第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)（壓軸題專練）-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)(壓軸題專練)

1.(2024?全國?高考真題)已知函數(shù)的定義域為R,7(x)>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)x<3時/(x)=x,

則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【分析】代入得至Uf⑴=1,『(2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.

【詳解】因為當(dāng)x<3時〃x)=x,所以八1)=1"(2)=2,

又因為/(x)>/(x-l)+/(x-2),

則/(3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(II)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610)(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知〃20)>1000,則B正確；

且無證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用/(1)=L7(2)=2,再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)

/(%)>/(x-l)+/(x-2),代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.

2.(2024?上海?模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=/(x)具有以下的性質(zhì)：對于任意實(shí)數(shù)。和。，都有

/(?+^)+/(a-^)=2/(a)./(&),則以下選項中，不可能是了⑴值的是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意令a=6=0得"0)=0或40)=1;令a=6=楙可得/(x)=-八0"-〃0),

代入/⑼即可求解.

【詳解】因為函數(shù)y=對于任意實(shí)數(shù)。和匕，者B有〃a+6)+6)=2"a)-/S),所以令々=6=0,

有/(。)+/(。)=2/(。卜/(0),即2〃0)"(0)—1]=0,所以"0)=0或/(0)=1；

令a=6.,x為任意實(shí)數(shù)，有〃尤)+/(0)=2d即小)=2/出"出一/(°)；

因為所以〃x)“〃°)，

當(dāng)"0)=0時，/W>0;當(dāng)〃0)=1時，/(x)>-l；

所以〃x)的值不可能是—2,

故選：A.

3.⑵24?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=/(x)的定義域是(y,O)U(O,+s),對任意的hX2G(0,-H?),x產(chǎn)3，

都有々""L>。,若函數(shù)y=/(x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對稱，且/(1)=4,則不等式

%2—%]

4

〃x)>—的解集為()

X

A.(-1,O)U(O,1)B.(-1,0)口(1，心)

C.(^o,-l)u(0,l)D.(^o,-l)u(l,+oo)

【答案】B

【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=#(x),判斷函數(shù)g。)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解

不等式即可.

【詳解】由函數(shù)y=/(x+1)圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)中心對稱，知函數(shù)/(X)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對稱，

所以“X)為奇函數(shù).

令g(x)=#(x),則g(-x)=H(-x)=M?=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，

對于%，尤,e(0,+s),有g(shù)(%)_g區(qū))>0(&.4),所以g(x)在(。,口)上單調(diào)遞增，

X2-Xx

所以g(M在(-8,。)上單調(diào)遞減.

由/(1)=4,得g⑴=4,g(-l)=4,

當(dāng)x>0時，/(x)>3變形為V(x)>4,即g(x)>g⑴，解得了>1；

X

4

當(dāng)尤<0時，/(*)>-變形為獷》<4,即g(x)<g(-l),解得一1cx<0,

X

4

綜上，不等式”x)>2的解集為(-1,0)7(1,+8).

X

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)g(x)=4(x),利用函數(shù)g(x)的奇偶性和單調(diào)性解不等式是解決本題的關(guān)鍵.

4.(2024.河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,對于任意實(shí)數(shù)x,y滿足

/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),且/(1)=1,則下列結(jié)論錯誤的是()

A."0)=2B.〃尤)為偶函數(shù)

C.“X)為奇函數(shù)D./(2)=-1

【答案】C

【分析】由條件等式通過取特殊值求/⑼，"2)由此判斷A,D,再取特殊值確定/(無)，/(-X)的關(guān)系結(jié)

合函數(shù)的奇偶性的定義判斷選項B,C.

【詳解】因為V無,yeR,/(x+-y)+/(x--y)=f(x)/(_y),

取x=l,y=0可得41)+/(1)=/(1)"0),又/(1)=1,所以"0)=2；A對；

取x=0,V=x可得〃￡)+〃一力=〃0)〃尤)，因為"0)=2,所以〃-x)=/(x),所以為偶函數(shù),

C錯，B對；

取x=l,y=l可得〃2)+八0)=〃1)八1),又"1)=1,40)=2；

所以〃2)=-1,D對；

故選：C.

