數(shù)理統(tǒng)計課件：指數(shù)族

指數(shù)族統(tǒng)計理論問題中，許多統(tǒng)計推斷方法的優(yōu)良性，對一類范圍廣泛的統(tǒng)計模型(也稱為分布族)有比較滿意的結(jié)果，這類分布族稱為指數(shù)型分布族.常見的分布，如二項分布、Poisson分布、幾何分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布和伽瑪(Gamma)分布都可以統(tǒng)一在指數(shù)型分布族中.2.4.1指數(shù)族的定義與例子定義2.4.1設(shè)是定義在樣本空間χ

上的分布族,其中Θ為參數(shù)空間.若f(x,

θ)可以表示為如下形式則稱此分布族為指數(shù)型分布族(簡稱指數(shù)族).其中f(x,

)在離散情形表示分布列，連續(xù)情形表示密度函數(shù)，k為自然數(shù)，C(

)>0和Qi(

)(i=1,2,…,k)都是定義在參數(shù)空間

Θ上的函數(shù).

h(x)>0，

和Ti(x)(i=1,2,…,k)都是定義在樣本空間χ上的函數(shù).一指數(shù)族的定義的表示不唯一.1支撐集與

無關(guān)，即23或說明例2.4.1二項分布族{B(n,

):0<

<1}是指數(shù)族.樣本空間為χ={0,1,2,…,n}.參數(shù)空間為Θ={

:0<

<1}.

設(shè)X~B(n,

)，其分布列為證明:二指數(shù)族的例子其中滿足指數(shù)族的定義，因此二項分布族是指數(shù)族.證明:例2.4.2泊松分布族{P(

):

>0}是指數(shù)族.設(shè)X~P(

)，其分布列為樣本空間為χ={0,1,2,…,}.參數(shù)空間為Θ={

:>0}.

其中滿足指數(shù)族的定義，因此泊松分布族是指數(shù)族.樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合密度函數(shù)為記=(μ,σ2)，則參數(shù)空間為證明：例2.4.3設(shè)X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則樣本分布族是指數(shù)族.其中滿足指數(shù)族的定義，因此上述樣本分布族是指數(shù)族.特別地，取樣本容量n=1，X1的密度函數(shù)為滿足指數(shù)族的定義，因此正態(tài)分布族是指數(shù)族.其中X1的密度函數(shù)為證明：例2.4.4設(shè)X1,X2,…,Xn是從伽瑪分布Ga(α,

)，α>0,

>0中抽取的樣本,則樣本分布族是指數(shù)族.則樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合密度函數(shù)為記

=(α,

)，則參數(shù)空間為其中滿足指數(shù)族的定義，因此上述樣本分布族是指數(shù)族.與未知參數(shù)

有關(guān)，因此均勻分布族族{U(0，

):

>0}不是指數(shù)族.均勻分布族的支撐集為證明：例2.4.5均勻分布族{U(0，

):

>0}不是指數(shù)族.其中-∞<

<

∞和μ

>0是為未知參數(shù)，它的支撐集為證明：雙參數(shù)指數(shù)分布的密度函數(shù)為與未知參數(shù)μ有關(guān)，若μ已知，如μ=0，因此雙參數(shù)指數(shù)分布不是指數(shù)族.例2.4.6雙參數(shù)分布族{Exp(

，μ):

>0，-∞<μ<∞}不是指數(shù)族.則單參數(shù)指數(shù)分布族{Exp(

):

>0}是指數(shù)族.2.6.2指數(shù)族的自然形式及自然參數(shù)空間則稱它為指數(shù)族的自然形式(標(biāo)準(zhǔn)形式).此時集合稱為自然參數(shù)空間.定義2.4.2:如果指數(shù)族有下列形式一指數(shù)族自然形式的定義例2.4.7把二項分布族表示成指數(shù)族的自然形式(標(biāo)準(zhǔn)形式)，

并求出自然參數(shù)空間.解：二項分布的指數(shù)族形式為令參數(shù)空間為可知解出二指數(shù)族自然形式的例子其中因此二項分布族的自然形式(標(biāo)準(zhǔn)形式)為自然參數(shù)空間為解:例2.4.8把泊松布族表示成指數(shù)族的自然形式，并求出自然參數(shù)空間.泊松分布的指數(shù)族形式參數(shù)空間為Θ={

:>0}.

令可知解出其中因此泊松分布族的自然形式(標(biāo)準(zhǔn)形式)為自然參數(shù)空間為正態(tài)分布的指數(shù)族形式為記=(μ,σ2)，則參數(shù)空間為解：例2.4.9設(shè)X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，將樣本分布族表示為指數(shù)族的自然形式(標(biāo)準(zhǔn)形式)，并求出自然參數(shù)空間.令解出其中因此樣本分布族的自然形式(標(biāo)準(zhǔn)形式)為自然參數(shù)空間為在指數(shù)族的自然形式下，自然參數(shù)空間為凸集.證明：指數(shù)族的自然形式為自然參數(shù)空間為定理2.4.1：設(shè)任取則即此處用了Hol