2025年人教版八年級數(shù)學寒假復習 專題04 整式的乘法與因式分解（5個知識點回顧+7大題型歸納+過關(guān)檢測）

專題04整式的乘法與因式分解題型聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1冪運算】【題型2整式的乘法】【題型3整式的乘法的實際應用】【題型4平方差及幾何意義】【題型5完全平方及幾何意義】【題型6整式的混合運算/化簡求值】【題型7因式分解】知識點1：冪運算1.冪的乘法運算口訣：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)2.冪的乘方運算口訣：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。(m,n都為正整數(shù))3.積的乘方運算口訣：等于將積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。（m,n為正整數(shù)）4.冪的除法運算口訣：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)知識點2：整式的乘法運算1.單項式乘單項式單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．2.單項式乘多項式單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．3.多項式乘多項式多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．知識點3：平方差公式平方差公式：語言描述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.知識點4：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：

知識點5：因式分解1.定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．2.掌握其定義應注意以下幾點：（1）分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．3.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．題型歸納【題型1冪運算】1．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）下列運算結(jié)果正確的是（

）A．a(chǎn)2?a3=a6 B．2．（24-25八年級上·廣東惠州·階段練習）若2m?2n=32A．6 B．5 C．4 D．33．（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習）已知10m=3，10n=2，則4．（海南省洋浦中學教育集團2024-2025學年八年級上學期期中考試數(shù)學試題）計算：?235.（24-25八年級上·全國·期末）若6x=3，6y=46．（24-25八年級上·全國·階段練習）若2×8n×16n【題型2整式的乘法】7．（海南省洋浦中學教育集團2024-2025學年八年級上學期期中考試數(shù)學試題）若(x?1)(x+6)=x2+px+q，則p+qA．11 B．?11 C．?1 D．18．（24-25八年級上·廣東汕頭·階段練習）已知單項式6x3y與?32xnA．12 B．9 C．6 D．39.（24-25八年級上·海南?？凇て谥校芭f城改造”中，計劃在市內(nèi)一塊長方形空地上種植草皮，以美化環(huán)境，已知長方形空地的面積為3ab+b平方米，寬為b米，則這塊空地的長為（

）A．3a米 B．3a+1米 C．3a+2b米 D．3ab10．（22-23八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）若x+4x?2=x2+mx+n，則mA．m=2，n=8 B．m=2，n=?8C．m=?2，n=?8 D．m=?2，n=811．（24-25八年級上·湖南長沙·期中）若m?3m?n的積中不含m的一次項，則n=【題型3整式的乘法的實際應用】

12．（24-25八年級上·吉林長春·期中）如圖，現(xiàn)有三種不同尺寸的卡片，分別是正方形卡片A、正方形卡片B和長方形卡片C．若要拼成一個長為a+2b、寬為a+b的大長方形，則需要卡片C的張數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，一塊長為am，寬為bm的長方形土地的周長為17m，面積為15m2，現(xiàn)將該長方形土地的長、寬都增加14．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，某市有一塊長為(3a+b)米，寬為(2a+b)米，規(guī)劃部門計劃在中間留一塊邊長為(a+b)米的正方形空地修建雕像（陰影部分）．(1)求草坪的面積是多少平方米？（用含a、b的代數(shù)式表示）(2)若a、b滿足x+2x+315．（24-25八年級上·山西·階段練習）晉陽湖公園是太原市面積最大的城市綜合性公園，位于太原市西南方的晉陽湖水域周邊．小華與家人在公園內(nèi)某一長方形區(qū)域觀賞風景，設(shè)該觀景區(qū)長3a米，寬a+b米，中間修有一條“S”型等寬小路供游客行走，已知小路寬2米，其余區(qū)域皆為草坪．(1)求該觀景區(qū)草坪的面積．(2)當a=30，b=20時，草坪的面積是多少？16．（23-24八年級上·廣東東莞·期中）如圖，哈市某小區(qū)有一塊長為2a+3b米，寬為2a?3b米的長方形地塊，角上有四個邊長為b米的小正方形空地，開發(fā)商計劃將陰影部分進行綠化．(1)用含有a、b的式子表示綠化的總面積(結(jié)果寫成最簡形式)．(2)若a=10，b=2，綠化成本為50元/平方米，則完成綠化共需要多少元錢？17．（24-25七年級上·上?！るA段練習）已知有甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示，面積分別記為S1、

(1)比較S1與S(2)若一個正方形的周長與長方形甲的周長相等①求該正方形的邊長（用含m的式子表示）②若該正方形的面積為S3．請問S3與S2的差（即S18．（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習）對于一個平面圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個關(guān)于整式乘法的數(shù)學等式，例如圖1可以得到完全平方公式a+b2(1)觀察圖2，寫出所表示的數(shù)學等式：________=________．(2)觀察圖3，寫出所表示的數(shù)學等式：________=________．(3)已知（2）的等式中的三個字母可以取任何數(shù)，若a=7x+5，b=?4x+2，c=?3x+4，且a2+b【題型4平方差及幾何意義】19．（24-25八年級上·廣東惠州·階段練習）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1所示），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2所示），根據(jù)圖形的變化過程，寫出的一個正確的等式是（

