2.2.1橢圓的定義與標準方程

橢圓的定義與標準方程如何精確地設計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？生活中的橢圓一.課題引入：2．圓的定義是什么？我們是怎么畫圓的？1.兩點間的距離公式,若設A(x1,y1)B(x2,y2)則:|AB|=?在平面內，到定點的距離等于定長的點的軌跡。引入新課yxOr設圓上任意一點P(x，y)以圓心O為原點，建立直角坐標系兩邊平方，得3.如果將圓的定義中的一個定點變成兩個定點,動點到定點距離的定長變成動點到兩定點的距離之和為定長.那么，將會形成什么樣的軌跡曲線呢？引入新課

4.動手作圖工具：紙板、細繩、圖釘作法：用圖釘穿過準備好的細繩兩端的套內，并把圖釘固定在兩個定點（兩個定點間的距離小于繩長）上，然后用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動，看畫出的是什么樣的一條曲線引入新課數(shù)學實驗(1)取一條細繩，(2)把它的兩端固定在板上的兩點F1、F2(3)用鉛筆尖（M）把細繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的圖形F1F2引入新課

4.動手作圖思考：在這一過程中，你能說出移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件嗎？

平面內與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓。兩個定點F1、F2稱為焦點，兩焦點之間的距離稱為焦距，記為2c。若設P為橢圓上的任意一點，則|PF1|+|PF2|=2a注：定義中對“常數(shù)”加上了一個條件，即距離之和要大于|F1F2|(2a>2c,a>c>0)1、橢圓的定義F1F2P講授新課123當2a>|F1F2|=2c，即距離之和大于焦距時，點的軌跡為橢圓。當2a=|F1F2|=2c時，即距離之和等于焦距時，點的軌跡為線段F1F2當2a<|F1F2|=2c時，即距離之和小于焦距時，點軌跡不存在探究:感悟:(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M點軌跡為橢圓.(1)已知A(-3,0),B(3,0),M點到A,B兩點的距離和為10,則M點的軌跡是什么?(2)已知A(-3,0),B(3,0),M點到A,B兩點的距離和為6,則M點的軌跡是什么?(3)已知A(-3,0),B(3,0),M點到A,B兩點的距離和為5,則M點的軌跡是什么?橢圓線段AB不存在

(3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M點軌跡不存在.(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M點軌跡為線段.練習下列說法中正確的是(

)A.已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓B.已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和為6的點的軌跡是橢圓C.到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和等于12的點的軌跡是橢圓D.到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓解析A中，|F1F2|＝8，故到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是線段F1F2.B中，到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和6小于|F1F2|，故這樣的軌跡不存在.C中，根據(jù)橢圓的定義，知軌跡是橢圓.D中，點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.故選C.答案C化簡列式設點建系F1F2xy

以F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標系．P(x,

y)設P(x，y)是橢圓上任意一點設|F1F2|=2c，則有F1(-c，0)、F2(c，0)F1F2xyP(x,

y)

橢圓上的點滿足|PF1|

+|

PF2|為定值，設為2a，則2a>2c則：設得即：O方程:是橢圓的標準方程．xyOF1F2P焦點為：F1(-c,0)、F2(c,0)

若以F1，F(xiàn)2所在的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸建立直角坐標系，推導出的方程又是怎樣的呢？方程:也橢圓的標準方程．焦點為：F1(0

,-c)、F2(0

,c)注：橢圓的焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點.2、橢圓標準方程的推導OXYF1F2P(-c,0)(c,0)YOXF1F2P(0,-c)(0,c)橢圓的標準方程的再認識：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。分母哪個大，焦點就在哪個軸上平面內到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡標準方程不同點相同點圖形焦點坐標定義a、b、c的關系焦點位置的判斷4.根據(jù)所學知識完成下表xyF1F2POxyF1F2PO(1)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點F1的弦，則△F2CD的周長為________543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD練習：(2)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：___________焦距等于__________;曲線上一點P到焦點F1的距離為3，則點P到另一個焦點F2的距離等于_________，則△F1PF2的周長為___________21(0,-1)、(0,1)2xyF1F2PO題型一求橢圓的標準方程例1：求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）兩個焦點的坐標分別是（－4，0）、（4，0），橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于10；(4)

經(jīng)過點(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點.焦點在坐標軸.（2）兩個焦點的坐標分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過點（1）兩個焦點的坐標分別是（－4，0）、（4，0），橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于10；解：∵橢圓的焦點在x軸上∴設它的標準方程為∴所求的橢圓的標準方程為∵2a=10，2c=8∴a=5，c=4解：∵橢圓的焦點在y軸上，由橢圓的定義知，（2）兩個焦點的坐標分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過點∴設它的標準方程為又∵c=2∴所求的橢圓的標準方程為解方法一①當橢圓的焦點在x軸上時，∴a2＝1，b2＝9不合題意，即焦點在x軸上的橢圓的方程不存在.②當橢圓的焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為方法二設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).(4)

經(jīng)過點(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點.總結：與橢圓共焦點的橢圓方程可設為反思與感悟求橢圓標準方程的方法：(1)定義法，即根據(jù)橢圓的定義，判斷出軌跡是橢圓，然后寫出其方程.(2)待定系數(shù)法，即設出橢圓的標準方程，再依據(jù)條件確定a2、b2的值，可歸納為“先定型，再定量”，其一般步驟是：①定類型：根據(jù)條件判斷焦點在x軸上還是在y軸上，還是兩種情況都有可能，并設橢圓方程為跟蹤訓練1求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是(－4,0)、(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點距離的和是10；解

∵橢圓的焦點在x軸上，∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)；解

∵橢圓的焦點在y軸上，例2.已知方程表示焦點在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是

.(0,4)變1：已知方程表示焦點在y軸上的

橢圓，則m的取值范圍是

.(1,2)變2：方程,分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；②表示一個橢圓；③表示焦點在x軸上的橢圓。m=9/2-16<m<9/2或9/2<m<25-16<m<9/2例2：方程,分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；②表示焦點在x軸上的橢圓。③表示一個橢圓；m=9/2-16<m<9/2或9/2<m<25-16<m<9/2反思與感悟

(1)利用橢圓方程解題時，一般首先要化成標準形式.解得7<k<10.7<k<10跟蹤訓練2若方程

表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)m的取值范圍是(

)A.m