專題1.1-探索勾股定理(知識講解)-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練北師大版

專題1.1探索勾股定理（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】探索直角三角形三邊關(guān)系，掌握勾股定理的內(nèi)容；掌握勾股定理的證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長．2.掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題．3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題．【要點梳理】要點一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.特別說明：：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.要點二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.要點三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；利用勾股定理，作出長為的線段.要點四、勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.特別說明：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；【典型例題】類型一、用勾股定理解直角三角形1．如圖，某斜拉橋的主梁AD垂直于橋面MN與點D，主梁上有兩根拉索分別為AB、AC．（1）若拉索，AB、BC的長度分別為10米、26米，則拉索AC＝米；（2）若AB、AC的長分別為13米，20米，且固定點B、C之間的距離為21米，求主梁AD的高度．【答案】（1）24米；（2）12米【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理建立方程即可得解．解：（1）∵，AB、BC的長度分別為10米、26米，由勾股定理得：故答案為：AC=24米；（2）∵，∴BD＝21﹣CD，∵，∴，∴，∴BD＝5，【點撥】本題考查了勾股定理結(jié)合方程的應(yīng)用；關(guān)鍵在于根據(jù)勾股定理建立方程．【變式】如圖，在ABC中，AC=13cm，AB=15cm，BC=14cm，求BC邊上的高AD．【答案】12cm【分析】設(shè)BD=xcm，則CD=(14﹣x)cm，依題意有152﹣x2=132﹣(14﹣x)2，求得x=9，再根據(jù)勾股定理求得AD．解：設(shè)BD=xcm，則CD=(14﹣x)cm，依題意有152﹣x2=132﹣(14﹣x)2，解得x=9，故BC邊上的高AD為12cm．【點撥】本題考查了勾股定理，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方，本題關(guān)鍵是求出BD的長．類型二、勾股（樹）數(shù)的問題1．如圖,以直角三角形的三邊為邊分別向外作三個正方形,其中的兩個正方形面積為A=25平方厘米,C=169平方厘米,求B面積.【答案】144平方厘米.【分析】設(shè)正方形A，B，C的邊長分別為a，b，c，由勾股定理得a2+b2=c2，然后根據(jù)a2=25，c2=169即可求出b2，也就是B的面積.解：設(shè)正方形A，B，C的邊長分別為a，b，c，則a2+b2=c2，∵a2=25，c2=169，∴b2=169-25=144，∴B面積是144平方厘米.【點撥】此題考查了勾股定理以及正方形的面積公式．勾股定理最大的貢獻就是溝通“數(shù)”與“形”的關(guān)系，它的驗證和利用都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，即把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來解決．能否由實際的問題，聯(lián)想到用勾股定理的知識來求解是本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.(1)如果a=6，b=8，求c；(2)如果a=12，c=13，求b.【答案】(1)c＝10(2)b＝5【分析】根據(jù)勾股定理、代入已知數(shù)據(jù)計算即可．解：(1)a=6，b=8，（2）a=12,c=13故答案為(1)c＝10(2)b＝5【點撥】本題考查了勾股定理，熟練掌握對應(yīng)值是解題關(guān)鍵2．已知：整式，整式．嘗試:化簡整式．發(fā)現(xiàn):，求整式．聯(lián)想:由上可知，，當(dāng)n＞1時為直角三角形的三邊長，如圖．填寫下表中的值：直角三角形三邊勾股數(shù)組Ⅰ/8勾股數(shù)組Ⅱ/【答案】嘗試：；發(fā)現(xiàn)：；聯(lián)想：17，37.【分析】先根據(jù)完全平方公式和整式的混合運算法則求出A，進而求出B，再把n的值代入即可解答．【詳解】A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，當(dāng)2n=8時，n=4，∴n2+1=42+1=17；當(dāng)n2﹣1=35時，n2+1=37．故答案為17；37．【點撥】本題考查了勾股數(shù)的定義．掌握勾股數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式】王老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計了如下數(shù)表：n2345…a22?132?142?152?1…b46810…c22+132+142+152+1…(1)請你分別觀察a,b,c與n之間的關(guān)系,并用含自然數(shù)n(n>1)的代數(shù)式表示：a=___，b=___，c=___.(2)猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形?并證明你的猜想?(3)觀察下列勾股數(shù)32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412，分析其中的規(guī)律，寫出第五組勾股數(shù).【答案】（1）n2?1，2n，n2+1；（2）是直角三角形；（3）112+602=612.【分析】（1）探究規(guī)律后，利用規(guī)律即可解決問題；

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理證明即可；

（3）觀察發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)的奇數(shù)，另外兩個數(shù)的底數(shù)的和是這個奇數(shù)的平方，由此即可解決問題；解：（1）由題意：a=n2-1，b=2n，c=n2+1，

