2025年高考數學必刷題分類：第15講、單調性問題（教師版）

[在此處鍵入]

第15講單調性問題

知識梳理

知識點一：單調性基礎問題

1、函數的單調性

函數單調性的判定方法：設函數yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f(x)0，則yf(x)

為增函數；如果f(x)0，則yf(x)為減函數．

2、已知函數的單調性問題

①若f(x)在某個區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有f(x)0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足f(x)0，才能得出f(x)在某個區(qū)間上單調遞增；

②若f(x)在某個區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有f(x)0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足f(x)0，才能得出f(x)在某個區(qū)間上單調遞減．

知識點二：討論單調區(qū)間問題

類型一：不含參數單調性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)

的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部

分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；

（3）求根作圖得結論（如能直接求出導函數等于0的根，并能做出導函數與x軸位置

關系圖，則導函數正負區(qū)間段已知，可直接得出結論）；

（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負）；

（5）正負未知看零點（若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點）；

（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數無法觀察出零

點，則求二階導）；

求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新

函數再求導．

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函

數正負區(qū)間段）；

類型二：含參數單調性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要

注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；

（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小

關系）；

（5）導數圖像定區(qū)間；

【解題方法總結】

1、求可導函數單調區(qū)間的一般步驟

（1）確定函數f(x)的定義域；

（2）求f(x)，令f(x)0，解此方程，求出它在定義域內的一切實數；

（3）把函數f(x)的間斷點（即f(x)的無定義點）的橫坐標和f(x)0的各實根按由

小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義域分成若干個小區(qū)間；

（4）確定f(x)在各小區(qū)間內的符號，根據f(x)的符號判斷函數f(x)在每個相應小區(qū)

間內的增減性．

注：①使f(x)0的離散點不影響函數的單調性，即當f(x)在某個區(qū)間內離散點處為

零，在其余點處均為正（或負）時，f(x)在這個區(qū)間上仍舊是單調遞增（或遞減）的．例

如，在(,)上，f(x)x3，當x0時，f(x)0；當x0時，f(x)0，而顯然f(x)x3

在(,)上是單調遞增函數．

②若函數yf(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增，則f(x)0（f(x)不恒為0），反之不成

立．因為f(x)0，即f(x)0或f(x)0，當f(x)0時，函數yf(x)在區(qū)間(a,b)上

單調遞增．當f(x)0時，f(x)在這個區(qū)間為常值函數；同理，若函數yf(x)在區(qū)間(a,b)

上單調遞減，則f(x)0（f(x)不恒為0），反之不成立．這說明在一個區(qū)間上函數的導數

大于零，是這個函數在該區(qū)間上單調遞增的充分不必要條件．于是有如下結論：

f(x)0f(x)單調遞增；f(x)單調遞增f(x)0；

f(x)0f(x)單調遞減；f(x)單調遞減f(x)0．

必考題型全歸納

題型一：利用導函數與原函數的關系確定原函數圖像

【例1】（2024·全國·高三專題練習）設fx是函數fx的導函數，yfx的圖象如圖

所示，則yfx的圖象最有可能的是（）

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由導函數的圖象可得當x0時，f￠(x)>0，函數fx單調遞增；

當0x2時，fx0，函數fx單調遞減；

當x2時，f￠(x)>0，函數fx單調遞增.

只有C選項的圖象符合.

故選：C.

【對點訓練1】（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知函數f(x)的定義域為R且導函數

為f'(x)，如圖是函數yxf'(x)的圖像，則下列說法正確的是

A．函數f(x)的增區(qū)間是(2,0),(2,)

B．函數f(x)的增區(qū)間是,2,2,

C．x2是函數的極小值點

D．x2是函數的極小值點

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【答案】BD

【解析】先由題中圖像，確定f(x)的正負，得到函數f(x)的單調性；從而可得出函數極大

值點與極小值點，進而可得出結果.由題意，當0x2時，f(x)0；當x2，f(x)0；

當2x0時，f(x)0；

當x<2時，f(x)0；

即函數f(x)在,2和(2,)上單調遞增，在2,2上單調遞減，

因此函數f(x)在x2時取得極小值，在x2時取得極大值；

故A錯，B正確；C錯，D正確.