_丫2丫〉Q

一2'「，若存在。44,10],使/(a-尤2)<9/(尤)，

X，尤<U

則X的取值范圍是()

A.[-5,2]B.H，l]C.[4,10]D.(-oo,2]

【答案】A

【分析】根據(jù)〃3X)=9/(X)以及函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式[”-白49〃力，根據(jù)存在性問題的知識

列不等式，由此求得尤的取值范圍.

【詳解】"3尤)=]；,，：；。=9〃力，

[9x,x<0

所以/(a-x2)<9〃尤)=〃3元)，

由于/(元)在R上單調(diào)遞減，

所以存在ae[4,10],使a-YN+3xVa成立，

所以無2+3x410,廠+3x—1。=(x+5)(x—2)WO,

解得-5<x<2,所以尤的取值范圍是15,2]

故選：A

_尤2龍〉0

【點(diǎn)睛】考慮到分段函數(shù)〃X)=2'"可以轉(zhuǎn)化為了("=-小，由此可判斷出9/(x)可以轉(zhuǎn)化為/(3x),

Ji，人4U

從而可以使用函數(shù)的單調(diào)性來化簡題目所給不等式.恒成立問題或存在性問題，往往是轉(zhuǎn)化為最值來列不等

式，從而求得正確答案.

---------F2,%<C

6.(23-24高一上?福建龍巖?期末)已知函數(shù)/(無)=尤，若/(無)的值域為⑵6],則實(shí)數(shù)c的

取值范圍是()

「，1〕-；,0C.[-1,0)D.-1，4

A.-1,--B.

4_

【答案】A

【分析】首先分析函數(shù)丁=f-2工+3的取值情況，從而判斷cWl,再結(jié)合c2-2c+3W6得到-LWcWl,再

分04c<l和兩種情況討論，當(dāng)-LWcvO時結(jié)合函數(shù)y=-工+2在(-*c)上的單調(diào)性，得至I]

X

--+2<6,從而求出。的取值范圍.

C

【詳解】對于函數(shù)y=2x+3=(x—1了+2,當(dāng)x=3時，y=6,當(dāng)X=1時，y=2,

而一，w。，即有一!+2e2,依題意可得cVl,Xc2-2c+3<6,解得一

所以—1WcW1；

當(dāng)0<cWl時，函數(shù)/⑺在(-8,0)上的取值集合為(2,+8),不符合題意，

當(dāng)—lVc<0,函數(shù)丫=-工+2在(-s,c)上單調(diào)遞增，

X

則2<-^+2<-1+2,所以《--+2<61

c，解得TWcW-：，

4

XC-l<c<0

所以實(shí)數(shù)C的取值范圍是T，-；

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是分析得到T《cWl,再分OVcVl和—lVc<0兩種情況討論.

7.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)”到滿足〃%+1)=3/(“，當(dāng)時,

=巨手1.若v%￡(—8刁，f(x)>-18,貝h的取值范圍是()

10101111010

A.——,+ooB.C.T'WD.—00,——

3T5T3

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)時,的單調(diào)性和最值，進(jìn)而結(jié)合〃x+l)=3/(x)以及恒成立問題

分析求解.

2

—X,XG

/、|2x+l|-l3

【詳解】由題意可知：當(dāng)x<T,0］時,4,°

-2x—2

3-

上單調(diào)遞增,〃且〃的最小值為一；

可知/a)在上單調(diào)遞減，在-1,0x)<0x)

當(dāng)xe(0,l]時，x—1e(—1,0],/(x)=3/(x—1)=|2x—1|—12—1；

當(dāng)xe(l,2]時,x-2e(-l,0],/(x)=32/(^-2)=3|2x-3|-3>-3；

3

當(dāng)x?2,3]時，x-3e(-l,0],/(^)=3/(^-3)=9|2X-5|-9>-9；

當(dāng)xe(3,4]時，x—4e(—l,0],/(x)=34/(^-4)=27|2x-7|-27>-27.

