2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練15 等差數(shù)列、等比數(shù)列（原卷版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練15等差數(shù)列、等比數(shù)列[考情分析]高考必考內(nèi)容，主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)的應(yīng)用，等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明，常以選擇題、填空題或綜合的解答題形式考查，屬于中檔題目．【練前疑難講解】一、等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算1．等差數(shù)列(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.2．等比數(shù)列(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)1．等差數(shù)列常用性質(zhì)：(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；(2)an＝am＋(n－m)d；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列．2．等比數(shù)列常用性質(zhì)：(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；(2)an＝am·qn－m.三、等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明證明數(shù)列{an}是等差(比)數(shù)列的方法：(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法：①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)；②利用等差中項(xiàng)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．(2)證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法：①利用定義，證明eq\f(an＋1,an)(an≠0，n∈N*)為一常數(shù)；②利用等比中項(xiàng)，證明aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(an≠0，n≥2，n∈N*)．一、單選題1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且是，的等差中項(xiàng)，則使得成立的最小的的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（2024·河南鄭州·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．－36或36 B．－36 C．36 D．18二、多選題3．（23-24高三上·河南南陽·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，的公差為，則（

）A． B．C．若為等差數(shù)列，則 D．若為等差數(shù)列，則4．（2024·廣東梅州·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，在中依次選取若干項(xiàng)（至少3項(xiàng)），，，，，，使成為一個(gè)等比數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．若取，，則B．滿足題意的也必是一個(gè)等比數(shù)列C．在的前100項(xiàng)中，的可能項(xiàng)數(shù)最多是6D．如果把中滿足等比的項(xiàng)一直取下去，總是無窮數(shù)列三、填空題5．（23-24高三上·江蘇·期末）若數(shù)列滿足，（），則.6．（2024·湖北·一模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比的取值范圍為．四、解答題7．（2024·云南昆明·三模）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．8．（2024·黑龍江·二模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列為等差數(shù)列，則（

）A．10 B．40 C．100 D．1032．（2024·河南·三模）已知等比數(shù)列的公比為，若，且成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西寶雞·一模）已知等差數(shù)列滿足，則下列命題：①是遞減數(shù)列；②使成立的的最大值是9；③當(dāng)時(shí)，取得最大值；④，其中正確的是（

）A．①② B．①③C．①④ D．①②③4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（）A． B． C． D．5．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）中國(guó)載人航天工程發(fā)射的第十八艘飛船，簡(jiǎn)稱“神十八”，于2024年4月執(zhí)行載人航天飛行任務(wù)．運(yùn)送“神十八”的長(zhǎng)征二號(hào)運(yùn)載火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過的路程為，以后每秒鐘通過的路程都增加，在達(dá)到離地面的高度時(shí)，火箭開始進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序．則從點(diǎn)火到進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序大約需要的時(shí)間是（

）秒．A．10 B．11 C．12 D．136．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，起源于中國(guó)，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項(xiàng)利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡(jiǎn)練、或復(fù)雜的動(dòng)物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個(gè)前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長(zhǎng)為l的等腰直角三角形紙對(duì)折，每次對(duì)折后仍成等腰直角三角形，則對(duì)折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．212 B．168 C．121 D．1638．（2023·上海浦東新·三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是嚴(yán)格增數(shù)列，則甲是乙的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件9．（23-24高二上·安徽宣城·期末）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．2 B． C． D．10．（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，雪花形狀圖形的作法是:從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三角形(圖①)的邊長(zhǎng)為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長(zhǎng)依次記為，，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題11．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（

）A．等差數(shù)列，若，則B．等比數(shù)列，若，則C．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等差數(shù)列D．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等比數(shù)列12．（22-23高二上·廣東廣州·期末）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，下列說法正確的是（

）A．若對(duì)，，有，則數(shù)列一定是等差數(shù)列B．若對(duì)，，有，則數(shù)列一定是等比數(shù)列C．已知，則一定是等差數(shù)列D．已知，則一定是等比數(shù)列三、填空題13．（23-24高三下·湖南·開學(xué)考試）若數(shù)列滿足，，則的最小值是．14．（23-24高三上·云南昆明·開學(xué)考試）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則.四、解答題15．（2024·四川成都·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．（2024·山東·二模）已知數(shù)列．求：(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值．17．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（2023·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝﹣m.(1)求m的值，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求T2n.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·北京東城·一模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江·二模）在公差不為0的等差數(shù)列中，，，是公比為2的等比數(shù)列，則（

）A．11 B．13 C．15 D．174．（2022·江西上饒·二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則＝（

）A．2 B．3 C．4 D．95．（2024·北京順義·二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則（

）A．511 B．61 C．41 D．96．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或407．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．3 B．9 C． D．8．（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復(fù)利計(jì)算8年后他能得到的本利和約為（

）（單位：萬元，結(jié)果保留一位小數(shù)）A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9二、多選題9．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．當(dāng)時(shí)，取得最小值 D．10．（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題，其中正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列11．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個(gè)箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有的10個(gè)小球，每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號(hào)碼小于或等于5的小球，則前進(jìn)1步，若每次抽取號(hào)碼大于5的小球，則前進(jìn)2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進(jìn)步的概率為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．小華一共前進(jìn)3步的概率最大三、填空題12．（2024·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的四個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列，則．13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為．若的最大值為，則實(shí)數(shù)的最大值是．14．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在等比數(shù)列中，，，則．四、解答題15．（2024·浙江·一模）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求；(2)已知且，若數(shù)列是等比數(shù)