）A．(a?b)2=aC．b(a?b)=ab?b2 20．（24-25八年級上·廣東惠州·期中）計算2?12+122A．235+2 B．264+1 C．21．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）計算2a+b2a?b的結(jié)果是（

A．b2?2a2 B．b2?4【題型5完全平方及幾何意義】22．（2024八年級上·全國·專題練習）已知a+b2=12,ab=2，則A．8 B．20 C．4 D．1623．（24-25七年級上·上?！て谥校┤绻P(guān)于x的多項式9x2?m?1x+424．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗證的等式是______________．A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)(2)應用所得的公式計算：20252(3)應用所得的公式計算：1?125．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）如圖1是長為4b，寬為a的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)請你用兩種不同的方式表示圖2陰影部分的面積（直接用含a,b的代數(shù)式表示）．方法一：________；方法二：________．由此可以得出的等式是________；(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=5，xy=2，求x?y2(3)如圖3，已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE=1，CF=3，長方形EMFD的面積是24，分別以MF、DF為邊長作正方形MFRN和正方形GFDH，求陰影部分的面積．26．（24-25八年級上·重慶·期中）把完全平方公式a±b2=a例如：若a+b=3，ab=1，求a2解：因為a+b=3，ab=1，所以a+b2=9即a2+b2+2ab=9根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題．(1)①若m+n=3，mn=1，且m>n，則m?n=________；②我們知道2?m?5?m=?3，若2?m(2)如圖，C是線段AB上的一點，AB=6，以AC，BC為邊向兩邊作正方形ACDE和正方形CFGB，兩個正方形的面積分別為S1，S2，S1+S27．（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習）如圖1，將邊長(a+b)的正方形剪出兩個邊長分別為a，b的正方形（陰影部分），觀察圖形，解答下列問題：(1)用兩種不同的方法表示圖一陰影部分的面積，即用兩個不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積．方法1：______，方法2：______；將你從中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫出來：______；(2)運用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決下列問題：①已知(2024?x)2+(x?2020)②如圖2，C是線段AB上一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，AC+BC=8，兩個正方形的面積和S1【題型6整式的混合運算/化簡求值】28．（24-25八年級上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）先化簡再求值：(x+2y)(2x+y)?(3x?y)(x+2y)，其中x=3，y=129．（24-25八年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習）先化簡，再求值2xx+2?2x+yx?y，其中30．（24-25八年級上·湖南衡陽·階段練習）先化簡，再求值：a?ba+2b?aa?3b，其中31．（24-25八年級上·重慶銅梁·期中）先化簡，再求值：y2+(x?y)(y+2x)÷(?2x)，其中實數(shù)x，y32．（24-25八年級上·北京·期中）先化簡，再求值：xx+2x?2?xx+2y【題型7因式分解】33．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A．x2?x?1=xx?1C．x2?x?6=x?334．（24-25八年級上·江蘇南通·階段練習）分解因式：4x235．（2024八年級上·全國·專題練習）把下列各式分解因式(1)x?y2+4xy(2)(3)x2x?y36．（24-25八年級上·海南?？凇て谥校鹃喿x材料】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應用．例如：①用配方法因式分解：a2解：a====a+2②求a2解：a==∵a+3∴a+3即a2+6a+8的最小值為請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：a2(2)利用上述方法進行因式分解：a2(3)求x2過關(guān)檢測一、單選題1．（24-25八年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習）下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（

）A．2a3b=2C．x2?2x+1=x?12．（24-25八年級上·遼寧鞍山·階段練習）下列計算正確的是（

）A．a(chǎn)2?a3=a5 B．3．（24-25八年級上·廣東東莞·期中）已知am=2,an=5A．10 B．7 C．3 D．254．（24-25八年級上·河南信陽·期末）已知a+1a=3，則aA．1 B．7 C．9 D．115.（24-25八年級上·河南信陽·期末）下列各式能用平方差公式的是（

）A．x?y?x+y B．C．?x?y?x+y D．6．（2024八年級上·湖北·專題練習）如圖，從邊長為(a+4)cm的正方形紙片中剪去一個邊長為(a+2)cm的正方形A．(4a+12)(2a2+5a)cm2C．(4a+12)cm2 7．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習）如圖，可驗證的乘法公式是（

