數(shù)學(xué)課堂探究：導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一收益(利潤）最大問題利用導(dǎo)數(shù)解決收益（利潤)最大問題，關(guān)鍵是要建立收益(利潤）的函數(shù)關(guān)系式，然后借助導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的最大值，注意函數(shù)定義域的限制以及實際意義．【典型例題1】某公司準(zhǔn)備在兩個項目上投資．已知在A項目上投資的收益（萬元）與投資額(萬元)的平方根成正比，且當(dāng)投資額為9萬元時，投資收益為2萬元;在B項目上的投資收益g（t）（萬元）與投資額t(萬元）的關(guān)系式是g（t）＝3lneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x，10）＋1)）.已知該公司現(xiàn)準(zhǔn)備在兩個項目上共投資350萬元，試求該公司的最大總收益．思路分析：設(shè)在A項目上的投資額為x(萬元),則在B項目上的投資額為(350－x）萬元,然后將收益表示為x的函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)求解．解：設(shè)該公司在A項目上的投資額為x萬元，依題意,在A項目上的收益為f（x)＝keq\r（x），又當(dāng)x＝9時，f（9)＝2,即keq\r(9）＝2,所以k＝eq\f(2,3),于是f（x）＝eq\f（2，3）eq\r(x)。這時在B項目上的投資額為350－x萬元，則在B項目上的收益為g(350－x)＝3lneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（350－x,10）＋1)）.于是該公司的總收益為h(x）＝f（x）＋g(350－x）＝eq\f（2，3)eq\r(x)＋3lneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(360－x,10）))，其中0＜x＜350.于是h′（x)＝eq\f（2，3)·eq\f（1，2\r(x)）＋3·eq\f（10，360－x）·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1，10))）＝eq\f(1,3\r(x））－eq\f(3,360－x）＝eq\f（360－x－9\r（x）,3\r(x)360－x）＝eq\f（－\r（x)＋24\r（x）－15，3\r（x)360－x），令h′(x）＝0,得eq\r（x）＝15，即x＝225，當(dāng)0＜x＜225時，h′（x)＞0；當(dāng)225＜x＜350時，h′(x）＜0，所以h（x）在x＝225處取得極大值,即最大值,最大值為h（225)＝eq\f（2，3）eq\r（225）＋3lneq\f(135，10)＝10＋3lneq\f（27，2)，故該公司最大總收益為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（10＋3ln\f（27，2)))萬元．探究二費用最低（用料最省）問題將費用或用料表示為某個變量的函數(shù)，然后研究該函數(shù)的最值情況．多數(shù)情況下，用料最省問題會涉及幾何體的表面積問題,這時要注意結(jié)合平面幾何，立體幾何中相關(guān)的公式求解．【典型例題2】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位:萬元）與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f（k,3x＋5）(0≤x≤10），若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f(x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．（1）求k的值及f(x）的表達(dá)式;（2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．思路分析：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值．解:(1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè),每年能源消耗費用為C(x）＝eq\f（k,3x＋5）.又C(0）＝8，∴k＝40，因此C(x）＝eq\f（40,3x＋5），而建造費用C1(x）＝6x，從而隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f（800，3x＋5）＋6x(0≤x≤10)；（2）f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′（x)＝0，即eq\f(2400，3x＋52）＝6，得x1＝5，x2＝－eq\f（25,3)（舍去)．當(dāng)0＜x＜5時，f′(x)＜0，當(dāng)5＜x＜10時，f′(x）＞0.故5是f（x）的最小值點，對應(yīng)的最小值為f（5）＝6×5＋eq\f（800,15＋5）＝70，即當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費用達(dá)到最小值70萬元．探究三面積、體積最大問題求面積、體積的最大值問題是生活、生產(chǎn)中的常見問題，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)確定出自變量及其取值范圍,利用幾何性質(zhì)寫出面積或體積關(guān)于自變量的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的方法來解．【典型例題3】用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,思路分析：可設(shè)容器的底面的短邊長為xm，那么長邊的長以及高就可用x表示出來,從而得到容積與x的函數(shù)關(guān)系式，然后用導(dǎo)數(shù)求得最大值．解：設(shè)容器底面短邊的邊長為xm，則另一邊長為(x＋0。5）m，高為eq\f（14.8－4x－4x＋0。5,4)＝3.2－2x。由題意知x＞0，x＋0。5＞0,且3。2－2x＞0,∴0＜x＜1。6。設(shè)容器的容積為Vm3，則有V＝x(x＋0。5）(3。2－2x）＝－2x3＋2.2x2＋1.6x（0＜x＜1。6），∴V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令V′＝0，有15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－eq\f(4，15)(舍去）．∴當(dāng)x∈（0，1)時，V′(x）＞0，V（x)為增函數(shù)，x∈（1，1.6）時，V′(x）＜0，V（x）為減函數(shù),∴V在x∈（0,1。6)時取極大值V（1）＝1。8，這個極大值就是V在x∈(0,1。6)時的最大值，即Vmax＝1。8，這時容器的高為1。2∴當(dāng)高為1.2m時，容器的容積最大,最大值為探究四易錯辨析易錯點忽視實際問題中變量的取值范圍而出錯【典型例題4】某廠生產(chǎn)一種機器,其固定成本（即固定投入）為0.5萬元．但每生產(chǎn)100臺,需要增加可變成本（即另增加投入）0。25萬元．市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售收入（單位：萬元)函數(shù)為:R(x）＝5x－eq\f(1,2）x2(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺）．（1）把利潤y表示為年產(chǎn)量的函數(shù);(2)年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？錯解：（1)由題意知，成本函數(shù)C(x)＝0.5＋0.25x，y＝R（x)－C（x)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（5x－\f(1，2)x2））－(0.5＋0。25x)＝－eq\f(1，2）x2＋eq\f(19,4)x－eq\f(1,2）(0≤x≤5）．（2）y′＝－x＋eq\f（19,4）,令y′＝0，得x＝eq\f(19,4）＝4.75,∴4.75必為最大值點．∴年產(chǎn)量為475臺時,工廠利潤最大．錯因分析：實際問題中，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量不一定在500臺之內(nèi)(含500臺）,應(yīng)有x＞5的情況，錯解忽視了此種情況,就出現(xiàn)了錯誤．正解：(1)利潤y＝R（x）－C(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(x2，2）））－0。5＋0.25x0≤x≤5，，\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(5×5－\f（52,2））)－0。5＋0。25xx＞5)）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\a