故選：BD.

【對點訓練2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數yxfx的圖象如圖所示（其

中fx是函數fx的導函數），下面四個圖象中可能是yfx圖象的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由yxfx的圖象知，當x,1時，xfx0，故f￠(x)>0，fx單調遞

增；

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

當x1,0時，xfx0，故fx0，當x0,1，xfx0，故fx0，

等號僅有可能在x＝0處取得，

所以x1,1時，fx單調遞減；

當x1,時，xfx0，故f￠(x)>0，fx單調遞增，結合選項只有C符合.

故選：C.

【對點訓練3】（2024·陜西西安·校聯考一模）已知定義在[3,4]上的函數fx的大致圖像

如圖所示，f(x)是fx的導函數，則不等式xfx0的解集為（）

5

A．(2,1)1,B．(3,2)

2

5

C．(1,0)1,D．(3,4)

2

【答案】C

【解析】若x0，則fx0,fx單調遞減，圖像可知，x1,0，

5

若x0，則fx0,fx單調遞增，由圖像可知x1,，

2

5

故不等式xfx0的解集為1,01,．

2

故選：C

【解題方法總結】

原函數的單調性與導函數的函數值的符號的關系，原函數f(x)單調遞增導函數

f(x)0（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足f(x)0）；原函數單調遞減導

函數（導函數等于，只在離散點成立，其余點滿足）．

f(x)00f(x0)0

題型二：求單調區(qū)間

x22

【例2】（2024·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）函數ylnx的單調遞

x

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

增區(qū)間為（）

A．(0,2)B．(0,1)C．(2,)D．(1,)

【答案】D

【解析】函數的定義域為(0,).

x22221x2x2(x2)(x1)

ylnxxlnx，則y1.

xxx2xx2x2

y0

令，解得x(1,).

x0

故選：D

【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）函數yxlnx（）

A．嚴格增函數

11

B．在0,上是嚴格增函數，在,上是嚴格減函數

ee

C．嚴格減函數

11

D．在0,上是嚴格減函數，在,上是嚴格增函數

ee

【答案】D

1

【解析】已知yxlnx，x0，則ylnxxlnx1，

x

1

令y0，即lnx10，解得x，

e

11

當0x時，y0，所以在0,上是嚴格減函數，

ee

11

當x時，y0，所以在,上是嚴格增函數，

ee

故選：D.

【對點訓練5】（2024·全國·高三專題練習）函數fxln4x21的單調遞增區(qū)間（）

1111

A．,B．,C．,D．0,

2222

【答案】A

11

【解析】由4x210，可得x或x，

22

211

所以函數fxln4x1的定義域為,,.

22

8x1

求導可得fx，當f￠(x)>0時，x0，由函數定義域可知，x，

4x212

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

21

所以函數fxln4x1的單調遞增區(qū)間是,.

2

故選：A.

b

【對點訓練6】（2024·高三課時練習）函數fxax（a、b為正數）的嚴格減區(qū)間是（）．

x

bbb

A．,B．,0與0,

aaa

bbbb

C．,0與0,D．,00,

aaaa

【答案】C

【解析】由題得x0.

bbbb

由fxa，令fxa0解得x0或0x．

x2x2aa

bbb

所以函數fxax的嚴格減區(qū)間是,0與0,.

xaa

選項D，本題的兩個單調區(qū)間之間不能用“”連接，所以該選項錯誤.

故選：C

【解題方法總結】

求函數的單調區(qū)間的步驟如下：

（1）求f(x)的定義域

（2）求出f(x)．

（3）令f(x)0，求出其全部根，把全部的根在x軸上標出，穿針引線．

（4）在定義域內，令f(x)0，解出x的取值范圍，得函數的單調遞增區(qū)間；令f(x)0，

解出x的取值范圍，得函數的單調遞減區(qū)間．若一個函數具有相同單調性的區(qū)間不只一個，

則這些單調區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應用“和”、“，”隔開．

題型三：已知含量參函數在區(qū)間上單調或不單調或存在單調區(qū)間，求參數范圍

x21

【例3】（2024·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮礷(x)lnx在區(qū)間(m,m)上不

23

單調，則實數m的取值范圍為（）

22

A．0mB．m1

33

2

C．m1D．m>1

3

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【答案】B

x2

【解析】函數f(x)lnx的定義域為(0,)，

2

1x21(x1)(x1)

且f(x)x，

xxx

令f(x)0，得x1，

1

因為f(x)在區(qū)間(m,m)上不單調，

3

m0

2

所以1，解得：m1

m1m3

3

故選：B.

