2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考（北京專用）（解析版）

2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)摸底考

（北京專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：100分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教版九年級上冊全部。

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列圖形中是中心對稱圖形的是（）

【分析】利用中心對稱圖形的定義即可得出答案.

【解答】解：觀察四個選項可知，只有C選項中的圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后能與自身重合，

因此C選項中的圖形是中心對稱圖形，

故選：C.

【點評】本題考查中心對稱圖形的識別，掌握定義是解題的關(guān)鍵.平面內(nèi)，如果把一個圖形繞著某一點旋

轉(zhuǎn)180。后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.

2.二次函數(shù)y=-g(x-3)2-4圖象的頂點坐標(biāo)是()

A.(3,4)B.(-3,4)C.(-3,-4)D.(3,-4)

【答案】D

【分析】二次函數(shù)>=。&-〃)2+左(。*0)的頂點坐標(biāo)是(瓦左)，據(jù)此解答即可.

【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)》=-5a-3)2-4知，

函數(shù)的頂點坐標(biāo)是：(3,-4).

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的頂點式.解答該題時，需熟悉二次函數(shù)的頂點式方程

y=+左中的人、人所表示的意義.

3.已知x=-l是一元二次方程or2+6x+c=0(a#0)一個根，則下列等式正確的是()

A.Q+6+C=0B.-a+b+c=0C.a-b+c=0D.-a-b+c=0

【答案】C

【分析】把X=-1代入方程得到。、b、C的關(guān)系，從而可對各選項進行判斷.

【解答】解：o-l是一元二次方程ox2+6x+c=0(aw0)一個根，

:.a-b+c=Q.

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解.

4.已知關(guān)于x的方程ax?+bx+c=Q(a>0,b<0)有兩個不相等的實數(shù)根，則拋物線〉=ax2+bx+c的頂點在

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】由拋物線的解析式可求出頂點的橫縱坐標(biāo)，結(jié)合已知條件即可判斷拋物線〉="2+法+。的頂點所

在象限.

【解答】解：.??關(guān)于X的方程辦2+加+。=0(。>0/<0)有兩個不相等的實數(shù)根，

b2—4ac>0，

即b1>4ac，

b4QC—〃

???頂點的橫坐標(biāo)為一丁，縱坐標(biāo)為，a>Q,b<Q,

2a4a

b4ac-b2八

----->0,-----------<0,

2a4a

.?.拋物線了=ax?++c的頂點在第四象限，

故選：D.

【點評】此題主要考查了拋物線與一元二次方程的關(guān)系，掌握一元二次方程根的判別式和二次函數(shù)的頂點

坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在。。中，弦/C,5。相交于點尸，連接8C,AD.若NC=30。，則尸的大小為（）

A.30°B.43°C.53°D.77°

【答案】A

【分析】根據(jù)圓周角定理即可得到a4OP的度數(shù).

【解答】解：?.?NC=30。，NC、/4DP所對弧都是叁，

NADP=ZC=30°.

故選：A.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，。。的半徑為1,將。。的內(nèi)接正六邊形48CDEF繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，第一次與自身重合時，點

7171

A.1B.-C.-D.17i

36

【答案】B

【分析】根據(jù)題意第一次與自身重合時旋轉(zhuǎn)角是60。，然后根據(jù)弧長公式即可求得.

【解答】解：???正六邊形繞中心。順時針旋轉(zhuǎn)第一次與自身重合時旋轉(zhuǎn)角是60。，

點A運動的路徑長=6,：：=.

1803

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，也考查了學(xué)生的理解能力和計算能力，解此題的關(guān)鍵是求出第一次重

合的旋轉(zhuǎn)角.

7.在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共15個，這些球除顏色以外沒有任何其他區(qū)別，從中任取1個

球，記下顏色后放回，搖勻.誠誠通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則袋子中紅球的個

數(shù)最有可能是（）

A.1個B.2個C.3個D.12個

【答案】C

【分析】根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù)，可以計算出紅球的個數(shù).

【解答】解：由題意得，15x0.2=3（個），

???袋子中紅球的個數(shù)最有可能是3個，

故選：C.

【點評】本題考查了利用頻率估計概率，解題的關(guān)鍵是理解利用頻率估計概率的原理.