）A．m?n2=mC．m+nm?n=m8．（24-25九年級上·云南玉溪·期中）若方程x2+mx+4=0的左邊是一個完全平方式，則m的值是（A．?4 B．4 C．4或?4 D．2或?2二、填空題9．（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習）分解因式：xy?x=．10．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）若am=3，an=211．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）已知x+y2=30，x?y2=612．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）若a2+2a=1，那么多項式(a?1)213．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項式a+bn的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”，根據(jù)“楊輝三角”計算a+b6的展開式中從左起第四項的系數(shù)為三、解答題14．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）因式分解(1)2x(2)915．（24-25八年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習）先化簡，再求值：x?2yx+y+x?y2+16．（24-25八年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習）【閱讀理解】若x滿足60?xx?40=20，求解：設(shè)60?x=a，x?40=b，則60?xx?40=ab=20，所以60?x=20【解決問題】若x滿足20?xx?10=?5，求17．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）如圖1，是一個長為2a，寬為2b(a>b)的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖2那樣拼成一個正方形．(1)圖1中的每個小長方形的面積為_____；圖2中的中間空白部分的面積為_____；(2)觀察圖2，請你寫出代數(shù)式(a+b)2、(a?b)2、(3)根據(jù)你得到的關(guān)系式解答下列問題：若x+y=?4,xy=3，求x?y的值．18．（24-25八年級上·山東煙臺·期中）【閱讀材料】“配方法”是數(shù)學中一種重要的思想方法，它是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負數(shù)的意義來解決一些問題．例1．用配方法分解因式：x解：原式=例2．已知x2+y解：原方程可化為，x2?2x+1+∵x?12≥0∴x=1，y=?2，∴x+y=?1．【問題解決】(1)用配方法分解因式：y2(2)若M=a2+b2+10與(3)如圖，長方形ABCD的長BC=8cm，寬AB=6cm．點P從點A開始以1cm/s的速度向點B運動，與此同時，點Q從點B開始以2cm/s的速度向點C運動，當其中任何一點到達終點時停止運動．設(shè)運動時間為①用含有t的代數(shù)式表示S，并直接寫出t的取值范圍；②用上面的方法，求t為何值時S的值最大，最大值是多少？

專題04整式的乘法與因式分解題型聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1冪運算】【題型2整式的乘法】【題型3整式的乘法的實際應用】【題型4平方差及幾何意義】【題型5完全平方及幾何意義】【題型6整式的混合運算/化簡求值】【題型7因式分解】知識點1：冪運算1.冪的乘法運算口訣：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)2.冪的乘方運算口訣：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。(m,n都為正整數(shù))3.積的乘方運算口訣：等于將積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。（m,n為正整數(shù)）4.冪的除法運算口訣：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)知識點2：整式的乘法運算1.單項式乘單項式單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．2.單項式乘多項式單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．3.多項式乘多項式多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．知識點3：平方差公式平方差公式：語言描述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.知識點4：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：

知識點5：因式分解1.定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．2.掌握其定義應注意以下幾點：（1）分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．3.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．題型歸納【題型1冪運算】1．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）下列運算結(jié)果正確的是（

）A．a(chǎn)2?a3=a6 B．【答案】B【分析】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法運算，冪的乘方運算，積的乘方運算，掌握“冪的運算的運算法則”是解本題的關(guān)鍵．由同底數(shù)冪的乘法運算可判斷A，由冪的乘方運算可判斷B，由同底數(shù)冪的除法運算可判斷C，由積的乘方運算和冪的乘方運算可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：a2a3a88a故選：B．2．（24-25八年級上·廣東惠州·階段練習）若2m?2n=32A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵2m∴m+n=5，故選：B．3．（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習）已知10m=3，10n=2，則【答案】72【分析】根據(jù)102m+3n=102m×本題考查了同底數(shù)冪的乘法的逆應用，冪的乘方的逆運算，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：102m+3n∵10m=3，∴102m+3n故答案為：72．4．（海南省洋浦中學教育集團2024-2025學年八年級上學期期中考試數(shù)學試題）計算：?23【答案】32【分析】逆用公式abn本題考查了積的乘方的逆應用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：?==3故答案為：325.（24-25八年級上·全國·期末）若6x=3，6y=4【答案】3【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法的逆用，冪的乘方的逆運算，根據(jù)同底數(shù)冪的除法的逆用，冪的乘方的逆運算可得出6x?2y即6【詳解】解：∵6x=3，∴6==3÷=故答案為：3166．（24-25八年級上·全國·階段練習）若2×8n×16n【答案】4【分析】本題考查冪的乘方的逆運算及同底數(shù)冪相乘的逆運算，根據(jù)(am)【詳解】解：∵2×8∴2×(即：21+3∴1+3n+4n=29，解得：n=4，故答案為：4．【題型2整式的乘法】7．（海南省洋浦中學教育集團2024-2025學年八年級上學期期中考試數(shù)學試題）若(x?1)(x+6)=x2+px+q，則p+qA．11 B．?11 C．?1 D．1【答案】C【分析】本題考查了整式的乘法，代數(shù)式求值，掌握多項式乘多項式法則是解決問題的關(guān)鍵．先利用多項式乘多項式法則計算x?1x+6，再根據(jù)整式的值相等確定p,q的值,最后計算p+q【詳解】解：∵x?1x+6∴p=5,q=?6，∴p+q=5+?6故選：C．8．（24-25八年級上·廣東汕頭·階段練習）已知單項式6x3y與?32xnA．12 B．9 C．6 D．3【答案】C【分析】本題考查了單項式乘單項式法則：把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式，據(jù)此即可求出答案．【詳解】解∵6x∴?9x∴m=?9，3+n=9，∴n=6，故選:C．9.（24-25八年級上·海南?？凇て谥校芭f城改造”中，計劃在市內(nèi)一塊長方形空地上種植草皮，以美化環(huán)境，已知長方形空地的面積為3ab+b平方米，寬為b米，則這塊空地的長為（