^27|2x-7|-27=-18,解得片弓或工=弓,

因為Vxe(foj］,/(x)>-18,所以區(qū)下，

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)、方程與不等式相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用

(1)函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助.

(2)解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問

題化繁為簡，一般可將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍.

8.(23-24高二上.湖南.期中)已知定義域為R的函數(shù)“X)滿足/(力=-〃-3)，當(dāng)2G(ro,0］且工產(chǎn)超

時，"［二；")<。成立?若存在工4°，1］使得了(1一以一元2)<〃2-。)成立,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.僅&,+8)

C.2—2\/2,—2+2\/2^D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】由已知判斷函數(shù)的單調(diào)性，再分離參數(shù)討論即可.

【詳解】由條件可知函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞減.

存在無40』使得/(1-?-4</(2-0)成立等價于存在xe[O,l]使得不等式1一依一尤2>2”成立.

由]_依_了2>2_。得(1_力4>r+1,

V%e[O,l],/.l-x>0,

，①當(dāng)x=l時，0>2不成立；

②當(dāng)九式0,1)時，〃〉土上有解.求當(dāng).[0,1)時，函數(shù)>=土士的最小值.

1-x1-x

令t=l一般(。』)，則y=^~=(l—,+L+”，

](1、t1

設(shè)0<4<t2="+----2—t2-------2=(tx-t2)——,

4\^2J邛2

因為.—彳2(。/《一1(°,￥2)°'

2

所以％-%>0,所以函數(shù)y=f+]-2是(0』上的減函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)7=1,即X=o時，ymin=l.

故a>l,

故選：D.

9.(2024.陜西榆根模擬預(yù)測)若函數(shù)在xe[a,b]時，函數(shù)值y的取值區(qū)間恰為(左>。)，則稱[a,可

為〃尤)的一個“左倍倒域區(qū)間”.定義在R上的奇函數(shù)g(%),當(dāng)xe(-oo,0]時，g(x)=/+(加+2)x+m-2,

則g(x)在區(qū)間[〃加+2]內(nèi)的“8倍倒域區(qū)間”為()

A.[2,4]B.[2,V2+1]C.[2,方]D.[2,6+1]

【答案】D

【分析】先求得g(x)的解析式，判斷出g(x)在區(qū)間口V〃+2]上的單調(diào)性，由此列方程組來求得正確答案.

【詳解】因為g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以g(0)=加-2=0,所以加=2.

因為當(dāng)xe(-co,0］時，g(x)=x2+4x,所以當(dāng)xe(0,+oo),-xe(-8,0)時，g=-g(-%)=-x2+4x,

-x2+4x,x>0

所以g(無)=,

x2+4x,x<0

則當(dāng)xe[2,4]時，g(x)單調(diào)遞減,

28

—a+4A。=—

a

設(shè)2Va<6?4,由<

-b24b=-

+b

/—4a?+8=（〃—2）（q2—2Q—4）—0

、［Z73-4/72+8=（/?-2）（Z?2-2Z?-4）=0，

解得a=2,b=5/5+1,

所以g（X）在區(qū)間［2,4］內(nèi)的“8倍倒域區(qū)間”為［2,^+1］,

故選：D

【點(diǎn)睛】求解有關(guān)“新定義”函數(shù)問題的解題策略是：理解辨析題目所給“新定義”，將新的問題，轉(zhuǎn)化為學(xué)過

的知識來進(jìn)行求解.如本題中，將“8倍倒域區(qū)間”轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值來進(jìn)行求解.

10.（23-24高一上?江蘇淮安?階段練習(xí)）函數(shù)/（尤）是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+℃）上是增函數(shù)，若對

任意xw［（VT，均有〃xT）"y（2x）,則實(shí)數(shù)f的最大值是（）

A.-B.-C.-D.3

422

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可得歸-"引2可，再利用二次函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性與最值即可得解.