8.如圖，AABC中,AB=AC,0。是A42C的外接圓，5。的延長線交邊NC于點。.若/。=2,

CD=3,則8c的長為（）

C.-V2D.272

3

【答案】B

【分析】連接/。并延長交3c于點”，由垂徑定理得出=S，作/E//2C交8。的延長線于￡.則

AJ7Ari7Af)AJ74

-=—=得出?=^77=:，設(shè)。8=3=4°,OH=3a,根據(jù)8/T=/夕一N/T=Ol-0/T,

BCDC3OHBH3

構(gòu)建方程求出。即可解決問題.

【解答】解：連接并延長交8C于點X,

?/AB=AC,

AB=AC，

OHLBC,BH=CH,

:.BH=-BC,

2

作AE/IBC交BD的延長線于E.

?/AD=2,CD=3,

.AEAD_2

"5C-DC-3,

AQAr4

---=---=—,設(shè)OB=OA=4Q,OH=3a,

OHBH3

???BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,

/.25-49a2=16a2-9a2,

_572

=-----,

4

BC=2BH=—.

2

故選：B.

【點評】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，熟練掌握方程的思

想方法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.將拋物線｝；=./+云+。向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到的拋物線的解析式

為y=2(x+1)2,則b的值為12.

【答案】12.

【分析】根據(jù)平移方式和平移后的解析式即可由二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律寫出原拋物線的頂點式，再整理

成一般式即可.

【解答】解：根據(jù)題意可知將拋物線y=2(x+廳向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度后，得

到拋物線y=ax~+bx+c,

原拋物線解析式為y=2(x+1+2>+3,

2

整理，得：y=2(x+3)+3,即y=+12x+21,

:.b=\2.

故答案為：12.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，平移規(guī)律”上加下減，左加右減”.解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移規(guī)

律.

10.如圖，己知點2,E,C,尸在一條直線上，并且A45c三AD斯，那么這兩個全等三角形屬于全等變

換中的軸對稱變換.

【解答】解：由圖可知，這兩個全等三角形屬于全等變換中軸對稱變換.

故答案為：軸對稱變換.

【點評】本題考查了幾何變換的類型，熟記常見的幾何變換并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

o

11.如果關(guān)于X的方程依2-3%+1=0有兩個實數(shù)根，那么左的取值范圍是左(—且左/0.

一4——

9

【答案】《(二且左W0.

4

【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進而可以得到關(guān)于人的不等式，解得即可,

同時還應(yīng)注意二次項系數(shù)不能為0.

【解答】解：.??關(guān)于x的方程小-3x+1=0有兩個實數(shù)根，

△=62-4ac20且《中0,

BP9-4^0,

9

解得上（二，

4

9

：.k的取值范圍為上（二且左w0.

4

9

故答案為：發(fā)（二且左wO.

4

【點評】本題考查了一元二次方程◎2+加+。=0（0工0）的根的判別式^=62-4M：當(dāng)△＞（）,方程有兩個

不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=（）,方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜（）,方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方

程的定義.

12.已知拋物線了=/+4》-8與直線/交（拋物線）于點/（-5,?。?，B（n,-3）（n＞0）.若點尸在拋物線上

且在直線/下方（不與點/,8重合），則點尸的縱坐標(biāo)的取值范圍為-12令-3.

【答案】-12令，＜-3.

【分析】分別求出點/,3坐標(biāo)，根據(jù)圖象開口方向及頂點坐標(biāo)求解.

【解答】解：把x=-5代入y=x2+4x-8得y=（-5y+4x（-5）-8=-3,

m=—3,

把＞=-3代入了=/+4%一8得一3=/+4x-8,

解得〃=-5或〃=1,

.,.點/坐標(biāo)為（-5,-3）,點8坐標(biāo)為（1,-3）.

*.*y=x?+4x-8=（x+2）~-12,

拋物線開口向上，頂點坐標(biāo)為（-2,-12）,

拋物線頂點在下方，

＜—3.

故答案為：-12令「＜-3.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函

數(shù)的性質(zhì).

13.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧蕊，點。是這段弧所在圓的圓心.C是叁上的點，0CL4B,

垂足為若48=10加，CM=1m,則0。的半徑為13加.