）A．3a米 B．3a+1米 C．3a+2b米 D．3ab【答案】B【分析】本題考查了整式的除法運算，直接利用整式的除法運算法則計算即可得出答案，掌握整式的除法運算法則是解題關(guān)鍵．【詳解】解：3ab+b÷b=3ab÷b+b÷b=3a+1∴這塊空地的長為3a+1米，故選：B．10．（22-23八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）若x+4x?2=x2+mx+n，則mA．m=2，n=8 B．m=2，n=?8C．m=?2，n=?8 D．m=?2，n=8【答案】B【分析】本題考查了多項式乘多項式，運算法則需要熟練掌握，利用對應項系數(shù)相等求解是解題的關(guān)鍵．運用多項式與多項式相乘的法則將等式左邊展開，通過比較左右兩邊的對應項系數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m，n的方程來確定m，n的值．【詳解】解：∵x+4∴m=2,n=?8，故選：B．11．（24-25八年級上·湖南長沙·期中）若m?3m?n的積中不含m的一次項，則n=【答案】?3【分析】本題考查了多項式乘多項式的法則，據(jù)此先得到展開式m2?mn+3+3n，結(jié)合“不含【詳解】解：依題意，m?3m?n因為m?3m?n的展開式中不含m所以n+3=0，則n=?3，故答案為：?3．【題型3整式的乘法的實際應用】

12．（24-25八年級上·吉林長春·期中）如圖，現(xiàn)有三種不同尺寸的卡片，分別是正方形卡片A、正方形卡片B和長方形卡片C．若要拼成一個長為a+2b、寬為a+b的大長方形，則需要卡片C的張數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了多項式乘多項式與圖形面積，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)長方形面積公式列式并展開，即可得到答案．【詳解】解：由圖形可知，A的面積為a2，B的面積為b2，C的面積為∵a+2b∴拼成大長方形需要卡片A的張數(shù)為2，B的張數(shù)為2，C的張數(shù)為3，故選：C．13．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，一塊長為am，寬為bm的長方形土地的周長為17m，面積為15m2，現(xiàn)將該長方形土地的長、寬都增加【答案】36【分析】本題考查的是多項式的乘法與圖形面積，求解代數(shù)式的值，由題意可得2a+b=17，ab=15，再結(jié)合擴建后的長方形土地的面積是：【詳解】解：根據(jù)題意，得2a+b=17，該長方形土地的長、寬都增加2ma+2=ab+2a+2b+4=ab+2=15+17+4=36故答案為：36．14．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，某市有一塊長為(3a+b)米，寬為(2a+b)米，規(guī)劃部門計劃在中間留一塊邊長為(a+b)米的正方形空地修建雕像（陰影部分）．(1)求草坪的面積是多少平方米？（用含a、b的代數(shù)式表示）(2)若a、b滿足x+2x+3【答案】(1)2a(2)10750元【分析】本題考查多項式乘多項式，完全平方公式以及代數(shù)式求值，掌握多項式乘多項式的計算方法，完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形中面積之間的關(guān)系進行計算即可；（2）求出a、b的值，代入求出草坪的面積，再根據(jù)單價×數(shù)量=總價進行計算即可．【詳解】（1）解：S==6=2（2）解：∵x+8x+3∴a=6，b=6，∴草坪的面積為5×7∴購買草坪所需要的總費用為215×50=10750（元）．15．（24-25八年級上·山西·階段練習）晉陽湖公園是太原市面積最大的城市綜合性公園，位于太原市西南方的晉陽湖水域周邊．小華與家人在公園內(nèi)某一長方形區(qū)域觀賞風景，設(shè)該觀景區(qū)長3a米，寬a+b米，中間修有一條“S”型等寬小路供游客行走，已知小路寬2米，其余區(qū)域皆為草坪．(1)求該觀景區(qū)草坪的面積．(2)當a=30，b=20時，草坪的面積是多少？【答案】(1)3(2)草坪的面積是4400平方米．【分析】本題考查了列代數(shù)式，求代數(shù)式的值．（1）根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）把a=30，b=20代入（1）中的代數(shù)式，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：該觀景區(qū)草坪的面積=3a?2（2）解：當a=30，b=20時，3a?2a+b答：草坪的面積是4400平方米．16．（23-24八年級上·廣東東莞·期中）如圖，哈市某小區(qū)有一塊長為2a+3b米，寬為2a?3b米的長方形地塊，角上有四個邊長為b米的小正方形空地，開發(fā)商計劃將陰影部分進行綠化．(1)用含有a、b的式子表示綠化的總面積(結(jié)果寫成最簡形式)．(2)若a=10，b=2，綠化成本為50元/平方米，則完成綠化共需要多少元錢？【答案】(1)4(2)17400【分析】此題考查了多項式乘多項式，以及整式的混合運算中的化簡求值，根據(jù)題意列出相應的式子是解本題的關(guān)鍵．（1）綠化的總面積等于矩形面積減去4個正方形面積，利用多項式乘多項式法則，及完全平方公式化簡，然后合并同類項即可得出答案；（2）將a與b的值代入求出綠化的面積，再根據(jù)綠化成本為50元/平方米，即可得出答案．【詳解】（1）解：題意得：(2a+3b)(2a?3b)?4=4=4a答：綠化面積是4a（2）當a=10，b=2時，4a2?13348×50=17400(元)，答：完成綠化共需要17400元錢．17．（24-25七年級上·上?！るA段練習）已知有甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示，面積分別記為S1、

