四川省眉山市2023屆高三下學(xué)期第二次診斷性數(shù)學(xué)（理）試題（含答案解析）

眉山市高中2023屆第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算直接求解即可.【詳解】，.故選：A.2.設(shè)全集為，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】求出集合A中元素范圍，再求即可.【詳解】，又，.故選：C.3.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為推動(dòng)鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，逐步打造高品質(zhì)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，在某試驗(yàn)區(qū)種植了某農(nóng)作物．為了解該品種農(nóng)作物長(zhǎng)勢(shì)，在實(shí)驗(yàn)區(qū)隨機(jī)選取了100株該農(nóng)作物苗，經(jīng)測(cè)量，其高度（單位：cm）均在區(qū)間內(nèi)，按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，記高度不低于16cm的為“優(yōu)質(zhì)苗”．則所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為（）A.20 B.40 C.60 D.88【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出“優(yōu)質(zhì)苗”的占比,再乘以100可得結(jié)果【詳解】由頻率分布直方圖可知，“優(yōu)質(zhì)苗”的占比為，因此，所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為.故選：C.4.數(shù)學(xué)與音樂(lè)有著緊密的關(guān)聯(lián)，我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音一般來(lái)說(shuō)并不是純音，而是由多種波疊加而成的復(fù)合音．如圖為某段樂(lè)音的圖像，則該段樂(lè)音對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可以為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由圖像可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，得出A，B為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像中，判斷出A對(duì)，B錯(cuò)；由圖像得，判斷出C，D錯(cuò)誤，即可得出答案．【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，又，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，又，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)，，故D錯(cuò)誤，故選：A．5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用倍角公式將條件變形，然后結(jié)合列方程組求解.【詳解】,①,又②，由①②得.故選：D.6.一個(gè)四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，腰長(zhǎng)為2的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.56【答案】A【解析】【分析】由三視圖可知該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，利用勾股定理求出棱臺(tái)的高，再根據(jù)臺(tái)體的體積公式即可得解.【詳解】由三視圖可知該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，且側(cè)面的高為，則該棱臺(tái)的高為，所以棱臺(tái)的體積.故選：A.7.已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則下列各項(xiàng)中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及換底公式即可判斷C；根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，則，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，故D正確.故選：D.8.已知四棱柱的底面是正方形，，，點(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)，則平面，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，則，則、、、，所以，，易知平面的一個(gè)法向量為，，因此，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故選：C.9.已知函數(shù).給出下列結(jié)論：①是的最小值；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】先利用輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②，根據(jù)平移變換的原則即可判斷③.【詳解】，對(duì)于①，，是的最小值，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，故③正確，所以正確的有①③.故選：B.10.已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)、，以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】記，則直線(xiàn)的方程可表示為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合以及可求得的值，再利用弦長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】記，則直線(xiàn)的方程可表示為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，，，由已知可得，則，可得，所以，.故選：C.11.在菱形中，，，將繞對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)至，使得，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，取的中點(diǎn)，連接的，利用勾股定理證明，則有平面平面，設(shè)點(diǎn)為的外接圓的圓心，則在上，設(shè)點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，利用勾股定理求出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，在菱形中，，則都是等邊三角形，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以即為二面角的平面角，因?yàn)?，所以，即，所以平面平面，如圖，設(shè)點(diǎn)為的外接圓的圓心，則在上，且，設(shè)點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則平面外接球的半徑為，設(shè)，則，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：B.12.若存在，使不等式成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】等價(jià)變形給定的不等式，并令，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，再借助導(dǎo)數(shù)求解即得.【詳解】依題意，，令，即，由，得，令，則原問(wèn)題等價(jià)于存在，使得成立，求導(dǎo)得，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，又，則當(dāng)時(shí)，，若存在，使得成立，只需且，解得且，即，所以的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】先求出向量的坐標(biāo)，再利用模的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解即可.【詳解】由已知得，，，解得.故答案為：.14.已知的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則______.【答案】##【解析】【分析】求出的展開(kāi)式通項(xiàng)，然后利用含項(xiàng)的系數(shù)為列方程求解.【詳解】，又的展開(kāi)式通項(xiàng)為，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，，解得.故答案為：12.15.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)從左往右順次交于兩點(diǎn).若，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】分別聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的方程，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)在的右側(cè)，可得，再根據(jù)，求得的齊次式，由此求出，進(jìn)而可得答案.