【分析】設(shè)。。的半徑為，,加，由垂徑定理得===在RtAAOD中，由勾股定理得出方

程，解方程即可.

【解答】解：連接ON,如圖所示：

設(shè)。。的半徑為廠m,

■：OCLAB,AB=\Qm,

AM=BMAB=5(m),

在RtAAOD中，由勾股定理得：OA2=OM-+AM1,

即：r2=(r-1)2+52,

解得：r=13,

即。。的半徑為13m.

故答案為：13.

【點評】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解

題的關(guān)鍵.

14.如圖，是。。的直徑，/C是。。的弦，過點C的切線交N8的反向延長線于點。，若

/BAC=2/D,AC=4cm,則圖中陰影部分的面積為24H邁加

3

【分析】由N8/C=2ND,推導(dǎo)出ND=N/CZ),則ND=/C=4c機，由切線的性質(zhì)得NOCD=90。，可證

明ZAOC=NACO,貝I]OA=AC=OC=4cm,求得O。=ON+/。=8cm,ZAOC=60°,所以

CD=SD2—OC2=4辰m，則S陰影=s~二一S扇形/℃=24個一二加，于是得到問題的答案?

【解答】解：?;/BAC=2/D,S.ZBAC=ZD+ZACD,

:.2ZD=ZD+ZACD,

ZD=ZACD,

AD=AC=4cm,

???CD與OO相切于點C,

CD1OC,

ZOCD=90°,

ZAOC+ZD=90°fZACO+ZACD=90°f

ZAOC=ZACO,

OA=ACf

???OA=OC,

OA=OC=AC=4cm,

...△/OC是等邊三角形，。。=04+4。=4+4=8（。冽），

AAOC=60°,CD=JOO?—℃2=打一42=4瓜加),

224-^3-87r/2\

O171yl石60^-x4

?*,S陰影=S&CODS扇形zoo=5x4x4V3—3—[cm)

故答案為：24.-8晨病

3

【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)、扇形面積的計算等知識，推導(dǎo)出。/=。。=/。=4°入是解題的關(guān)鍵.

DF,/s-1

15.如圖，在正方形/BCD中，點E在邊上，且——=-——，過點￡作EF///8交8C于點尸，在矩

AD2

形￡FCD內(nèi)部作正方形￡G〃O,若矩形CFG”的面積為2,則正方形/BCD的面積為2亞+4

【答案】275+4.

【分析】設(shè)〃￡=（退-1）。，則然后表示出G"、尸G的長，根據(jù)矩形的面積公式即可計算出力

的值，再根據(jù)正方形的面積公式計算即可.

:.設(shè)?！?(0-1)。，

則AD=2a,

???四邊形48co是正方形，

4B=AD=2a,NA=NB=90°,

EF11AB,

ZAEF=ZBFE=90°,

四邊形/￡F8是矩形，

EF=AB=2a,

???四邊形是正方形，

...GH=GE=DE=(V5-l)a,

FG=EF-GE=2a-(45-l)a=(3-V5)a,

?.?矩形CFG”的面積為2,

二(3-⑹a?(退-l)a=2,

解得力=在土2,

2

正方形ABCD的面積為(2a)2=4a2=4x乂乎=2遙+4,

故答案為：2石+4.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.小明和小剛各有一枚硬幣，小明在硬幣的正面貼上黃色標(biāo)簽，反面貼上紅色標(biāo)簽；小剛在硬幣的正面

貼上藍(lán)色標(biāo)簽，反面貼上紅色標(biāo)簽，兩人分別拋擲各自的硬幣.求硬幣落地后出現(xiàn)顏色相同的概率.

解：列表如下（請補充下表）.

小明小剛

籃紅

黃（黃，藍(lán)）

紅

總共有一種可能的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性—.其中硬幣落地后出現(xiàn)顏色相同的結(jié)果有一種,

其概率為—.

【答案】補充表格見解答；4；相等；1；

【分析】根據(jù)題意補充表格即可；由表格可知，共有4種等可能的結(jié)果，其中硬幣落地后出現(xiàn)顏色相同的

結(jié)果有1種，再利用概率公式可知，其概率為1.