【詳解】因為xe［0j-l］,所以廠1＞。，則

因為函數(shù)〃x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以/（力=川尤|），

則由〃xT）N/（2x）得川網(wǎng)）,

又因為〃x）在［0,+A）上是增函數(shù)，所以卜一以2x|,

兩邊平方化簡得3y+2比-產(chǎn)W0在xe［0J-日恒成立，

令g（x）=3x?+2a-產(chǎn)，則g（x）1mx（。，

又因為g（x）開口向上，對稱軸為x=-（＜。，

所以8。）=3尤2+2比-產(chǎn)在彳€［0,力-1］單調(diào)遞增，

13

則g（X）max=g?-1）=4〃一8/+3W0,解得］W,

3

又因為，＞1,所以1＜74萬，

所以r的最大值為

故選：B.

1.(江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)函數(shù)/(力=區(qū)稱為取整函數(shù)，

也稱高斯函數(shù)，其中國表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[-3.5]=-4,[2.1]-2,則下列命題正確的是

()

A.函數(shù)〃"=3為偶函數(shù)

B.函數(shù)y=x-[x](xeR)的值域為[0,1)

「I15

C.若[尤]=2,則苫+不不的最小值為、

D.不等式[X]2-[^]<2的解集為{x|-l<x<3}

【答案】BCD

【分析】對于A,代值驗證即可，對于B,根據(jù)高斯函數(shù)的定義分析判斷，對于C,先求出尤的范圍，然后

根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求解判斷即可，對于D,解不等式后再根據(jù)高斯函數(shù)的定義可求得結(jié)果.

【詳解】對于A,==顯然〃-1)工/(1),故A錯誤；

對于B,由取整函數(shù)的定義知：

；?函數(shù)V=x—[司(xeR)的值域為[0,1),故B正確；

、1

對于由于r則易知x—1)H—————-+1

C,[x]=2,2<x<3,x+2(—1)'2(^-1)，

而函數(shù)y=(xT)+/^+l在[2,3)上單調(diào)遞增，

15

，當(dāng)x=2時，工+2(尤_])的最小值為故C正確；

對于D,[x『-|x]W2,則一lV[x]W2,故一1(尤<3,故D正確.

故選：BCD.

X

2.(23-24高二下.江蘇徐州?期末)已知函數(shù)7(x)=心，則()

33

A.f

B.〃x)為奇函數(shù)

C.?。┰趨^(qū)間上單調(diào)遞增

D.集合卜“尤）=2,。>4,的元素個數(shù)為4

【答案】ABD

【分析】對于A直接計算即可，對于B驗證-〃x）=/（r）,對于C先證明（0,￡|上的單調(diào)性，再根據(jù)奇

偶性得到［-3彳）上的單調(diào)性，對于D把問題轉(zhuǎn)化方程Y-aW+a=0解的個數(shù)的判斷.

【詳解】對A,=故A正確；

對B,〃尤）的定義域為XH±L關(guān)于原點(diǎn)對稱，/（-x）=pp=gZT=-/（x）.所以為奇函數(shù)，故

B正確；

r_L-、r，C1r\%X-l+l.1

對C,當(dāng)0<%<大n時，/(%)=----=-----=1+----x-l<0,根據(jù)y=xT單調(diào)遞增，所以“X）在

2x—1x—1x—1

單調(diào)遞減，

又因為“X）是奇函數(shù)，所以“X）在';，o］單調(diào)遞減，且〃。）=。，所以“X）在上單調(diào)遞減，故

C錯誤；

對D,/（x）=g,a>4得：1—；~~^=_=>兀2國+〃=0,

當(dāng)工20時，方程%之一〃W+a=?？苫癁?2一依+〃=o,

因為a>4,止匕時八=々2_41=〃（々_4）>0,方程的兩根滿足/+%2=〃>。，玉%2=〃>0，可以說明為，入2〉0,

所以當(dāng)xNO時，爐―〃忖+〃=0有兩個不相等正根，

當(dāng)％<0時，方程爐-4,+〃=?？苫癁?2+◎+〃=（）,

因為a>4,止匕時A=〃2_4a=Q（Q_4）>0,方程的兩根滿足七十%4=—〃<。，%/=〃>0，可以說明％3，工4<0，

所以當(dāng)了<0時，/―〃W+a=。有兩個不相等的負(fù)根，

綜上所述，方程f-4耳+，=0有四個不相等的實(shí)數(shù)解，即集合有4個元素，故D正確.

