2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：線段與角（解析版）

考點(diǎn)一線段與角

知識(shí)點(diǎn)整合

一、直線、射線、線段

1.直線的性質(zhì)

(1)兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)；

(2)經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線；

(3)直線的基本事實(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線.

2.線段的性質(zhì)

兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間，線段最短，兩點(diǎn)間線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離.

3.線段的中點(diǎn)性質(zhì)

若C是線段中點(diǎn)，貝!]AC=8C=LA&AB=2AC=2.BC.

2

4.兩條直線的位置關(guān)系

在同一平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系：平行和相交.

5.垂線的性質(zhì)

(1)兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直，其中一

條直線叫做另一條直線的垂線；

(2)①經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的

所有線段中，垂線段最短.

6.點(diǎn)到直線的距離

從直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線，這一點(diǎn)和垂足之間線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離.

二、角

1.角

有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形.

2.角平分線

(1)定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線

(2)性質(zhì)：若。C是NAOB的平分線，則=ZA0B=2ZA0C

2

=2ZB0C.

3.度、分、秒的運(yùn)算方法

1°=60\1'=60",1°=3600\

1周角=2平角=4直角=360°.

4.余角和補(bǔ)角

（1）余角：/1+/2=90。。/1與/2互為余角；

（2）補(bǔ)角：/1+/2=180。=/1與N2互為補(bǔ)角.

（3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等.

5.方向角和方位角

在描述方位角時(shí)，一般應(yīng)先說北或南，再說偏西或偏東多少度，而不說成東偏北（南）

多少度或西偏北（南）多少度.當(dāng)方向角在45。方向上時(shí)，又常常說成東南、東北、西南、

西北方向.

考向一直線、射線、線段

在解答有關(guān)線段的計(jì)算問題時(shí)，一般要注意以下幾個(gè)方面：①按照已知條件畫出圖形是正確

解題的關(guān)鍵；②觀察圖形，找出線段之間的關(guān)系；③簡單的問題可通過列算式求出，復(fù)雜的

問題可設(shè)未知數(shù)，利用方程解決.

典例引領(lǐng)

1.直線A8,8C,C4的位置關(guān)系如圖所示，則下列語句不正確的是（）

A.點(diǎn)A在直線AC上B.直線AB,5C,CA兩兩相交

C.點(diǎn)A是直線鉆,AC的交點(diǎn)D.直線BC經(jīng)過點(diǎn)A

【答案】D

【分析】本題主要考查點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，根據(jù)直線與點(diǎn)的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】解：A.點(diǎn)A在直線AC上是正確的，故選項(xiàng)A不符合題意；

B.直線AB,8C,CA兩兩相交是正確的，故選項(xiàng)B不符合題意；

C.點(diǎn)A是直線AC,A3的交點(diǎn)，故選項(xiàng)C不符合題意；

D.直線BC不經(jīng)過點(diǎn)A,故選項(xiàng)D符合題意，

故答選：D.

2.已知點(diǎn)A、B、C、。是同一條直線上依次排列的四個(gè)不同的點(diǎn)，那么到點(diǎn)A、B、C、D

的距離之和最小的點(diǎn)（）

A.只有線段AZ）的中點(diǎn)B.只有點(diǎn)8或點(diǎn)C

C.是直線AD外一點(diǎn)D.有無數(shù)個(gè)

【答案】D

【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離，具體到本題則為線段的性質(zhì)，即兩點(diǎn)之間線段距離最

短即可求解，根據(jù)題意可知，點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)的距離的和最小的點(diǎn)有無數(shù)多個(gè).

【詳解】解：由兩點(diǎn)之間線段最短可知，到4B、C、。的距離之和最小的點(diǎn)有無數(shù)多

個(gè)，但此點(diǎn)在直線上.

故選：D.

3.如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，若山?=7,BC=3,則AC=（）

??I

ACB

A.10B.7C.5D.4

【答案】D

【分析】本題主要考查了線段的和差.熟練掌握線段的和差計(jì)算，是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)線段A8是由AC與BC組成求解即可.

【詳解】回點(diǎn)C在線段上，AB=7,BC=3,

故選：D.

變式拓展

4.如圖，線段AB=3a,點(diǎn)尸是線段A3上一點(diǎn)，且=。是線段AB上一點(diǎn)，且

AQ-PQ=BQ,則PQ-.AB的值是.

