第1講整數(shù)和整除教師版

整數(shù)和整除【學習目標】整數(shù)和整除是六年級數(shù)學上學期第一章第一節(jié)內(nèi)容，主要對整數(shù)的分類和整除的概念進行講解，重點是整除的概念理解，難點是整除條件的歸納總結(jié)．通過這節(jié)課的學習一方面為我們后期學習公因數(shù)和公倍數(shù)提供依據(jù)，另一方面也為后面學習有理數(shù)奠定基礎．【基礎知識】1.；2.整除：整數(shù)a除以整數(shù)b，若除得的商是整數(shù)且余數(shù)為零.即稱：a能被b整除；或b能整除a.整除的條件：整除與除盡的關系3.因數(shù)與倍數(shù)：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫b的倍數(shù)，b就叫a的因數(shù)（約數(shù)）.因數(shù)與倍數(shù)的特征：4.能被2整除的數(shù)，能5整除的數(shù)的特征：個位上數(shù)字是0，5；能同時被2、5整除的數(shù)：個位上數(shù)字是0.*能被3整除的數(shù)：一個整數(shù)的各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3整除，這個整數(shù)就能被3整除.*能同時被2、3和5整除的數(shù)：個位數(shù)是0，且各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3整除.【考點剖析】考點一：整數(shù)的意義和分類例1．判斷題（若是正確的，請說明理由；若是錯誤的，請把它改正確）．最小的自然數(shù)是1；最小的整數(shù)是0；非負整數(shù)是自然數(shù)；有最大的正整數(shù)，但沒有最小的負整數(shù)；有最小的正整數(shù)，但沒有最大的負整數(shù)．【難度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×．【解析】（1）錯誤，最小的自然數(shù)是0；（2）錯誤，不存在最小的整數(shù)；（3）正確；（4）錯誤，既沒有最大的正整數(shù)，也沒有最小的負整數(shù)；（5）錯誤，最小的正整數(shù)是1，最大的負整數(shù)是－1．【總結(jié)】本題主要考查與整數(shù)有關的概念．例2把下列各數(shù)放入相應的圈內(nèi)：－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，．【難度】★【答案】整數(shù)：15，－1，0，－63，13；自然數(shù)：15，0，13；正整數(shù)：15，13；負整數(shù)：－1，－63．【解析】整數(shù)包括正整數(shù)、零、負整數(shù)；自然數(shù)包括正整數(shù)和零．【總結(jié)】本題主要考查整數(shù)的分類．例3（1）試說說正整數(shù)、負整數(shù)、零、自然數(shù)、整數(shù)之間的關系；（2）試比較正整數(shù)、負整數(shù)、零的大?。唬?）試比較負整數(shù)、自然數(shù)的大?。倦y度】★★【答案】（1）整數(shù)包括正整數(shù)、零、負整數(shù)；自然數(shù)包括正整數(shù)和零；（2）正整數(shù)大于0，負整數(shù)小于0，正整數(shù)大于負整數(shù)；（3）自然數(shù)大于負整數(shù)；例4五個連續(xù)的自然數(shù)，已知中間數(shù)是，那么其余四個數(shù)分別是______、______、______、______．若這五個連續(xù)自然數(shù)的和是20，試求這五個數(shù)．【難度】★★【答案】．這五個數(shù)是：2、3、4、5、6．【解析】列方程：解得：∴這五個數(shù)是：2、3、4、5、6．【總結(jié)】本題主要考查如何利用已知的字母去表示與其連續(xù)的整數(shù)．考點二：整除的意義例1．老師問：“當時，時，能被整除嗎？”一個同學回答：“因為商是，是整數(shù)，所以能被整除．”你認為對嗎？【難度】★【答案】不對【解析】整除要求被除數(shù)、除數(shù)、商是整數(shù)，且余數(shù)是零；本題只滿足了商是整數(shù)，余數(shù)是 0，忽略了對被除數(shù)、除數(shù)的要求；【總結(jié)】本題主要考查整除所滿足的條件．例2下列各組數(shù)中，如果第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除，請在下面的（）內(nèi)打“√”，不能整除的打“×”．18和9（） 15和30（） 0．4和4（）14和6（） 17和35（） 9和0．5（）【難度】★【答案】橫向：√×××××【解析】整除的意義：整數(shù)除以整數(shù)，如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說能 被整除；或者說能整除．只有18和9滿足；【總結(jié)】本題主要考查整除所滿足的條件．師生總結(jié)師生總結(jié)整除的條件是什么？“a能整除b”與“a能被b整除”的區(qū)別是什么？歸納總結(jié)歸納總結(jié)1．除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)；2．