2.2.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？生活中的橢圓一.課題引入：2．圓的定義是什么？我們是怎么畫(huà)圓的？1.兩點(diǎn)間的距離公式,若設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)則:|AB|=?在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡。引入新課yxOr設(shè)圓上任意一點(diǎn)P(x，y)以圓心O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系兩邊平方，得3.如果將圓的定義中的一個(gè)定點(diǎn)變成兩個(gè)定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的定長(zhǎng)變成動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng).那么，將會(huì)形成什么樣的軌跡曲線呢？引入新課

4.動(dòng)手作圖工具：紙板、細(xì)繩、圖釘作法：用圖釘穿過(guò)準(zhǔn)備好的細(xì)繩兩端的套內(nèi)，并把圖釘固定在兩個(gè)定點(diǎn)（兩個(gè)定點(diǎn)間的距離小于繩長(zhǎng)）上，然后用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動(dòng)，看畫(huà)出的是什么樣的一條曲線引入新課數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(1)取一條細(xì)繩，(2)把它的兩端固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2(3)用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫(huà)出的圖形F1F2引入新課

4.動(dòng)手作圖思考：在這一過(guò)程中，你能說(shuō)出移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿(mǎn)足的幾何條件嗎？

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2稱(chēng)為焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為焦距，記為2c。若設(shè)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|+|PF2|=2a注：定義中對(duì)“常數(shù)”加上了一個(gè)條件，即距離之和要大于|F1F2|(2a>2c,a>c>0)1、橢圓的定義F1F2P講授新課123當(dāng)2a>|F1F2|=2c，即距離之和大于焦距時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓。當(dāng)2a=|F1F2|=2c時(shí)，即距離之和等于焦距時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段F1F2當(dāng)2a<|F1F2|=2c時(shí)，即距離之和小于焦距時(shí)，點(diǎn)軌跡不存在探究:感悟:(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M點(diǎn)軌跡為橢圓.(1)已知A(-3,0),B(3,0),M點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離和為10,則M點(diǎn)的軌跡是什么?(2)已知A(-3,0),B(3,0),M點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離和為6,則M點(diǎn)的軌跡是什么?(3)已知A(-3,0),B(3,0),M點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離和為5,則M點(diǎn)的軌跡是什么?橢圓線段AB不存在

(3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M點(diǎn)軌跡不存在.(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M點(diǎn)軌跡為線段.練習(xí)下列說(shuō)法中正確的是(

)A.已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓B.已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C.到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于12的點(diǎn)的軌跡是橢圓D.到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓解析A中，|F1F2|＝8，故到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2.B中，到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和6小于|F1F2|，故這樣的軌跡不存在.C中，根據(jù)橢圓的定義，知軌跡是橢圓.D中，點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.故選C.答案C化簡(jiǎn)列式設(shè)點(diǎn)建系F1F2xy

以F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．P(x,

y)設(shè)P(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)設(shè)|F1F2|=2c，則有F1(-c，0)、F2(c，0)F1F2xyP(x,

y)

橢圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足|PF1|

+|

PF2|為定值，設(shè)為2a，則2a>2c則：設(shè)得即：O方程:是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．xyOF1F2P焦點(diǎn)為：F1(-c,0)、F2(c,0)

若以F1，F(xiàn)2所在的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸建立直角坐標(biāo)系，推導(dǎo)出的方程又是怎樣的呢？方程:也橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．焦點(diǎn)為：F1(0

,-c)、F2(0

,c)注：橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)OXYF1F2P(-c,0)(c,0)YOXF1F2P(0,-c)(0,c)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)相同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷4.根據(jù)所學(xué)知識(shí)完成下表xyF1F2POxyF1F2PO(1)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：____________焦距等于______;若CD為過(guò)左焦點(diǎn)F1的弦，則△F2CD的周長(zhǎng)為_(kāi)_______543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD練習(xí)：(2)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：___________焦距等于__________;曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離等于_________，則△F1PF2的周長(zhǎng)為_(kāi)__________21(0,-1)、(0,1)2xyF1F2PO題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（－4，0）、（4，0），橢圓上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；(4)

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點(diǎn).焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸.（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（－4，0）、（4，0），橢圓上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；解：∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為∵2a=10，2c=8∴a=5，c=4解：∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，由橢圓的定義知，（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為又∵c=2∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為解方法一①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，∴a2＝1，b2＝9不合題意，即焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的方程不存在.②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).(4)

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點(diǎn).總結(jié)：與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為反思與感悟求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：(1)定義法，即根據(jù)橢圓的定義，判斷出軌跡是橢圓，然后寫(xiě)出其方程.(2)待定系數(shù)法，即設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再依據(jù)條件確定a2、b2的值，可歸納為“先定型，再定量”，其一般步驟是：①定類(lèi)型：根據(jù)條件判斷焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，還是兩種情況都有可能，并設(shè)橢圓方程為跟蹤訓(xùn)練1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－4,0)、(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和是10；解

∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；解

∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，例2.已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是

.(0,4)變1：已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的

橢圓，則m的取值范圍是

.(1,2)變2：方程,分別求方程滿(mǎn)足下列條件的m的取值范圍：①表示一個(gè)圓；②表示一個(gè)橢圓；③表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。m=9/2-16<m<9/2或9/2<m<25-16<m<9/2例2：方程,分別求方程滿(mǎn)足下列條件的m的取值范圍：①表示一個(gè)圓；②表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。③表示一個(gè)橢圓；m=9/2-16<m<9/2或9/2<m<25-16<m<9/2反思與感悟

(1)利用橢圓方程解題時(shí)，一般首先要化成標(biāo)準(zhǔn)形式.解得7<k<10.7<k<10跟蹤訓(xùn)練2若方程

表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.m