III

APB

【答案】I

【分析】本題考查線段的〃等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線段的和與差.利用數(shù)形結(jié)合思想是解題

的關(guān)鍵.由題意求得AP=2a,3P.根據(jù)線段的和與差，計(jì)算出PQ的長，作比即可.

【詳解】AB=3a,AP=2BP,AP+BP=AB=3a,

AP=7.a,BP=a,

如圖所示，

IIII

AQPB

AQ-PQ=BQ,AQ=AP-PQ,BQ=BP+PQ,

:.AP-PQ-PQ=BP+PQ,gp3PQ=AP-BP=a,

團(tuán)PQ——ci,

PQ:AB=-a:3a=L

39

故答案為：--

三、解答題

5.請(qǐng)根據(jù)要求作圖:

⑴在圖中作線段3GCD；

（2）在圖中作射線ZM；

⑶在圖中取一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到AB,C,D四個(gè)點(diǎn)的距離之和最小.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

⑶見解析

【分析】本題考查了直線，射線，線段的作圖，以及兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握線段的

性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)線段的特征作圖即可；

（2）根據(jù)射線的特征作圖即可；

（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答即可.

【詳解】(1)如圖，線段8C,CD為所作;

(2)如圖，射線DA為所作；

(3)如圖，點(diǎn)P為所作.

6.【問題探究】

(1)如圖，點(diǎn)C,。均在線段A8上且點(diǎn)C在點(diǎn)O左側(cè)，^AC=BD,CD=6cm,

AB=9cm,則線段AC的長為_cm.

I______I__________________________I_______I

ACDB

【方法遷移】

(2)已知點(diǎn)C,。均在線段AB上，^AC=BD,CD=acm,AB^bcm(b>a),則線段

AC的長為_cm.(用含a,6的代數(shù)式表示)

【學(xué)以致用】

(3)已知七年級(jí)某班共有〃?人，在本班參加拓展課報(bào)名統(tǒng)計(jì)時(shí)發(fā)現(xiàn)，選擇圍棋課的人數(shù)

有〃人(〃<機(jī))，其中未參加圍棋課的男生是參加圍棋課男生人數(shù)的一半，參加圍棋課的女

生是女生總?cè)藬?shù)的：，求機(jī)與〃的數(shù)量關(guān)系.小聰同學(xué)在思考這個(gè)問題時(shí)聯(lián)想到了上面的

幾何問題，并將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何模型來解決，請(qǐng)你建立這個(gè)幾何模型并求解.

(建立幾何模型就是畫出相應(yīng)的線段示意圖，并分別注明相應(yīng)線段的實(shí)際意義)

【答案】(1)1.5；(2)-；(3)畫出線段圖見解析，m=|?.

22

【分析】此題考查了線段和差，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解題的關(guān)鍵.

(1)利用線段和差即可求解；

(2)利用線段和差即可求解；

(3)根據(jù)題意畫出線段圖即可求解；

【詳解】(1)解：0AB=9cm,CD-6cm,AC=BD,

EAC=BD=1.5cm,

故答案為：1.5；

(2)0AC=BD,CD=acm,AB=bcm,

0AC=BD=———cm,

2

故答案為：b；■

(3)如圖，

????i

ACDEB

AB表示七年級(jí)某班人數(shù)，

AD表示七年級(jí)某班男生人數(shù)，

8。表示七年級(jí)某班女生人數(shù)，

AC表示參加圍棋課的男生，

CO表示未參加圍棋課的男生，

￡>E表示未參加圍棋課的女生，

BE表示參加圍棋課的女生，

設(shè)CD=x,DE=y,則AC=2x,BE=2y,

團(tuán)選擇圍棋課的人數(shù)有“人，

YI

團(tuán)AC+3￡=〃，BP2x+2y=n,角犁得：x+y=—,

團(tuán)AB=AC+CD+DE+BE=3(%+y),

3

回機(jī)=一〃.

2

考向二角

1.角平分線必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①是從角的頂點(diǎn)引出的射線；②在角的內(nèi)部；③將已

知角平分.

2.類似地，也有角的〃等分線，如三等分線，如圖，N1=N2=N3=JNAO?；騈A0Q=3N

3

1=3Z2=3Z3.