被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且沒有余數(shù).歸納總結(jié)歸納總結(jié)整數(shù)a除以整數(shù)b，如果除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。例3已知下列除法算式： 57÷7=8……1； 21÷7=3； 22÷0.2=110； 22÷5=4.4； 0÷3=0； 2÷4=0.5． （1）表示能除盡的算式有哪幾個？ （2）哪些算式中可以說被除數(shù)能被除數(shù)整除？【難度】★【答案】（1）21÷7=3； 22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0； 2÷4=0.5．（2）21÷7=3；0÷3=0．【解析】除盡只要求余數(shù)為零即可，整除要求被除數(shù)、除數(shù)、商是整數(shù)，且余數(shù)是零；【總結(jié)】本題主要考查整除和除盡的區(qū)別．例4把表示下列算式的序號填入適當?shù)目崭駜?nèi)．（1）30÷10； （2）7÷25；（3）35÷0．1； （4）18÷3；（5）0．4÷2； （6）3．9÷0．3；（7）27÷9； （8）16÷4．除數(shù)能整除被除數(shù)的：________________________________________； 能夠除盡的：________________________________________________．【難度】★★【答案】除數(shù)能整除被除數(shù)的：（1）（4）（7）（8）；能夠除盡的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【解析】除盡只要求余數(shù)為零即可，整除要求被除數(shù)、除數(shù)、商是整數(shù)，且余數(shù)是零；【總結(jié)】本題主要考查整除和除盡的區(qū)別．師生總結(jié)師生總結(jié)整除與除盡有什么相同點？2、除與除盡有什么不同點？區(qū)別“整除”與“除盡”的概念被除數(shù)和除數(shù)商整除都是整數(shù)，除數(shù)不等于0商是整數(shù)，余數(shù)為0除盡不一定是整數(shù)，除數(shù)不等于0商是整數(shù)或有限小數(shù)，沒有余數(shù)注意：其實，整除是除盡的一種特殊形式。例5.一個兩位數(shù)，能被5整除，其個位數(shù)字減十位數(shù)字的差是正整數(shù)中最小的偶數(shù)，求這個兩位數(shù)．【難度】★★【答案】35【解析】能被5整除的數(shù)字，位數(shù)是0或5；個位數(shù)字減十位數(shù)字的差是2，說明個位不能 是0，所以個位數(shù)字是5，十位數(shù)字是3，這個兩位數(shù)是35．【總結(jié)】本題主要考查能被5整數(shù)的數(shù)的特征．例6.15支鉛筆分給幾個學生，每人發(fā)的一樣多且不止1支，并且正好分完，可以分給幾個人？每人幾支？有幾種分法？【難度】★★【答案】兩種分法：（1）3個人，每人5支；（2）5個人，每人3支．【解析】將15分解可得：題目要求每人不止1支，排除掉1和15，故有兩種分法：（1）3個人，每人5支；（2）5個人，每人3支．【總結(jié)】本題主要考查如何利用整除解決實際問題．考點三：因數(shù)和倍數(shù)的意義例1．有一個算式，則可以說______能被______整除，也可以說______能整除______，還可以說______和______是______的因數(shù)，______是______和______的倍數(shù)．【難度】★【答案】63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；【解析】因數(shù)和倍數(shù)的意義：整數(shù)能被整數(shù)整除，就叫做的倍數(shù)，就叫做的因 數(shù)（也稱為約數(shù)）．【總結(jié)】本題主要考查因數(shù)和倍數(shù)的概念．例2分別寫出12、19和36的因數(shù)，再分別寫出這三個數(shù)的倍數(shù)（倍數(shù)只需從小到大依次寫3個）．【難度】★【答案】12的因數(shù)：1，2，3，4，6，12；倍數(shù)是：12，24，36……19的因數(shù)：1，19；倍數(shù)是：19，38，57……36的因數(shù)：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍數(shù)是：36，72，108……【解析】∵；∴12的因數(shù)：1，2，3，4，6，12；倍數(shù)是：12，24，36……∵；∴19的因數(shù)：1，19；倍數(shù)是：19，38，57……∵；∴36的因數(shù)：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍數(shù)是：36，72，108……【總結(jié)】本題主要考查因數(shù)和倍數(shù)的概念．例3.在圈內(nèi)填寫滿足條件的數(shù)：

18的因數(shù)27的因數(shù)