故選：ABD

f（?—l）x+l,x<0

3.（23-24高一下?福建?期中）已知函數(shù)/（x）="八，則以下說法正確的是（）

|x",x>0

A.若a=-L,則/（無）是R上的減函數(shù)

B.若。=0,則"X）有最小值

C.若則/⑴的值域為(0,口)

D.若。=3,則存在%e(L”),使得/小)=/(2—%)

【答案】BC

【分析】把選項中的〃值分別代入函數(shù)Ax),利用此分段函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項.

—2x+l,x<0

【詳解】對于A,若。=一1,/(%)=

x-1,x>0

/⑺在(-8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減，故A錯誤；

f—x+l,x<0,

對于B,若Q=0,/(%)=〈八，

當(dāng)XV0時，f(x)=-x+l,/(X)在區(qū)間(-8,0]上單調(diào)遞減,

/(%)>/(0)=1,則Ax)有最小值1,故B正確；

1—x+1,x0,

對于c,^a=~,/(x)=2,

21

x2,x>0,

當(dāng)xWO時，/(x)=-；x+l,/(x)在區(qū)間(3,0]上單調(diào)遞減，/(%)>/(0)=1;

當(dāng)尤>0時，/(x)=￡，/*)在區(qū)間(°，+的上單調(diào)遞增，/(尤)>"0)=0,

則fM的值域為(0,”)，故c正確;

f2x+1,x<0,

對于D,右a=3,7(%)=43八

[x,x>0,

>l

當(dāng)%e(l收)時，f(Xo)=^o-

當(dāng)2-%e(0,l),即l<x0<2時，"2-無0)=(2-%)建(0,1)；

當(dāng)2-x°e(F,0],即時，"2—毛)=3—

即當(dāng)2-%e(-co,0]時，/(2-x0)e(^x>,l],

所以不存在％e(l，a>),使得/(Xo)=/(2—x。)，故D錯誤.

故選：BC

4.(23-24高一上?浙江?期末)已知函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且對于y=/(x)(xeR)，當(dāng)4％e(F,0]

時，/(用)[/(々)<0恒成立,若/(2分)<f(2尤2+1)對任意的xeR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是下

面選項中的()

A.(-8,0)B.

C.[0,挺)D.(0,+oo)

【答案】BC

【分析】根據(jù)條件可得，函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，在(-應(yīng)0)上單調(diào)遞減.根據(jù)單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系可得,

函數(shù)在(0,+◎上單調(diào)遞增，進(jìn)而可推出12axi<2/+1恒成立.對x是否為0進(jìn)行討論，利用基本不等式即可

求得實(shí)數(shù)。的范圍.

【詳解】由已知可得，函數(shù)>=/(尤)為偶函數(shù)，

又對于，=/Q)(xeR),當(dāng)玉,%?(-8,0)時，小)一"<0恒成立,

玉一馬

即％，苞w(ro,0),若都有/(再)>/(%)成立，則y=/(x)在(7,0)上單調(diào)遞減,

又函數(shù)y=/(尤)為偶函數(shù)，則y=f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又f(2ax)=/(|2ax|)</(2/+1)對任意的xeR恒成立，則可得12ax|<2%2+1.

當(dāng)X=0時，不等式為0<1顯然成立；

當(dāng)XH0時，原不等式可化為恒成立，只需要式子的最小值滿足即可.

「12x2+11I1,1_C-i_i_J-/r-

因為r5、T=5斗|+討)7義2/臥同=后

當(dāng)且僅當(dāng)2m=土，即.±正時，等號成立.

所以，|°|<五,解得一0<a<忘.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的范圍是

故選：BC.