【對點訓練7】（2024·陜西西安·統(tǒng)考三模）若函數fxx2axlnx在區(qū)間1,e上單調遞

增，則a的取值范圍是（）

22

A．3,B．,3C．3,e1D．3,e1

【答案】B

【解析】因為函數fxx2axlnx在區(qū)間1,e上單調遞增，

1

所以fx2xa0在區(qū)間1,e上恒成立，

x

1

即a2x在區(qū)間1,e上恒成立，

x

1

令gx2x1xe，

x

12x212x12x1

則gx20，

x2x2x2

所以gx在1,e上遞增，又g13，

所以a3.

所以a的取值范圍是,3.

故選：B

3

【對點訓練8】（2024·全國·高三專題練習）若函數fxlogaaxx(a0且a1)在區(qū)間

0,1內單調遞增，則a的取值范圍是（）

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

11

A．3,B．1,3C．0,D．,1

33

【答案】A

【解析】令gxaxx3，則gxa3x2，

aaaa

當x或x時，gx0，當x時，gx0，

3333

aaaa

所以gx在,和,上遞減，在,上遞增，

3333

當a1時，yloga為增函數，且函數fx在區(qū)間0,1內單調遞增，

a1

a

所以0，解得a3，

3

a

1

3

此時gx在0,1上遞增，則gxg00恒成立，

當0a1時，yloga為減函數，且函數fx在區(qū)間0,1內單調遞增，

a

0

所以3，無解，

0a1

綜上所述，a的取值范圍是3,.

故選：A.

ππ

【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數f(x)sinxacosx在區(qū)間,上是減

42

函數，則實數a的取值范圍為（）

A．a21B．a1C．a12D．a1

【答案】B

ππ

【解析】由題意，f(x)cosxasinx0在,上恒成立，

42

cosx1ππ

即a在,上恒成立，

sinxtanx42

ππ

因為ytanx在,上單調遞增，所以ytanx1，

42

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

ππ1

所以在x,時，01，

42tanx

所以a1.

故選：B

【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）三次函數f(x)mx3x在(,)上是減函數，

則m的取值范圍是（）

A．m0B．m1C．m0D．m￡1

【答案】A

【解析】對函數f(x)mx3x求導，得f(x)3mx21

因為函數f(x)在(,)上是減函數，則f(x)0在R上恒成立，

即3mx210恒成立，

當x20，即x0時，3mx210恒成立；

11

當2，即時，2，則，即3m，

x0x0x03m22

xxmin

1

因為0，所以3m0，即m0；

x2

又因為當m0時，f(x)x不是三次函數，不滿足題意，

所以m0.

故選：A．

a

【對點訓練11】（2024·青海西寧·高三?？奸_學考試）已知函數fxlnx.若對任意x，

x11

fx2fx1

x20,2，且x1x2，都有1，則實數a的取值范圍是（）

x2x1

2727

A．,B．,2C．,D．,8

42

【答案】A

fx2fx1

【解析】根據題意，不妨取x1x2，則1可轉化為fx2fx1x1x2，

x2x1

aa

即lnx1x1lnx2x2.

x11x21

a

令Fxlnxx，則對任意x，x0,2，且xx，

x11212

都有Fx1Fx2，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

1a

所以Fx在0,2上單調遞增，即Fx210在0,2上恒成立，

xx1

3

x1

即a在0,2上恒成立.