既是18的因數(shù)又是27的因數(shù)【難度】★【答案】18的因數(shù)：1，2，3，6，9，18；27的因數(shù)：1，3，9，27；既是18的因數(shù)又是27的因數(shù)：1，3，9【解析】∵；∴18的因數(shù)：1，2，3，6，9，18；∵；∴27的因數(shù)：1，3，9，27；∴既是18的因數(shù)又是27的因數(shù)有：1，3，9．【總結(jié)】本題一方面考查如何求一個正整數(shù)的因數(shù)，另一方面考查如何求兩個正整數(shù)相同的因數(shù)．例4.下列各數(shù)中是否含有相同的因數(shù)，若含有請指出．（1）6和9； （2）27和51．【難度】★★【答案】（1）含有相同的因數(shù)：1和3；（2）含有相同的因數(shù)：1和3．【解析】（1）∵，；∴6和9含有相同的因數(shù)：1和3；（2）∵，；∴27和51含有相同的因數(shù)：1和3；【總結(jié)】本題主要考查如何求出兩個不相等的正整數(shù)所含有的相同的因數(shù)．例5.從小到大依次寫出10個2的倍數(shù)：_____________________________________；從小到大依次寫出10個3的倍數(shù)：_____________________________________；其中__________________________既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)．【難度】★★【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；3，6，9，12，15，18，21，24，27，30；6，12，18，24，30；例6.已知：，，則和相同的因數(shù)有哪些？【難度】★★【答案】1，3，5，15．【解析】∵，∴A的因數(shù)有：1，2，3，5，6，10，15，30； ∵，∴B的因數(shù)有：1，3，5，9，15，45． ∴和相同的因數(shù)有：1，3，5，15．【總結(jié)】本題主要考查如何求兩個不相等的正整數(shù)所含有的相同因數(shù)．例7.一個正整數(shù)只有2個因數(shù)而且這個數(shù)比10小，這個數(shù)可以是多少？【難度】★★【答案】2，3，5，7【解析】只有兩個因數(shù)，說明這個數(shù)只能分解成1乘以本身，這樣的數(shù)有2，3，5，7；【總結(jié)】本題主要考查因數(shù)的概念．例8.兩個2位數(shù)的積是216，這兩個數(shù)的和是多少？【難度】★★【答案】30【解析】∵，∴這兩個數(shù)是12和18，和是30．【總結(jié)】本題主要是對因數(shù)的概念的綜合運用．例9.1到100之間，因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)的自然數(shù)有哪些？【難度】★★【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100【解析】因數(shù)是奇數(shù)的數(shù)是平方數(shù)，1－100之間的平方數(shù)是1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；【總結(jié)】當一個正整數(shù)是平方數(shù)時，它的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個．例10.李明去兒童樂園玩，兒童樂園是1路車和13路車的始發(fā)站，1路車每5分鐘發(fā)車一次，13路車每6分鐘發(fā)車一次．現(xiàn)在這兩路車同時發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又同時發(fā)車？【難度】★★【答案】15分鐘【解析】因為5的倍數(shù)有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60……； 6的倍數(shù)有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60……；所以至少再經(jīng)過30分鐘又同時發(fā)車．【總結(jié)】本題主要是利用倍數(shù)的概念來解決實際問題．師生總結(jié)師生總結(jié)1、求一個整數(shù)的因數(shù)的方法有哪些？2、求一個整數(shù)的倍數(shù)的方法有哪些？3、一個正整數(shù)的最小的因數(shù)和最大的因數(shù)是什么？4、一個正整數(shù)最小的倍數(shù)是什么？歸納總結(jié)：歸納總結(jié)：1．一個數(shù)的因數(shù)是有限的；2．最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；3．一個數(shù)的因數(shù)通常是成對出現(xiàn)的。歸納總結(jié)：歸納總結(jié)：1．一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的；2．最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。找一個數(shù)的因數(shù)的方法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找表示一個數(shù)的因數(shù)的方法：（1）列舉法（2）用集合圈表示找一個數(shù)的倍數(shù)的方法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一個數(shù)的倍數(shù)的表示方法：（1）列舉法（2）用集合圈表示例11.