故答案為n2-1，2n，n2+1；

（2）猜想：以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．

理由：∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1，

∴a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2=c2，

∴以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．

（3）觀察可知：第五組勾股數(shù)為：112+602=612．【點撥】考查勾股數(shù)、規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會觀察，學(xué)會尋找規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．類型三、以直角三角形三邊長求圖形面積3．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的長；（2）求△ADB的面積．【答案】（1）DE=3；（2）.【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的長，然后計算△ADB的面積.解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：∴△ADB的面積為.舉一反三：【變式】如圖所示，，，，求正方形的面積.【答案】.【分析】在中根據(jù)勾股定理計算出AB2的長度，在中根據(jù)勾股定理計算出BD2，從而得出正方形BEFD的面積.解：在中，根據(jù)勾股定理，得.在中，根據(jù)勾股定理，得.所以.【點撥】本題考查用勾股定理計算線段的長度，在本題中利用勾股定理計算線段的長度時，可只求線段的平方.類型四、勾股定理與折疊問題4．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，BG=10，當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時，求△EFG的面積．【答案】25.【分析】先利用翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理求出AE的長，進而利用勾股定理求出AF和EF的長，即可得出△EFG的面積．解：如圖，過G作GH⊥AD于H，∵在Rt△GHE中，∠GHE=90°，GE=BG=10，GH=8，∴AE=10﹣6=4．設(shè)AF=x，則EF=BF=8﹣x，∵在Rt△GHE中，∠A=90°，∴AF2+AE2=EF2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴AF=3，BF=EF=5，∴△EFG的面積=12EF?EG=1【點撥】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理以及三角形面積求法等知識，注意利用翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，，，．現(xiàn)將進行折疊，使點A恰好與點B重合，求折痕DE的長．【答案】．【分析】由折疊的性質(zhì)可知，，利用勾股定理，解出，設(shè)，，在中，由勾股定理解得即，最后在中再利用勾股定理解題即可．解：由折疊可知，在中，∵，，，設(shè)，則，在中，，∴，在中．【點撥】本題考查三角形中的折疊問題、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，四邊形ABCD是一個矩形，BC=10cm，AB=8cm。現(xiàn)沿AE折疊，使點D恰好落在BC邊上的點F處，求：（1）BF的長；（2）CE的長.【答案】(1)6;(2)3.【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=AD=10,在直角三角形ABF利用勾股定理即可證明；（2）由EF＝DE＝CD-CE＝8-CE，CF＝BC-BF＝4在Rt△EFC中利用EF2＝CF2+CE2，即（8-CE）2＝16+CE2，即可求出CE的長.解：∵矩形ABCD

∴AD＝BC＝10,CD＝AB＝8,∠B＝∠C＝∠D＝90

∵△ADE沿AE折疊至△AFE

∴AF＝AD＝10,EF＝DE＝CD-CE＝8-CE

∴CF＝BC-BF＝10-6＝4

∵EF2＝CF2+CE2

∴（8-CE）2＝16+CE2

∴CE＝3【點撥】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的應(yīng)用.類型五、利用勾股定理求兩線段平方和（差）5．如圖，∠AOB=90°，OA=90cm，OB=30cm，一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點C處截住了小球，如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，試求機器人行走的路程BC是多少？【答案】.【分析】根據(jù)小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，得到BC＝AC，設(shè)BC＝AC＝，根據(jù)勾股定理求出的值即可．解：∵小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，

∴BC＝AC，

設(shè)BC＝AC＝，

則OC＝cm，

在Rt△BOC中，

∵，

∴，

解得．

答：機器人行走的路程BC為50cm．【點撥】本題考查的是勾股定理，掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖，在中，，求BD的值.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路，完成解答過程.（1）過點A作交BC于D，設(shè)，用含的代數(shù)式表示CD，則______.（2）請根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”建立方程，并求出的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)BD=x，由CD=BC-BD表示出CD，（2）分別在直角三角形ABD與直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到AD的長解：（1）設(shè)BD=x，CD=BC-BD=（2）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，

設(shè)BD=x，則有CD=14-x，由勾股定理得：故，解得：.【點撥】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．類型六、利用勾股定理求線段之間關(guān)系1．如圖，在四邊形中，，于點，.求證.【分析】根據(jù)勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，進而得出AB=BC；證明：連接.∵，∴.∵，∴.∵，∴.∴.∴.【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.舉一反三：【變式1】如圖和都是等腰直角三角形，，，頂點在的斜邊上，求證：．【分析】連結(jié)BD，易證，即BD=AE、AC=BC．又