典例引領(lǐng)

1.如圖，甲從A點(diǎn)出發(fā)向北偏西55。方向走到點(diǎn)8,乙從點(diǎn)A出發(fā)向南偏西25。方向走到

點(diǎn)C,則NBAC的度數(shù)是()

北

【答案】C

【分析】本題主要考查了方位角，根據(jù)方位角的描述進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：回甲從A點(diǎn)出發(fā)向北偏西55。方向走到點(diǎn)8,乙從點(diǎn)A出發(fā)向南偏西25。方向

走到點(diǎn)C,

團(tuán)ZBAC=180°-55°-25°=100°,

故選：C.

2.M,N,P,Q,。五點(diǎn)在平面上的位置如圖所示，則位于點(diǎn)。南偏西10。方向上的點(diǎn)是

()

北

M

30y

I40°\、

!。

。南

A.點(diǎn)、MB.點(diǎn)NC.點(diǎn)尸D.點(diǎn)。

【答案】C

【分析】本題主要考查了方位角.根據(jù)方向角的定義解答即可.

【詳解】解：A、點(diǎn)M在點(diǎn)。北偏東30。方向上，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、點(diǎn)N在點(diǎn)。北偏西65。方向上，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、點(diǎn)P在點(diǎn)。南偏西90。-80。=10。方向上，故本選項(xiàng)符合題意；

D、點(diǎn)。在點(diǎn)。南偏東40。方向上，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C

3.某人下午6點(diǎn)多外出時(shí)，看手表兩指針的夾角為110。，下午7點(diǎn)前回家發(fā)現(xiàn)兩指針的

夾角仍為110°，則他外出的時(shí)間為()

A.30ininB.35minC.40minD.45min

【答案】C

【分析】本題考查鐘面角，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用.根據(jù)分針每分鐘走6度，時(shí)針每分

鐘走0.5度；設(shè)他外出的時(shí)間為尤分鐘，則這段時(shí)間分針走的角度是6x,時(shí)針走的角度是

0.5x；由于外出時(shí)，根據(jù)題意，得到分針走的角度=110度+110度+時(shí)針走的角度.列出方

程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)他外出的時(shí)間為尤分鐘，由題意，得：6x=110+110+0.5x,

解得：x=40.

答；他外出的時(shí)間是40分鐘.

故選：C.

4.將一副三角尺按如圖所示擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則圖中N1的大小為

()

A.100°B.105°C.110°D.120°

【答案】B

【分析】本題考查了三角板中角度計(jì)算問題，由題意得N3=N2=30。，根據(jù)

Zl=180°-Z3-450即可求解.

【詳解】解：如圖所示：

由題意得：/3=/2=30。

0Z1=18O°-Z3-45°=105°

故選：B

5.一副三角板按如圖所示的方式擺放，則N1的補(bǔ)角的度數(shù)為（）

A.135°B.145°C.155°D.165°

【答案】D

【分析】本題主要考查利用三角板求度數(shù)、補(bǔ)角的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟記各個(gè)三角板的角的

度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)直角三角板的度數(shù)求得4=15。，然后再求N1補(bǔ)角即可.

【詳解】解：由圖形可得：4=60。-45。=15。，

回N1的補(bǔ)角的度數(shù)為：180°-15°=165°.

故選：D.

變式拓展

6.比較大?。?.15°3015,（填"或"="）

【答案】＜

【分析】本題主要考查角度的大小比較，熟練掌握度分秒的換算是解題的關(guān)鍵.

將3.15。換算成度分秒的形式，即可比較大小.

【詳解】解：3.15。=3。9',

.?.3.15°=3°9'＜3°15'.

故答案為：＜.

7.已知一個(gè)角的補(bǔ)角為148。36'26",則這個(gè)角的余角為.

【答案】58。36'26〃

【分析】本題考查余角和補(bǔ)角的概念以及角的運(yùn)算，互余的兩個(gè)角和為90度，互補(bǔ)的兩個(gè)

角和為180度，由此可解.

【詳解】解：一個(gè)角的補(bǔ)角為148。36'26〃，

這個(gè)角為：180°-148°36'26"=31°23'34",

這個(gè)角的余角為：90°-31°23'34"=28。36'26〃,

故答案為：58。36'26".