一筐蘋果，2個一拿或3個一拿或4個一拿或5個一拿都正好拿完沒有余數(shù)，問這筐蘋果最少有多少個？【難度】★★★【答案】60【解析】通過枚舉法會發(fā)現(xiàn)2、3、4、5的最小的倍數(shù)是60，所以至少再經(jīng)過30分鐘又同時發(fā)車．【總結(jié)】本題主要是利用倍數(shù)的概念來解決實際問題．考點四：能被2、5整除的數(shù)例1．已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇數(shù)？哪些是偶數(shù)？【難度】★【答案】奇數(shù)：11，15，19，123，787；偶數(shù)：32，56，312，566．【解析】32，56，312，566能被2整除，是偶數(shù)，11，15，19，123，787不能被2整除，是奇數(shù)．【總結(jié)】本題主要考查奇數(shù)和偶數(shù)的概念．例2．已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的數(shù)有_____________．【難度】★【答案】25，70，105，370．【解析】個位上是0或5的整數(shù)是能被5整除的數(shù)．【總結(jié)】本題主要考查能被5整除的數(shù)的特征．例3．在圈內(nèi)寫出滿足條件的數(shù)：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．

能被2整除的數(shù)能被5整除的數(shù)能同時被2和5整除的數(shù)【難度】★【答案】能被2整除的數(shù)：12，40，80，94，210，354，760；能被5整除的數(shù)：25，40，75，80，105，210，465，760；能同時被2和5整除的數(shù)：40，80，210，760．【解析】能被2整除的數(shù)的特征：個位上是0，2，4，6，8的整數(shù)；能被5整除的數(shù)的特征：個位上是0或5的整數(shù)；能同時被2和5整除的數(shù)的特征：個位上是0的整數(shù)．【總結(jié)】本題主要考查能被2和5整除的數(shù)的特征．例4．三個連續(xù)的偶數(shù)的和是54，則其中最小的一個是______．【難度】★★【答案】16【解析】設三個數(shù)分別是：．則：，解得：． ∴=16．∴最小的數(shù)是16．【總結(jié)】本題考查如何用字母來表示三個連續(xù)的整數(shù)．例5．請判斷下列算式的結(jié)果是偶數(shù)還是奇數(shù)，偶數(shù)則打“√”，奇數(shù)則打“×”．（） （） （）（） （） （）（） （） （）【難度】★★【答案】橫向：√√√××√√√×【解析】偶數(shù)與偶數(shù)的和、差、積都是偶數(shù)；奇數(shù)與偶數(shù)的和、差是奇數(shù)，積是偶數(shù)；奇數(shù)與奇數(shù)的和、差是偶數(shù)，積是奇數(shù)；師生總結(jié)師生總結(jié)奇數(shù)偶數(shù)的運算性質(zhì)有哪些？定義：定義：1．如果一個整數(shù)能被2整除，稱該整數(shù)為偶數(shù)；2．如果一個整數(shù)不能被2整除，稱該整數(shù)為奇數(shù)。歸納總結(jié)：歸納總結(jié)：1．能被2整除的整數(shù)，個位上數(shù)字為0、2、4、6、8；2．能被5整除的整數(shù)，個位上數(shù)字為0、5。歸納總結(jié)：歸納總結(jié)：既能被2整除又能被5整除的整數(shù)，個位上數(shù)字為0；歸納總結(jié)：歸納總結(jié)：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除【真題演練】1：（浦東四署2018期中2）下面各組數(shù)中，第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除的是（）A.12和36；B.6和0.3；C.45和9；D.0.2和2.【答案】考查整除的條件：三整一零.選C.【點睛】弄清整除還是被整除！2.（閔行2016期中3）下列說法正確的是（）（A）一個正整數(shù)的最大因數(shù)減去這個正整數(shù)的最小倍數(shù)，所得的差一定等于零（B）正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（C）因為，所以能被整除（D）16的因數(shù)有2，4，8，16【答案】A3.（浦東四署2016期中3）下列說法中正確的是()(A)任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個（B）1是所有正整數(shù)的因數(shù)（C）一個數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大（D）3的因數(shù)只有它本身【答案】B4.（浦東四署2017期中2）下列說法正確的有（）①16能被32整除②正整數(shù)一定是自然數(shù)③12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12共6個④如果兩個數(shù)互素，那么這兩個數(shù)不可能都是合數(shù)（A）1個 ； （B）2個； （C）3個； （D）4個．