《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)指導(dǎo)及習(xí)題解析》課件第6章

第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第一節(jié)知識(shí)梳理

第二節(jié)重點(diǎn)解析

第三節(jié)典型例題

第四節(jié)習(xí)題全解第一節(jié)知識(shí)梳理

第二節(jié)重點(diǎn)解析

1.總體與樣本

1)總體及其分布

定義1：總體又稱母體，指一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題所研究的對(duì)象的全體。

定義2：總體X中的每個(gè)數(shù)值按一定比率分布的規(guī)律稱為總體分布。

2)樣本與抽樣

定義1：樣本又稱子樣，指按某一方式從統(tǒng)計(jì)總體中抽

取的部分個(gè)體，樣本中的每個(gè)個(gè)體又稱為樣品。一個(gè)樣本中所含樣品的個(gè)數(shù)稱為樣本容量。抽取樣本的過(guò)程稱為抽樣。抽取樣本的方式稱為抽樣方法。

定義2：設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，若X1，

X2,…，Xn相互獨(dú)立，且每個(gè)樣品Xi(i=1，2，…，n)都與總體X

有相同的概率分布，則稱X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。

3)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

定義：設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x)是未知的，且x1,x2，…，xn為X的一個(gè)樣本值。對(duì)任意實(shí)數(shù)x，樣本值中不超過(guò)x的數(shù)據(jù)的頻數(shù)記為m(x)，若Fn(x)=m(x)/n，則稱Fn(x)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

2.統(tǒng)計(jì)量及其分布

1)統(tǒng)計(jì)量的概念

定義：設(shè)X1，

X2,…，Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，

且g(X1，X2，…，Xn)是X1，X2，…，Xn的一個(gè)函數(shù),若

g(X1，

X2，…，Xn)中不含任何未知參數(shù)，則稱g(X1，X2，…，Xn)為統(tǒng)計(jì)量。一些常用的統(tǒng)計(jì)量如下：

（1）樣本均值：（2）樣本方差:（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差:（4）樣本k階原點(diǎn)矩:（5）樣本k階中心矩:

2)三種重要分布

定義1：設(shè)X1，X2,…，Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨

機(jī)變量，則它們的平方和χ2=X21+X22+…+X2n稱做自由度為

n的χ2變量，其概率分布稱做自由度為n的χ2分布，記為

χ2~χ2(n)。定義2：設(shè)X~N(0，1)，Y~χ2(n)，且X和Y相互獨(dú)立，則稱做自由度為n的t變量，其概率分布稱做自由度為n的t分布，記為t~t(n)。定義3：設(shè)X~χ2(n1)，Y~χ2(n2)，且X與Y相互獨(dú)立，則稱做自由度為(n1，n2)的F變量，其概率分布稱做自由度為(n1，n2)的F分布，記為F~F(n1，n2)。其中n1和n2分別稱為F(n1，n2)分布的第一自由度和第二自由度。

3)分位點(diǎn)

定義：設(shè)X是一連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x)。對(duì)于給定的正數(shù)α(0<α<1)，稱滿足

的點(diǎn)xα為X的上側(cè)α分位點(diǎn)。

4）抽樣分布

定理1：設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ，σ2)的一個(gè)樣本，X是樣本均值，則X~N（μ，σ2/n)。

定理2：設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ，σ2)

的一個(gè)樣本，X與S2分別是樣本均值和樣本方差，則

（1）；

（2）X與S2相互獨(dú)立。~定理3：設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ，σ2)

的一個(gè)樣本，X與S2分別是樣本均值和樣本方差，則。~定理4：設(shè)X1，X2，…，Xn與Y1，Y2，…，Yn分別是來(lái)自正態(tài)總體N(μ1，σ21)與N(μ2，σ22)的樣本，且二者相互獨(dú)立。再設(shè)X

與Y分別是這兩個(gè)樣本的樣本均值，S21與S22分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差，則（1）當(dāng)σ21=σ22=σ2時(shí)，其中（2）~，

第三節(jié)典型例題

【例6.1】設(shè)X~N(1，22)，X1，…，X100是來(lái)自X的樣本，X為樣本均值，已知Y=a(X+b)2~χ2(1)，試求a和b。解因?yàn)楣?/p>

a=25，b=－1

【例6.2】設(shè)X1和X2是來(lái)自正態(tài)總體N(μ，σ2)的容量為n的兩樣本(X11，X12，…，X1n)和(X21，X22，…，X2n)的樣本均值，試確定n，使得這兩個(gè)樣本均值之差超過(guò)σ的概率大約為0.01。

解因?yàn)閯t所以由，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表知

于是

n=14

【例6.3】設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立都服從N(0，16)，而X1，…，X16和Y1，…，Y16分別來(lái)自總體X和Y的樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從什么分布？解由于而由t分布的定義有~

【例6.5】設(shè)X1，X2，…，X10是來(lái)自總體X~N(μ，42)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，已知P{S2>a}=0.1，求a。

解本題涉及樣本方差的概率問(wèn)題，且是已知概率值，求上側(cè)分位數(shù)的值。已知，本題中n=10，σ2=42,

故~由已知9S2／42~χ2(9)，且根據(jù)上側(cè)分位數(shù)定義，應(yīng)有查χ2分布表，得即解得第四節(jié)習(xí)題全解

6.1設(shè)總體X服從兩點(diǎn)分布b(1，p)，即P{X=1}=p，P{X=0}=1－p，其中p是未知參數(shù)，X1，X2，…，X5是來(lái)自

總體X的一個(gè)樣本。

（1）寫(xiě)出X1，X2，…，X5的聯(lián)合概率分布；

（2）指出X21+X23、max{X1，X2，…，X5}、(X－p)2、A2+2p中哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是，為什么？解（1）總體X服從b(1，p)，其分布律可寫(xiě)為

P{X=x}=px(1－p)1－x

（x=0，1）

樣本X1，X2，…，X5相互獨(dú)立，且與總體X具有相同分布，所以X1，X2，…，X5的聯(lián)合分布律為其中：xi=0，1；i=1，2，…，5。

6.2從一大批40W的燈泡中隨機(jī)抽取10只進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下（單位：h）：

1050，1100，1080，1120，1200，1250，

1040，1130，1300，1200

求其樣本均值x與樣本方差s2。解

6.3設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，若E(X)=μ，D(X)=σ2，試證明：

（1）；

（2）。，證明（1）由于X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且與總體X具有相同分布,所以故（2）因?yàn)樗?/p>

6.5從正態(tài)總體N(52，6.32)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36

的樣本，求樣本均值X落在50.8與53.8之間的概率。

解因?yàn)閄~N(52，6.32/362)，所以

6.6從總體N(3.4，62)中抽取容量為n的樣本，如果要求樣本均值落在區(qū)間(1.4，5.4)內(nèi)的概率不小于0.95，問(wèn)樣本容量n至少應(yīng)為多大？

解因?yàn)閄~N(3.4，62/n)，所以由得

而

Φ(1.96)=0.975

所以，即n≥34.5744,故n至少應(yīng)取35。

6.7設(shè)X1，X2，…，X10是總體N(0，0.22)的一個(gè)樣本，求。

解因?yàn)?/p>

Xi~N(0，0.22)(i=1，