【解答】解：列表如下：

小明小剛

籃紅

黃（黃，藍(lán)）（黃，紅）

紅（紅，藍(lán)）（紅，紅）

由表格可知，總共有4種可能的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.其中硬幣落地后出現(xiàn)顏色相同的結(jié)果

有1種，其概率為J.

4

故答案為：4；相等；1；—.

4

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，20題6分，第21-23題，每題5分，第24-26題，每題6分,

第27-28題，每題7分）解答寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.（5分）用公式法解方程：（x+2）（%+3）=20.

【分析】先把方程化為一般式，再計算出判別式的值，然后根據(jù)求根公式法解方程.

【解答】解：x2+5x-14=0,

△=52-4x（-14）=81,

-5±V81_-5±9

X=—，

22

所以再=一7,x2=2.

【點評】本題考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

18.（5分）先化簡，再求值：（加+3>-（加+1）（1）-2（2加+4）,其中加=-g.

【答案】2m+2,1.

【分析】根據(jù)整式的加減運算法則以及乘法運算進行化簡，然后將加的值代入原式即可求出答案.

【解答】解：原式=%，+6〃？+9-（加2-1）-4加-8

=m2+6m+9-m2+1—4m—8

=2m+2,

當(dāng)加=--時，

2

原式二-2x：+

2

=—1+2

=1.

【點評】本題考查整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的加減運算法則以及乘法運算法則，本題

屬于基礎(chǔ)題型.

19.（5分）如圖，在△NBC中，ZC=90°,AC=3,以/為旋轉(zhuǎn)中心，分別將線段/C,48順時針旋轉(zhuǎn)

25。得到線段AD,AD交BC于點、F.若ND=20。，求/尸的長.

【答案】3行.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和很容易得到NC4尸=/。8-/胡。=45。，所以尸是等腰直

角三角形，進而即可得解.

【解答】解：：旋轉(zhuǎn)，

△ACB=△AED,

NB=ND=20°,

?/ZC=90°,

/CAB=70°,

.??旋轉(zhuǎn)角度為25。，

ABAD=25°,

/.ZCAF=ZCAB-/BAD=45°,

△CAF是等腰直角三角形，

???/C=3,

二.AF=3日

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

20.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程一+(m-l)x-m=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程的一根為負(fù)數(shù)，求冽的取值范圍.

【分析】(1)計算方程根的判別式，判斷其符號即可；

(2)求方程兩根，結(jié)合條件則可求得加的取值范圍.

【解答】(1)證明：?.F=1,b=m-l,c=-m,

二.△=Z)2-4ac=(m-1)2-4xlx(-m)

=m2+2m+1

=(m+1)2.

??.對任意實數(shù)%,(〃?+l)2》0,

..?對任意實數(shù)機，方程總有兩個實數(shù)根；

(2)解：.一±"2一4四=1-加±(機+1),

2。2x1

x=1,x=-m.

?.?方程的一根為負(fù)數(shù)，

/.-m<0,

:.m>0.

【點評】本題主要考查根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

21.(5分)數(shù)學(xué)興趣小組對以下尺規(guī)作圖問題進行了研究.

已知：如圖，。。及。。外一點尸.求作：直線尸2,使網(wǎng)與。。相切于點2.

李華同學(xué)經(jīng)過探索，想出了兩種作法.具體如下（已知點8是直線0P上方一點）

作法一（如圖1）:作法二（如圖2）:

①連接0尸，作線段0P的垂直平分線，交。P于點/；②①連接0P,交。。于點過點〃作。P的垂

以點/為圓心，以的長為半徑作。/,。/交。。于點線MN；②以點。為圓心，以。P的長為半徑作

B；③作直線P8,則直線總是。。的切線.弧，交直線九W于點0；③連接交。。于

點、B；④作直線則直線尸2是。。的切線.

圖1

圖2

證明：如圖1,PO為。/直徑，證明：……

NPBO=90。.（直徑所對的圓周角是直角）

PB1OB.

???。2是。。的半徑，

直線尸3是。。的切線.

請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

（1）“作法一”中的“依據(jù)”是指—.

（2）請寫出“作法二”的證明過程.

【答案】（1）直徑所對的圓周角是直角.

（2）見解答.

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得答案.