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，由題意可得，則，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，因?yàn)閮蓷l漸近線(xiàn)從左往右順次交于兩點(diǎn)，且所以，，，所以，因，所以，整理得，則，解得或（舍去），所以離心率.故答案為：.16.中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，且，則周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，即可得出周長(zhǎng)的最大值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，，因?yàn)?、，則，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最大值為.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某商店銷(xiāo)售某種產(chǎn)品，為了解客戶(hù)對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了200名客戶(hù)，其評(píng)價(jià)結(jié)果為“一般”或“良好”，并得到如下列聯(lián)表：一般良好合計(jì)男20100120女305080合計(jì)50150200（1）通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有99%的把握認(rèn)為客戶(hù)對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系？（2）該商店在春節(jié)期間開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，該產(chǎn)品共有如下兩個(gè)銷(xiāo)售方案.方案一：按原價(jià)的8折銷(xiāo)售；方案二：顧客購(gòu)買(mǎi)該產(chǎn)品時(shí)，可在一個(gè)裝有4張“每滿(mǎn)200元少80元”，6張“每滿(mǎn)200元少40元”共10張優(yōu)惠券的不透明箱子中，隨機(jī)抽取1張，購(gòu)買(mǎi)時(shí)按照所抽取的優(yōu)惠券進(jìn)行優(yōu)惠.已知該產(chǎn)品原價(jià)為260（元/件）.顧客甲若想采用方案二的方式購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品，估計(jì)顧客甲需支付的金額；你認(rèn)為顧客甲選擇哪種購(gòu)買(mǎi)方案較為合理？附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，.【答案】（1）有99%的把握認(rèn)為客戶(hù)對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系（2）元，選擇方案二較為合理【解析】【分析】（1）根據(jù)公式求出，再對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論；（2）設(shè)甲顧客按方案二購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品需要出元，寫(xiě)出的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再根據(jù)期望公式求出期望即可，再求出選擇方案一所需的金額，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】，所以有99%的把握認(rèn)為客戶(hù)對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系；【小問(wèn)2詳解】若甲顧客按方案二購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品，設(shè)需要出元，則可取，，所以（元），所以顧客甲若想采用方案二的方式購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品，估計(jì)顧客甲需支付元，若甲顧客按方案一購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品，則需要（元），因?yàn)椋灶櫩图走x擇方案二購(gòu)買(mǎi)較為合理.18.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，.是公比大于0的等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，求的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的求和公式解方程可得首項(xiàng)，進(jìn)而得到；由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比，進(jìn)而得到；（2）由等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，可得所求和.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列,得，，是公比大于0的等比數(shù)列，，設(shè)公比為，，解得(負(fù)值舍去)，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，①，②，①-②得，19.如圖，在三棱錐中，為的內(nèi)心，直線(xiàn)與交于，，.（1）證明：平面平面；（2）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)平面，垂足為，作于，于，連接，先證明，從而可證得，從而可得點(diǎn)為的內(nèi)心，即兩點(diǎn)重合，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用等面積法求得內(nèi)切圓的半徑，再利用勾股定理求得，即可得的坐標(biāo)，再利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)平面，垂足為，作于，于，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，在和中，因?yàn)?，所以，所以，在和中，，所以，所以，即點(diǎn)到距離相等，同理點(diǎn)到的距離相等，所以點(diǎn)為的內(nèi)心，所以?xún)牲c(diǎn)重合，所以平面，又因平面，所以平面平面；【小問(wèn)2詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則即，解得，故，則，則，設(shè)平面的法向量，則，可取，設(shè)平面的法向量，則，可取，則，由圖可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.已知橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，，是橢圓上異于的兩動(dòng)點(diǎn)，且，若直線(xiàn)，的斜率均存在，并分別記為，.（1）求證：為常數(shù)；（2）求面積的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線(xiàn)的傾斜角分別為，根據(jù)，可得，即，求出，從而可得出結(jié)論；（2）利用待定系數(shù)法求出橢圓方程，設(shè)，，聯(lián)立方程求出，再根據(jù)，化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)合基本不等式即可得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角分別為，因?yàn)?，所以，即，故，因?yàn)?，，所以，所以，所以，則，所以為常數(shù)；【小問(wèn)2詳解】橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，代入得，解得，所以橢圓方程為，設(shè)，，由（1）得，則的方程為，的方程為，聯(lián)立，消得，則，同理可得，則令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】圓錐曲線(xiàn)中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．21.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性和極大值，進(jìn)而求得的取值范圍；（2）由（1）得到，得出，令，得到，求得，令，取得，再令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，進(jìn)而得出單調(diào)遞性和最小值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，可得，單調(diào)遞減，所以時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，又因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，，且時(shí)，，所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，可得，即函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩根，且，則有，兩式相除，可得，可得，又由，可得，所以，令，令，則需要恒成立，則，令，則，令，則上單調(diào)遞增，又由，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，則即為單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則即為單調(diào)遞增，又，所以存在，使得當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分