數(shù)列的概念教案

數(shù)列的概念教案?一、教學(xué)目標1.知識與技能目標理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列的表示方法。掌握數(shù)列通項公式的概念，能根據(jù)通項公式寫出數(shù)列的前幾項，并能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式。了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，體會數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系。2.過程與方法目標通過對日常生活中大量實際問題的分析，引導(dǎo)學(xué)生自主觀察、思考、歸納出數(shù)列的概念，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比、抽象、概括的能力。通過數(shù)列通項公式的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀目標通過實際問題的引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新精神。在小組合作學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作精神和交流能力，讓學(xué)生體驗成功的喜悅，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

二、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點數(shù)列的概念和通項公式。理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，能根據(jù)數(shù)列的通項公式研究數(shù)列的性質(zhì)。2.教學(xué)難點根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式。理解數(shù)列通項公式的概念，體會數(shù)列與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

三、教學(xué)方法1.講授法：講解數(shù)列的基本概念、通項公式等重要知識點，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握本節(jié)課的基礎(chǔ)知識。2.討論法：組織學(xué)生對一些典型問題進行討論，鼓勵學(xué)生積極思考、發(fā)表自己的見解，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和合作交流能力。3.探究法：通過設(shè)置一些探究性問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)列的性質(zhì)和規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新能力。

四、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1.展示多媒體課件，呈現(xiàn)以下幾個實際問題：堆放的鋼管，共堆放了7層，自上而下各層的鋼管數(shù)排成一列數(shù)：4，5，6，7，8，9，10。我國體育健兒在歷屆奧運會上獲得的金牌數(shù)排成一列數(shù)：15，5，16，16，28，32，51，38。某種細胞，如果每個細胞每分鐘分裂為2個，那么每過一分鐘，一個細胞分裂的個數(shù)依次為：1，2，4，8，16，...。從1984年到2016年，我國參加了9次奧運會，各次參賽獲得的金牌總數(shù)排成一列數(shù)：15，5，16，16，28，32，51，38，26。2.引導(dǎo)學(xué)生觀察這些例子，思考以下問題：這些例子有什么共同特點？你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3.學(xué)生分組討論，然后每組派代表發(fā)言，分享小組討論的結(jié)果。教師對學(xué)生的回答進行點評和總結(jié)，引出數(shù)列的概念。

（二）講解新課1.數(shù)列的概念定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項，......，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項。表示方法：數(shù)列的一般形式可以寫成$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，簡記為$\{a_n\}$。其中$a_n$是數(shù)列的第n項。示例：在剛才的例子中，數(shù)列"4，5，6，7，8，9，10"，首項$a_1=4$，第二項$a_2=5$，......，第七項$a_7=10$；數(shù)列"1，2，4，8，16，..."中，$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，......練習(xí)：讓學(xué)生判斷以下幾個例子是否為數(shù)列：1，3，5，7，9。2，4，6，8，10，...。1，1，1，1，...。2，3，5，7，11，13，17，19。0，1，0，1，0，1，...。1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。2，1，4，3，6，5，8，7，10，9。1，1，1，1，1，1，...。1，11，111，1111，11111，...。2.數(shù)列的分類按項數(shù)分類：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列。例如數(shù)列"4，5，6，7，8，9，10"就是一個有窮數(shù)列。無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列。例如數(shù)列"1，2，4，8，16，..."就是一個無窮數(shù)列。按項與項之間的大小關(guān)系分類：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列。例如數(shù)列"1，2，3，4，5，..."就是遞增數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列。例如數(shù)列"10，9，8，7，6，..."就是遞減數(shù)列。常數(shù)列：各項都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列。例如數(shù)列"1，1，1，1，..."就是常數(shù)列。擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫做擺動數(shù)列。例如數(shù)列"1，1，1，1，1，1，..."就是擺動數(shù)列。練習(xí)：判斷下列數(shù)列屬于哪種類型：2，4，6，8，10，...。（遞增數(shù)列，無窮數(shù)列）100，90，80，70，60，50。（遞減數(shù)列，有窮數(shù)列）1，0，1，0，1，0，...。（擺動數(shù)列，無窮數(shù)列）5，5，5，5，5，...。（常數(shù)列，無窮數(shù)列）3.數(shù)列的通項公式定義：如果數(shù)列$\{a_n\}$的第n項$a_n$與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。示例：數(shù)列"1，2，3，4，5，..."的通項公式為$a_n=n$；數(shù)列"2，4，6，8，10，..."的通項公式為$a_n=2n$。思考：數(shù)列的通項公式唯一嗎？舉例說明。例如數(shù)列"1，1，1，1，1，1，..."的通項公式可以是$a_n=(1)^{n+1}$，也可以是$a_n=\begin{cases}1,&n為奇數(shù)\\1,&n為偶數(shù)\end{cases}$。所以數(shù)列的通項公式不唯一。練習(xí)：根據(jù)數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前5項：$a_n=n^2$，則前5項依次為$a_1=1^2=1$，$a_2=2^2=4$，$a_3=3^2=9$，$a_4=4^2=16$，$a_5=5^2=25$。$a_n=2n1$，則前5項依次為$a_1=2×11=1$，$a_2=2×21=3$，$a_3=2×31=5$，$a_4=2×41=7$，$a_5=2×51=9$。$a_n=\frac{n}{n+1}$，則前5項依次為$a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，$a_2=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$，$a_3=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$，$a_4=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$，$a_5=\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6}$。4.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集$N^+$（或它的有限子集$\{1,2,3,\cdots,n\}$）的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式，數(shù)列的項就是函數(shù)值。示例：數(shù)列$a_n=2n1$可以看作是函數(shù)$y=2x1$，$x\inN^+$，當$x=1$時，$y=1$；當$x=2$時，$y=3$；......練習(xí)：已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3n+1$，$n\inN^+$，（1）求$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$；（2）若$a_n=28$，求n的值。解：（1）當$n=1$時，$a_1=3×1+1=4$；當$n=2$時，$a_2=3×2+1=7$；當$n=3$時，$a_3=3×3+1=10$；當$n=4$時，$a_4=3×4+1=13$。（2）由$a_n=3n+1=28$，解得$3n=27$，所以$n=9$。