5.(23-24高二上?云南昆明?期末)若函數(shù)人處在定義域內(nèi)的某區(qū)間M上是增函數(shù)，且幺2在又上是減函

X

數(shù)，則稱函數(shù)"X)在M上是“弱增函數(shù)”，則下列說法正確的是()

A.若〃尤)=/,則存在區(qū)間M使7(x)為“弱增函數(shù)”

B.若/(尤)=x+L則存在區(qū)間M使f(x)為“弱增函數(shù)”

X

C.若“尤)=尤+/,則“X)為R上的“弱增函數(shù)”

D.若/(x)=d+(4-a)x+a在區(qū)間(0,2]上是溺增函數(shù)"，則。=4

【答案】BD

【分析】利用題干函數(shù)定義結(jié)合二次函數(shù)，募函數(shù)，對勾函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得到答案

【詳解】對于A,/(天)=/在(0,+8)上為增函數(shù)，>在(0,+co)上是增函數(shù)，

X

故不存在區(qū)間M使/?=%2為“弱增函數(shù)”，故A錯誤;

對于B,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：〃X)=尤+,在工")上為增函數(shù)，

＞=皿=1+/在［1,3上為減函數(shù)，

X

故存在區(qū)間/=口，+°°)使/(x)=x+L為“弱增函數(shù)”，故B正確；

X

對于C,因為，(無)=》+尤3,易得了⑺在R上單調(diào)遞增，＞=31=1+尤2,

X

易得△乃在(0,+8)上是增函數(shù)，在(-8,0)上為減函數(shù)，

X

故/(%)=%+/不是R上的“弱增函數(shù)”,故C錯誤；

對于D,若f(x)=/+(4_。在區(qū)間(0,2］上是“弱增函數(shù)”，

則“無)=，+(4-。h+。在(0,2］上為增函數(shù)，所以解得公4,

又產(chǎn)細(xì)=x+(4-〃)+@在(0,2］上為減函數(shù)，

XX

易知。＜0時＞=';^='+(4-。)+q為增函數(shù)；故a＞0,

XX

又由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，&22,則。24,

綜上o=4.故D正確，

故選：BD.

x+x—2WxWHI2

1.(23-24高一上?安徽安慶?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)='-■；，若加=一￡，則f(x)的值域

是;若函數(shù)“X)的值域是-：,2,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】-|，2-1,1

【分析】作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象根據(jù)函數(shù)的定義域即可求解函數(shù)的值域；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題

意解得參數(shù)滿足的不等式，求得答案.

【詳解】

22

?、x+x,-2<x<——

當(dāng)初=-耳時，函數(shù)為/(%)=<3

x\,—<%<2

13

22

回出函數(shù)圖象，由圖可知，當(dāng)％=時，函數(shù)有最小值/(X)mm=-§,

2

當(dāng)x=—2或％=2時，函數(shù)有最大值f(%)max=2,則函數(shù)的值域為-§,2

當(dāng)函數(shù)的值域為-；，2,由函數(shù)圖象可知，

當(dāng)且僅當(dāng)了=時，函數(shù)值y=-；,可得加之一；，

又由/+%=2得1=-2或％=1,結(jié)合圖象可得相￡1,

綜上所述，-即加的范圍為-.

工心生心位「2:|「1』

故答案為：一12;一5」.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合是解分段函數(shù)的利器，作出分段函數(shù)圖象，直接簡化運(yùn)算，提高解題速度.

—X2—2xHXU

2.(23-24高二上.全國?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2，若存在實(shí)數(shù)與，使得對于任意的

——尤〉a

[x2+l

實(shí)數(shù)X都有/(X)4/(%)成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】“<0或走

3

【分析】

作出分段函數(shù)的圖象，再結(jié)合圖形就可以得到。的取值范圍.

—X2—2xH—xV〃

2

【詳解】函數(shù)/(%)=2，若存在實(shí)數(shù)不，

—；x>a

[x2+l

使得對于任意的實(shí)數(shù)X都有/(%)w/(x0)成立，

即函數(shù)有最大值/(%),

令;=［解得戶±3，

x+123

19

分別作出丁=-爐-2》+5、>=舄的圖象中下圖所示,

當(dāng)“<0時，函數(shù)有最大值/(o)=2,

當(dāng)OWa<@時，函數(shù)無有最大值，

3

當(dāng)a2日時，函數(shù)有最大值/(-1)=|,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是。<0或a

3

思路點(diǎn)睛：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有最大值/(%),結(jié)合圖象分段研究.