(1)比較S1與S(2)若一個正方形的周長與長方形甲的周長相等①求該正方形的邊長（用含m的式子表示）②若該正方形的面積為S3．請問S3與S2的差（即S【答案】(1)S(2)①m+4；②S3與S2的差（即S3【分析】本題考查了多項式乘多項式、完全平方公式的計算，熟練掌握整式乘法的運算法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列出算式，再利用多項式乘多項式的法則，去括號法則，合并同類項法則進行計算，即可得出答案；（2）①設(shè)正方形的邊長為x，根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出x的值；②先求出S3，再計算S【詳解】（1）解：S==mS==mS===?3，∴S（2）解：①設(shè)正方形的邊長為x，根據(jù)題意得：4x=24x=4m+16∴x=m+4，∴該正方形的邊長為m+4；②∵S3=∴∴S3與S2的差（即S318．（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習）對于一個平面圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個關(guān)于整式乘法的數(shù)學等式，例如圖1可以得到完全平方公式a+b2(1)觀察圖2，寫出所表示的數(shù)學等式：________=________．(2)觀察圖3，寫出所表示的數(shù)學等式：________=________．(3)已知（2）的等式中的三個字母可以取任何數(shù)，若a=7x+5，b=?4x+2，c=?3x+4，且a2+b【答案】(1)a+ba+2b，(2)a+b+c2，(3)50【分析】（1）先計算整個圖形的面積，再計算各個圖形的面積，利用整體圖形的面積等于各個圖形的面積之和，列出等式即可．（2）先計算整個圖形的面積，再計算各個圖形的面積，利用整體圖形的面積等于各個圖形的面積之和，列出等式即可．（3）根據(jù)（2）的等式代入解答即可．本題考查了公式與幾何圖形的關(guān)系，熟練掌握公式的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，整體大長方形的面積為：a+ba+2b各個圖形的面積和為：a2故a+ba+2b故答案為：a+ba+2b，a（2）解：根據(jù)題意，整體大正方形的面積為：a+b+ca+b+c各個圖形的面積和為：a2故a+b+c2故答案為：a+b+c2，a（3）解：∵a=7x+5，b=?4x+2，c=?3x+4，∴a+b+c=?4x+2+7x+5?3x+4=11，∵a+b+c2∴112∵a2∴121?21=2ab+2ac+2bc，∴ab+ac+bc=50．【題型4平方差及幾何意義】19．（24-25八年級上·廣東惠州·階段練習）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1所示），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2所示），根據(jù)圖形的變化過程，寫出的一個正確的等式是（

）A．(a?b)2=aC．b(a?b)=ab?b2 【答案】D【分析】本題考查平方差公式的幾何背景．用代數(shù)式分別表示圖1中陰影部分以及圖2的面積即可．【詳解】解：圖1中陰影部分可以看作兩個正方形的面積差，即a2圖2是長為a+b，寬為a?b的長方形，因此面積為a+ba?b所以有a2故選：D．20．（24-25八年級上·廣東惠州·期中）計算2?12+122A．235+2 B．264+1 C．【答案】C【分析】本題考查了平方差公式的應用，注意：a+ba?b依次運用平方差公式進行計算即可．【詳解】解：2?1=2=2=2=2=2=2故選：C．21．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）計算2a+b2a?b的結(jié)果是（