（2）結(jié)合全等三角形的判定證明AO8尸三AOMQ,可得NO8P=NOMQ=90。，再結(jié)合切線的判定可得結(jié)論.

【解答】（1）解：由題意得，“作法一”中的“依據(jù)”是指直徑所對的圓周角是直角.

故答案為：直徑所對的圓周角是直角.

（2）證明：由作法可得，MNLOP,OP=OQ,

AOMQ=90°.

?：OB=OM,NBOP=NMOQ,

NOBP=AOMQ（SAS）.

ZOBP=ZOMQ=90°.

OBVPB.

???。3是。。的半徑，

直線尸8是。。的切線.

【點評】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

22.（5分）第19屆亞運會開幕式上，東道主中國以鑲嵌著梅、蘭、竹、菊圖案的花窗，向八方賓朋展現(xiàn)中

國五千年的文化.為了讓學(xué)生深入了解中國文化，老師將以下4張卡片背面朝上放在桌面上，邀請同學(xué)上

講臺隨機抽取一張卡片，并向大家介紹卡片上圖案對應(yīng)的含義.

（1）請問隨機抽取一張卡片，抽中“菊”的概率為

（2）若老師將“梅、蘭、竹、菊”四張卡片單獨拿出，邀請小明和小華有放回的抽取.請利用畫樹狀圖或

列表的方法，求兩人抽到的卡片上是相同名稱的概率.

【答案】（1）7-

4

（2）—.

4

【分析】（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩人抽到的卡片上是相同名稱的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得

出答案.

【解答】解：（1）.??共有四張卡片，且每張卡片被抽到可能性相同，

.??隨機抽取一張卡片，抽中“菊”的概率為。.

故答案為：—.

4

(2)將寫有“梅、蘭、竹、菊”的四張卡片分別記為N,B,C,D,

畫樹狀圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果，其中兩人抽到的卡片上是相同名稱的結(jié)果有4種，

41

..?兩人抽到的卡片上是相同名稱的概率為二=：.

164

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的

關(guān)鍵.

23.(5分)已知a,n,〃為正整數(shù)，m<n.設(shè)/(-加,0),2(%0),C(0,p),。為坐標(biāo)原點.若

ZACB=90°,且OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC).

(1)求圖象經(jīng)過B,C三點的二次函數(shù)的解析式；

(2)點。是拋物線上的一動點，直線交線段3c于點Q,若A4C0,AABQ的面積見打。，S叔時滿足

SMCQ:S^BQ=1:3，求此時點D的坐標(biāo)?

【分析】(1)由勾股定理得到0405=OC?,即根〃=02,然后代入已知條件中得到加+-。=3,然后利用

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得加與"的值，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式；

(2)由已知和A48。的面積比得到CQ與。8的比，從而確定。點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直

線/。的解析式，然后聯(lián)立方程組求點。坐標(biāo).

【解答】解：(1)■.-ZACB=90°,OC±AB,

OAOB=OC2,即mn=p2.

■：OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC),

m2+n2+p2=3(m+?+/?).

X*->m2+n2+p2=(m+n+p)2-2(mn+np+mp)

=(m+n+pY—2(/?2+np+mp)

=(m+n+?/-2p(m+〃+/?)

=(加+〃+p)(m+n—p),

:.m+n-p=3,即加+〃=p+3.

mn=p2,加+川=2+3,

，加，〃是關(guān)于工的一元二次方程-—(p+3)x+p2=0①的兩個不相等的正整數(shù)根，

△=[―(2+3)]2—4/>0,解得—l<p<3.

又丁夕為正整數(shù)，故夕=1或夕=2.

當(dāng)夕=1時，方程①為4x+l=0,沒有整數(shù)解.

當(dāng)夕=2時，方程①為爐_51+4=0,兩根為加=1,〃=4.

綜合知：m=l,〃=4,p=2,

設(shè)圖象經(jīng)過4,B,。三點的二次函數(shù)的解析式為〉=左(％+1)(工-4),

將點C(0,2)的坐標(biāo)代入得2=左x1x(-4),解得左=一；.

113

「?圖象經(jīng)過4,B,C三點的二次函數(shù)的解析式為>=-2(x+l)(x-4)=-5/+2X+2.

