《狀元之路》2022屆高考數(shù)學(xué)理新課標(biāo)A版一輪總復(fù)習(xí)：必修部分-開卷速查53-雙曲線

開卷速查(五十三)雙曲線A級基礎(chǔ)鞏固練1．設(shè)P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若|PF1|＝3，則|PF2|＝()A．1或5 B．6C．7 D．9解析：由漸近線方程3x－2y＝0，知eq\f(b,a)＝eq\f(3,2).又b2＝9，所以a＝2，從而|PF2|＝7，故選C.答案：C2．與橢圓C：eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)(1，eq\r(3))的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－2x2＝1C.eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1 D.eq\f(y2,3)－x2＝1解析：橢圓eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0,2)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,m)－eq\f(x2,n)＝1(m＞0，n＞0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,m)－\f(1,n)＝1，,m＋n＝4，))解得m＝n＝2，故選C.答案：C3．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2＋y2－10x＝0的圓心重合，且雙曲線的離心率等于eq\r(5)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,25)＝1解析：由題意知圓心坐標(biāo)為(5,0)，即c＝5，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，∴a2＝5，b2＝20，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.答案：A4．已知雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為eq\f(\r(5),3)c(其中c為雙曲線的半焦距長)，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(3,2) B．eq\f(\r(5),2)C.eq\f(3\r(5),2) D.eq\f(5,2)解析：不妨取雙曲線的右焦點(diǎn)(c,0)，雙曲線的漸近線為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0.則焦點(diǎn)到漸近線的距離為eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq\f(\r(5),3)c，即b＝eq\f(\r(5),3)c，從而b2＝eq\f(5,9)c2＝c2－a2，所以eq\f(4,9)c2＝a2，即e2＝eq\f(9,4)，所以離心率e＝eq\f(3,2).答案：A5．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為()A．(1，eq\r(5)) B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞) D．[eq\r(5)，＋∞)解析：∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，則由題意得eq\f(b,a)＞2.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＞eq\r(1＋4)＝eq\r(5).答案：C6．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4)，則此雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1解析：依題意可知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(4,3)x，c＝5，而雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)因此，a＝3，b＝4.答案：C7．已知雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3m)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，橢圓eq\f(y2,n)－eq\f(x2,m)＝1的焦距等于4，則n＝__________.解析：由于雙曲線的焦點(diǎn)(0,2)，所以焦點(diǎn)在y軸，所以雙曲線的方程為eq\f(y2,－3m)－eq\f(x2,－m)＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以橢圓方程為eq\f(y2,n)＋x2＝1，且n＞0，橢圓的焦距為4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案：58．已知F為雙曲線C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為__________．解析：由eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5，所以|PQ|＝4b＝16＞2a，又由于A(5,0)在線段PQ上，所以P，Q在雙曲線的一支上，且PQ所在直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，由雙曲線定義知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF|－|PA|＝2a＝6，,|QF|－|QA|＝2a＝6.))所以|PF|＋|QF|＝28.即△PQF的周長是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.答案：449．已知點(diǎn)F、A分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，點(diǎn)B(0，b)滿足eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則雙曲線的離心率為__________．解析：依題意得F(－c,0)，A(a,0)，又B(0，b)，則eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)．由eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，得b2＝ac，所以c2－a2＝ac，eq\f(c2－a2,ac)＝1，即e－eq\f(1,e)＝1，e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1±\r(5),2).又e＞1，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)，即雙曲線的離心率等于eq\f(1＋\r(5),2).答案：eq\f(1＋\r(5),2)10．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)．(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；(2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過A作圓的切線，斜率為－eq\r(3)，求雙曲線的離心率．解析：(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±eq\f(b,a)x，∴a＝b.∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4.∴a2＝b2＝2.∴雙曲線方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，∴直線AO的斜率滿足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1.∴x0＝eq\r(3)y0.①依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，將①代入圓的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，∴x0＝eq\f(\r(3),2)c.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c)).代入雙曲線方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴將b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，∴3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))4－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝eq\r(2)，∴雙曲線的離心率為eq\r(2).B級力氣提升練11．直線y＝eq\r(3)x與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)左右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|FO|＝|MO|，則雙曲線的離心率等于()A.eq\r(3)＋eq\r(2) B．eq\r(3)＋1C.eq\r(2)＋1 D．2eq\r(2)解析：由題意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN為直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦點(diǎn)為F0，連接NF0，MF0，由雙曲線的對稱性知，四邊形NFMF0為平行四邊形．又∵∠MFN＝90°，∴四邊形NFMF0為矩形，∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直線MN的傾斜角為60°，即∠NOF＝60°，∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝eq\r(3)c，由雙曲線定義知|MF|－|MF0|＝eq\r(3)c－c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)＋1.答案：B12．已知點(diǎn)F是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1,2) B．(eq\r(2)，2)C．(eq\r(3)，2) D．(2,3)解析：由題意知，△ABE為等腰三角形．若△ABE是銳角三角形，則只需要∠AEB為銳角．依據(jù)對稱性，只要∠AEF＜eq\f(π,4)即可．直線AB的方程為x＝－c，代入雙曲線方程得y2＝eq\f(b4,a2)，取點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，則|AF|＝eq\f(b2,a)，|EF|＝a＋c，只要|AF|＜|EF|就能使∠AEF＜eq\f(π,4)，即eq\f(b2,a)＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即c2－ac－2a2＜0，即e2－e－2＜0，即－1＜e＜2.又e＞1，故1＜e＜2.答案：A13．如圖，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點(diǎn)分別為A，B，C，D.(1)求雙曲線的離心率e；(2)求菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值eq\f(S1,S2).解析：(1)由△B2OF2的面積可得aeq\r(b2＋c2)＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0.∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝eq\f(3＋\r(5),2).∴e＝eq\f(1＋\r(5),2).(2)設(shè)∠B2F1O＝θ，則sinθ＝eq\f(b,\r(b2＋c2))，cosθ＝eq\f(c,\r(b2＋c2))，eq\f(S1,S2)＝eq\f(2bc,4a2sinθcosθ)＝eq\f(2bc,4a2\f(bc,b2＋c2))＝eq\f(b2＋c2,2a2)＝e2－eq\f(1,2)＝eq\f(2＋\r(5),2).14．直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．解析：(1)將直線l的方程y＝kx＋1代入雙曲線C的方程2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－2≠0，,Δ＝2k2－8k2－2>0，,－\f(2k,k2－2)>0，,\f(2,k2－2)>0.))解得k的取值范圍是－2<k<－eq\r(2).(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則由①式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(2k,2－k2)，,x1·x2＝\f(2,k2－2).))②假設(shè)存在實(shí)