14充分與必要條件(典例精講)-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)精講檢測(人教A版2019)

1.4充分與必要條件典例精講典例精講一、命題【例1】(技巧點(diǎn)撥：命題概念）下列語句是命題的是（）①三角形的內(nèi)角和等于；②；③；④這座山真險(xiǎn)啊！A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】A【分析】能夠判斷真假的陳述語句是命題，據(jù)此判斷即可.【詳解】①三角形的內(nèi)角和等于是命題；②是命題；③不能判斷真假，故不是命題；④這座山真險(xiǎn)?。〔皇顷愂鼍?，因此不是命題.故選：A.【例2】(技巧點(diǎn)撥：命題的“若。。，則。。”形式）命題“對頂角相等”改寫成“若，則”的形式是__．【答案】“若兩個(gè)角是對頂角，則這兩個(gè)角相等”【分析】從命題中找出條件和結(jié)論，然后改成“若，則”的形式即可.【詳解】命題“對頂角相等”改寫成“若，則”的形式是“若兩個(gè)角是對頂角，則這兩個(gè)角相等”．故答案為：“若兩個(gè)角是對頂角，則這兩個(gè)角相等”．【例3】(技巧點(diǎn)撥：命題真假判斷）將下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷命題的真假．（1）6是12和18的公約數(shù)；（2）能被6整除的整數(shù)，一定能被3整除；（3）平行四邊形的對角線互相平分；（4）已知，為非零自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，，．【答案】答案見解析.【分析】一般的，命題都可以寫成“若，則”的形式，加上適當(dāng)?shù)男揎椪Z即可.【詳解】（1）若一個(gè)數(shù)是6，則它是12和18的公約數(shù)，是真命題；（2）若一個(gè)整數(shù)能被6整除，則這個(gè)數(shù)能被3整除，是真命題；（3）若一個(gè)四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分，是真命題；（4）已知，為非零自然數(shù)，若，則，，也可以為，，是假命題．【例4】(技巧點(diǎn)撥：命題中的計(jì)算）已知：，：，請確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使得由，構(gòu)造的命題“若，則”為真命題.【答案】答案見解析.【分析】當(dāng)令為，為，得到“若，則”，從而得到，當(dāng)為，為，得到“若，則”，從而得到.【詳解】令為，為，則命題“若，則”為“若，則”，由命題為真命題可得，解得.故當(dāng)時(shí)，“若，則”為真命題.令為，為，則命題“若，則”為“若，則”，由命題為真命題可得，解得.故當(dāng)時(shí)，“若，則”是真命題.【例5】(技巧點(diǎn)撥：命題中的計(jì)算）已知命題p:方程x22xa=0沒有實(shí)數(shù)根;命題q:不等式x2ax+4>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立.若命題p和q都是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】【解析】【分析】根據(jù)命題的真假，結(jié)合根的判別式，即可分別求出參數(shù)取值范圍，最后取交集即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)命題p為真命題時(shí),應(yīng)有4+4a<0,解得a<1;命題q是真命題時(shí),應(yīng)有a216<0,解得4<a<4.所以當(dāng)命題p和q都是真命題時(shí),a應(yīng)滿足即4<a<1,因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(4,1).【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1、給出命題“方程x2＋ax＋1＝0沒有實(shí)數(shù)根”，則使該命題為真命題的a的一個(gè)值可以是A．4 B．2 C．1 D．－3【答案】C【分析】根據(jù)根的判別式求出a的范圍，在選項(xiàng)中選出符合條件的值即可.【詳解】方程無實(shí)根，所以，解得：，所以只有1符合；故選C.2、“非空集合的元素都是集合的元素”是假命題，則以下四個(gè)命題：⑴的元素都不是P的元素；⑵中有不屬于元素；⑶中有的元素；⑷的元素不都是的元素，其中真命題的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】試題分析：原命題為假則它的否定為真，故（4）為真命題，“的元素不都是的元素”又說明“中有不屬于元素”故（2）正確，選B.二、充分條件和必要條件【例6】(技巧點(diǎn)撥：充分性）如果對于任意實(shí)數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，那么“”是“成立”的()．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若“”，設(shè)其中