x

32

x1x12x1

令hx，0x2，則hx，0x2，

xx2

11

令hx0，得0x，令hx0，得x2，

22

1112727

所以在上單調遞減，在,2上單調遞增，所以，所以，

hx0,hxminha

22244

27

即實數a的取值范圍是,，

4

故選:A

21

【對點訓練12】（2024·全國·高三專題練習）若函數fxlnxax2在區(qū)間,2內存在

2

單調遞增區(qū)間，則實數a的取值范圍是（）

11

A．2,B．,C．2，D．2,

88

【答案】D

【解析】∵f(x)lnxax22，

1

∴f(x)2ax，

x

11

若fx在區(qū)間,2內存在單調遞增區(qū)間，則f(x)0,x,2有解，

22

1

故a，

2x2

111

令g(x)，則g(x)在,2單調遞增，

2x22x22

1

g(x)g2，

2

故

a2

.

故選：D.

【對點訓練13】（2024·全國·高三專題練習）若函數f(x)x2xlnx2在其定義域的一個

子區(qū)間(2k1,2k1)內不是單調函數，則實數k的取值范圍是（）

331313

A．,B．,3C．,3D．,

242224

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【答案】D

【解析】因為函數f(x)的定義域為(0,)，

1

所以2k10，即k，

2

12x2x1(x1)(2x1)

f(x)2x1，

xxx

1

令f(x)0，得x或x=1（舍去），

2

因為f(x)在定義域的一個子區(qū)間(2k1,2k1)內不是單調函數，

113

所以2k12k1，得k，

244

13

綜上，k，

24

故選：D

2

【對點訓練14】（2024·全國·高三專題練習）已知函數fxlnxxb（bR）在區(qū)間

1

,2上存在單調遞增區(qū)間，則實數b的取值范圍是

2

39

A．,B．,C．,3D．,2

24

【答案】B

11

【解析】函數fx在區(qū)間,2上存在單調增區(qū)間，函數fx在區(qū)間,2上存在子

22

2

12x2bx12

區(qū)間使得不等式fx0成立．fx2xb，設hx2x2bx1，

xx

119

則h20或h0，即84b10或b10，得b，故選B.

224

考點：導數的應用.

1a

【例4】（2024·全國·高三專題練習）已知函數fxx3x2x1在,0，3,上

32

單調遞增，在1,2上單調遞減，則實數a的取值范圍為（）

105

A．,B．,2

32

10105

C．,2D．,

332

【答案】A

1a

【解析】由fxx3x2x1，得fxx2ax1．

32

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

因為fx在,0，3,上單調遞增，在1,2上單調遞減，

所以方程fx0的兩個根分別位于區(qū)間0,1和2,3上，

f(0)010,

f(1)01a10,

所以，即

f(2)042a10,

f(3)093a10,

105

解得a.

32

故選：A．

【對點訓練15】（2024·全國·高三專題練習）已知函數fxmx33m1x2m21m0

的單調遞減區(qū)間是0,4，則m（）

11

A．3B．C．2D．

32

【答案】B

【解析】函數fxmx33m1x2m21m0，則導數fx3mx26m1x

令fx0，即3mx26m1x0，

∵m0，fx的單調遞減區(qū)間是0,4，

∴0，4是方程3mx26m1x0的兩根，

21m

∴04，040，

m

1

∴m

3

故選：B.

【解題方法總結】

（1）已知函數在區(qū)間上單調遞增或單調遞減，轉化為導函數恒大于等于或恒小于等于

零求解，先分析導函數的形式及圖像特點，如一次函數最值落在端點，開口向上的拋物線最

大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等．

（2）已知區(qū)間上函數不單調，轉化為導數在區(qū)間內存在變號零點，通常用分離變量法

求解參變量范圍．

（3）已知函數在區(qū)間上存在單調遞增或遞減區(qū)間，轉化為導函數在區(qū)間上大于零或小

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

于零有解．

題型四：不含參數單調性討論

1lnx1

【例5】（2024·全國·高三專題練習）已知函數fxx0.試判斷函數fx在

x

0，上單調性并證明你的結論；

【解析】函數fx在0,上為減函數，證明如下：

1

1ln1x

因為，所以ln1x，

fxx01x

xfx2

x

1

又因為x0，所以0，ln(1x)0，所以fx0，

1x

即函數fx在0,上為減函數.

exa

【對點訓練16】（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？茧A段練習）已知fxlnx

x

若a1，討論fx的單調性；

ex1x1ex1

【解析】若a1，則fxlnxx0，求導得fx，

xx2

令f￠(x)>0可得x1，令fx0可得1x0，

故fx在x0,1上單調遞減；在1,上單調遞增.