A．b2?2a2 B．b2?4【答案】D【分析】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)平方差公式：a+ba?b【詳解】解：2a+b2a?b故選D．【題型5完全平方及幾何意義】22．（2024八年級上·全國·專題練習）已知a+b2=12,ab=2，則A．8 B．20 C．4 D．16【答案】C【分析】本題主要考查完全平方公式的變形運用，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【詳解】解：∵a+b2∴12?4×2=a?b∴a?b2故選：C．23．（24-25七年級上·上?！て谥校┤绻P(guān)于x的多項式9x2?m?1x+4【答案】13或?11【分析】本題考查完全平方式，根據(jù)完全平方式的特點：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，進行求解即可．【詳解】解：∵9x∴m?1=±2×3×2，解得：m=13或m=?11，故答案為：13或?11．24．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗證的等式是______________．A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)(2)應用所得的公式計算：20252(3)應用所得的公式計算：1?1【答案】(1)B(2)1(3)101【分析】本題考查了平方差公式，熟練掌握a2（1）先分別用代數(shù)式表示出兩圖中的陰影面積，再判斷即可．（2）把原式先變形為20252（2）根據(jù)a2【詳解】（1）解：圖1中陰影部分的面積是兩個正方形的面積差，即a2拼成的圖2為長為a+b，寬為a?b的長方形，因此面積為a+ba?b∴a2故選：B；（2）解：2025====1；（3）解：原式====10125．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）如圖1是長為4b，寬為a的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)請你用兩種不同的方式表示圖2陰影部分的面積（直接用含a,b的代數(shù)式表示）．方法一：________；方法二：________．由此可以得出的等式是________；(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=5，xy=2，求x?y2(3)如圖3，已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE=1，CF=3，長方形EMFD的面積是24，分別以MF、DF為邊長作正方形MFRN和正方形GFDH，求陰影部分的面積．【答案】(1)(a?b)2，(a+b)2(2)17(3)陰影部分面積為20【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，圖形面積，平方差公式，理解完全平方公式的幾何意義是解題的關(guān)鍵．（1）方法一：根據(jù)圖象得出陰影部分正方形邊長即可求得面積；方法二：根據(jù)大正方形面積減去四個小長方形的面積即可，根據(jù)方法一和方法二即可得到等式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用完全平方公式變形求值即可求解；（3）根據(jù)題意找出題中各線段之間的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系，設(shè)a=x?3,b=x?1，即ab=24，陰影部分面積=NR【詳解】（1）解：方法一：(a?b)2；方法二：(a+b)由此可以得出的等式是(a+b)2故答案為：(a?b)2，(a+b)2?4ab（2）解：∵x+y=5,xy=2，∴(x?y)2=(x+y)2（3）解：∵正方形ABCD的邊長為x，正方形MFRN和正方形GFDH,AE=1,CF=3，∴EM=HG=DF=x?3,MG=EH=x?1?(x?3)=2,NR=ED=x?1，∵長方形EMFD的面積是24，∴(x?3)(x?1)=24，設(shè)a=x?3,b=x?1，即ab=24，則b?a=2，∴陰影部分面積=NR2?DF2=∵(b+a)∴b+a=10（負值已舍去），∴2(b+a)=2×10=20，即陰影部分面積為20．26．（24-25八年級上·重慶·期中）把完全平方公式a±b2=a例如：若a+b=3，ab=1，求a2解：因為a+b=3，ab=1，所以a+b2=9即a2+b2+2ab=9根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題．(1)①若m+n=3，mn=1，且m>n，則m?n=________；②我們知道2?m?5?m=?3，若2?m(2)如圖，C是線段AB上的一點，AB=6，以AC，BC為邊向兩邊作正方形ACDE和正方形CFGB，兩個正方形的面積分別為S1，S2，S1+S【答案】(1)①5；②15(2)10【分析】本題考查了完全平方公式與圖形面積、算術(shù)平方根，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)m?n2②根據(jù)2?m2（2）先求出x+y=6和x2+y【詳解】（1）解：①∵m+n=3，mn=1，∴m?n==5，∵m>n，∴m?n=5故答案為：5．②∵2?m?5?m=?3∴2?m==9+6=15，故答案為：15．（2）解：由題意得：S1=x2，∵S1∴x2則圖中陰影部分的面積為xy===10．27．（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習）如圖1，將邊長(a+b)的正方形剪出兩個邊長分別為a，b的正方形（陰影部分），觀察圖形，解答下列問題：(1)用兩種不同的方法表示圖一陰影部分的面積，即用兩個不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積．方法1：______，方法2：______；將你從中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫出來：______；(2)運用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決下列問題：①已知(2024?x)2+(x?2020)②如圖2，C是線段AB上一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，AC+BC=8，兩個正方形的面積和S1【答案】(1)a2+b2(2)①?2或0；②12【分析】本題考查的知識點是完全平方公式的幾何背景、通過對完全平方公式變形求值，解題關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．