【答案】B5.（楊浦2015期中15）下列各數(shù)中，能同時被2、3、5整除的數(shù)是（）（A）20 （B）25 （C）30 （D）35【答案】C6.（浦東一署2017期中4）在下列語句中，正確的是（）A.整數(shù)分為正整數(shù)和負整數(shù)；B.因為，所以17是因數(shù)；C.1是所有正整數(shù)的因數(shù)；D.整數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大.【答案】C7.（普陀2017期中7）最小的正整數(shù)是.【答案】18.（楊浦2015期中3）15的所有因數(shù)的和是________【答案】249.（黃浦2016期中11）小于50（包括50）的自然數(shù)中，既能被3整除，又能被5整除的數(shù)有個；【答案】3個10.（閔行2015期中8）28的因數(shù)有.【答案】1、2、4、7、14、2811.（閔行2016期中12）身邊的數(shù)學：110是報警，120是急救，114是查詢，96315是投訴，119是火警，在這些號碼中，能同時被2和5整除的是________________(填號碼)【答案】110，120；12．（浦東三署2016期中4）在數(shù)14、20、32、45、230中，既能被2整除，又能被5整除的數(shù)有【答案】20，230；13.（浦東四署2016期中9）一個數(shù)的最小倍數(shù)是12，這個數(shù)的因數(shù)有________________.【答案】1、2、3、4、6、12；14.（楊浦2014期中3）5÷2＝2.5，那么2（填“能”或“不能”）整除5.【答案】不能15.（川沙南校2018期中2）40以內(nèi)9的倍數(shù)有；【答案】9、18、27、36；16.（寶山2017期中5）既有因數(shù)3，又是2和5的倍數(shù)的最小三位數(shù)是.【答案】120；17.（普陀2017期中8）寫出30以內(nèi)的正整數(shù)中，7所有的倍數(shù).【答案】7、14、21、2818.（普陀2017期中10）正整數(shù)中，能同時被2和5整除的最大的兩位數(shù)是.【答案】90；19.（浦東2015期末9）在能被7整除的兩位數(shù)中，最小的一個兩位數(shù)是.【答案】14.20：（新竹園2018期中1）240有個因數(shù).【答案】方法1：列乘法算式：故一共有20個因數(shù)；方法2：列除法算式：，，所以一共有20個因數(shù)；方法3：用分解素因數(shù)，因為,所以一共有：=20因數(shù).【點睛】感悟每一種方法，體會它們的異同點.21：三位數(shù)B2A能同時被2、3、5整除，求字母A、B.【答案】因為能同時被2、3和5整除的數(shù)：個位數(shù)是0，且各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3整除.故A＝0，且B+2+0能被3整除，因此B＝1或4或7，故A＝0，B＝1或4或7.【點睛】先考慮被2、5整除，然后再考慮被3整除.22：求出100以內(nèi)是9的倍數(shù)的所有偶數(shù)的和.【答案】100以內(nèi)9的倍數(shù)有：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99；其中偶數(shù)之和為：18+36+54+72+90＝270.【點睛】9的倍數(shù)中的偶數(shù)之和.【過關檢測】1.78的因數(shù)有哪些？把其中的奇數(shù)和偶數(shù)分別填入相應的圈內(nèi)．【難度】★★【答案】奇數(shù)有1，3，13，39，偶數(shù)有2，6，26，78．【解析】78的因數(shù)有1，2，3，6，13，26，39，78；其中，奇數(shù)有1，3，13，39，偶數(shù)有2，6，26，78．【總結(jié)】本題主要考查對因數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)這些基本概念的理解．1.先把下列各數(shù)放入正確的圈內(nèi)，然后把這些數(shù)按照從小到大的順序排列，并說明其中最小的正整數(shù)，最小的自然數(shù)，最大的負整數(shù)分別是哪個？－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．【難度】★【答案】整數(shù)：－1，2，15，0，1，－8，10；自然數(shù)：2，15，0，1，10；正整數(shù)：2，15，1，10；負整數(shù)：－1，－8；從小到大排序為：－8，－1，－0.7，－0.3，0，0.3，1，2，3.83，4.732732……，10，15；其中最小的正整數(shù)是1，最小的自然數(shù)是0，最大的負整數(shù)是－1．2.一個三位數(shù)，能被2整除時，中最大填______；能被5整除時，中最小填______．【難度】★【答案】8，0【解析】能被2整除的數(shù)個位數(shù)字是0，2，4，6，8；能被5整除的數(shù)個位數(shù)字是0，5；【總結(jié)】本題主要考查能被2整除以及能被5整除的數(shù)的特征．3.判斷題：若，則一定能整除．（ ）整數(shù)的最大因數(shù)正好等于整數(shù)的最小倍數(shù)，則一定大于．（ ）(3)因為，所以是的倍數(shù)．（）(4)因為整數(shù)742