8.如圖，/403是一個(gè)平角，/30。=41。43',0￡平分一99。，則NAOE=.

【答案】159。8'30"

【分析】本題考查平角的定義，角平分線的定義，角的和差關(guān)系，先根據(jù)平角為180度計(jì)

算出/AOC,再根據(jù)角平分線的定義求出NCOE,最后根據(jù)NAOE=4OC+NCOE計(jì)算

即可得出答案.

【詳解】解：403是一個(gè)平角，ZBOC=41°43,,

ZAOC=ZAOB-NBOC=180°—41。43'=138°17',

OE平分/BOC,

ZCOE=-NBOC」x41。43,=20°5V30",

22

NAOE=NAOC+NCOE=138°17'+20°51'30"=159°8'30",

故答案為：159。8'30".

三、解答題

9.如圖1,點(diǎn)。為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線OC,OM,ON,ON始終在O河的右

番用圖

(1)如圖1,當(dāng)媛=70。，平分/3OC時(shí)，求NNO3的度數(shù)；

⑵如圖2,當(dāng)OM與OB邊重合，QV在的下方時(shí)，47=80°,將NMON繞。點(diǎn)按每秒4。

的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)〃(?！?lt;n<180°),使射線ON與NBOC的角平分線形成夾角為

30。，求此時(shí)旋轉(zhuǎn)一共用了多少秒；

⑶當(dāng)NMON在直線AB上方時(shí)，若&=90。，點(diǎn)F在射線上，射線O尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)”度(0。<“<180。)，恰好使得NFQ4=2NAOM,OH平分NNOC,NFOH=124。,請(qǐng)

直接寫出此時(shí)"的值.

【答案】①14。

(2)26.5s或41.5s

⑶54.4°或144。

【分析】本題主要考查角度的和差計(jì)算，涉及角平分線的性質(zhì)，分類討論思想等，根據(jù)射

線QV的位置不確定，進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵.

(1)由角平分線的性質(zhì)可得NMO3的度數(shù)，再根據(jù)NNOB=NMON-可得結(jié)論；

(2)需要分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點(diǎn)N'在O"的右側(cè)時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)N'在砥的左側(cè)時(shí)，

畫出圖形，根據(jù)角度之間的和差關(guān)系計(jì)算即可；

(3)根據(jù)題意分兩種情況，當(dāng)0°<“<90°和90°<〃<180°時(shí)，畫出圖形，根據(jù)角度的和

差運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：ZBOC=112°,3/平分/3OC,

ZMOB=-ZBOC=56°,

2

ZMON=q0。，

ZNOB=ZMON-ZMOB=14°；

(2)解：由(1)知，ZHOB=-ZCOB=56°,設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為、，

2

①當(dāng)點(diǎn)N'在OH的右側(cè)時(shí)，NHON'=30°,

ZN'OB=56°-30°=26°,

ZNON'=ZN'OB+ZBON=26°+80°=106°；

.」=106°+4°=26.5；

V

cII

Nf

②當(dāng)點(diǎn)N'在OH的左側(cè)時(shí)，N"ON〃=30。，

:"N'OB=56°-30°=26°,ZNONn=ANnOH+/HOB+/BON=30°+56°+80。=166°

/.r=166°-4°=41.5；

綜上，旋轉(zhuǎn)一共用了26.5s或41.5s；

(3)解：〃為54.4?；?44。.

.\ZAOF=180o-n,

ZFOA=2ZAOM,

ZAOM=-ZAOF=90?！埂?

22

/MON=90。,

/.ZAOM+ZBON=90°,

/.ZBON=-n,

2

31

/HON=ZHOF-/BON-ZBOF=124°一一n,ZCON=ZBOC-/BON=112°--n,

22

OH平分/CON,

:"CON=2/HON,

???112°-r=<124°-r

解得〃=54.4。；

.\ZAOF=1800-nf

ZFOA=2ZAOM,

ZAOM=-ZAOF=90°--n,

22

NMON=90°,

ZAOM+ZBON=90°,

/.ZBON=-n,

2

13

:"HON=360°-/HOF-ZBON-ZBOF=360°-124°——n-n=236°一一n,

22

/CON=ZBOC-/BON=112°--n,

2

OH平分/CON,

:"CON=2/HON,

H2?！?=21236?！?