13

???圖象經(jīng)過4,B,C三點的二次函數(shù)的解析式為>=-9

由-S^BQ=1:3,得CQ:QB=1:3,

113

x=-OB=\,y=2——OC=~,

nQ4en42

3

??2(1,-)，

???4—1,0),

13c

V-..X2H----X+2

3322

AQ:y=-x+-,聯(lián)立＜

4433

y=-x+—

消去V整理可得，2X2-3X-5=0,

由韋達(dá)定理：XAXD=，而1，

5

?，X。=/，

21

???力=9，

二。點坐標(biāo)為：.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理及解方程組等知識點，

熟練掌握相關(guān)運算性質(zhì)及方法并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

24.（6分）如圖，已知四邊形N8CD為正方形，AB=442,E為對角線/C上一個動點，連接過點

E作EFLDE,交BC于點、F,以DE,￡尸為鄰邊作矩形。斯G,連接CG.

（1）求證：矩形。EFG是正方形（提示：過點E作瓦8c于點過點￡作EN_LCD于點N）.

（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析部分;

(2)8.

【分析】（1）作出輔助線，得到E"=￡N,然后再判斷=得到ADEN=AFEN,則有

DE=EF,即可判斷矩形DEFG為正方形;

（2）由四邊形/2CO為正方形，四邊形。EFG是正方形可知AD=CD,DE=DG,故可得

NADE=NCDG,得到NE=CG,即可判斷CE+CG=8,為定值.

【解答】（1）證明：如圖所示，過￡作￡/工8c于M點，過E作ENLCD于N點,

???四邊形為正方形,

,ZBCD=90°,

???EMVBC,EN1CD,

ZEMF=ZENC=/END=90°,

/MEN=90°,

???四邊形Z)￡FG為矩形，

/FED=90°,

/.AMEN-ZFEN=ZFED-ZFEN,即NMEF=/NED,

???E是正方形ABCD對角線的交點，

:.EN=EM,

在ADEN和AFW中，

AEMF:/END

<EM=EN,

ZMEF=/NED

,ADEN=AFEM(ASA),

ED=EF,

二.矩形。跖G為正方形.

(2)解：CE+CG的值為定值，

?.?矩形Z)￡FG為正方形，

DE=DG,ZEDG=90°,

四邊形ABCD是正方形，

AD=DC,ZADC=90°,

ZEDG-ZEDC=ZADC-ZEDC,即ZADE=ZCDG,

在和ACDG中，

AD=DG

<ZADE=ZCDG,

DE=DG

AADE=\CDG{SAS),

AE=CG,

:.CE+CG=CE+AE=AC=42AB=S>

，CE+CG=8是定值.

BMFCH

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，判定和矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形得出三角形全等.

25.（6分）如圖，在。。中，直徑于點￡,連接NC,CB,過點。作OF//CB交。。于點尸，

過點F作。。的切線交AB的延長線于點G.

(1)求證：AC//FG；

(2)若4￡=3,C￡>=8,求FG的長.

A

【答案】（1）見解答；

、25

⑵T-

【分析】（1）先根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。尸G=90。，根據(jù)圓周角定理得到乙4c3=90。，再利用平行線的性

質(zhì)得到NFOG=NABC,接著利用等角的余角相等得到ZA=ZG,然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論；

（2）連接。C,如圖，設(shè)。。的半徑為廠，則OC=r,OE=r-3,先根據(jù)垂徑定理得到=4,再

25

利用勾股定理計算出NC=5,在區(qū)地€^￡中利用勾股定理得到&-3）2+42=*,解方程得到。尸=然

O

后證明\ACE^\GOF,最后利用相似比計算出GF的長.

【解答】（1）證明：???G/為O。的切線，

OFLFG,

ZOFG=90°,

,/AB為直徑，

:.ZACB=90°,

\'OF//BC,

/FOG=/ABC,

-ZA+ZABC=90°,ZG+ZFOG=90°,

//=NG,

:.AC//FG；

(2)解：連接OC,如圖，設(shè)OO的半徑為，貝iJOC=尸，OE=-3,

OELCD,

:.CE^DE=-CE=4,

2

在RtAACE中，^C=V32+42=5>

在RtAOCE中，(r-3)2+42=r2,

解得r=一25，

6

25

：.OF=OC=——,

6

???N4=/G,ZAEC=ZGFO,

\ACE^\GOF,

25

AE:GF=CE:OF,即3:GP=4:——，

6

25

解得G/=M，

o

25

即GF的長為

o

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了勾股定理、垂徑定理和圓周

角定理.