【對點訓練17】（2024·貴州·校聯考二模）已知函數fxxlnxex1．

(1)求曲線yfx在點1,f1處的切線方程；

(2)討論fx在0,上的單調性．

【解析】（1）fxlnx1ex，

∴f11e，又f11e，

∴曲線yfx在點1,f1處的切線方程是y1e1ex1，

即y1ex；

（2）令gxfxlnx1exx0，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

11

則gxex在0,上遞減，且g2e0，g11e0，

x2

11x

0

∴x0,1，使gx0e0，即lnx0x0，

2x0

當x0,x0時，gx00，當xx0,時，gx00，

∴fx在0,x0上遞增，在x0,上遞減，

x011

∴fxfx0lnx01ex012x0110，

x0x0

1

當且僅當x0，即x01時，等號成立，顯然，等號不成立，故fx0，

x0

∴fx在0,上是減函數．

【對點訓練18】（2024·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）已知函數

π

fxexaxaR，gxexcosx.

2

(1)若fx0，求a的取值范圍；

(2)求函數gx在0,上的單調性；

【解析】（1）由題意知fx的定義域為R.

exexexx1

①當x0時，由fx0得a，設mx，則mx，

xxx2

當x0,1時，mx0，故mx在(0,1)上單調遞減；當x1,時，mx0，故mx

在(1,)上單調遞增，

所以mxm1e，因此ae

min.

11

②當x0時，若a0，因為fea10，不合題意.所以a0，此時fx0恒成立.

a

③當x0時，f010，此時aR.

綜上可得，a的取值范圍是0,e.

（2）設nxsinxx，x0，則nxcosx1≤0，所以nx在0,上單調遞減，

ππ

所以nxn00，即sinxx在0,上恒成立.所以sinxx.

22

又由（1）知exex，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

2

xπππππ

所以當x0時，gxesinxexxex0，

22224

所以gx在0,上單調遞增.

【對點訓練19】（2024·全國·高三專題練習）已知函數f(x)ln(ex1)lnx．

判斷f(x)的單調性，并說明理由；

ex1xexex1(x1)ex1

【解析】f(x)

ex1x(ex1)x(ex1)x

令g(x)(x1)ex1，g(x)ex(x1)exxex0

g(x)在(0,)上遞增，g(x)g(0)0，f(x)0，

f(x)在(0,)上單調遞增.

【解題方法總結】

確定不含參的函數的單調性，按照判斷函數單調性的步驟即可，但應注意一是不能漏掉

求函數的定義域，二是函數的單調區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開．

題型五：含參數單調性討論

情形一：函數為一次函數

【例6】（2024·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知函數f(x)(m1)xmlnxm．

討論f(x)的單調性；

m(m1)xm

【解析】f(x)m1，x(0,)，

xx

1

①當m10，即m1時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,)單調遞增．

x

②當m10，即m1時，

mm

令f(x)0，得0x，令f(x)0，得x，

m1m1

mm

所以f(x)在區(qū)間0,單調遞增；在區(qū)間,單調遞減．

m1m1

③當m10，即m1時，

若1m0，則f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,)單調遞增．

mm

若m0，令fx0，得0x，令fx0，得x，

m1m1

mm

所以f(x)在區(qū)間0,單調遞減；在區(qū)間,單調遞增．

m1m1

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

mm

綜上，m1時，f(x)在區(qū)間0,單調遞增；在區(qū)間,單調遞減；

m1m1

1m0時，f(x)在區(qū)間(0,)單調遞增

mm

m0時，f(x)在區(qū)間0,單調遞減、在區(qū)間,單調遞增．

m1m1

【對點訓練20】（2024·湖北黃岡·黃岡中學?？级＃┮阎瘮?/p>

fxlnx2a2x23ax1a0.