3.(23-24高一上?四川成都?階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)〃尤)滿足〃x+2)=2〃x),且當(dāng)x?2,4］時，

—X2+4x,2<x<3

f(x)=\x2+2，g(%)=?x+l,對有47,-2］,川使得g(%)=/(占)，則實(shí)數(shù)。的取

-----,3<x<4

,x

值范圍為.

【答案】U、,+，!

【分析】求出“X)在［2,4］上的值域，利用〃x+2)=2/(x)得到“X)在［-2,0］上的值域，再求出g(x)在

上的值域，根據(jù)題意得到兩值域的包含關(guān)系，從而求出a的取值范圍.

-X2+4x,2<x<3

【詳解】當(dāng)xe［2,4］時，/(x)=f+2,

-------,3<x<4

、龍

由于y=-Y+4x=_(尤-2)2+4為對稱軸為片2開口向下的二次函數(shù)，

y=^^=x+-,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在(3,4］上單調(diào)遞增，

XX

g

可得“X）在［2,3］上單調(diào)遞減，在（3,4］上單調(diào)遞增，〃2）=4,〃3）=3,/（4）=5,

\“勾在［2,3］上的值域為［3,4］,在（3,4］上的值域為［§甸，

\了⑴在［2,4］上的值域為3,-,

??1/(x+2)=2/(x),.-./(x)=1/(%+2)=^-/(x+4)=|/(%+6),

故當(dāng)光￡[-4,-2],x+6G[2,4],

「39

\"勾在[y-2]上的值域為,

當(dāng)°>0時，g（x）為增函數(shù)，g（x）=ox+l在上的值域為［-2a+l,a+l］,

-Q>1-2a<5

C,解得/白，故a的范圍是在卷；

24l+a1616

116

當(dāng)a<0時，g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，式力=依+1在上的值域為［a+1,-2a+l］,

-3,

1+fl

o-55

<:,解得aV-］；故。的范圍是aW-1，

-<l-2a88

116

500

綜上可知故。的范圍是—00,----u--Q?

8

4.（23-24高一上?云南西雙版納?期末）已知W+（2—a）x+4—2。>0,對Vxe［2,恒成立，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍_____.

【答案】（《,3）

【分析】分析可得原題意等價于/+：>。+2,對切包4,e）恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析

求解.

【詳解】若％2+（2—。）％+4—2a>0,貝！jx2+2%+4>十（x+2）,

令，=x+2w［4,+oo）,貝1］%=/-2,

可得（，-2）+2（/-2）+4>〃，整理得t+—>a+2,

故原題意等價于/+；>。+2,對Vte［4,+s）恒成立，

?；g⑺=f+；在［4,內(nèi)）上單調(diào)遞增，則g⑺Ng（4）=5,

，5>a+2,解得a<3,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍(-8,3).

故答案為：(-8,3).

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：

對VxeM,f(x)>a,等價于［/(x)Lza；

對VxeM,f(x)<a,等價于［f(尤)］1mx

5.(23-24高一上?湖北十堰平介段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=/+x+2,對％41,2］,以241,2］,且占w%，

不等式|『(網(wǎng))-)|<Mx「引恒成立,則實(shí)數(shù)M的取值范圍為.

【答案】［5,+?)

【分析】根據(jù)題意分析可得故6(無)=/(x)-m在［L2］上是減函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】顯然〃<0不符合題設(shè)，

當(dāng)加■>()時，不妨設(shè)玉<龍2，

開口向下，對稱軸為尤=一;<1,則/(X)在［1,2］上是增函數(shù)，

可得/(%)</(%)，故/&)一/(無2)<°，不一馬<。

.??題意等價于/伍)-/a)<加(％f)，即/仇)—見</a)-%，

故％(x)=〃x)-Mr=f+(1—加口+2在［1,2］上是減函數(shù)，且/i(x)開口向下，對稱軸為彳="三，

M-1

.?.絲解得MN5,

故實(shí)數(shù)M范圍為［5,+w).