即“”成立能推出“”成立

反之，例如滿足但，即成立，推不出故“”是“|xy|＜1”成立的充分不必要條件

故選A【例7】(技巧點(diǎn)撥：必要性）“或”是“”成立的_____________條件.【答案】必要不充分【分析】利用逆否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化后，判斷充分，要條件.【詳解】，不能推出且，反過來，且能推出，所以是且的必要不充分條件，利用逆否關(guān)系的等價(jià)性可知或是的必要不充分條件.故答案為：必要不充分【例8】(技巧點(diǎn)撥：充要性）方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】按和討論方程有負(fù)實(shí)根的等價(jià)條件即可作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為有一個(gè)負(fù)實(shí)根，反之，時(shí)，則，于是得；當(dāng)時(shí)，，若，則，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，即與一正一負(fù)，反之，方程有一正一負(fù)的兩根時(shí)，則這兩根之積小于0，，于是得，若，由，即知，方程有兩個(gè)實(shí)根，必有，此時(shí)與都是負(fù)數(shù)，反之，方程兩根都為負(fù)，則，解得，于是得，綜上，當(dāng)時(shí)，方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，反之，方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，必有.所以方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是.故選：C【例9】(技巧點(diǎn)撥：靈活運(yùn)用“小推大”技巧）集合，，則“或”是“”的條件________.【答案】必要不充分【分析】先化簡兩個(gè)命題，再利用充分條件必要條件的定義分析判斷得解.【詳解】由題得.當(dāng)或時(shí)，即,即.當(dāng)時(shí)，不一定成立；當(dāng)時(shí)，一定成立.所以“或”是“”的必要非充分條件.故答案為：必要非充分【例10】(技巧點(diǎn)撥：邏輯電路）設(shè)計(jì)如圖所示的三個(gè)電路圖，條件“開關(guān)閉合”；條件“燈泡亮”，則是的充分不必要條件的電路圖是________.【答案】（1）【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合物理知識(shí)判斷即可.【詳解】對于（1），當(dāng)開關(guān)閉合時(shí)，燈泡亮；當(dāng)燈泡亮?xí)r，開關(guān)、至少一個(gè)閉合.是的充分不必要條件；對于（2），當(dāng)開關(guān)閉合時(shí)，燈泡亮；當(dāng)燈泡亮?xí)r，開關(guān)閉合，是的充要條件；對于（3），當(dāng)開關(guān)閉合且不閉合時(shí)，燈泡不亮；當(dāng)燈泡亮?xí)r，開關(guān)必閉合，是的必要不充分條件.故答案為：（1）.【例11】(技巧點(diǎn)撥：邏輯地圖）．已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件.下列命題中正確的是（）A．是的充要條件B．是的充分條件而不是必要條件C．是的必要條件而不是充分條件D．是的必要條件而不是充分條件【答案】ABD【分析】根據(jù)充分不必要條件、充分條件、必要條件的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖將四個(gè)條件寫成：，且不能推出；；；，所以，所以，故正確；不能推出，故B正確；，又，故是的充要條件，故C錯(cuò)誤；由，可得，由不能推出，可得不能推出，故D正確.故選：ABD【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】3、若，，為正數(shù)，則“”是“”的__________.【答案】必要不充分條件【分析】根據(jù)不等關(guān)系，并結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，為正?shù)，所以當(dāng)，，時(shí)，滿足，但不成立，故充分性不成立；若，則，因?yàn)?，，為正?shù)，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分條件4、已知，，則是的_______________（充分條件”、“必要條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選擇一個(gè)填空）．【答案】充分條件【分析】根據(jù)集合關(guān)系判斷即可得答案.【詳解】設(shè)命題對應(yīng)的集合為,命題對應(yīng)的集合為,因?yàn)?所以命題是命題的充分條件.故答案為：充分條件.三、參數(shù)計(jì)算【例12】(技巧點(diǎn)撥：一元二次計(jì)算型）若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【分析】解不等式，然后對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式，解得，解方程，解得或.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，不等式即為，該不等式的解集為，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，解不等式可得.由于是的充分不必要條件，則，可得，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，解不等式可得.由于是的充分不必要條件，則,可得，解得.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，則有，合乎題意；當(dāng)時(shí)，則有，合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【例13】(技巧點(diǎn)撥：恒成立型）不等式恒成立的充要條件是_____________.【答案】【分析】先根據(jù)一元二次不等式恒成立得，再根據(jù)充要條件概念即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立，滿足條件,時(shí)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，由一元二次不等式恒成立得：，解得：或.綜上：.所以,不等式恒成立的充要條件是【例14】(技巧點(diǎn)撥：逆否命題型）設(shè)，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍______．【答案】【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)求出，的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由得，解得，設(shè)由得，解得，設(shè)．是的必要不充分條件，是的必要不充分條件，，即，解得實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：【例15】(技巧點(diǎn)撥：注意充分和充分不必要在計(jì)算中的區(qū)別）若“條件：”是“條件：”的充分條件，則的取值范圍是________.【答案】【分析】利用充分、必要條件的定義，問題轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，根據(jù)不等式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)p對應(yīng)的集合為,q對應(yīng)的集合為,

若p是q的充分條件,則,,,解得:.

