2024-2025學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)高二上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合A=1,a,?2，B=2,4,則“A∩B=4”是“aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【正確答案】B2．已知復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則（

）A．-i B．i C．0 D．1【正確答案】A3.在棱長為的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)．設(shè)在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合投影向量的定義可求得的值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，由題意可知，，所以，.故選：C.4．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則直線必過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由雙曲線方程可得，且焦點(diǎn)在x軸上，由題意和橢圓方程可得：，即可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】由雙曲線可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，由題意和橢圓方程可得：，即，可得，所以直線必過定點(diǎn).故選：A.5．為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,設(shè)出,由PF=4以及拋物線的定義列式可得,即,再代入拋物線方程可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo),再由三角形的面積公式可得.【詳解】由可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為,如圖:過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線的定義可知PM=PF=4,設(shè),則,解得,將代入可得,所以△的面積為=.故選B.本題考查了拋物線的幾何性質(zhì),定義以及三角形的面積公式,關(guān)鍵是①利用拋物線的定義求P點(diǎn)的坐標(biāo);②利用OF為三角形的底,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值為高計(jì)算三角形的面積.屬中檔題.6．已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的漸近線為，當(dāng)漸近線為時(shí)，圓心到該漸近線的距離，不合題意；當(dāng)漸近線為時(shí)，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D7.已知甲、乙兩人射擊的命中率分別是和．現(xiàn)二人同時(shí)向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，則甲、乙分配獵物的比例應(yīng)該是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】計(jì)算出只有甲或只有乙打中獵物的概率，即可得出甲、乙分配獵物的比例.【詳解】因?yàn)榧?、乙兩人射擊命中率分別是和，現(xiàn)二人同時(shí)向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，只有甲打中獵物的概率為，只有乙打中獵物的概率為所以，甲、乙分配獵物的比例應(yīng)該是.故選：A.8．圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)（如圖1所示）：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).如圖2，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)，的橢圓與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)過與的反射，又回到點(diǎn)路線長為；若將裝置中的去掉，則該光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過兩次反射后又回到點(diǎn)路線長為.若與的離心率之比為，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為,由橢圓與雙曲線的定義求出兩個(gè)圖形中三角形的周長,再出離心率的比值求得，把轉(zhuǎn)化為的關(guān)系得答案.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為,在圖2左邊圖形中,由橢圓定義可得：①，由雙曲線定義可得：②，由①②可得：∴△的周長為.在圖2右圖中,光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢反射后經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，即直線ED經(jīng)過，則△EDF1的周長為,又橢圓與雙曲線焦點(diǎn)相同,離心率之比為，所以，又兩次所用時(shí)間分別為m,n,而光線速度相同，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分．9.在平面直角坐標(biāo)系中，直線過原點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，則直線的斜率可以是（）A. B. C. D.【正確答案】AC【分析】分析可知，或直線過線段的中點(diǎn)，即可得出直線的斜率.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，故、、不共線，因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，（1）直線，則直線的斜率為；（2）直線過線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為.故選：AC.10.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A.存在，使得 B.可能是常數(shù)列C.可能是遞增數(shù)列 D.可能是遞減數(shù)列【正確答案】ABD【分析】取，可判斷AB選項(xiàng)；利用反證法可判斷C選項(xiàng)；取，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和，且，對于A選項(xiàng)，取，則，則，A對；對于B選項(xiàng)，取，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，可能是常數(shù)列，B對；對于C選項(xiàng)，假設(shè)數(shù)列為遞增數(shù)列，則對任意的，，即，所以，對任意的恒成立，但當(dāng)時(shí)，，矛盾，故數(shù)列不可能是遞增數(shù)列，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，取，則，，，猜想，，當(dāng)時(shí)，猜想成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，這說明當(dāng)時(shí)，猜想也成立，故對任意的，，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，D對.故選：ABD.11．已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)作的一條漸近線的平行線交于點(diǎn)，交的另一條漸近線于點(diǎn)，則（

）A．向量在上的投影向量為B．若為直角三角形，則為等軸雙曲線C．若，則的離心率為D．若，則的漸近線方程為【正確答案】ABD【分析】由題意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判斷A，由已知可得漸近線的傾斜角為，可判斷B，設(shè)，解得，可得，可判斷C，設(shè),可得，代入雙曲線方程，化簡可求漸近線方程，判斷D.【詳解】對于A，由題意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|,Q在OF上的投影為OF的中點(diǎn)，在上的投影向量為，故A正確；對于B，若△OQF為直角三角形，可得漸近線的傾斜角為，，，為等軸雙曲線，故B正確；對于C，若，設(shè)，則解得或(舍去)，設(shè)漸近線的傾斜角為，可得，，，，，，，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)直線的方程為，與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，若，則，設(shè)，，，在雙曲線上，，，，的漸近線方程為，即，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．13.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______．【正確答案】【分析】分析可知，點(diǎn)在圓上，聯(lián)立圓與橢圓的方程，求出公共解的個(gè)數(shù)即可.