（1）方法1可采用兩個正方形的面積和；方法2可以用大正方形減去兩個長方形的面積；根據(jù)兩種方式表示的面積是相等的，即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)a=2024?x，b=x?2020，則a2+b2=10，a+b=4，根據(jù)（1）可知：a2+b2=(a+b)②設(shè)AC=x，BC=y，根據(jù)已知條件可列方程組，求出xy的值，由于陰影部分的面積為12【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，方法1：陰影部分面積是邊長為a的正方形面積和邊長為b的正方形面積之和，∴S陰影部分方法2：陰影部分面積=邊長為(a+b)的正方形面積?長為a，寬為b的長方形面積×2，∴S陰影部分又∵兩種方式表示的陰影部分面積是相等的：a2故答案為：a2+b2；（2）①(2024?x)2+(x?2020)2=10則a2+b根據(jù)（1）可知：a2即10=4∴2ab=4∴(a?b)∴a?b=±2，∴a+b=4a?b=2或解得：a=3b=1或當a=3b=1時，(2023?x)(x?2022)=當a=1b=3時，(2023?x)(x?2022)=∴(2023?x)(x?2022)=?2或0；②設(shè)AC=x，BC=y，∵AC+BC=x+y=8，S1聯(lián)立方程組可得：x+y=8x∴xy=1∴陰影部分的面積為12【題型6整式的混合運算/化簡求值】28．（24-25八年級上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）先化簡再求值：(x+2y)(2x+y)?(3x?y)(x+2y)，其中x=3，y=1【答案】?x2【分析】本題考查整式運算中的化簡求值，先進行多項式乘以多項式的計算，再合并同類項，進行化簡，再代值計算即可．【詳解】解：原式=2=2=?x當x=3，y=12時，原式29．（24-25八年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習）先化簡，再求值2xx+2?2x+yx?y，其中【答案】4x+xy+y【分析】本題主要考查了整式化簡求值，熟練掌握整式混合運算法則，是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)整式乘法混合運算法則進行化簡，然后再代入數(shù)值進行計算即可．【詳解】解：2x=2=4x+xy+y當x=1，y=?2時，4x+xy+y30．（24-25八年級上·湖南衡陽·階段練習）先化簡，再求值：a?ba+2b?aa?3b，其中【答案】4ab?2b【分析】本題考查了整式的乘法，合并同類項，代數(shù)式求值，熟練掌握整式乘法的運算法則是解題的關(guān)鍵．原式第一項利用多項式乘多項式、第二項利用單項式乘多項式的法則計算，然后合并同類項即可化簡原式，最后將a、b的值代入化簡后的式子即可得到原式的值．【詳解】解：原式==4ab?2b當a=?2，b=?1時，原式=4×?231．（24-25八年級上·重慶銅梁·期中）先化簡，再求值：y2+(x?y)(y+2x)÷(?2x)，其中實數(shù)x，y【答案】?x+12【分析】本題考查整式的混合運算，非負性，根據(jù)整式的混合運算法則，進行化簡，根據(jù)非負性求出x,y的值，代入化簡后的式子中計算即可．【詳解】解：原式===?x+1∵|x+3|+(y?5)∴x+3=0,y?5=0，∴x=?3,y=5，∴?x+132．（24-25八年級上·北京·期中）先化簡，再求值：xx+2x?2?xx+2y【答案】x3+9y【分析】本題考查的是整式的混合運算與化簡求值，根據(jù)平方差公式、單項式乘多項式、完全平方公式、合并同類項、多項式除以單項式把原式化簡，把x、y的值代入計算即可．【詳解】解：原式=x(====x當x=?3，y=2時，原式=?3【題型7因式分解】33．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A．x2?x?1=xx?1C．x2?x?6=x?3【答案】C【分析】本題考查因式分解，解決本題的關(guān)鍵是充分理解并應用因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫做因式分解．根據(jù)因式分解的定義對選項逐一分析即可．【詳解】解：A、右邊不是整式積的形式，故不是因式分解，不符合題意；B、形式上符合因式分解，但等號左右不是恒等變形，等號不成立，不符合題意；C、符合因式分解的形式，符合題意；D、從左到右是整式的乘法，從右到左是因式分解，不符合題意；故選C．34．（24-25八年級上·江蘇南通·階段練習）分解因式：4x2【答案】4【分析】本題考查分解因式，涉及提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，根據(jù)多項式結(jié)構(gòu)特征，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案，綜合運用提公因式法及公式法分解因式是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：4=4=4x+3故答案為：4x+335．（2024八年級上·全國·專題練習）把下列各式分解因式(1)x?y(2)m3(3)x2(4)4【答案】(1)x+y(2)m(3)x?y(4)2a?3b【分析】本題考查因式分解．（1）首先去括號，進而合并同類項，再利用完全平方公式分解因式得出即可；（2）首先提取公因式，進而結(jié)合平方差公式分解因式得出答案；（3）首先提取公因式，進而結(jié)合平方差公式分解因式得出答案；（4）首先去括號，再利用完全平方公式分解因式得出即可．【詳解】（1）解：x?y===x+y（2）解：m=m=mm+3（3）解：x==x?y（4）解：4=4=2a?3b36．（24-25八年級上·海南海口·期中）【閱讀材料】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應用．例如：①用配方法因式分解：a2解：a====a+2②求a2解：a==∵a+3∴a+3即a2+6a+8的最小值為請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：a2(2)利用上述方法進行因式分解：a2(3)求x2【答案】(1)4(2)a?3(3)?16【分析】（1）根據(jù)完全平方公式即可求解；（2）仿照閱讀材料中①用配方法因式分解即可；（3）仿照閱讀材料中②解答即可；本題考查了完全平方公式及其應用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵a2故答案為：4；（2）解：a====a?3（3）解：x==x?2∵x?22∴x?22即x2?4x?12的最小值為過關(guān)檢測一、單選題1．（24-25八年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習）下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（