實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故答案為.【例16】(技巧點(diǎn)撥：綜合應(yīng)用）已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或，；（2）或.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根據(jù)補(bǔ)集和并集的運(yùn)算，從而可求出；(2)由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，則，或，則，所以.（2）由題可知，是的必要不充分條件，則，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，或，解得：或；綜上所得：或.【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】5、已知，.“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】由“”是“”的必要條件，得到，結(jié)合集合的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，集合，，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，可得，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.6、已知p：x28x20≤0，q：x22x+1m2≤0(m>0)，且p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____.【答案】【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡P，q，再根據(jù)p是q的必要不充分條件求解.【詳解】由x28x20≤0得2≤x≤10，由x22x+1m2≤0(m>0)得1m≤x≤1+m(m>0)，因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以q?p.則{x|1m≤x≤1+m，m>0}?{x|2≤x≤10}所以或解得0<m≤3.即m的取值范圍是.故答案為：.四、證明充分性和必要性【例17】(技巧點(diǎn)撥：充分性和必要性的證明）求證：關(guān)于x的方程有一個(gè)根小于1，另一個(gè)根大于1的充要條件是.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，分別證明充分性和必要性即可.【詳解】證：由題意知方程有兩個(gè)根，設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，則，即，，，充分性：當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍?，所?一個(gè)小于1，一個(gè)大于1，故充分性成立；必要性：因?yàn)椋舴匠逃幸粋€(gè)根小于1，另一個(gè)根大于1，則且，所以，故必要性成立；故關(guān)于x的方程有一個(gè)根小于1，另一個(gè)根大于1的充要條件是.【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】7、已知的三條邊為，求證：是等邊三角形的充要條件是．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)充分性與必要性定義證明即可.【詳解】證明（充分性）∵，∴∴（必要性）∵，∴∴即，∴，得證．五、競賽與自主招生【例18】設(shè)集合.（1）證明：屬于的兩個(gè)整數(shù)，其積也屬于；（2）判斷32、33、34是否屬于，并說明理由；（3）寫出“偶數(shù)屬于”的一個(gè)充要條件并證明.【答案】（1）見解析；（2），，理由見解析；（3）為偶數(shù)，證明見解析.【分析】（1）設(shè)，，則對進(jìn)行化簡，觀察其是否滿足集合M的條件，進(jìn)行判斷即可；（2）用反證法進(jìn)行判斷即可；（3）證明充要條件時(shí)既要證充分性，又要證必要性.【詳解】（1）設(shè)集合中的元素，，所以，因?yàn)?，所以，，所以有，，則，所以屬于的兩個(gè)整數(shù)，其積也屬于.（2）因?yàn)?，所以；假設(shè)，則，因?yàn)?，所以與有相同奇偶性，因?yàn)?3為奇數(shù)，所以與一個(gè)為奇數(shù)一個(gè)為偶數(shù)，則與有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；假設(shè)，同上可得，因?yàn)?，所以與有相同奇偶性，因?yàn)?4為偶數(shù)，所以與均為偶數(shù)，所以應(yīng)為4的倍數(shù)，而34不是4的倍數(shù)，所以假設(shè)不成立，所以.（3）“偶數(shù)屬于”的一個(gè)充要條件是為偶數(shù).充分性：因?yàn)闉榕紨?shù)，設(shè)，所以，而，所以滿足集合，所以偶數(shù)屬于；必要性：因?yàn)榕紨?shù)屬于，所以，因?yàn)?，所以與有相同奇偶性，因?yàn)闉榕紨?shù)，所以與均為偶數(shù)，所以應(yīng)為4的倍數(shù)，必為4的倍數(shù)，即必為2的倍數(shù)，所以為偶數(shù).【例19】已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|2≤x≤5}.（1）若a=3，求；（2）若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）{x|