故答案為：［5,+oo).

1.(23-24高二下?浙江寧波?期中)已知函數(shù)〃同=組士把,函數(shù)g(x)=?無+2.

X?1乙

(1)若優(yōu)=0,求〃尤)的值域;

⑵若機(jī)e(0,4］：

(i)解關(guān)于*的不等式：/(%)<§(%);

(ii)設(shè)a,beR,若實(shí)數(shù)f滿足/(々)"9)=一/，比較—g⑴與!的大小，并證明你的結(jié)論.

O

【答案】⑴[-2,2]

)當(dāng)(且〃?=：時，〃：；當(dāng)或〃?時，

(2)(i)--,+00(ii=2g(f-?)-g(l)=g(r-/n)-g(l)<1,

m2020

證明見解析

【分析】(1)利用函數(shù)的奇偶性和雙勾函數(shù)的性質(zhì)可求值域.

(2)利用g(x)—〃x)=(x；J!彳；4)即可求出不等式的解集，然后證明芯2,再代入解析式證明

2\x+1)

g(?-/?)-g(l)<l,最后判斷不等號兩邊相等的條件即可.

O

A丫

【詳解】(1)當(dāng)加=0時，=其定義域為R,

而〃-尤)=-3，=-/(力，故為奇函數(shù)，

當(dāng)x=0時，/(x)=0;

當(dāng)x>0時，/(“)_而〉=%+!在(0,+8)上的值域為[2,+00),

X-IX

X

故此時/(x)e(0,2],結(jié)合〃x)為奇函數(shù)可得/(x)的值域是[-2,2].

(2)若機(jī)?0,4]：

(i)

,/?/xmcmx2+4xmx+4九x+4)(x—1)'(?zx+4)

由于g(x)X一/(無)=/x+2一一

—x2+l2(X2+1)

故不等式/'(x)4g(x)等價于(x-l)2(wtx+4)>0,即初x+4?0或x=l.

由-應(yīng)是負(fù)數(shù)，知原不等式的解集為+8〕；

m\_m)

(ii)

由于關(guān)于X的方程與苧=/⑷有解X=a,故關(guān)于X的方程(〃a)-向x2-4x+〃a)=0有解.

如果/⑷-mW0,則該方程是二次方程，所以其判別式非負(fù)，即16-4””乂〃.)-山”0.

從而/㈤=0和16-4〃o)(/(a)-加"。這兩個結(jié)論中，至少有一個成立.

但當(dāng)/(。)一加=0時，亦有16-4/?⑷(〃。)一機(jī))=1620.

故16-4〃研一定成立,所以〃叭/㈤一加)44.

m—yjm2+16m+[m2+16

同理一向＜4,所以〃

22

m—yjm2+16m+J”/+16

=—4,所以—2"W2.

22

所以由機(jī)＞0,即可得到

2

/、/八m/、?m入m/?、,m八11

g(z-/n)-g(l)=—(Z-/7t)+2---2=—(z-l-/n)<—(1-/71)x=---

ZZZ2Z2o8z2

不等號兩邊相等當(dāng)且僅當(dāng)t=2且加=g.

根據(jù)上面的證明過程顯然能夠得出,

綜上，比較的結(jié)果為:

當(dāng)/=2且根=g?時，g?_根)_g(1)1

8

當(dāng)rw2或根時，g(r-m)-g(l)<1.

2o

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于將函數(shù)的解析式與不等式結(jié)合，利用函數(shù)的性質(zhì)即可更容易地解

出與之相關(guān)的不等式.

%2+1

2.（23-24高一上.廣東廣州?期中）已知函數(shù)〃司=是定義域上的奇函數(shù)，且/（-1）=-2.

ax+b

⑴判斷并證明函數(shù)4%）在（0,+。）上的單調(diào)性;

9，

（2）令函數(shù)/?（力=f_2/（力?v0）,若對V再,々都有|力（七）-〃（々）后，，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

【答案】（1）函數(shù)/（可