解得〃=144。；

綜上，〃為54.4。或144。.

10.已知NCOD在/AQ3的內(nèi)部，ZAOB=150°fZCOD=20°.

⑴如圖1,求NAOD+N30c的度數(shù)；

(2)如圖2,平分/3OC,ON平分ZAOD,求NMON的大小；

⑶如圖3,若NAOC=30。，射線0C繞點(diǎn)。以每秒10。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與射線03重

合后停止；同時(shí)射線0。以每秒30。的速度繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并與射線OC同時(shí)停止.設(shè)射

線。O,OC運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是r秒，當(dāng)NCOD=120。時(shí)，求出f的值.

【答案】⑴170。

(2)65°

⑶當(dāng)/=5或/=11時(shí)，ZCOZ)=120°.

【分析】此題考查了角的動(dòng)態(tài)定義，角平分線的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)概念，能用

含/的代數(shù)式表示旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

(1)由NAOD+NBOC可化為ZAOB+NCOZ),計(jì)算即可；

(2)根據(jù)角平分線的定義得到NAON=g/AOD,ZBOM=-ZBOC,進(jìn)而得到

22

ZMON=ZAOB-(ZAON+NBOM),計(jì)算可得；

(3)先求解0VCW12,再根據(jù)射線的運(yùn)動(dòng)可知，需要分兩種情況；分別畫出圖形列方程解

答.

【詳解】(1)解：aZAOB=150°,ZCOD=20°,

EZAOD+NBOC=ZAOD+(ZCOD+ZBOD)

=ZAOB+ZCOD

=150°+20°

=170°；

(2)EIQV平分NAOD,OU平分/BOC,

11

EZAON=-ZAOD,NBOM=-NBOC,

22

E乙AON+ZBOM=1(ZAOD+ZBOC),

=1x170°=85°,

2

團(tuán)ZMON=ZAOB-(ZAON+ZBOM)=150°-85°=65°；

(3)0ZAOB=15O°,ZAOC=30°,

0NBOC=150°-30°=120°,

EI0</<12；

①如圖：

SZDOD'=30t°,ZCOC'=10t°,而NC'OZ)'=120°,

El30/+20-10/=120,

解得：/=5；

②如圖:

回NCOC'=10產(chǎn)，ZDOD'=360°-30t°,而NC'OD'=120°,

E1360-30r+10r-20=120,

解得：”11；

綜上：當(dāng)f=5或f=11時(shí)，ZCOD=120°.

11.已知NAOB=120。，射線OC在NAO3的內(nèi)部，射線。河是NAOC靠近Q4的三等分

線，射線ON是NBOC靠近的三等分線.

(1)若OC平分NAOB,求AMON的度數(shù)；

⑵小明說：當(dāng)射線OC繞點(diǎn)。在/A03的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，NMON的度數(shù)始終保持不變，你

認(rèn)為小明的說法是否正確？說明理由；

⑶若。M、ON、OA、08中有兩條直線互相垂直，請(qǐng)直接寫出NAOC所有可能的值.

【答案】(1)80。

⑵正確，理由見解析

⑶30?；?0。

【分析】本題考查角平分線和角三等分線，角的和與差.

(1)根據(jù)角平分線得到ZAOC=ZBOC=60。，再根據(jù)三等分線可得/MOC和NNOC的度

數(shù)，最后利用NMON=/MOC+NNOC可得答案；

(2)正確，按照(1)的思路計(jì)算即可；

(3)分Q4LON和兩種情況，再利用角的和差計(jì)算即可.

【詳解】(1)回乙4。層120°,0C平分，A。？，

EZAOC=ZBOC=-ZAOB=-xl20°=60°,

22

回射線OM是ZXOC靠近OA的三等分線，射線ON是NBOC靠近0B的三等分線，

22

團(tuán)ZMOC=-ZAOC=-x60。=40°,

33

22

ZNOC=-ZBOC=-x60°=40°,

33

團(tuán)ZMON=ZMOC+ZNOC=40°+40°=80°；

(2)小明是說法正確，

團(tuán)射線OM是ZAOC靠近OA的三等分線，射線ON是NBOC靠近OB的三等分線，

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