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，,弘），N（x『%）是拋物線N=辦2+6x+1（。＞0）上任意兩點,

設(shè)拋物線的對稱軸為直線x=t.

（1）若點（2,1）在該拋物線上，求/的值；

（2）當(dāng)《0時，對于％＞2,都有必＜%,求網(wǎng)的取值范圍.

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345x

一1-

一2-

-3-

-4-

-5-

【答案】(1)t=l；

(2)-2<玉(2.

【分析】(1)點(2,1)代入解析式求得b=-2。，進一步即可求得￡=1；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到玉的取值范圍.

【解答】解：(1)???點(2,1)在該拋物線

4。+2b+1=1,

..b——2a,

..b

..1—---------二i;

2a

(2)?.?《0時，X2>2,

N(X2,y2)的對稱點的橫坐標(biāo)x3<-2,

:拋物線>+區(qū)+1(?！?)開口向上，必<%,

廠.—2(石〈2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.（7分）【問題提出】如圖①，在AABC中，若AB=8,AC=4,求3c邊上的中線4D的取值范圍.

【問題解決】解決此問題可以用如下方法：延長/。到點使DE=4D,再連結(jié)BE（或?qū)4CD繞著點

。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到把”、AC.2ND集中在A48E中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.由

此得出中線的取值范圍是_2<AD<6_.

【應(yīng)用】如圖②，在A42c中，。為邊3c的中點，已知AB=5,AC=3,AD=2,求5c的長.

【拓展】如圖③，在A48c中，44=90。，點。是邊8c的中點，點￡在邊N8上，過點。作"交

邊NC于點尸，連結(jié)斯.已知2E=10,CF=U,則環(huán)的長為.

【答案】（1）2<AD<6,

（2）2萬;

（3）2屈?

【分析】（1）證明AZMC三AD班得/。=即，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求得/E的取值范圍，進而得結(jié)論；

（2）延長/。到E,使得連接BE,證明AZX4C三AZ）匹得/。=班，再證明乙4匹=90。，由

勾股定理求得2。，進而得8C；

（3）延長尸。到G,使得。G=ED,連接BG,EG,證明AC。尸二A^OG,得BG=CF,

/DCF=/DBG,再證明/助G=90。，由勾股定理求得EG,由線段垂直平分線性質(zhì)得斯.

【解答】解：（1）在AZMC和AZ）仍中，

AD=ED

</ADC=/EDB,

CD=BD

:.\DAC=\DEB{SAS）,

AC=EB=4,

???AB-BE<AE<AB+BE,45=8,

.?.4</￡<U2,

/.2<AD<6,

故答案為：2<AD<6；

（2）延長4。到E,使得連接如圖②，

在\DAC和\DEB中，

AD=ED

<NADC=/EDB,

CD=BD

:.\DAC=\DEB{SAS),

AC=EB=3,

?/AE=2AD=4,AB=5,

BE2+AE2=AB1，

:.NAEB=90。,

BD=ylBE2+DE2=A/32+22=V13，

BC=2BD=2V13;

(3)延長ED到G,使得。G=ED,連接8G,EG,如圖③,

圖③

在NBDG和KCDF中，

BD=CD

<4BDG=ZCDF,

DG=DF

NBDG=^CDF(SAS),

BG=CF=U,DG=DF,ZDBG=ZDCF,

■：DE1DF,

EG=EF,

■：NN=90°,

ZABC+ZACB=90°,

:.ZABC+ZDBG=90°,

EG=^BE2+BG2=V102+122=2府，

EF=2屈，

故答案為：2屈■

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的中線、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，體會出現(xiàn)中點的輔助線的添加方法，屬于中考壓軸

題.

28.(7分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知。。的半徑為2,且。。與y軸、x軸的正半軸分別交于

點/、8,點P是該坐標(biāo)平面內(nèi)一點，給出如下的定義：

①若在。。上存在一點。，使得P、。兩點間的距離小于或等于1,則稱點