的單調(diào)性：函數(shù)在是嚴格減函數(shù)，在上嚴格增函數(shù)，再結(jié)合，可以確定：的最小正周期為.進一步我們可以求出該函數(shù)的值域了.定義函數(shù)為“余正弦”函數(shù)，根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決下列問題：(1)求“余正弦”函數(shù)的定義域；(2)判斷“余正弦”函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(3)探究“余正弦”函數(shù)的單調(diào)性及最小正周期，說明理由，并求其值域.【答案】(1)(2)偶函數(shù)，理由見解析(3)在是嚴格減函數(shù)，在上嚴格增函數(shù)；最小正周期為；理由見解析.值域為.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義域的求法，求得的定義域.（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求得的奇偶性.（3）結(jié)合題目所給的解題思路，求得的單調(diào)區(qū)間、最小正周期、值域.【詳解】（1）的定義域為.（2）對于函數(shù)，，所以是偶函數(shù).（3），在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以在上遞減.在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞增，所以在上遞增.所以的最小正周期為，在上是嚴格減函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù).結(jié)合的單調(diào)性可知，的值域為.4．（23-24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為為函數(shù)的“相伴向量”（其中O為坐標原點）．(1)求的“相伴向量”；(2)求（1）中函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍；(3)當向量時，其“相伴函數(shù)”為，若，方程存在4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用兩角和余弦公式展開化簡函數(shù)，再根據(jù)相伴函數(shù)的概念求解即可；（2）結(jié)合向量模的坐標運算公式，根據(jù)輔助角公式化簡函數(shù)，利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解即可；（3）由定義得并化簡（化為一個角的一個三角函數(shù)形式），解方程得或，求得兩根，然后作出函數(shù)，的圖象，由圖象可得且有兩根的的范圍．【詳解】（1），所以函數(shù)的“相伴向量”.（2），，，的取值范圍為；（3），當時，，由，得：，∴或，由，即，而，解得或，即在上有兩個根，方程在上存在4個不相等的實數(shù)根，當且僅當且在上有兩個不等實根，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)在上的圖象和直線，如圖，方程在上有兩個不等實根，當且僅當函數(shù)在上的圖象和直線有兩個公共點，觀察圖象知：或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.5．（23-24高二上·北京·期中）個有次序的實數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個維向量，其中稱為該向量的第個分量．特別地，對一個維向量，若，稱為維信號向量．設(shè)，則和的內(nèi)積定義為，且．(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．(2)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．(3)已知個兩兩垂直的2024維信號向量滿足它們的前個分量都是相同的，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩兩垂直的定義，即可求解；（2）根據(jù)題意，不妨設(shè)，得到有7個分量為，設(shè)的前7個分量中有個，得到7個分量中有個，進而求得的值，即可求解；（3）任取，得到，設(shè)的第個分量之和為，結(jié)合，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，結(jié)合維向量的定義，則兩兩垂直的4維信號向量可以為：．（2）解：假設(shè)存在14個兩兩垂直的14維信號向量，因為將這14個向量的某個分量同時變號或?qū)⒛硟蓚€位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內(nèi)積不變，所以，不妨設(shè)，因為，所以有7個分量為，設(shè)的前7個分量中有個，則后7個分量中有個，所以，可得，矛盾，所以不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．（3）解：任取，計算內(nèi)積，將所有這些內(nèi)積求和得到，則，設(shè)的第個分量之和為，則從每個分量的角度考慮，每個分量為的貢獻為所以，令所以，所以．6．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家.他一生有很多發(fā)明和貢獻，其中托勒密定理和托勒密不等式是歐幾里得幾何中的重要定理.托勒密不等式內(nèi)容如下：在凸四邊形中，兩組對邊乘積的和大于等于兩對角線的乘積，即，當四點共圓時等號成立.已知凸四邊形中，.(1)當為等邊三角形時，求線段長度的最大值及取得最大值時的邊長；(2)當時，求線段長度的最大值.【答案】(1)，的邊長為(2)【分析】（1）設(shè)，由托勒密不等式得到，當四點共圓時等號成立，從而得到，由余弦定理得到；（2）在中，利用正弦定理得到，由余弦定理得到，兩式相減結(jié)合基本不等式得到，由三角恒等變換和有界性得到，得到，求出，由余弦定理求出，利用托勒密不等式得到.【詳解】（1）設(shè)，因為，所以，所以，當四點共圓時等號成立，因為，，在中，，所以，所以的邊長為；（2）設(shè)，在中，因為，所以，所以，因為.所以，當且僅當時等號成立，因為，所以，所以，由，故，因為，，所以，所以.【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.7．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）在中，對應(yīng)的邊分別為(1)求；(2)奧古斯?。芬姿梗挛鳎ˋugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法國著名數(shù)學(xué)家．柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣．很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式．其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用．①用向量證明二維柯西不等式：②已知三維分式型柯西不等式：，當且僅當時等號成立．若是內(nèi)一點，過作垂線，垂足分別為，求的最小值．【答案】(1)(2)①證明見解析，②【分析】（1）根據(jù)條件，邊轉(zhuǎn)角得到，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；（2）①利用數(shù)量積的定義，得到，再利用數(shù)量積和模的坐標表示，即可證明結(jié)果；②根據(jù)條件及三角形面積公式，利用，得到，結(jié)合余弦定理，令，得到，再求出的范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得即由余弦定理有，若，等式不成立，則，所以，因為，所以.（2）①設(shè)，由，得，從而，即②.又.由三維分式型柯西不等式有.當且僅當即時等號成立.由余弦定理得，所以即，則，令，則.因為，得，當且僅當時等號成立，所以，則，令；則在上遞減，當即時，有最大值，此時有最小值.8．（23-24高一下·上?！て谥校⑺衅矫嫦蛄拷M成的集合記作．如果對于向量，存在唯一的向量與之對應(yīng)，其中坐標由確定，則把這種對應(yīng)關(guān)系記為或者，簡記為．例如就是一種對應(yīng)關(guān)系．若在的條件下有最大值，則稱此最大值為對應(yīng)關(guān)系的模，并把的模記作；若存在非零向量及實數(shù)使得，則稱為的一個特征值．(1)如果，求；(2)如果，計算的特征值，并求相應(yīng)的；(3)若，要使有唯一的特征值，實數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試找出一個對應(yīng)關(guān)系，同時滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值，②，并驗證滿足這兩個條件．【答案】(1)(2)，其中且(3)，答案見解析【分析】（1）利用向量的坐標運算可得，可求得，可求得.（2）利用向量相等的條件可得，進而可求得，進而可得其中且．（3）利用，可得，進而可得，進而可證明當時，有唯一的特征值，且．【詳解】（1）由題意，所以，當時，，最大值也為2，所以．（2）由，可得：，解此方程組可得：，解得．當時，解方程組，此時這兩個方程是同一個方程，所以此時方程有無窮多個解，為（寫出一個即可），其中且．（3），可得