討論函數fx的單調性；

4ax11ax

【解析】fx的定義域為0,,fx

x

1

若a0，則fx,fx在0,單調遞增；

x

11

若a0，令fx0，解得x0,x0（舍去）

1a24a

1￠1

當0x時，f(x)>0，函數fx在0,上單調遞增，

aa

11

當x時，fx0，函數fx在,上單調遞減，

aa

【對點訓練21】（2024·全國·模擬預測）已知函數fxlnx1ax1aR.

討論函數fx的單調性；

【解析】因為fxlnx1ax1，

1

所以fx1a.

x

因為x0，若1a0，即a1時，fx在0,上單調遞增，

若1a0，即a1時，

11

令fx1a0，得0x；

xa1

11

令fx1a0，得x，

xa1

11

所以fx在0,上單調遞增，在,上單調遞減.

a1a1

綜上，當a1時，fx在0,上單調遞增；

11

當a1時，fx在0,上單調遞增，在,上單調遞減.

a1a1

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【對點訓練22】（2024·福建泉州·泉州五中?？寄M預測）已知函數fxxalnx．

討論fx的單調性；

xaa

【解析】由函數fxxalnx，可得f(x)lnxlnx1(x0)，

xx

a1axa

設xf(x)lnx1，可得(x)，

xxx2x2

①當a0時，(x)0，所以f(x)在(0,)單調遞增；

②當a<0時，令(x)0，解得xa.

當0xa時，(x)0，f(x)單調遞減；

當xa時，(x)0，f(x)單調遞增.

綜上，當a0時，f(x)在(0,)單調遞增；

當a0時，f(x)在(0,a)單調遞減，在(a,)單調遞增.

情形二：函數為準一次函數

【對點訓練23】（2024·云南師大附中高三階段練習）已知函數fxxlnxax.

討論fx的單調性；

【解析】

函數fx的定義域為x(0，)，f(x)lnx1a．

令f(x)0，解得xea1，

則有當0xea1時，f(x)0；當xea1時，f(x)0；

所以f(x)在(0，ea1)上單調遞減，在(ea1，)上單調遞增．

1

【對點訓練24】（2024·北京·統(tǒng)考模擬預測）已知函數f(x)kexx2.

2

(1)當k1時，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；

(2)設g(x)f(x)，討論函數g(x)的單調性；

【解析】（1）k1，

1

f(x)exx2，

2

f(x)exx，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

1

當x1時，f(1)e，

2

1

切點坐標為1，e，

2

又f(1)e1，切線斜率為e1，

曲線yf(x)在x1處切線方程為：

1

e1xy0.

2

1

（2）f(x)kexx2，xR，

2

g(x)f(x)kexx，xR，

g(x)kex1，xR，

①當k0時，g'x0成立，

f(x)的單調遞減區(qū)間為R，無單調遞增區(qū)間.

②當k0時，令g(x)kex10xlnk，

所以當xlnk時，g(x)0，g(x)在(,lnk)上單調遞減

xlnk時，g(x)0，g(x)在(lnk,)上單調遞增

綜上:k0時，f(x)的單調遞減區(qū)間為R，無單調遞增區(qū)間；

k0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(lnk,)，單調遞減區(qū)間為(,lnk)；

【對點訓練25】（2024·陜西安康·高三陜西省安康中學?？茧A段練習）已知函數

fxexax1aR.

討論fx的單調性；

【解析】∵fxexax1aR，∴fxexa，

①當a0時，f￠(x)>0恒成立，此時fx在,上單調遞增；

②當a0時，令fxexa0，解得xlna，

當x,lna時，fx0，fx在區(qū)間,lna上單調遞減，

當xlna,時，f￠(x)>0，fx在區(qū)間lna,上單調遞增.

綜上所述，當a0時，fx在,上單調遞增；當a0時，fx在區(qū)間,lna上

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

單調遞減，在區(qū)間lna,上單調遞增.

情形三：函數為二次函數型

方向1、可因式分解

【對點訓練26】（2024·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知函數

fxalnxx2a2xa0.

討論函數fx的單調性；

【解析】因為fxalnx