）A．2a3b=2C．x2?2x+1=x?1【答案】C【分析】本題考查因式分解定義，根據(jù)將一個多項式寫成幾個整式的積的形式叫因式分解逐個判斷即可得到答案；【詳解】解：A．2aB．a(chǎn)?ba?bC．x2D．x2故選：C．2．（24-25八年級上·遼寧鞍山·階段練習）下列計算正確的是（

）A．a(chǎn)2?a3=a5 B．【答案】A【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，積的乘方，同底數(shù)冪的除法法則逐項計算即可求解．【詳解】解：A．a(chǎn)2?B．a(chǎn)2與a3C．a(chǎn)bD．a(chǎn)10故選A．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，積的乘方，同底數(shù)冪的除法運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．3．（24-25八年級上·廣東東莞·期中）已知am=2,an=5A．10 B．7 C．3 D．25【答案】A【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法的逆用，逆用同底數(shù)冪的乘法進行計算即可．【詳解】解：∵am∴am+n故選A．4．（24-25八年級上·河南信陽·期末）已知a+1a=3，則aA．1 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．根據(jù)a+1a=3【詳解】解：∵a+1∴a+即a2∴a故選：B．5.（24-25八年級上·河南信陽·期末）下列各式能用平方差公式的是（

）A．x?y?x+y B．C．?x?y?x+y D．【答案】C【分析】本題考查平方差公式，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差：a+ba?b【詳解】解：A、x?y?x+yB、x?yx?yC、?x?y?x+yD、x+yx+y故選：C．6．（2024八年級上·湖北·專題練習）如圖，從邊長為(a+4)cm的正方形紙片中剪去一個邊長為(a+2)cm的正方形A．(4a+12)(2a2+5a)cm2C．(4a+12)cm2 【答案】C【分析】本題考查了幾何圖形與完全平方公式；由題意知，大正方形面積減去小正方形面積即為長方形的面積．【詳解】解：(a+4)==(4a+12)cm故選：C．7．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習）如圖，可驗證的乘法公式是（

）A．m?n2=mC．m+nm?n=m【答案】A【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，理解完全平方公式是解題關(guān)鍵．圖中陰影部分的面積可用“總”、“分”兩種方式表示，即可得到數(shù)學公式．【詳解】解：由圖可得陰影部分是邊長為m?n的正方形，面積為m?n2也可以是m2∴m?n2故選：A．8．（24-25九年級上·云南玉溪·期中）若方程x2+mx+4=0的左邊是一個完全平方式，則m的值是（A．?4 B．4 C．4或?4 D．2或?2【答案】C【分析】此題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵方程x2∴x2∴m=±4，故選：C．二、填空題9．（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習）分解因式：xy?x=．【答案】x【分析】利用提取公因式法分解即可．本題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：xy?x=xy?1故答案為：xy?110．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）若am=3，an=2【答案】72【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方運算，先逆用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方法則變形，然后把am=3，【詳解】解：∵am=3，∴a2m+3n故答案為：72．11．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）已知x+y2=30，x?y2=6【答案】6【分析】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的應用是解題的關(guān)鍵．對兩個等式，利用完全平方公式展開再相減，即可求解．【詳解】解：∵(x+y)2=30，∴x2+2xy+y∴4xy=24，∴xy=6，故答案為：6．12．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）若a2+2a=1，那么多項式(a?1)2【答案】8【分析】本題考查的是整式的混合運算，化簡求值，先計算整式的乘法運算，再合并同類項得到化簡的結(jié)果，再把a2【詳解】解：∵a∴