（三）例題講解例1根據(jù)下面數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式，寫出它的前5項：（1）$a_n=(1)^n×n$；（2）$a_n=\frac{n^21}{n}$。解：（1）當$n=1$時，$a_1=(1)^1×1=1$；當$n=2$時，$a_2=(1)^2×2=2$；當$n=3$時，$a_3=(1)^3×3=3$；當$n=4$時，$a_4=(1)^4×4=4$；當$n=5$時，$a_5=(1)^5×5=5$。（2）當$n=1$時，$a_1=\frac{1^21}{1}=0$；當$n=2$時，$a_2=\frac{2^21}{2}=\frac{3}{2}$；當$n=3$時，$a_3=\frac{3^21}{3}=\frac{8}{3}$；當$n=4$時，$a_4=\frac{4^21}{4}=\frac{15}{4}$；當$n=5$時，$a_5=\frac{5^21}{5}=\frac{24}{5}$。

例2寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：（1）1，3，5，7；（2）$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$；（3）$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{3×4}$，$\frac{1}{4×5}$。解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)各項都是奇數(shù)，且是從1開始的連續(xù)奇數(shù)，所以通項公式可以為$a_n=2n1$。（2）觀察發(fā)現(xiàn)各項分子依次是1，2，3，4，分母依次是2，3，4，5，所以通項公式可以為$a_n=\frac{n}{n+1}$。（3）觀察發(fā)現(xiàn)各項符號正負交替，可用$(1)^n$來調(diào)節(jié)符號，分子都是1，分母是兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積，所以通項公式可以為$a_n=(1)^n\frac{1}{n(n+1)}$。

（四）課堂練習(xí)1.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=n^23n$，（1）求$a_5$的值；（2）若$a_n=10$，求n的值。2.寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：（1）2，4，6，8；（2）1，4，9，16；（3）$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$。3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，寫出該數(shù)列的前5項。

（五）課堂小結(jié)1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括數(shù)列的概念、分類、通項公式以及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系。2.請學(xué)生分享本節(jié)課的收獲和體會，教師對學(xué)生的發(fā)言進行補充和總結(jié)。強調(diào)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，通項公式是研究數(shù)列的重要工具，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要學(xué)會觀察、歸納、類比等數(shù)學(xué)方法，提高解決數(shù)列問題的能力。

（六）布置作業(yè)1.書面作業(yè)：教材課后習(xí)題第1、2、3、4題。2.拓展作業(yè)：已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=\frac{n^2+n}{n+1}$，（1）寫出該數(shù)列的前5項；（2）判斷20是不是這個數(shù)列的項，如果是，是第幾項？3.探究作業(yè)：查閱資料，了解數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用，并舉例說明。

五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對數(shù)列的概念、分類、通項公式以及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系有了初步的認識和理解。在教學(xué)過程中，通過創(chuàng)設(shè)情境引入新課，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自主觀察、思考、歸納，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在講解例