【詳解】在橢圓中，，，則，若，易知原點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，即點(diǎn)在圓上，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)或，即滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故答案為.14.佛山是全國著名的工業(yè)城市，這里生產(chǎn)的部分產(chǎn)品通過水路運(yùn)輸?shù)饺珖酥寥澜纾聢D1是佛山一個(gè)貨運(yùn)碼頭的吊機(jī)，其作用是完成集裝箱的裝船或卸船．為了研究其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)固性，工程師把一個(gè)吊機(jī)的部分結(jié)構(gòu)（圖1中圈住部分）畫成圖2的空間幾何體．若四邊形是矩形，，，，，，，則直線與所成角的余弦值為______．【正確答案】##【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，分析可知，直線與所成角為或其補(bǔ)角，計(jì)算出三邊邊長，結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】在中，，，，由余弦定理可得，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，則四邊形為平行四邊形，則，，則，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑒t，則，因?yàn)?，則直線與所成角為或其補(bǔ)角，由余弦定理可得.因此，直線與所成角的余弦值為.故答案為.四、解答題：本題共5小題．共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知圓及直線.直線被圓截得的弦長為.(1)求的值；(2)求過點(diǎn)并與圓相切的切線的一般式方程.【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離，結(jié)合垂徑定理可得解；（2）易知點(diǎn)在圓外，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，根據(jù)直線與圓相切，可得，又當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線與圓相切成立.【詳解】（1）由已知圓，即圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以弦長為，解得或（舍）；（2）由（1）得，則圓，圓心，半徑，則點(diǎn)在圓外，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，此時(shí)，解得，則直線方程為，即；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)滿足直線與圓相切，綜上所述，切線方程為或.16．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線到平面的距離.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，DA1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，由證明；（2）由（1）平面，將求直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，由求解.【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，DA1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由題意得，，，.所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.易知,令，得，所以.，，又平面,平面；（2）由（1）可知平面，故求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)?，由?）可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線到平面的距離為.則.17．男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進(jìn)入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈．已知甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員均進(jìn)入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表：環(huán)數(shù)頻數(shù)678910甲2352327乙5502525以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響．(1)求甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；(2)決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙（甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù)）的概率．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先求出甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率，從而可求出甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）由于甲比乙落后2環(huán)，所以甲要獲勝，則乙6環(huán)，甲9環(huán)或10環(huán)，或者乙7環(huán)，甲10環(huán)，再利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可【詳解】（1）由表中的數(shù)據(jù)可得甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率為，所以甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率為（2）因?yàn)榧妆纫衣浜?環(huán)，所以甲要獲勝，則乙打中6環(huán)，甲打中9環(huán)或10環(huán)，或者乙打中7環(huán)，甲打中10環(huán)，因?yàn)橛深}意可得乙打中6環(huán)的概率和打中7環(huán)的概率均為，甲打中9環(huán)的概率為，打中10環(huán)的概率為，且甲乙兩人射擊互不影響所以最終甲能戰(zhàn)勝乙的概率為18．如圖，三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，中，，，點(diǎn)平面，點(diǎn)，分別為線段、的中點(diǎn)，且平面，.(1)證明：平面；(2)證明：四邊形為矩形；(3)求平面和平面夾角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】(1)結(jié)合已知條件，首先利用幾何關(guān)系證明，然后利用線面垂直判定定理證明即可；(2)利用線面垂直性質(zhì)和判定定理證明平面，進(jìn)而得到四邊形為矩形，再結(jié)合的中位線性質(zhì)即可證明；(3)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，然后利用面面夾角的向量公式求解即可.【詳解】（1）∵，，，∴，，∵是邊長為的等邊三角形，即，∴，故，即，又∵，，，平面，∴平面.（2）取的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：∵是邊長為的等邊三角形，∴，∵平面，平面，∴，∵，∴平面，又∵平面，∴，即、、、四點(diǎn)共面，∵，，，從而四邊形為矩形，，∵為線段的中點(diǎn)，∴，從而，，∵為線段的中點(diǎn)，∴，，故四邊形為平行四邊形，又，∴四邊形為矩形.（3）由（1）（2）知、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：由題意可得，，，，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由得，令，則，，故平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面的夾角的余弦值為，故平面和平面夾角的余弦值為.19．已知圓和定點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線PC交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若是曲線上的一點(diǎn)，過的直線與直線分別交于S，T兩點(diǎn)，且為線段ST的中點(diǎn)．①求證：直線l與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；②求的最小值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【正確答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，即可得到，結(jié)合雙曲線的定義計(jì)算可得；（2）（i）設(shè)，不妨令，，即可得到，從而表示出直線的方程，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、由，即可證明；（ii）由（i）求出，，再計(jì)算可得為定值，即可結(jié)合基本不等式求解.【詳解】（1）為PA的垂直平分線上一點(diǎn)，則，則，點(diǎn)的軌跡為以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線，且，故點(diǎn)的軌跡方程為；（2）（i）設(shè)，直線是雙曲線的漸近線，如圖所